摘""要：為快速精確地控制復(fù)雜量子系統(tǒng)的演化，以簡并的四能級量子系統(tǒng)為例，采用快進(jìn)標(biāo)定方法，得出不同狀態(tài)下的加速勢。在絕熱演化過程中，將快進(jìn)標(biāo)定方法與無躍遷量子驅(qū)動方法融合，并應(yīng)用于簡并量子系統(tǒng)，得到簡并量子系統(tǒng)的反絕熱快進(jìn)哈密頓量的一般形式。研究結(jié)果表明：快進(jìn)態(tài)下的布居數(shù)轉(zhuǎn)移時間相比標(biāo)準(zhǔn)態(tài)明顯縮短，證明了快進(jìn)標(biāo)定方法在簡并量子系統(tǒng)中的有效性。融合法中絕熱項(xiàng)中的正則化項(xiàng)形式與簡并無躍遷量子驅(qū)動哈密頓量形式完全對應(yīng)，可有效提升系統(tǒng)的演化速率。研究結(jié)論為復(fù)雜量子系統(tǒng)控制和量子信息處理提供理論支撐。

關(guān)鍵詞：快進(jìn)標(biāo)定方法；簡并量子系統(tǒng)；無躍遷量子驅(qū)動方法；加速勢；布居數(shù)

中圖分類號：O469 """"""""""""""""""""""""""""""""""""""文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A """""""""""""""""""""""""""文章編號：1008-0562（2024）06-0726-07

Degenerate fast-forward scaling theory for adiabatic and non-adiabatic

evolution

YANG Qing¹， LIU Zhongju¹， LI Hong²， ZHANG Yanan^1*

（1. School of Science， Shenyang University of Technology， Shenyang 110870， China;

2. Institute for Interdisciplinary Quantum Information Technology，

Jilin Engineering Normal University， Changchun 130052， China）

Abstract："In order to control the evolution of complex quantum systems quickly and accurately， a degenerate four-level quantum system is taken as an example， and the acceleration potential in different states is obtained by using the fast-forward scaling method. In the adiabatic evolution process， the fast-forward scaling method is combined with the transitionless quantum driving， and the general form of the counterdiabatic fast-forward Hamiltonian of the degenerate quantum system is obtained. The results show that the population transfer time in the fast-forward state is significantly shorter than that in the standard state， which confirms the validity of the fast-forward scaling method in degenerate quantum systems. The regularization form of the adiabatic term in the combination method corresponds exactly to the form of the degenerate transitionless quantum driving Hamiltonian which can improve the rate of evolution of the system."The research conclusions provide theoretical support for complex quantum system control and quantum information processing.

Key words："fast-forward scaling method; degenerate quantum systems; transitionless quantum driving;"accelerating potential; population

0 "引言

量子信息技術(shù)的快速發(fā)展被認(rèn)為是第二次量子革命，被廣泛應(yīng)用于量子計算、模擬、通信、傳感和計量等領(lǐng)域^[1]。例如：通過提高相干量子系統(tǒng)對外部擾動的靈敏度，可以提高物理量測量的性能；通過暗態(tài)的絕熱演化可以構(gòu)建完整的量子門。但量子系統(tǒng)經(jīng)過長時間的絕熱演化，會導(dǎo)致退相干，從而降低系統(tǒng)的演化效率，量子計算的結(jié)果會出現(xiàn)較大誤差，量子信息的傳遞也會出現(xiàn)錯誤，因此如何對量子系統(tǒng)進(jìn)行快速且精確地控制是一個值得深入研究的問題。

