任朝輝，張 博

（楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西咸陽）

概述

生物組織的電特性即生物領(lǐng)域中的“靜鉀動鈉”概念，簡單來講，生物體內(nèi)的組織、細(xì)胞在進(jìn)行正常生理活動時，由大腦下達(dá)行動“指令”，這一指令表現(xiàn)在生物體內(nèi)，就是一系列的電信號[4]。細(xì)胞在靜態(tài)電位時，主要由體內(nèi)的鉀離子控制，而在動作電位時，主要由體內(nèi)的鈉離子控制，陽離子的內(nèi)流或者外流導(dǎo)致了細(xì)胞膜兩側(cè)存在電位差，這一差值就產(chǎn)生了生物組織的電特性。

眾所周知，細(xì)胞是構(gòu)成生物的最小單位。在不同的生理及病理狀況下，生物細(xì)胞具有不同的電特性，細(xì)胞膜、細(xì)胞內(nèi)液、細(xì)胞外液構(gòu)成單個細(xì)胞的等效電路模型[5]?；诖?，生物阻抗測量得以實(shí)現(xiàn)。在低頻電流下，激勵無法穿過細(xì)胞膜，生物細(xì)胞呈介電特性；在高頻電流下，激勵穿過細(xì)胞膜，生物細(xì)胞呈導(dǎo)電特性[6]。研究生物細(xì)胞的電特性，特別是其隨頻率的變化特征，將有助于準(zhǔn)確辨識生物組織的功能狀態(tài)。

利用Cole-Cole 生物電阻抗特征方程可以有效的對生物阻抗參數(shù)提取和分析。查閱文獻(xiàn)之后發(fā)現(xiàn)，生物阻抗參數(shù)提取多采用Cole-Cole 擬合的方式。

盡管復(fù)阻抗- 頻率函數(shù)呈現(xiàn)出顯著的非線性特性，傳統(tǒng)的方法如梯度下降法卻無法達(dá)到預(yù)期的擬合精度。非線性最小二乘法在執(zhí)行擬合任務(wù)時，常常遇到無法收斂或僅能找到局部解的問題，這種現(xiàn)象通常是由于初始值的選擇不當(dāng)所導(dǎo)致的。此外，該方法對于等效電路擬合的適應(yīng)性也存在一定問題。相比之下，遺傳算法憑借其隨機(jī)搜索能力，能夠擺脫初始值的影響，因此在初始值估計(jì)方面表現(xiàn)得更為優(yōu)越。本文計(jì)劃采用遺傳算法(GA)與非線性最小二乘法(NLS)相結(jié)合的方式(NLS-GA)進(jìn)行等效電路擬合。通過非線性最小二乘程序進(jìn)行迭代求解再加上遺傳算法提供的參數(shù)初始值，收斂結(jié)果為最終的電路擬合參數(shù)。

1 生物阻抗譜檢測方法

單個細(xì)胞在通入低頻交流電時，低頻電流被細(xì)胞膜阻斷而無法通過，此時細(xì)胞膜處于高阻態(tài)。當(dāng)不斷增加激勵電流的大小時，高阻態(tài)逐漸消失，此時電流可以輕松穿過[2]。圖1 所示為生物細(xì)胞的三元件等效電路模型。由于細(xì)胞膜存在介電特性，所以加入一個與細(xì)胞膜并聯(lián)的等效電容Cm來模擬真實(shí)的細(xì)胞狀態(tài)，當(dāng)電流達(dá)到一定頻率時，就可以輕松穿過細(xì)胞膜，Re在這里用來模擬近似細(xì)胞外的電阻值，Ri在這里用來模擬近似細(xì)胞內(nèi)的電阻值[3]。

圖1 理想狀態(tài)下的生物細(xì)胞三元件等效模型

通常情況下，當(dāng)電極接觸到細(xì)胞懸浮液時，會產(chǎn)生一個具有相同電量且符號相反的過剩電荷，這種現(xiàn)象被稱為雙電層（Electrical Double Layer，EDL）。為了模擬實(shí)際生物測量的環(huán)境，我們需要引入等效電阻和等效電容來構(gòu)建等效電路模型，修正后的檢測等效電路如圖2 所示。

圖2 細(xì)胞等效電路模型

在對等效電路進(jìn)行擬合時，主要涉及到5 個待估參數(shù)作為遺傳算法的決策分量，分別是：Cdl：雙電層電容；Rdl：雙電層電阻；CM：細(xì)胞膜電容；Rcyto：細(xì)胞質(zhì)電阻；RS：細(xì)胞外液電阻，圖中ZD表示細(xì)胞檢測阻抗。

