胡曉楠，方心遠

（1.上海理工大學 光子芯片研究院，上海 200093；2.上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093）

引言

渦旋光束是攜帶每個光子的軌道角動量為l?的特殊光束，包含螺旋相位因子exp（ilθ）。其中l(wèi)是取任意實數(shù)的拓撲電荷，θ 是空間方位角，?是約化普朗克常數(shù)（等于普朗克常數(shù)h/2π）[1-2]。值得注意的是軌道角動量（orbital angular momentum，OAM）的無窮物理維度使其具有廣泛的應用領(lǐng)域，比如光通信、量子糾纏、光操縱等[3-5]。作為一類特殊的結(jié)構(gòu)光，OAM 光束的產(chǎn)生[6-7]和探測都十分重要。OAM 探測方法根據(jù)物理機制可分為衍射和干涉，表面等離子體激元和軌道光電流效應[8-11]。對于衍射探測方法，包括設(shè)計特定的叉形光柵，振幅型的三角形孔徑，以及全電介質(zhì)超表面等[12-14]。應當指出的是，與衍射探測有關(guān)的方法無法實現(xiàn)高效率、高維度的探測。

近幾年，有研究者通過把不同階OAM 光束的相位頻率變化從極坐標系轉(zhuǎn)換到直角坐標系中，實現(xiàn)OAM 模式的高效探測，這種方法被稱為坐標轉(zhuǎn)換。格拉斯哥大學的研究人員最先提出這個想法，通過兩個級聯(lián)的衍射光學元件，實現(xiàn)了混合OAM 狀態(tài)的分離[15]。但是由于坐標轉(zhuǎn)換時僅僅利用了一圈角向相位梯度，導致可區(qū)分OAM 狀態(tài)分辨率很差（例如，拓撲荷相差1 的OAM 光束在最后的成像面重疊嚴重，無法區(qū)分）。為了解決這個問題，羅切斯特大學課題組在衍射元件外，額外加入Fan-out 光柵以及相位校準元件，提高了不同OAM 光束在直角坐標系下的頻率差別[16]。中山大學余思遠教授課題組采用螺旋線方式進行相位取樣，僅用兩個衍射相位元件完成了高分辨率的OAM 區(qū)分任務[17]。坐標轉(zhuǎn)換方法能夠?qū)崿F(xiàn)一次性高效率探測，然而，以上所有工作只能用于整數(shù)OAM模式的探測。

分數(shù)OAM 模式是具有復雜波前分布的渦旋光束，其螺旋相位因子與整數(shù)OAM 模式一樣均可表示為exp（ilθ），但其中拓撲電荷l的值為分數(shù)。因為其波前分布不是以固定的0～2π 為周期，所以具有更多的正交維度（任意兩個分數(shù)拓撲荷值之差為整數(shù)即相互正交）及更強的編解碼能力。另外，整體光斑呈現(xiàn)出有缺口的環(huán)形形狀，使得能量不再成均勻?qū)ΨQ分布。如此復雜的波前分布特征使其在光操縱、光通信、光學成像、量子光學等領(lǐng)域應用十分廣泛[18-21]。目前分數(shù)OAM 模式的探測方法包括設(shè)計特定的衍射光柵，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[22-23]。但是，使用這些方法探測分數(shù)OAM 模式同樣會出現(xiàn)效率低、模式少和系統(tǒng)操作復雜等問題。本文提出基于坐標轉(zhuǎn)換結(jié)合逆向設(shè)計的方法，實現(xiàn)了分數(shù)OAM 模式的探測。采用OAM 模式從-1～1 間隔為0.1 的光束，經(jīng)扇形轉(zhuǎn)換，及對數(shù)轉(zhuǎn)換和逆向設(shè)計結(jié)合生成的疊加相位的調(diào)制，完成分數(shù)OAM 模式的探測，且光學系統(tǒng)的衍射效率保持在83%。此外，發(fā)現(xiàn)兩束復用的分數(shù)OAM 模式能被系統(tǒng)探測的最小拓撲荷間隔為0.6。

1 原理與設(shè)計

為了實現(xiàn)對分數(shù)OAM 模式的高效探測，本文提出使用扇形轉(zhuǎn)換和對數(shù)轉(zhuǎn)換結(jié)合逆向設(shè)計的方法，概念圖如圖1 所示。首先，多束復用的分數(shù)OAM 光束通過扇形轉(zhuǎn)換后，相位梯度擴大n倍；其次，相位梯度擴大后的光場經(jīng)過由對數(shù)轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換相位和逆向設(shè)計的補償相位得到的疊加相位的調(diào)制；最后，經(jīng)傅里葉變換透鏡聚焦得到不同的光斑分布。

