孫 奇, 吳金波, 江曉禹

(西南交通大學 力學與航空航天學院, 成都 610031)

0 引 言

隨著現(xiàn)代工業(yè)的迅速發(fā)展,各種實際的工程問題離不開斷裂理論的指導,以往研究中,多認為裂紋沿著其延長線進行擴展,卻忽略了對裂紋二次斷裂現(xiàn)象的研究．二次斷裂現(xiàn)象是指裂紋沿直線擴展之后出現(xiàn)方向改變的現(xiàn)象,裂紋分岔就是一種重要的二次斷裂現(xiàn)象．分岔裂紋常見于脆性材料、塑性較小的材料以及金屬應力腐蝕問題中．通過對分岔裂紋的研究,可以初步預測裂紋是否會分岔、計算分支應力強度因子等,因其具有重要的工程意義,故長期受到斷裂力學領(lǐng)域的關(guān)注．

從20世紀開始,國內(nèi)外學者均對分岔裂紋做了大量工作,其中:Theocaris等[1]運用復勢法研究了無限各向同性彈性板上對稱分岔裂紋的平面問題,給出了分岔裂紋尖端的應力強度因子．Lam等[2]利用分布位錯技術(shù)解決了圓形夾雜物與嵌入無限彈性介質(zhì)中對稱分岔裂紋之間的相互作用的問題,討論了不同模量的夾雜對分岔裂紋擴展的影響．Yan[3]利用分布位錯技術(shù)計算了無限大板中多條分岔裂紋相互作用的問題,給出了裂紋尖端附近的應力場．Yavuz等[4]把裂紋尖端位移不連續(xù)單元與恒位移不連續(xù)單元結(jié)合起來,為分岔裂紋的應力強度因子計算提供了一種更為精確的方法．Dahlan等[5]利用有限元方法研究了單軸牽引作用下二維板上的靜態(tài)對稱分支和非對稱分岔裂紋．魏華建等[6]利用擴展有限元方法(XFEM)對分岔裂紋的非尖端破壞進行了討論．Kornev等[7]采用有限元法求解雙對稱分岔裂紋,并使用Neuber Novozhilov型斷裂準則和充分斷裂準則計算得到了臨界斷裂參數(shù)．Chen等[8]在擴展有限元法的框架下,提出了一種研究復雜分岔裂紋擴展的增強擴展有限元方法．張端等[9]利用3D打印技術(shù)制作了不同形態(tài)的分岔裂紋,并研究了其在不同起裂荷載下的力學行為．

上述文獻中的主要研究方法包括數(shù)值法、有限元方法、實驗法、解析法,但其大多數(shù)研究的僅僅是在簡單荷載下的分岔裂紋,且將裂紋所在平面簡化為無窮大的情況,對于復雜荷載下的研究以及自由邊界對分岔裂紋產(chǎn)生影響的研究仍有所不足．本文利用分布位錯技術(shù)研究了半無限大平面內(nèi)次表面分岔裂紋在復雜荷載下的力學行為．本文的主要研究內(nèi)容為:根據(jù)等效應力強度因子判據(jù),初步解釋了裂紋產(chǎn)生分岔的原因;計算了分岔裂紋在不同埋深、荷載比值、分支長度比值、分岔角度下分支的應力強度因子;最后,還研究了多分支分岔裂紋的情況,其結(jié)果與有限元對照良好．此外,分布位錯技術(shù)相較于有限元,略去了每次模型改變后繁瑣的網(wǎng)格劃分工作,只需要改變裂紋的位置參數(shù)便可進行計算,是一種便捷的研究分岔裂紋的數(shù)值方法．

1 原 理

1.1 問題描述

本文欲用理論方法(分布位錯技術(shù))研究分岔裂紋,重點是求解分支尖端的應力強度因子,由此討論不同工況下分岔裂紋的力學行為．在圖1中考慮將分岔裂紋建模為三條相交的直裂紋,分別表示為裂紋1(即主裂紋AD)、2(即DB裂紋分支)、3(即DE裂紋分支)．a(chǎn),b,c分別表示主裂紋1、分支裂紋2、分支裂紋3的裂紋半長;d表示主裂紋中心到自由邊界的距離;θB,θE分別表示分支裂紋2、3延長線與主裂紋延長線的夾角;A,B,E(為了應力強度因子表達式與斷裂韌性有所區(qū)別)表示分岔裂紋尖端;D表示分岔點．