為了解決這個問題，學(xué)者們提出了多種絕熱捷徑方法^[2-3]，主要有無躍遷量子驅(qū)動方法（TQD）^[4-6]、基于逆向工程的不變量方法^[7-10]、快進(jìn)標(biāo)定（fast-forward scaling，F(xiàn)FS）方法^[11-14]和超絕熱迭代方法^[15-17]。其中，快進(jìn)標(biāo)定方法不僅可以實(shí)現(xiàn)量子系統(tǒng)動力學(xué)的加速，還可以高效率實(shí)現(xiàn)減速、停止和逆轉(zhuǎn)^[18]。此方法通過引入“正則化 "項(xiàng)”^[12]，控制驅(qū)動勢并調(diào)節(jié)波函數(shù)的附加相位來控制量子系統(tǒng)動力學(xué)演化，使系統(tǒng)由一定的初態(tài)經(jīng)更短的時間達(dá)到目標(biāo)態(tài)，從而提高演化速率?？爝M(jìn)標(biāo)定方法在多種系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用^{[13，19-21]}，如：玻色-愛因斯坦凝聚體^[22-25]、離散系統(tǒng)^[23，26]、經(jīng)典系 """"""統(tǒng)^[27-28]、狄拉克動力學(xué)^[29-30]、量子隧穿動力 """"""""""學(xué)^[31-32]、電磁場加速^[33]、晶格系統(tǒng)^[34]和絕熱自旋動力學(xué)系統(tǒng)^[35]。同時為了更精確地控制并加速量子系統(tǒng)的演化，可將不同的絕熱捷徑方法相互聯(lián)系、相互補(bǔ)充。STEFANATOS等^[36]和CHEN等^[37]將基于Lewis-Riesenfeld不變量的逆向工程技術(shù)與最優(yōu)控制理論融合，找到了諧波陷阱上原子快速傳輸?shù)淖顑?yōu)軌跡。此外，將快進(jìn)標(biāo)定方法應(yīng)用到其他方法中也可以精確且高效地控制演化速率。HATOMUR^[2]將快進(jìn)標(biāo)定方法與反絕熱驅(qū)動方法融合，通過任意選擇對角元，得到了反絕熱快進(jìn)哈密頓量，也實(shí)現(xiàn)了對量子系統(tǒng)的快速精確控制。

為了驗(yàn)證量子控制方法的有效性，通常需要選取典型的量子系統(tǒng)進(jìn)行應(yīng)用。但目前，對于非簡并量子系統(tǒng)的演化速率研究已經(jīng)非常成熟，而對簡并量子系統(tǒng)的快速控制研究卻缺乏深入探索。WILCZEK等^[38]證明，當(dāng)簡并量子系統(tǒng)在參數(shù)空間絕熱演化時，會誘導(dǎo)出非阿貝爾幾何相，非阿貝爾幾何相在拓?fù)淞孔佑嬎?sup>[39-41]中具有非常重要的作用。因此，加速簡并量子系統(tǒng)演化的絕熱捷徑技術(shù)研究迫在眉睫，將推動量子計算及信息處理領(lǐng)域的發(fā)展。因此，本文重點(diǎn)研究快進(jìn)標(biāo)定方法及其與無躍遷量子驅(qū)動方法構(gòu)成的融合法對簡并量子系統(tǒng)演化速率的控制，并得到相應(yīng)的反絕熱快進(jìn)哈密頓量的一般形式。

1 "快進(jìn)標(biāo)定方法

1.1 "理論框架

考慮一個含時的量子系統(tǒng)，其能量由哈密頓量算符表示，系統(tǒng)演化遵循Schr?dinger方程，即

， （1）

式中：i為虛數(shù)；是約化普朗克常量，通常取1；為系統(tǒng)在任意時刻的態(tài)矢量。

通過快進(jìn)態(tài)可以定義標(biāo)準(zhǔn)態(tài)的加速，兩者可通過一個附加相位聯(lián)系在一起，即

， （2）

其中，

， （3）

式（2）和式（3）中：為快進(jìn)方法的含時放大因子，通常為實(shí)數(shù)，當(dāng)放大因子時，量子態(tài)的演化加速；當(dāng)時，量子態(tài)的演化減速。為幺正算符，它與附加相位之間的關(guān)系為

， （4）

式中：為基態(tài)；為厄米算符。加速量子態(tài)的演化不僅需要附加相位還需要加速勢能。

假設(shè)由快進(jìn)哈密頓量驅(qū)動產(chǎn)生的快進(jìn)態(tài)滿足Schr?dinger方程，即

， "（5）

由式（2）可以得出快進(jìn)哈密頓量

。 （6）

快進(jìn)哈密頓量與初始哈密頓量以及加速勢能滿足

， （7）

因此，可以得出快進(jìn)哈密頓量對應(yīng)的本征方程為

。（8）

將上述方法應(yīng)用到自旋系統(tǒng)中，得到自旋系統(tǒng)的快進(jìn)哈密頓量形式為

， ""（9）

式中：為磁場矢量；為泡利矩陣。

對比式（7）和式（9）可知，恰好與加速勢能相對應(yīng)。

1.2""粒子在磁場中的運(yùn)動模型

為直觀地表達(dá)加速勢能在簡并量子系統(tǒng)中的加速作用，將快進(jìn)標(biāo)定方法應(yīng)用到模型中?？紤]自旋1/2粒子在磁場中運(yùn)動的模型，采用狄拉克矩陣代替泡利矩陣，構(gòu)成的簡并量子系統(tǒng)的哈密頓量為

