王 棟, 張志鵬, 趙 睿, 張君宇, 喬瑞勇, 孫少錚

(鄭州大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院,河南 鄭州 450001)

磨削具有較高的材料去除能力和加工精度,普遍應(yīng)用于難切削材料的軸類零件加工生產(chǎn)中,尤其是在零件的最終加工階段,需要保證較好的表面完整性和精確的公差,磨削工藝是實(shí)現(xiàn)這一目的的最優(yōu)加工方法。磨削加工過程中影響加工質(zhì)量的參數(shù)較多,其中磨削力是與磨削參數(shù)和磨削質(zhì)量相關(guān)的重要過程變量,常常被用來對(duì)磨削質(zhì)量進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。因此,建立科學(xué)有效的磨削力理論模型,對(duì)磨削力的預(yù)測(cè)及實(shí)際加工生產(chǎn)中的參數(shù)選擇具有十分重要的意義[1]。

近年來業(yè)內(nèi)關(guān)于磨削的研究較多,并且建立起了多種磨削力模型,但針對(duì)磨削力理論模型的預(yù)測(cè)誤差都普遍偏高,基本都處在10%～15%,對(duì)實(shí)際工程實(shí)踐的參考意義有限。目前求解模型時(shí)大多使用分段計(jì)算法或列方程組直接計(jì)算各個(gè)待求系數(shù),不僅計(jì)算量大且其精度也無法保證。本文在現(xiàn)有磨削理論模型的基礎(chǔ)上,基于遺傳算法優(yōu)化的非線性優(yōu)化函數(shù)(genetic algorithm-lsqnonlin,GA-LSQ)求解模型待求系數(shù),對(duì)磨削力的預(yù)測(cè)及實(shí)際加工生產(chǎn)中的參數(shù)優(yōu)化提供參考。

1 模型分類及選取

目前國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于磨削力的模型研究方法眾多,其大致可分為4類：基于力學(xué)模型基礎(chǔ)的解析法[5-6]、基于實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)方法[8-10]、有限元分析法[11]、人工智能預(yù)測(cè)模型[12]。本文主要針對(duì)前兩種建模方法進(jìn)行求解。

解析法是通過分析磨削過程中的材料去除機(jī)理,剪切應(yīng)變效應(yīng)和磨粒分布、形狀等建立磨削力的解析模型。通過解析法所建立的磨削力模型主要分為外圓、平面、內(nèi)圓、成形磨削等,而目前的磨削力模型研究大多集中于外圓和平面,對(duì)內(nèi)圓的研究很少。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ头ㄖ饕ㄟ^建立加工參數(shù)和磨削力的非線性指數(shù)函數(shù)關(guān)系來預(yù)測(cè)磨削力的大小,優(yōu)點(diǎn)在于簡單實(shí)用、適用范圍廣。

為論述計(jì)算方法的詳細(xì)求解過程以文獻(xiàn)[5-6,8]模型作為算法驗(yàn)證對(duì)象,根據(jù)原文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)獲得并劃分的訓(xùn)練集及驗(yàn)證集數(shù)據(jù)進(jìn)行求解驗(yàn)證。3種磨削力模型形式與具體參數(shù)如表1所示。

表1 模型形式參數(shù)表Table 1 Table of model formal parameters

2 外圓橫向磨削力模型求解

本文主要針對(duì)外圓橫向磨削力理論模型的求解過程進(jìn)行說明。為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)分析各個(gè)磨削參數(shù)對(duì)磨削力的影響效果,必須較好地?cái)M合出公式中的各個(gè)待求系數(shù),本文基于遺傳算法優(yōu)化非線性優(yōu)化函數(shù)(GA-LSQ)針對(duì)上述公式進(jìn)行非線性回歸分析。

2.1 遺傳算法

遺傳算法(GA)是一種基于生物進(jìn)化原理構(gòu)想出來的仿生算法,模擬基因重組與進(jìn)化的自然過程,把待解決問題的參數(shù)變成二進(jìn)制碼或其他進(jìn)制即基因,若干基因組成一個(gè)染色體(個(gè)體)[15]。該算法將隨機(jī)產(chǎn)生的一代染色體作為候選解并計(jì)算其適應(yīng)度,采用優(yōu)勝劣汰的方法選擇個(gè)體進(jìn)行選擇、交叉、變異等遺傳操作,保留適應(yīng)度高的染色體作為新一代種群,向著更優(yōu)解的方向進(jìn)化,最終獲得最優(yōu)的一組染色體,從而達(dá)到某種預(yù)定的優(yōu)化收斂指標(biāo),具有多參數(shù)、多組合和隨機(jī)性強(qiáng)的尋優(yōu)特點(diǎn)。遺傳算法的具體計(jì)算步驟如下。

步驟1 對(duì)磨削力公式的待求系數(shù)采用實(shí)數(shù)編碼的方式進(jìn)行編碼。由外圓磨削力公式可得待求系數(shù)為12個(gè),故染色體個(gè)體編碼長度為12,從而得到種群中初始染色體。