生物組織的復(fù)阻抗特性與頻率之間的關(guān)系通過Cole-Cole 圖表得以呈現(xiàn)。對于精確地識別和分析生物組織的電學(xué)屬性，一種常見的策略是利用Cole-Cole擬合技術(shù)對阻抗譜進(jìn)行分析，從而揭示出生物組織內(nèi)電阻原件和電容原件的組成元素如何隨著頻率的變化而調(diào)整其行為模式。等效電路的Cole-Cole 模型為第四象限內(nèi)的一段圓弧，圓心在第一象限。如圖3 所示。

圖3 Cole-Cole 等效模型

構(gòu)建生物阻抗特征方程為我們提供了一個有力的理論框架，用于獲取并解析生物阻抗參數(shù)，科爾擬合法多用于生物阻抗參數(shù)的提取。科爾原理作為生物阻抗譜測量的基礎(chǔ)，其建立起來的特征方程，為生物組織的特征參數(shù)提取提供了良好助力。由于生物組織存在介電特性，此時若對生物組織外加激勵電流，那么節(jié)點(diǎn)參數(shù)會隨著激勵頻率的改變而發(fā)生改變，即Schwan[1]提出的生物組織測量過程中存在三種頻率散射現(xiàn)象，如圖4 所示。

圖4 生物組織頻率特性曲線

2 基于遺傳算法的初始值估計(jì)

利用等效電路模型，我們能夠構(gòu)建一個包含所有元件參數(shù)作為求解變量的復(fù)阻抗- 頻率響應(yīng)函數(shù)模型。然而，這個模型呈現(xiàn)出顯著的非線性特性，因此需要運(yùn)用非線性最小二乘法來處理這些復(fù)雜的曲線。此外，我們還借助了遺傳算法(GA)來估算初始值，從而進(jìn)一步降低擬合誤差。

2.1 遺傳算法

阻抗參數(shù)出發(fā)點(diǎn)是從滿足約束條件的可行解中優(yōu)選出使得最符合目標(biāo)函數(shù)要求的解，在此處即最小的解。除此之外，遺傳算法對全局變量進(jìn)行最優(yōu)檢索的方式在最優(yōu)解擬合方面具有更大的優(yōu)勢，具體描述為求解目標(biāo)函數(shù)極值(最小值)的數(shù)學(xué)模型：

式中：向量X=[x1,x2,...,xn]T為所要求解的擬合參數(shù)；（fx）為目標(biāo)函數(shù)；U 為可行解空間。

2.2 適應(yīng)度函數(shù)模型建立

在得到生物組織等效電路之后，可以根據(jù)復(fù)阻抗- 頻率數(shù)學(xué)模型建立相應(yīng)的遺傳算法目標(biāo)函數(shù)模型和適應(yīng)度評價指標(biāo)，在對等效電路進(jìn)行擬合求解時，建立如下標(biāo)函數(shù)模型：

式中：z'和z"分別為通過測量得到的阻抗譜數(shù)據(jù)的實(shí)部和虛部標(biāo)準(zhǔn)值；z'和z"分別為通過遺傳算法擬合得到的實(shí)部和虛部擬合值。

尋找等效電路擬合的最優(yōu)參數(shù)估計(jì)x 的過程，實(shí)際上是通過計(jì)算一系列目標(biāo)函數(shù)來達(dá)到這一目的。根據(jù)公式(2)，我們知道目標(biāo)函數(shù)的值必須大于零，而且個體目標(biāo)函數(shù)值越小，其對應(yīng)的參數(shù)估計(jì)值x 就越精確，這意味著這個參數(shù)的適應(yīng)程度更高。因此，我們可以將適應(yīng)度函數(shù)模型定義為：

Q 的值越大，F(xiàn)(x)的個體適應(yīng)程度越小;Q 的值越小，F(xiàn)(x)的個體適應(yīng)程度越大。

在建立了相應(yīng)的適應(yīng)度評價指標(biāo)后，在每次演化計(jì)算之前，對每個個體適應(yīng)度進(jìn)行計(jì)算，然后通過選擇算子對個體進(jìn)行優(yōu)選。

3 非線性最小二乘擬合

最小二乘擬合的基本原理就是使得實(shí)驗(yàn)測量值和預(yù)測值之間的誤差平方和最小，從而找到最佳函數(shù)匹配模型。非線性最小二乘問題可以定義為：

式中：x=[x1,x2,...,xn]T為需要求解的擬合參數(shù)；函數(shù)F（x）為需要求解的代價函數(shù)；F(x*)為函數(shù)預(yù)測值；a為實(shí)驗(yàn)測量值；e（x）為二者之差；x*為代價函數(shù)的全局最優(yōu)點(diǎn)。若x*為局部最優(yōu)點(diǎn)，則在x*的搜索區(qū)域δ處，滿足如下條件：