（10）

式中：為自旋1/2粒子的磁矩大小；為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量算符，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，、為含時參數(shù)；為狄拉克矩陣，即

（11）

式中，（k=1，2，3）對應(yīng)泡利矩陣的3個分量。

初始哈密頓量還可以寫成矩陣形式，即

。（12）

通過求解，得出此系統(tǒng)的兩個本征值為

， （13）

兩個本征值分別對應(yīng)的兩個簡并本征態(tài)為

，（14）

。 （15）

在此系統(tǒng)中，選擇Z方向?yàn)樽孕较?，則與坐標(biāo)相關(guān)算符為

， （16）

式中：為實(shí)的標(biāo)量函數(shù)，n=1，2，3；為在Z方向自旋的泡利矩陣，m=1，2。

由1.1可知，快進(jìn)哈密頓可以分為初始哈密頓量和加速勢能。根據(jù)式（6）可得

（17）

式中：，；為實(shí)的標(biāo)量函數(shù)，在進(jìn)行數(shù)值模擬時，令；，，。

快進(jìn)標(biāo)定方法的目標(biāo)是在不同時間標(biāo)度下實(shí)現(xiàn)相同的布居數(shù)轉(zhuǎn)移，并且快進(jìn)態(tài)與標(biāo)準(zhǔn)態(tài)本質(zhì)上是相同的，區(qū)別在于基矢上的相位。這里施加的相位是通過幺正變換，即與式（4）聯(lián)系在一起的，可以得出

。（18）

根據(jù)式（12）得到相應(yīng)Schr?dinger方程的一個精確解為

，（19）

結(jié)合式（18），可以得出

（20）

式中，符號取。

可以得出與相關(guān)的加速勢能表達(dá)式為

， """""""""""""""（21）

，（22）

。（23）

由式（21）～式（23）可得加速勢能表達(dá)式為

，（24）

式中：；。

式（24）勢能為實(shí)數(shù)，具體的加速勢能形式為

（25）

，（26）

式中：diag[*，*，*，*]為對角化矩陣，“*”為矩陣元；

（27）

。 """""""""""""""""""""""（28）

對于自旋1/2粒子與磁場相互作用模型，選擇Nakamura^[11]中的放大因子為

，（29）

，（30）

式中：；從1開始增加到然后再逐漸減小至1。

和參數(shù)隨時間的演化見圖1。為了更直觀地展示快進(jìn)標(biāo)定方法的有效性，選擇以下參數(shù)進(jìn)行模擬。

， """""""""""""（31）

，"""""""""""""""""""""""""""（32）

。"""""""""""""""""""""""""（33）

利用式（25）和式（31）～式（33）可以求出參數(shù)。由此可以得到加速勢能隨時間演化曲線，見圖2。為清晰地觀察到系統(tǒng)演化速率的變化，將快進(jìn)態(tài)與標(biāo)準(zhǔn)態(tài)下的布居數(shù)轉(zhuǎn)移情況進(jìn)行對比，見圖3。由圖3可以看出，標(biāo)準(zhǔn)態(tài)在t=20時達(dá)到了目標(biāo)態(tài)，即布居數(shù)完全轉(zhuǎn)移，而快進(jìn)態(tài)僅在t=10時就達(dá)到了相同的演化效果。因此，快進(jìn)標(biāo)定方法可以有效地提高簡并量子系統(tǒng)的演化速率。

2 "FFS方法與TQD方法融合及應(yīng)用

2.1""非簡并情形

由于多種絕熱捷徑方法可以相互聯(lián)系、相互補(bǔ)

充，考慮將快進(jìn)標(biāo)定（FFS）方法與無躍遷量子驅(qū)動（TQD）方法融合進(jìn)行研究，同時應(yīng)用到簡并情形下，可以更有效加速量子態(tài)的演化。

