鄧文忠

【摘? 要】? 對于含參導(dǎo)數(shù)問題，題型特別豐富，解法變化多端，變量分離法不是全部，特別對于含參指對混合題型，提倡首選同構(gòu)．本文順著學(xué)生偏愛的變量分離法思路，當(dāng)思維受阻時(shí)，借助同構(gòu)從而柳暗花明．

【關(guān)鍵詞】? 導(dǎo)數(shù)；變量分離法；同構(gòu)

在實(shí)際教學(xué)中遇到含參導(dǎo)數(shù)問題大多學(xué)生偏愛變量分離法，而且絲毫不懷疑自已的能力．但對于一類含參數(shù)的指數(shù)與對數(shù)結(jié)合的導(dǎo)數(shù)綜合題，倘若直接變量分離，大多時(shí)候無法分離，即使能分離，不僅過程復(fù)雜，而且難度較大．對此，不妨實(shí)施同構(gòu)變換，構(gòu)建同構(gòu)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)變量分離．

1? 同構(gòu)后變量分離

例1? 已知函數(shù)f（x）=emx+x-xlnx （m≥0）．

（1）當(dāng)m=1時(shí)，求f（x）在[1，e]上的值域；

（2）討論f′（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解析? （1）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=ex+x-xlnx．

∵f′（x）=ex+1-（lnx+1）=ex-lnx＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

∵f（1）=e+1，f（e）=ee，

∴f（x）在[1，e]上的值域?yàn)閇e+1，ee]．

（2）f′（x）=memx-lnx=0．

∵m≥0，

∴memx=lnx≥0．

∴x≥1．

這個(gè)方程中變量m無法表示，因而無法變量分離，到此似乎陷入困境．

注意到方程指對混合，因此同構(gòu)．

由memx=lnx得：mxemx=xlnx．

令g（x）=xex，則g（mx）=mxemx，g（lnx）=xlnx，

∴g（mx）=g（lnx）．

∵g′（x）=（x+1）ex＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

故問題轉(zhuǎn)化為討論mx=lnx（x≥1，m≥0）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

變量分離：m=，

令h（x）=，

則h′（x）= ，

令h′（x）=0，得x=e．

∴當(dāng)x∈[1，e）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x=e時(shí)，h（x）max=；

當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→0，h（1）=0．

圖象如圖1．

∴當(dāng)m＞時(shí)，f′（x）無零點(diǎn)；

當(dāng)m=0或m=時(shí)，f′（x）有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0＜m＜時(shí)，f′（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)? 第（2）問也可由memx=lnx得到memx+mx=mx+lnx，然后構(gòu)造g（x）=mex+x，則g（mx）=g（lnx）．

例2? 已知函數(shù)f（x）=mex-ln（x+1）+lnm，若f（x）≥1，求m的取值范圍．

解析? mex-ln（x+1）+lnm≥1，這個(gè)不等式無法變量分離，注意到指對混合，因此同構(gòu)．

變形：mex+lnm≥ln（x+1）+1．

mex+lnm+x≥ln（x+1）+x+1．

mex+ln（mex）≥（x+1）+ln（x+1）．

令g（x）=x+lnx（x＞0），

則g（mex）≥g（x+1）．

g′（x）=1+＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

故問題轉(zhuǎn)化為解mex≥x+1 （x＞-1，m＞0）．

變量分離：m≥，

令h（x）=．

則h′（x）=．

∴當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x=0時(shí)，h（x）max=1．

∴m≥1．

點(diǎn)評(píng)? 上面解法中還可依據(jù)ex≥x+1（當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)），得≤=1，所以m≥1．

另解? mex-ln（x+1）+lnm≥1ex+lnm-ln（x+1）+lnm≥1ex+lnm+x+lnm≥ln（x+1）+（x+1），

令g（x）=ex+x，則g（x+lnm）=g（ln（x+1））．

2? 變量分離后同構(gòu)

例3? 已知函數(shù)f（x）=xex-mx．

（1）當(dāng)m=0時(shí)，求f（x）在（t，+∞）上的單調(diào)區(qū)間；

（2）若f（x）≥lnx+x+1對x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解析：（1）當(dāng)t≥-1時(shí)，f（x）在（t，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)t＜-1時(shí)，f（x）在（t，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．（過程略）

（2）由題意得xex-mx≥lnx+x+1．

變量分離：m+1≤．

令g（x）= ，只需要求解：m+1≤g（x）min．

g′（x）= ．

令h（x）=x2ex+lnx，

則h′（x）=（x2+2x）ex+＞0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．

∵h(yuǎn)（1）=e＞0， h（）=＜0，

∴h（x）有唯一零點(diǎn)x0∈（，1），

即x02=-lnx0．

∴當(dāng)x∈（0， x0）時(shí)，h（x）＜0，則g′（x）＜0，故g（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，h（x）＞0，則g′（x）＞0，故g（x）單調(diào)遞增．

當(dāng)x=x0時(shí)，

g（x）min=

=．

這個(gè)值能不能算？是多少？一路順風(fēng)順?biāo)竭@里思維受阻，不禁讓人懷疑能不能運(yùn)用變量分離法．

觀察方程x02=-lnx0的特點(diǎn)，指對混合，因此產(chǎn)生同構(gòu)的想法．

變形，得：x0=．

令φ（x）=xex，則φ（x0）= x0，

φ（）=，

∴φ（x0）=φ（）．

∵φ′（x）=（x+1）ex＞0，

∴φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

∴x0=，故x0=1．

∴g（x）min==1．

∴m≤0，即m的取值范圍（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng)? 本題考查含參指對混合不等式恒成立，變量分離后，利用導(dǎo)數(shù)求最值中用到了隱零點(diǎn)，但求最小值并不一帆風(fēng)順，還得借助同構(gòu)化簡隱零點(diǎn)方程．

另解? ∵xex=ex+lnx≥x+lnx+1（依據(jù)ex≥x+1（當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）），

∴g（x）=≥=1（當(dāng)x+lnx=0時(shí)取等號(hào)）．

∴m+1≤1．

∴m≤0．

3? 結(jié)語

構(gòu)建同構(gòu)函數(shù)是一種重要的思想方法，需要仔細(xì)觀察其外形結(jié)構(gòu)，深入剖析其本質(zhì)屬性，往往要先變形，甚至多次變形，才能顯現(xiàn)相同結(jié)構(gòu)．這有利于培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察能力、豐富的想象能力、靈活的構(gòu)造能力和高超的創(chuàng)造能力，也考查了核心素養(yǎng)．借助同構(gòu)把原來復(fù)雜的指對方程或不等式化為簡單的可繼續(xù)變量分離的方程或不等式，化繁為簡和化歸體現(xiàn)的淋漓盡致．