鄭 莉

(福建省永泰縣第二中學,福建 福州 350703)

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》指出:核心素養(yǎng)是在數(shù)學學習過程中逐漸形成和發(fā)展的,發(fā)展學生核心素養(yǎng)的有效載體是“四基”和“四能”[1].因此,在教學活動中,教師既要注重學生基本知識與基本技能的落實,還要注重學生數(shù)學活動經(jīng)驗的積累,特別是數(shù)學思想方法的滲透,讓學生感悟數(shù)學基本思想,并內(nèi)化為心理特征.文章以“角平分線的定義及應用”的教學設計為例,闡述教師引導學生類比“線段的中點”的探究方法去探究“角平分線”.圍繞著問題串,展開一系列的思維活動,有意識地挖掘其中所蘊含的數(shù)學思想,體會教學中的類比遷移、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法,提升數(shù)學核心素養(yǎng).

1 教學內(nèi)容分析

義務教育新課程標準指出,教學內(nèi)容是落實教學目標,發(fā)展學生核心素養(yǎng)的載體.這節(jié)課內(nèi)容為《義務教育教科書·數(shù)學》(人教版)七年級上冊第四章第四節(jié)《角的比較與運算》(第2課時),主要內(nèi)容為角平分線的定義及其應用,是在學生學習角的和差基礎上,將問題特殊化,引入角平分線.角的平分線與線段的中點是類比性知識,都是從數(shù)和形兩個方面進行研究;都采用圖形語言、文字語言、符號語言來進行描述;都從具體到抽象(模型→圖形→文字→符號),或反向進行訓練.教學中,引導學生類比“線段的中點”進行學習,通過問題串展開探究活動,在獲得活動經(jīng)驗的同時,體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法,為后續(xù)圖形與幾何的學習提供必備的知識經(jīng)驗與思想方法.

2 學情分析

學生在小學階段已經(jīng)學過本章節(jié)的相關內(nèi)容,對于線段、角等圖形的基本特征已有一些感性的了解,但僅僅局限于形的認識,還沒上升到用數(shù)來描述圖形.一開始,學生對這章的學習信心滿滿,因為內(nèi)容熟悉,但很快感到一片茫然,面對問題,知道結(jié)論,卻不懂如何表達,真是一籌莫展.究其原因,主要是學生的抽象思維能力較差,無法理解圖形語言、文字語言、符號語言之間的可轉(zhuǎn)化關系,更不要說在應用中滲透類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法,并且達到融會貫通.為此,教師要善于引導學生積極主動地參與數(shù)學活動,不斷感悟數(shù)學基本思想,積累數(shù)學思維經(jīng)驗,發(fā)展、提高數(shù)學核心素養(yǎng).

3 教學目標分析

(1)理解角平分線的意義及數(shù)量關系.能結(jié)合角平分線的直觀圖形,用文字語言和符號語言描述其數(shù)量關系.反過來,也能根據(jù)文字語言和符號語言的表述,畫出直觀圖形來.體會轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)學生反向思維能力,提升抽象能力等核心素養(yǎng).

(2)類比線段中點的研究,將其方法遷移到到角平分線的探究中,應用角平分線的定義及其數(shù)量關系解決問題,體會類比與數(shù)形結(jié)合思想,發(fā)展學生應用意識及運算能力等核心素養(yǎng).

(3)在變式訓練中,體會分類討論思想方法,發(fā)展學生的推理能力等核心素養(yǎng).

4 教學支持條件分析

利用黑板板書知識框架,強調(diào)格式規(guī)范書寫;通過希沃白板展示課件內(nèi)容;利用幾何畫板展示圖形變換,從靜態(tài)到動態(tài),讓學生從觀察、操作、想象、交流中認識圖形.

基于上述的分析確定這節(jié)課的重難點:

教學重點:掌握角平分線的定義及其數(shù)量關系,感受類比的思想.

教學難點:能應用角平分線的定義及其數(shù)量關系靈活解決問題,體會數(shù)形結(jié)合思想.

5 教學過程

5.1 回顧舊知,初步滲透數(shù)學思想方法,提升數(shù)學核心素養(yǎng)

問題1 如圖1,已知點C為線段AB上的任意一點,則圖中線段AC、BC、AB存在怎樣的數(shù)量關系?如果點C為線段AB的中點,則它們之間又有怎樣的數(shù)量關系?

圖1 線段AB

變式已知AB=100,

(1)點C為線段AB上的一點,D、E分別是AC和BC的中點,求DE的長度.

(2)將(1)中的“線段AB”改為“直線AB”,結(jié)論還成立嗎?

師生活動學生思考、回憶解決問題的方法,教師利用幾何畫板演示圖形動態(tài)變化(點C相對線段AB的不同位置),學生代表回答解題思路,師生一起點評.

[設計意圖]上述問題的提出,讓學生在回顧線段中點定義及應用的同時,掌握根據(jù)已有的圖形或畫符合條件的圖形來求線段之間的數(shù)量關系的方法,初步體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法在幾何綜合應用中的重要性,為后面角的學習提供類似的學習方法做更進一步的鋪墊,提升了幾何直觀、運算能力等核心素養(yǎng).