無躍遷量子驅(qū)動（TQD）方法^[4]中的總哈密頓量的具體形式可以分為兩部分，即絕熱項(xiàng)與反絕熱項(xiàng)，即

，（34）

式中，為第n個能量本征態(tài)對應(yīng)的本征值。

將無躍遷量子驅(qū)動方法與快進(jìn)標(biāo)定方法融合。首先，將快進(jìn)態(tài)隨時間的演化表示為

。 （35）

快進(jìn)哈密頓量可以拆分成絕熱和反絕熱兩部分，即

。 （36）

由式（6）得到快進(jìn)哈密頓量的絕熱部分為

，（37）

式中：和滿足式（29）和式（3）；

。 "（38）

由于快進(jìn)態(tài)是在絕熱條件下進(jìn)行演化的，哈密頓量必須正則化為

，（39）

式中：為含時參數(shù)，；為第n個與量子態(tài)相關(guān)的正則化項(xiàng)，滿足含時的Schr?dinger方程，即

。（40）

假設(shè)在絕熱過程中，含時Schr?dinger方程的解為

，（41）

式中：為式（40）中哈密頓量的第個本征態(tài)；為絕熱項(xiàng)^[38]。

此時，定義快進(jìn)態(tài)形式為

（42）

式中，形式^[31]為

， （43）

， （44）

式中，為常數(shù)，是無窮小量，表示與時間相關(guān)的絕熱變化率。

快進(jìn)哈密頓滿足的Schr?dinger方程^[35]為

。（45）

將式（41）代入到式（40）的含時Schr?dinger方程中，可得

（46）

如果在中，有個獨(dú)立的正則化項(xiàng)，可以定義，因此可得

， （47）

式中，為的簡寫。式（47）的推導(dǎo)過程見附錄。

可以發(fā)現(xiàn)恰好對應(yīng)無躍遷量子驅(qū)動方法中的反絕熱項(xiàng)。而式（36）中的快進(jìn)反絕熱哈密頓量可以表示為

。（48）

可見快進(jìn)反絕熱哈密頓量也可以分為兩部分，重點(diǎn)是第一部分，用以抵消系統(tǒng)自由演化導(dǎo)致的能級之間的躍遷。因此，在快進(jìn)態(tài)的演化過程中，也是不發(fā)生躍遷的，可以達(dá)到加快量子系統(tǒng)演化的效果，證明了FFS方法與TQD方法融合的有效性。

2.2 "簡并情形

為擴(kuò)大上述研究的應(yīng)用范圍，探索復(fù)雜多體量子系統(tǒng)特性，將該融合法應(yīng)用到簡并量子系統(tǒng)中。

假設(shè)簡并量子系統(tǒng)的本征能量對應(yīng)簡并子空間，代表簡并度，可得到系統(tǒng)的無躍遷量子驅(qū)動哈密頓量形式為

， （49）

此哈密頓量也可分為絕熱和反絕熱兩部分，其中是非阿貝爾規(guī)范勢，呈矩陣形式。類似非簡并量子系統(tǒng)，可以得出簡并系統(tǒng)快進(jìn)哈密頓量的絕熱部分為

（50）

反絕熱部分為

""""（51）

式中，為簡并的本征態(tài)。

在驅(qū)動下，簡并量子系統(tǒng)的不同能級之間的非絕熱躍遷將被抵消，演化速率將大幅提高。在以上理論方法指導(dǎo)下，可以精確快速地控制多體等復(fù)雜量子系統(tǒng)的演化。

3 "結(jié)論

（1）將快進(jìn)標(biāo)定方法應(yīng)用于簡并量子系統(tǒng)，得出非絕熱簡并量子系統(tǒng)演化過程中加速勢形式。將快進(jìn)態(tài)與標(biāo)準(zhǔn)態(tài)下的布居數(shù)轉(zhuǎn)移時間進(jìn)行了對比，發(fā)現(xiàn)前者相比后者時間明顯縮短，證明了快進(jìn)標(biāo)定方法在簡并量子系統(tǒng)中的有效性。

（2）將快進(jìn)標(biāo)定方法與無躍遷量子驅(qū)動方法融合，并推廣到簡并量子系統(tǒng)中，得到了快進(jìn)哈密頓量的一般形式，在其驅(qū)動下，可以加速量子系統(tǒng)的演化。并且發(fā)現(xiàn)絕熱項(xiàng)中正則化項(xiàng)的一般形式與簡并無躍遷量子驅(qū)動哈密頓量形式完全對應(yīng)。

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