步驟2 遺傳算法適應(yīng)度函數(shù)取若干組數(shù)據(jù)誤差的二范數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)S,其誤差越小,適應(yīng)度函數(shù)值越小[16]。

步驟3 使用輪盤賭算法在當(dāng)前種群中選擇適應(yīng)度較高染色體進(jìn)行復(fù)制,進(jìn)一步產(chǎn)生新的種群。

步驟4 根據(jù)適應(yīng)度函數(shù),使用輪盤賭算法在當(dāng)前種群中選擇適應(yīng)度較高染色體作為父代染色體進(jìn)行選擇、交叉、變異等遺傳操作,在新產(chǎn)生的一代種群中選擇適應(yīng)度高的染色體作為下一代種群,染色體編碼的基因選擇概率px[17]為

(1)

fx=k/Fx。

(2)

式中：Fx為個(gè)體x的適應(yīng)度值;N為種群染色體數(shù)量;k為常數(shù)。

步驟5 第k條染色體Akj與第l條染色體Alj之間在j處發(fā)生的交叉操作的方法如下：

(3)

式中：α為[0,1]的隨機(jī)數(shù)。

步驟6 第k個(gè)染色體中的第l個(gè)基因akl的變異過程如下：

(4)

(5)

式中：amax為基因akl中的最大值;amin為基因akl中的最小值;r2為隨機(jī)數(shù);g為當(dāng)前時(shí)刻的迭代數(shù);Gmax為最大迭代數(shù);r為[0,1]中的隨機(jī)數(shù)。

遺傳算法每次迭代就相當(dāng)于完成了選擇、交叉和變異等操作,經(jīng)過迭代,誤差逐漸降低直到滿足優(yōu)化目標(biāo),獲得相應(yīng)個(gè)體的最優(yōu)適應(yīng)度,從而得到最優(yōu)系數(shù)組合并作用于非線性優(yōu)化函數(shù)。其算法流程圖如圖1所示。

圖1 遺傳算法流程圖Figure 1 Genetic algorithm flow chart

2.1.1 確定適應(yīng)度函數(shù)

在遺傳算法計(jì)算過程中,適應(yīng)度函數(shù)對(duì)算法輸出的染色體起著至關(guān)重要的作用。選取外圓橫向模型中10組實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 系數(shù)確定實(shí)驗(yàn)表[6]Table 2 Coefficient determination test sheet[6]

(6)

2.1.2 參數(shù)設(shè)置

本文使用MATLAB R2020a作為仿真實(shí)驗(yàn)工具,遺傳算法迭代次數(shù)設(shè)置為100。為了進(jìn)一步提高迭代進(jìn)化效率,根據(jù)磨削力公式進(jìn)行試算,為參數(shù)設(shè)定上下限,其中k′1,k′2,…,k′6取值為1 000 000～10 000 000,α1,α2,…,α6取值為-20～20。對(duì)于具體實(shí)現(xiàn)遺傳算法的操作而言,初始種群個(gè)數(shù)N、交叉概率Pc、變異概率Pm這些參數(shù)偏大或偏小都會(huì)對(duì)尋優(yōu)結(jié)果造成影響。為了能夠獲得最好的個(gè)體,首先要確定最佳的參數(shù)組合,因此設(shè)計(jì)一組3因素5水平的正交參數(shù)表進(jìn)行遺傳算法各參數(shù)尋優(yōu)。種群個(gè)數(shù)5水平分別為80、90、100、110、120;交叉概率5水平分別為0.40、0.45、0.50、0.55、0.60;變異概率5水平分別為0.02、0.04、0.06、0.08、0.10。

由上述正交實(shí)驗(yàn)尋優(yōu)結(jié)果可得,當(dāng)遺傳算法參數(shù)的組合為N=110、Pc=0.55、Pm=0.04時(shí),其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)適應(yīng)度變化曲線如圖2所示。在迭代次數(shù)達(dá)到81后,目標(biāo)的適應(yīng)度值收斂到最優(yōu)結(jié)果。遺傳算法搜尋到10組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最小誤差的二范數(shù)S的結(jié)果為8.05。對(duì)應(yīng)該參數(shù)下搜尋到的外圓橫向磨削力模型參數(shù)組合k′1,k′2,…,k′6分別為9 991 050.41、5 741 027.33、1 963 086.61、1 416 058.29、2 759 136.77、5 746 585.79,α1,α2,…,α6分別為0.3、3.46、3.03、0.84、0.70、0.85。

圖2 遺傳算法尋優(yōu)適應(yīng)度曲線Figure 2 Optimizing fitness curve by genetic algorithm

2.1.3 非線性優(yōu)化函數(shù)(lsqnonlin)

圖3 非線性優(yōu)化函數(shù)殘差迭代曲線Figure 3 Nonlinear optimization function residual iteration curve