1.2 疊加原理

基于Bueckner定理[10],將主問題分解成兩個子問題:子問題1,無裂紋時,外載在半無限彈性平面內(nèi)產(chǎn)生應力的問題;子問題2,無外載時,半無限彈性平面內(nèi)裂紋區(qū)域的刃位錯產(chǎn)生應力的問題．最后根據(jù)裂紋面應力條件,將以上兩個子問題聯(lián)立求解．

1.3 建立位錯密度積分方程

在半無限大板中由位錯引起的應力分量由下式給出[10-11]:

(1)

其中κ是Kolosov常數(shù),平面應變時κ=3-4ν,平面應力時κ=(3-ν)/(1+ν);ν是Poisson比;μ是剪切模量;bx和by代表Burgers矢量在x,y方向上的分量;Gxij和Gyij是位錯影響函數(shù),第一個下標表示Burgers矢量,后兩個下標表示應力分量,其表達式可參考文獻[11]．為了方便在局部坐標系下進行計算,需要進行以下坐標變換:

(2)

(3)

(4)

圖1 復雜荷載下的半無限平面分岔裂紋Fig. 1 The semi infinite plane bifurcating crack under complex loads

在后續(xù)的計算中只需要變化ξ,x,y,θ,θ1,就可以得到由任意局部坐標系上的位錯在任意局部坐標系上所產(chǎn)生的應力分量．以裂紋1對裂紋2的影響函數(shù)作為例子進行解釋,如圖2所示,其中紅色圖形代表刃型位錯列．只需進行以下替換:ξ=ξ1,x=x2cos(θB)+d+a,y=x2sin(θB),θ=0,θ1=θB即可得到．其中ξ1是裂紋1上位錯的全局橫坐標;x是裂紋2的全局橫坐標,y是裂紋2的全局縱坐標減去裂紋1的位錯全局縱坐標;θ,θB分別代表裂紋1和裂紋2坐標系的偏轉(zhuǎn)角;其余影響函數(shù)可用類似方法獲得．

圖2 坐標變換示意圖Fig. 2 Schematic diagram of coordinate transformation

現(xiàn)在基于分布位錯技術(shù),將每條裂紋視為未知的連續(xù)分布的刃位錯[11],表示為Bl(ξk),其中l(wèi)=1,2分別代表x,y方向上的位錯,ξk代表第k條裂紋分布位錯的局部坐標(k=1,2,3)．因此,對于每一條裂紋而言,通過疊加包括自己在內(nèi)的其他裂紋位錯所產(chǎn)生的應力分量與外載荷產(chǎn)生的應力分量,并結(jié)合裂紋面的無牽引條件,可以得到

(5)

2 奇異積分方程的數(shù)值解

采用基于Gauss-Chebychev求積方法[12]的數(shù)值技術(shù)來求解積分方程組(5),首先需要對積分區(qū)域進行歸一化處理:

(6)

其中

(7)

(8)

將方程(6)、(7)、(8)代入方程(5),得到離散化的方程:

(9)

方程(9)總共有6M-6個線性方程,但是總共需要求解6M個未知數(shù),因此需要額外補充6個方程．所謂的封閉或者單值條件[12]提供了額外的兩個方程式,這兩個方程表示次表面分岔裂紋在x與y方向上的凈位錯位均為零．a(chǎn)k代表第k條裂紋的半長,

(10)

由于主/分支裂紋交點 (圖1中的點D)處的奇異性小于1/2,文獻[2]將分岔點處的應力強度因子處理為0,其實際可用的方程個數(shù)為6個．文獻[2]經(jīng)過比對不同的方程所產(chǎn)生的結(jié)果,選出了其中最佳的4個額外方程如下:

(11)

其中φl(sk=±1)可以通過文獻[12]中的方法進行插值得到．至此,未知數(shù)個數(shù)與所需方程數(shù)相等,方程(9)可以得到解答．裂紋尖端的應力強度因子由φl(tk=±1)推出,例如尖端E的應力強度因子表示為

(12)