5.2 探究新知,逐步滲透數(shù)學思想方法,提升數(shù)學核心素養(yǎng)

問題2 類比線段之間的數(shù)量關系,說說角之間有哪些數(shù)量關系?請在練習本上畫圖:

①畫有公共端點的三條射線OA、OB、OC.

②表示出圖中的所有數(shù)量角.

③說出這些角存在的關系.

師生活動學生動手畫圖,教師走到學生當中去,關注學生的解答情況,并展示有代表性的答案.教師利用幾何畫板演示射線OC相對于∠AOB的位置的動態(tài)變化圖(繞點O順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)),引導學生觀察并歸納射線OC在∠AOB的內(nèi)部或外部.

追問1 類比線段的中點,射線OC有沒有一種特殊的位置,使得∠AOC和∠BOC相等?若有,請畫出圖形.并給這種特殊位置的射線OC取一個名字.

師生活動學生畫出圖形,如圖2,并口頭作答(角中點、角中線等),教師給出規(guī)范的名稱(角的平分線).

圖2 射線OC相對于∠AOB的位置動態(tài)變化圖

[設計意圖]類比線段的中點的探究方法,從畫射線OC開始,OC相對于∠AOB的位置從一般到特殊,引入角平分線,過渡自然,讓學生再次體會數(shù)形結(jié)合與類比等思想,同時加深理解知識之間的緊密聯(lián)系,完善認知結(jié)構(gòu).

追問2 類比線段的中點的表示方法,你能用符號及文字表示圖2中∠AOC、∠BOC、∠AOB之間的關系嗎?

追問3 請回顧一下我們是如何學習角平分線?反過來,由角平分線可以得出哪些結(jié)論(結(jié)合圖2)?

師生活動教師引導學生類比線段中點的學習方法,從相等、二倍、一半關系來理解角平分線的概念;學生小組交流,由代表發(fā)言,教師及時糾正學生的錯誤描述,并規(guī)范板書推理過程.

[設計意圖]通過類比,讓新知自然生成,讓學生在討論、探究與解決問題中,逐步感悟類比思想,有效地提升學生幾何直觀、抽象能力等核心素養(yǎng).

5.3 運用新知,持續(xù)滲透數(shù)學思想方法,提升數(shù)學核心素養(yǎng)

例1 如圖2,OC是∠AOB的平分線,若∠BOC=29.5°,則∠AOC=____, ∠AOB=____.

變式1 如圖2,OC平分∠AOB,∠AOB=59°,求∠AOC.

變式2 判斷“如果∠AOB=2∠BOC,那么OC平分∠AOB.”這句話對嗎?為什么?

師生活動例1由學生口頭回答,教師給出評價;變式1由師生共同解答;變式2由學生討論解決,教師加以引導.

[設計意圖]設計例1的目的是為了考查學生是否理解角平分線的幾何意義,能否正確選擇對應的數(shù)量關系解題,從而正確地完成文字語言、圖形語言、符號語言三者的相互轉(zhuǎn)化.其中變式2中射線OC相對于∠AOB的位置不明確,引導學生類比問題2,畫出圖形(OC在∠AOB的內(nèi)部與外部兩種),直觀形象,學生能正確做出判斷,同時發(fā)現(xiàn)角平分線的性質(zhì)反過來說不一定成立,為后續(xù)的互逆命題的學習積累經(jīng)驗,培養(yǎng)學生的逆向思維,讓學生進一步體會數(shù)形結(jié)合、類比遷移等思想,提升學生幾何直觀、抽象能力和推理能力等核心素養(yǎng).

5.4 課堂小結(jié),深入滲透數(shù)學思想方法,提升數(shù)學核心素養(yǎng)

問題6 這節(jié)課我們學習哪些知識內(nèi)容?

追問回顧這節(jié)課的學習過程,我們從線段中點的問題入手,引入角平分線,從三種語言的相互轉(zhuǎn)化中,形成并利用角平分線的定義解決問題,從中你體會最深的是什么?

[設計意圖]設置開放性問題,學生能暢所欲言.教師引導學生歸納、總結(jié),從中提煉數(shù)學思想與研究方法,深入體會到類比遷移、分類討論及數(shù)形結(jié)合等思想方法在本節(jié)中的運用,為后續(xù)的學習提供類似的學習經(jīng)驗.

6 教學反思

核心素養(yǎng)具有可教、可學的知識層面,也蘊含可感、可知的思想層面.因此進行教學設計時,教師必須考慮在哪些環(huán)節(jié),采用何種方法將相關的思想滲透進去,讓學生更好地掌握知識、解答問題,提升數(shù)學核心素養(yǎng).基于這點,設計這節(jié)課時,無論是回顧知識,還是探究新知,或是新知的應用等環(huán)節(jié)中,應無時無刻地進行數(shù)學思想方法的滲透.讓學生在循序漸進的教學中,反復不斷地感悟類比遷移、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想,提升解決問題的能力.

總之,數(shù)學核心素養(yǎng)的提升始終伴隨在教與學中,在知識和技能的掌握中,在數(shù)學思想的形成中,在問題的發(fā)現(xiàn)和提出、分析與解決中,而其中的思想看不見,摸不著,經(jīng)常被忽略.所以在課堂教學中,教師應注重引導學生在活動中體會數(shù)學思想,最終內(nèi)化為自身的能力.