范玉蕊， 王惠文

（云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500）

在處理模糊不確定性的問題時，模糊集理論顯示出其優(yōu)越性和有效性。在日常的經(jīng)濟生產(chǎn)活動中，遇到?jīng)Q策者在幾個數(shù)值間徘徊的情況時，直覺模糊集不能夠進行精確描述。為了解決這個問題，Torra[1]將猶豫這一概念融入到模糊集理論中，并給出猶豫模糊集的概念，用于反映出決策者的猶豫情況。之后，Chen等[2]又提出了區(qū)間值猶豫模糊集，用區(qū)間數(shù)來表示隸屬度情況。在此基礎(chǔ)上，文獻[3-4]研究了其相關(guān)性質(zhì)和基本運算。

相關(guān)系數(shù)一直是模糊理論中的重要研究對象，在聚類分析中有著廣泛的應(yīng)用。2013年，Chen等[2]定義了猶豫模糊集的相關(guān)性度量，并討論了相關(guān)性質(zhì)，但是默認猶豫模糊元具有相同的長度，其值按遞增順序排列；次年將相應(yīng)公式推廣到區(qū)間值猶豫模糊集上。2015年，Liao等[5]提出猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)也應(yīng)具有一定的猶豫性，在一定的區(qū)間內(nèi)并非是一個準確的數(shù)。2018年，Guan等[6]提出綜合相關(guān)系數(shù)，從均值、方差、長度3個角度綜合考量，克服了之前要求對應(yīng)猶豫模糊元具有相同長度的局限性，但是覆蓋了一定的內(nèi)部信息。2019年，Yang等[7]提出的相關(guān)系數(shù)公式同樣不要求對應(yīng)猶豫模糊元長度相等，但是存在的特殊情況（分母為0）沒有被考慮在內(nèi)。另外，文獻[8-12]細節(jié)性地闡述了相關(guān)系數(shù)在聚類分析中的應(yīng)用，文獻[13-14]展示了2種其他類型的相關(guān)系數(shù)。本文繼承了Yang等人的思想，并對其進行補充，提出帶有猶豫度的猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)計算公式，并推廣到區(qū)間值猶豫模糊集上，最后證明其良好性質(zhì)，并應(yīng)用于數(shù)值算例說明其合理性和有效性。

1 基本概念

2 改進的猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)及算例分析

2.1 改進的猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)

定義7 考慮到各屬性權(quán)重不同以及決策者對猶豫模糊集隸屬度差異部分和猶豫度差異部分的偏好程度不同，定義相關(guān)系數(shù)公式為

其中，

α,β≥0且α+β= 1。ρWHFSX1(A,B)和ρWHFSX2(A,B)分別代表猶豫模糊集隸屬度部分的相關(guān)性和猶豫度部分的相關(guān)性。

為保證其普適性，需要考慮分母為0的特殊情況，即2個猶豫模糊集中各個屬性對應(yīng)元中的隸屬度值的個數(shù)都為1或其中一個為1的兩種特殊情況。當(dāng)屬性相對應(yīng)的兩個猶豫模糊元中數(shù)值個數(shù)都為1時，則規(guī)定在猶豫度部分其相關(guān)性為1；當(dāng)各個屬性對應(yīng)元hA(xi)中的數(shù)值個數(shù)都為1，在hB(xi)中其數(shù)值個數(shù)不都為1時，其猶豫度部分的相關(guān)系數(shù)定義如下：

當(dāng)各個屬性對應(yīng)元hB(xi)中的數(shù)值個數(shù)都為1，在hA(xi)中其數(shù)值個數(shù)不都為1時，其猶豫度部分的相關(guān)系數(shù)定義如下：

其中l(wèi)Ai代表hA(xi)中數(shù)值的個數(shù)，lBi代表hB(xi)中數(shù)值的個數(shù)。

定理1[2]設(shè)A、B、C是非空集合X={x1,x2,…,xn}上的3 個猶豫模糊集，ρ(A,B)為A和B之間的相關(guān)系數(shù)，則ρ(A,B)滿足以下3個性質(zhì)：1）0 ≤ρ(A,B) ≤1；2）ρ(A,B) =ρ(B,A)；3）ρ(A,B) = 1, 如果A=B。

證明 改進的猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)計算公式顯然滿足定理1 中性質(zhì)的后兩條，根據(jù)柯西-施瓦茨不等式，性質(zhì)（1）證明如下：

由于給予兩個部分偏好程度之和為1，所以綜合可得

2.2 數(shù)值算例

應(yīng)用文獻[2]中的數(shù)值算例，為了更好地評估不同類型的軟件Ai(i= 1, 2,…, 7)，根據(jù)功能性(x1)、可用性(x2)、可移植性(x3)、成熟度(x4)這4 個屬性對軟件進行聚類。分別對4 個屬性賦予不同的權(quán)重ω={0.35,0.3,0.15,0.2}T，考慮到不同的評價專家具有不同的水平、背景、經(jīng)驗，會導(dǎo)致評估信息具有差異，為了準確反映專家意見，其評估信息用猶豫模糊集的形式表示在表1中。針對不同的偏好情況，將改進的新型相關(guān)系數(shù)計算公式（1）應(yīng)用于HFSC算法[2]，得到的聚類結(jié)果如表2所示。

表1 文獻[2]算例的決策矩陣Table 1 The decision matrix of the example in reference [2]

表2 文獻[2]算例的各偏好對應(yīng)聚類情況Table 2 The clustering of each preference of the example in reference [2]