圖1 分數(shù)OAM 模式探測概念圖Fig. 1 Fractional OAM modes recognition concept map

具體來說，可將圖1 中原理分為三部分，分別是扇形轉(zhuǎn)換、對數(shù)轉(zhuǎn)換和逆向設(shè)計算法。以下將對每一部分的原理進行詳細描述。

1.1 扇形轉(zhuǎn)換

執(zhí)行光學信息的扇形轉(zhuǎn)換任務，需要利用角向坐標之間的縮放，將處于第一平面極坐標系（r，θ）中的光學信息映射到第二平面極坐標系（ρ，φ），其中r和ρ 分別表示相應坐標系中的徑向坐標，θ 和φ分別表示角向坐標。角向坐標之間的縮放關(guān)系為[24]

式中：n表示坐標角向縮放比例系數(shù)。接著，利用保形映射關(guān)系，得出第二平面徑向坐標

式中：a和b是兩個任意可調(diào)節(jié)參數(shù)。經(jīng)過式（1）、（2）的變換，完成第一平面中0～2π 相位梯度到第二平面2π/n扇形區(qū)域上的映射。由此得到轉(zhuǎn)換光學元件的相位分布Ω1

根據(jù)平穩(wěn)相位近似[25]，得出補償光學元件的相位分布Ω2

式中：f為傅里葉變換透鏡的焦距；k= 2π/λ 為波矢，λ 是光波波長。進一步，利用移位項2π（j-1）/n對式（3）、（4）分別求和，其中j=1,···,n，得到相位梯度倍增的扇形轉(zhuǎn)換表達式

式中：ΩM1和ΩM2分別表示轉(zhuǎn)換光學元件和補償光學元件的相位分布；arg 為取輻角運算；i 為虛數(shù)單位。

本文選取波長為633nm，像素個數(shù)為512×512，像素大小為12.5 μm，以及l(fā)= 2 的拉蓋爾高斯（Laguerre-Gaussian，LG）光束和束腰半徑w0為1 mm 的參數(shù)模擬了光束通過扇形轉(zhuǎn)換的結(jié)果。此外，扇形轉(zhuǎn)換的相位平面設(shè)計參數(shù)為n=3，a= 1 mm，b=1 mm，f= 200 mm，模擬結(jié)果如圖2 所示。圖2（a）中，第一行和第二行分別為模擬得到的扇形轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)化相位和補償相位。圖2（b）中，第一行為輸入LG 光束的光強和相位分布，通過扇形轉(zhuǎn)換后，得到輸出光場的光強和相位分布如第二行所示。另外，選取了l=-11～-1 的OAM 模式與得到的輸出光場分別疊加，取遠場結(jié)果中心相同區(qū)域的強度值，繪制如圖2（c）所示的歸一化強度柱形圖。證明了輸出光場的OAM 模式為l= 6，與原理上l=2 的LG光束經(jīng)過扇形轉(zhuǎn)換后相位梯度乘3 倍的結(jié)果一致。

1.2 對數(shù)轉(zhuǎn)換

根據(jù)文獻[15]可知，執(zhí)行光學信息的對數(shù)轉(zhuǎn)換任務，需要將處于第一平面笛卡爾坐標系（x，y）中的光學信息映射到第二平面笛卡爾坐標系（u，v），其中x和u分別表示相應坐標系中的橫坐標，y和v分別表示縱坐標。兩者坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系為

式中c和d是兩個任意可調(diào)節(jié)參數(shù)。由此得到轉(zhuǎn)換光學元件的相位分布Ω3

依據(jù)平穩(wěn)相位近似，得到補償光學元件的相位分布Ω4

為了更直觀的理解對數(shù)轉(zhuǎn)換的作用，本部分選取與上述圖2 中一致的參數(shù)，并根據(jù)式（7）、（8），對l= -2 和l= 3 的兩種OAM 模式的LG 相干光束的對數(shù)轉(zhuǎn)換進行模擬，得到圖3 所示結(jié)果。其中式（6）中參數(shù)c= 0.85 mm，d= 2 mm。

圖3 LG（l = -2、3）相干光束的對數(shù)轉(zhuǎn)換圖Fig. 3 Logarithmic conversion diagram of LG（l = -2、3）coherent beams

圖3（a）第一行和第二行分別為對數(shù)轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換相位和補償相位。圖3（b）第一行為模擬輸入光場，通過對數(shù)轉(zhuǎn)換后，得到放大10 倍的輸出光場的光強和相位分布如第二行所示。理論上光斑的橫向位置t隨拓撲電荷l的函數(shù)變化，關(guān)系式為