從圖3可以看出,在迭代達(dá)到62之后,非線性優(yōu)化函數(shù)收斂到最優(yōu)結(jié)果28.4。非線性優(yōu)化函數(shù)搜尋到10組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最小殘差值為8.05。最終得到外圓橫向磨削力模型系數(shù)的最優(yōu)組合k′1,k′2,…,k′6分別為4 105 391.76、7 131 411.89、3 819 675.5、2 593 089.88、1 000 021.34、2 283 679.89,α1,α2,…,α6分別為0.57、0.96、-2、0.39、0.62、0.86。

最終得到的外圓磨削力優(yōu)化模型如式(7)所示。

(7)

3 外圓橫向磨削力模型預(yù)測(cè)結(jié)果及分析

為了探究基于遺傳算法的非線性優(yōu)化函數(shù)求出的系數(shù)組合的準(zhǔn)確性,將文獻(xiàn)[6]中15組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入到外圓磨削力模型中,計(jì)算模型預(yù)測(cè)值并與實(shí)驗(yàn)得出的實(shí)際值進(jìn)行比較來驗(yàn)證該方法的擬合效果。曲線擬合效果通?？梢杂脹Q定系數(shù)R2來評(píng)價(jià)[18]：

(8)

表3為外圓橫向磨削力模型各組預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的誤差對(duì)比。其驗(yàn)證數(shù)據(jù)對(duì)比見圖4,其中下標(biāo)1、2分別對(duì)應(yīng)本文模型與文獻(xiàn)[6]模型,Fn、Ft分別表示法向磨削力和切向磨削力。下文規(guī)則同上。

圖4 3種模型各組驗(yàn)證數(shù)據(jù)對(duì)比圖Figure 4 Comparison of validation data of each group in three models

計(jì)算得到外圓橫向磨削法向和切向磨削力公式預(yù)測(cè)結(jié)果的決定系數(shù)R2分別為0.994 9和0.995 2,較接近1。通過外圓橫向磨削得到法向磨削力和切向磨削力的平均預(yù)測(cè)誤差分別為5.90%和 6.78%,相比于原文中的模型誤差分別降低了32.18%、42.54%,具體如圖4(a)、4(b)所示。

4 平面磨削力模型與外圓縱向磨削力模型預(yù)測(cè)結(jié)果及分析

平面模型、外圓縱向磨削力模型優(yōu)化過程本文在此并不詳細(xì)敘述。本文方法與文獻(xiàn)[5,8]方法關(guān)于模型的誤差對(duì)比如圖4(c)～4(f)所示,得到法向磨削力平均預(yù)測(cè)誤差分別為9.13%、3.23%,切向磨削力的平均預(yù)測(cè)誤差分別為8.36%、3.69%,相比于文獻(xiàn)[5,8]中的模型,法向力預(yù)測(cè)誤差分別降低32.87%、38.48%,切向磨削力預(yù)測(cè)誤差分別降低14.69%、31.54%。可見這種計(jì)算待求系數(shù)的方法同時(shí)適用于平面磨削力模型與外圓縱向磨削力模型,并且能起到一定的優(yōu)化作用。

最終通過基于遺傳算法的非線性優(yōu)化函數(shù)求解平面磨削力模型、外圓縱向磨削力模型如式(9)、(10)所示。

(9)

(10)

表4為3種模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的誤差對(duì)比?？梢钥闯?使用本文所提出的模型優(yōu)化方法絕大部分誤差小于文獻(xiàn)[5,8]模型,決定系數(shù)均高于相關(guān)文獻(xiàn)模型,因此可以認(rèn)為本文所提出的優(yōu)化方法對(duì)不同磨削力模型優(yōu)化結(jié)果都較為適用。

表4 3種模型驗(yàn)證誤差表Table 4 Table of validation errors of three models

5 結(jié)論

(1)將外圓橫向磨削力模型、平面磨削力模型和外圓縱向磨削力模型的磨削實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論推導(dǎo)相結(jié)合并通過GA-LSQ算法經(jīng)過多點(diǎn)搜索對(duì)參數(shù)集進(jìn)行處理,從而得到輸出的最優(yōu)系數(shù)組合。從優(yōu)化的模型中可直接得出各加工參數(shù)與磨削力的關(guān)系,通過控制磨削力從而進(jìn)一步提高表面質(zhì)量。

(2)本文方法具有普遍適用性,針對(duì)平面磨削力模型、外圓橫向磨削力模型、成形磨削力模型、外圓縱向磨削力模型等進(jìn)行了相應(yīng)的計(jì)算驗(yàn)證,預(yù)測(cè)的模型誤差均在10%以下。

(3)在外圓橫向磨削力模型、平面磨削力模型和外圓縱向磨削力模型中,其法向磨削力預(yù)測(cè)誤差分別為5.90%、9.13%、3.23%,切向磨削力的預(yù)測(cè)誤差分別為6.78%、8.36%、3.69%,磨削力的預(yù)測(cè)精度提高了14.69%～42.54%。