3 結(jié) 果 驗 證

如圖3所示,對比本文理論計算的結(jié)果與已有文獻的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)本文的理論計算結(jié)果與文獻計算結(jié)果相差無幾,足以說明本文理論模型的正確性,可以用于后續(xù)的計算．

圖3 非對稱分岔裂紋的計算結(jié)果對照圖Fig. 3 Comparison of calculation results of asymmetric bifurcating crack

4 結(jié)果與分析

4.1 分岔裂紋產(chǎn)生的原因及過程

文獻[14]研究發(fā)現(xiàn),如果根據(jù)最大周向拉應力準則判斷裂紋擴展角度,其預測的裂紋擴展角度變化過于劇烈,這與真實的實驗結(jié)果及事實不符．因此采用文獻[14]中的方法:如圖4所示,將裂紋沿各個不同的方向擴展b=0.1a,計算裂紋在不同方向上的等效應力強度因子Keff=KⅠ+|KⅡ|,將其最大值所在的角度視為裂紋下一步的擴展角度．參數(shù)設置如下:荷載τ/σ=0.1,d/a=1.5．從圖4中可以看出,Keff在-35°和20°時均出現(xiàn)了峰值,這說明裂紋在-35°和20°都容易發(fā)生擴展,從而導致出現(xiàn)分岔的情況．

4.2 埋入深度d/a對和的影響

圖4 不同角度下的等效應力強度因子及裂紋分岔示意圖Fig. 4 Schematic diagram of the equivalent stress intensity factor and the crack bifurcation at different angles

圖5 埋置深度對歸一化應力強度因子的影響Fig. 5 Effects of burial depths on normalized stress intensity factors

4.3 荷載比值τ/σ對和的影響

圖6 荷載比值對歸一化應力強度因子的影響Fig. 6 Effects of load ratios on normalized stress intensity factors

4.4 分支長度比值b/c對和的影響

圖7 分支長度比值對歸一化應力強度因子的影響Fig. 7 Effects of branch length ratios on normalized stress intensity factors

4.5 分岔角度對和的影響

圖8 分岔角度對歸一化應力強度因子的影響Fig. 8 Effects of bifurcation angles on normalized stress intensity factors

4.6 多分支分岔裂紋的應力強度因子

本文所討論的理論方法可以方便地應用到多分支的分岔裂紋問題(圖9)中,相比較于以往解決的問題[15-17]更具工程價值,同時無需復雜的公式推導[18-19],只需要根據(jù)裂紋條數(shù)增加式(9)的個數(shù),以及在分岔處根據(jù)式(11)進行相應的設置,便可以得到解答．令2a=4,2b=1,2c=0.5,θB=60°,θF=45°,將本文計算的結(jié)果與有限元進行比對,如表1所示．可見,本文給出的結(jié)果是可靠的,且相較于有限元計算而言,此方法可以方便快捷地用于解決多分支分岔裂紋問題,具有一定實際應用的價值．

圖9 多分支分岔裂紋示意圖以及有限元網(wǎng)格劃分局部圖Fig. 9 Schematic diagram of the multiple branch bifurcation crack and the local partial finite element mesh

表1 多分支分岔裂紋有限元計算與本文結(jié)果對照

5 結(jié) 論

1) 由上述推導過程及計算結(jié)果可知,本文研究分岔裂紋的方法可靠且便捷,可用于更加復雜的多分支分岔裂紋問題(如鹿角型分岔裂紋)．

2) 隨著埋入深度的增加,分岔裂紋兩分支的應力強度因子均逐漸減小,且裂紋長度越長對于埋深變化越敏感．當埋深達到d/a=1.5時,分支裂尖應力強度因子最大的削弱程度可達15%左右,這說明隨著埋深的增加,分岔裂紋向內(nèi)部擴展會更加困難．

3) 分岔裂紋的分支長度越長,其應力強度因子越大,且長度較大的分支對長度較小的分支有一定的屏蔽作用,導致分岔裂紋更易向長分支方向擴展．在兩分支裂紋長度比達到b/c=2以上時,屏蔽效應可達50%以上．

4) 隨著荷載比值τ/σ的增加,當切應力大小與正應力大小相當時,分岔裂紋其中一分支的主導擴展模式由Ⅰ型擴展轉(zhuǎn)變?yōu)棰蛐蛿U展,另一分支的Ⅰ型應力強度因子峰值角度會增大．