3.1 目標(biāo)函數(shù)模型建立

在生物阻抗譜研究領(lǐng)域，一旦構(gòu)建了等效電路模型，我們就可以通過角頻率和m 個電路元件的特性x1，x2，…，xm來描述阻抗z。具體來說，阻抗z 可以被表示為z（ω，x）的形式。為了實(shí)現(xiàn)生物等效電路的最小二乘擬合，我們的目標(biāo)是找到m 個參數(shù)的最佳估計(jì)值，從而使得目標(biāo)函數(shù)F 達(dá)到最小值，最終可建立如下目標(biāo)函數(shù)模型：

3.2 高斯- 牛頓求解

對式（7）進(jìn)行高斯- 牛頓求解。在對生物電阻抗譜數(shù)據(jù)擬合過程中，由于參數(shù)初始值x0l已由遺傳算法給出，與預(yù)測真值之間較為接近，所以在進(jìn)行高斯-牛頓求解時常把非線性誤差函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)。令該擬合參數(shù)初始值x0l和預(yù)測真值xl的差值Δl=xl-x0l，最終通過不停迭代計(jì)算尋找函數(shù)的局部最小值，所以誤差函數(shù)fRe和fIm（x）可以近似為：

雅可比矩陣JRe（x）和JIm（x）為函數(shù)fRe和fIm（x）的一階導(dǎo)數(shù)，對Δl 進(jìn)行求解，使得目標(biāo)函數(shù)變?yōu)槭剑?0）：

為了求解目標(biāo)函數(shù)極值，對F（x+Δx）進(jìn)行求導(dǎo)，并使得F'（x+Δx）=0，可求得：

因此，對于生物阻抗譜系統(tǒng)而言，在建立了生物組織對應(yīng)的等效電路函數(shù)模型之后，對函數(shù)模型進(jìn)行高斯- 牛頓求解并設(shè)定擬合參數(shù)的初始值，就可以通過方程（11）計(jì)算出目標(biāo)函數(shù)初始估計(jì)值和最優(yōu)估計(jì)之差Δl。將求解結(jié)果代入下式，即可求得估算值：

在混合算法的設(shè)計(jì)中，遺傳算法已經(jīng)提供了足夠優(yōu)良的初始參數(shù)估計(jì)，且滿足一定的收斂條件。迭代收斂條件定義為：

當(dāng)最終結(jié)果滿足最終收斂條件，當(dāng)前計(jì)算所得的估計(jì)值近似等于真實(shí)值。

4 擬合實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了比較非線性最小二乘法(NLS)、遺傳算法(GA)以及它們的結(jié)合體——混合算法(GA-NLS)在數(shù)據(jù)擬合方面的表現(xiàn)，我們選擇了一個特定的細(xì)胞等效電路模型作為測試對象。首先，我們構(gòu)建了一個待測電路，該電路由預(yù)先確定的標(biāo)準(zhǔn)電阻和電容組成。然后，利用阻抗分析儀獲取了阻抗譜的數(shù)據(jù)，并通過計(jì)算平均值來減小隨機(jī)誤差的影響。接下來，我們使用這三種算法對阻抗數(shù)據(jù)進(jìn)行了多次處理，目的是讓擬合結(jié)果具備統(tǒng)計(jì)學(xué)的有效性。

最后，我們分別使用這三類算法對細(xì)胞等效電路的阻抗譜數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，并且希望找到一個能夠盡可能地使擬合數(shù)據(jù)與測量數(shù)據(jù)相匹配的擬合算法。因此，我們主要依賴于殘差平方和來評估擬合算法的精確度。擬合情況對比如圖5 所示。

圖5 不同算法擬合效果

不同算法標(biāo)擬合結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表1 所示。

表1 不同算法擬合結(jié)果對比

從圖5 可以看出，在單獨(dú)使用NLS 擬合時，由于參數(shù)初始值具有隨機(jī)性，存在較大的擬合誤差。在單獨(dú)使用GA 擬合的情況下，雖然最終的擬合結(jié)果相比于NLS 精度要高很多，但最終的擬合精度仍然要比經(jīng)過進(jìn)一步NLS 迭代的要小。且從表1 可以看出，NLS-GA 數(shù)據(jù)變化總量SS 最小，Significance F 的值也最小，這表明NLS-GA 的值更有意義，更貼近實(shí)際測量值。

5 結(jié)論

本文在生物組織等效模型的基礎(chǔ)上，提出了一種阻抗譜參數(shù)提取方法，采用遺傳算法（GA）提供參數(shù)初始值，結(jié)合非線性最小二乘法（NLS）迭代的混合方式（GA-NLS）進(jìn)行阻抗譜參數(shù)提取。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，NLS-GA 在等效電路擬合方面更加接近實(shí)際測量值，其所得數(shù)據(jù)更具有意義。