通過對比可以發(fā)現(xiàn)，在使用本文改進的相關(guān)系數(shù)公式進行聚類時，當(dāng)賦予猶豫模糊集隸屬度差異部分和猶豫度差異部分的權(quán)重比大于等于1時，聚類效果與文獻[2]的聚類效果相近，當(dāng)賦予兩部分的權(quán)重比小于1時，聚類效果差異較大。造成差異的原因一方面在于計算相關(guān)系數(shù)時，文獻[2]中的相關(guān)系數(shù)公式需要人為主觀填充數(shù)據(jù)，而改進的相關(guān)系數(shù)公式則避免了這一過程，保證了數(shù)據(jù)的真實準確性；另一方面，文獻[2]中的相關(guān)系數(shù)只考慮一個影響相關(guān)系數(shù)的特征，如果只強調(diào)猶豫模糊元中數(shù)據(jù)的個體影響，其在一定程度上是正確的，當(dāng)既考慮數(shù)據(jù)個體影響又考慮總體影響時，本文的聚類方法已涵蓋了文獻[2]中的情況，因此本文所提出的相關(guān)系數(shù)公式更為全面。

3 改進的區(qū)間值猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)及算例分析

3.1 改進的區(qū)間值猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)

定義8 將改進的猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)的計算公式推廣到區(qū)間值猶豫模糊集上，定義區(qū)間值猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)計算公式為

其中，

α,β≥0且α+β= 1。ρWIVHFSX1(A,B)和ρWIVHFSX2(A,B)分別代表區(qū)間值猶豫模糊集隸屬度部分的相關(guān)性。

對于區(qū)間部分的減法，采用左右端點部分等偏好的方法，具體形式如下：

根據(jù)改進相關(guān)系數(shù)公式的定義，為了保證其普適性，需要考慮分母為0的特殊情況.即2個區(qū)間值猶豫模糊集中各屬性對應(yīng)元中的區(qū)間個數(shù)都為1或其中一個為1這兩種情況。當(dāng)屬性對應(yīng)的區(qū)間值猶豫模糊元中區(qū)間個數(shù)都為1時，則規(guī)定在猶豫度部分其相關(guān)性為1；當(dāng)各個屬性對應(yīng)元中的區(qū)間個數(shù)都為1，在中其數(shù)值個數(shù)不都為1時，其猶豫度部分的相關(guān)系數(shù)定義如下：

其中l(wèi)Ai代表中區(qū)間的個數(shù)，lBi代表中區(qū)間的個數(shù)。

證明 改進的區(qū)間值猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)計算公式顯然滿足定理1中性質(zhì)的后兩條，性質(zhì)（1）證明如下：根據(jù)柯西施瓦茨不等式可以得到：

對0 ≤ρWIVHFSX2(A,B) ≤1的證明與對0 ≤ρWHFSX2(A,B) ≤1的證明類似，綜合可得0 ≤ρWIVHFSX(A,B) ≤1。

3.2 數(shù)值算例

一個汽車市場想要將6 輛不同的汽車Ai(i= 1, 2,…, 6)進行分類, 以下面4 個屬性為衡量指標：安全性(x1)、燃油經(jīng)濟性（x2）、設(shè)計（x3）、價格（x4），分別對4 個屬性賦予不同的權(quán)重，權(quán)重向量為ω={0.35,0.2,0.2,0.25}T，每輛車的評估數(shù)據(jù)用區(qū)間數(shù)的形式表達，如表3所示，表中數(shù)據(jù)代表專家對各個備選方案中各屬性的滿意程度，因此記為[0，1]內(nèi)的區(qū)間值數(shù)字。

表3 本文算例的決策矩陣Table 3 The decision matrix of the example in this paper

針對不同的偏好情況，將改進的新型相關(guān)系數(shù)計算公式（2）應(yīng)用于HFSC算法[2]，得到的聚類結(jié)果如表4所示。

表4 本文算例的各偏好對應(yīng)聚類情況Table 4 The clustering of each preference of the example in this paper

將得到的猶豫模糊集之間的相關(guān)系數(shù)計算公式推廣到區(qū)間上，通過數(shù)值計算可以得到，在區(qū)間值猶豫模糊集中當(dāng)賦予ρWIVHFSX1和ρWIVHFSX22個部分不同的偏好時得到的聚類情況也有所不同。對比已有研究中只考慮了對應(yīng)區(qū)間值猶豫模糊元之間的隸屬度值對總體相關(guān)性帶來的影響，本文還將對應(yīng)區(qū)間值猶豫模糊元的內(nèi)部差異作為衡量相關(guān)性的指標，考慮了2個影響相關(guān)系數(shù)的特征，比傳統(tǒng)相關(guān)系數(shù)只考慮單一特征更為全面。

4 結(jié)論

改進的相關(guān)系數(shù)計算公式彌補了現(xiàn)有公式中需要進行主觀填充的不足，另外，將猶豫度作為衡量相關(guān)性的另一指標加入公式中，把內(nèi)部偏差考慮在內(nèi)，用于衡量內(nèi)部總體差異。無論是猶豫模糊集還是區(qū)間值猶豫模糊集，通過數(shù)值計算可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)賦予隸屬度差異部分和猶豫度差異部分不同的權(quán)重偏好時得到的聚類結(jié)果不同。本文的聚類方法已涵蓋了只考慮單一特征的情況，另外，通過理論證明了新公式的科學(xué)性，因此本文改進的相關(guān)系數(shù)公式是合理有效的。