圖3（b）中白色虛線處的歸一化強度曲線如圖3（c）所示。根據(jù)模擬結(jié)果，當輸入兩束相干的LG 光束時，縮放前OAM 模式探測的光斑橫向間距Δt為112.5 μm，而根據(jù)式（9）所得理論間距Δt為118.5 μm。可知模擬和理論幾乎一致，證明對數(shù)轉(zhuǎn)換的準確性。

1.3 逆向設(shè)計

為了簡化光學系統(tǒng)的復雜程度，本文省略了對數(shù)轉(zhuǎn)換的補償相位光學元件，并用逆向設(shè)計的方法（本文為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法）在對數(shù)轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換相位層上進行補償設(shè)計，即在已知輸入光場和輸出光場的條件下，逆向設(shè)計出滿足特定要求的光學系統(tǒng)。接下來，對具體細節(jié)進行詳細描述。

在保證使用的基本參數(shù)與上述一致的情況下，選擇兩束LG（l= -2、3）光束作為網(wǎng)絡(luò)的輸入光場，一層相位變量層作為未知的調(diào)制信息，學習率設(shè)置為0.01。接著，把補償后的結(jié)果作為輸出光場，經(jīng)過對數(shù)轉(zhuǎn)換方法調(diào)制的結(jié)果作為目標光場。計算輸出光場和目標光場的光強分布的均方誤差，作為損失函數(shù)。通過網(wǎng)絡(luò)的不斷迭代優(yōu)化，降低損失函數(shù)的數(shù)值，更新變量相位層，最終經(jīng)過6 000 次迭代得到預期結(jié)果。本文使用型號為Intel（R）Xeon（R）W-2133 CPU @ 3.60 GHz 和 NVIDIA CUDA 11.4， 以及配置Python（3.8.13）和TensorFlow（2.6.0）的計算機做運算。模擬結(jié)果如圖4 所示。

圖4 逆向設(shè)計下LG（l = -2、3）光束的對數(shù)轉(zhuǎn)換圖Fig. 4 Logarithmic conversion diagram of LG（l=-2、3）beam under reverse design

LG 相干光束通過圖4（a）中轉(zhuǎn)換相位和優(yōu)化補償相位疊加后的相位元件，得到圖4（b）所示的光強和相位分布，其中10×表示光場放大10 倍。如圖4（c）所示，模擬的LG 相干光束探測的橫向間距Δt為125.0 μm（縮放前）。由此可見，結(jié)合逆向設(shè)計的方法仍能實現(xiàn)LG 相干光束的探測，并且模擬得到的探測間距與上述理論間距（Δt= 118.5 μm）結(jié)果幾乎一致。另外，定義衍射效率η 來衡量系統(tǒng)的能量損耗，即光學系統(tǒng)中輸出光場總能量與輸入光場總能量之比

式中：Eoutput和Einput分別表示輸出和輸入的光電場分布；S表示積分的光場區(qū)域。光學系統(tǒng)的衍射效率高于80%時，則認為該系統(tǒng)能耗較低、性能較好。對數(shù)轉(zhuǎn)換和對數(shù)轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換相位疊加逆向設(shè)計的補償相位這兩種方法模擬得到的衍射效率分別為99%和89%，可見通過逆向設(shè)計補償?shù)霓D(zhuǎn)換相位仍然能滿足高衍射效率的要求。

綜上所述，本文將對數(shù)轉(zhuǎn)換的補償相位省略，利用逆向設(shè)計進行補償?shù)姆椒?，實現(xiàn)了l=-2、3 的相干LG 光束的探測。與僅用坐標轉(zhuǎn)換方法相比，得到的衍射效率較高，橫向間距幾乎一致的結(jié)果，驗證了逆向設(shè)計對坐標轉(zhuǎn)換的可行性。

2 討 論

經(jīng)上述分析，本文選定坐標轉(zhuǎn)換與逆向設(shè)計結(jié)合的新方式，實現(xiàn)分數(shù)OAM 模式的探測。模擬選取了n= 5，a= 2 mm，b= 10 μm，c=0.8 mm，d= 2 mm，w0= 2 mm，f= 200 mm 的參數(shù)，得到結(jié)果如圖5 所示。

圖5 逆向設(shè)計下的坐標轉(zhuǎn)換圖Fig. 5 Coordinate transformation diagram under reverse design

圖5（a）給出了本文設(shè)計的整體流程圖。首先輸入光場自由空間傳播經(jīng)過扇形轉(zhuǎn)換得到一個復場。然后該復場分兩路在自由空間衍射傳播，一路經(jīng)過對數(shù)轉(zhuǎn)換調(diào)制得到目標光場，另一路經(jīng)過轉(zhuǎn)換相位和一層變量相位的共同調(diào)制得到預期光場。接著將目標光場與預期光場之間的光強做均方誤差計算，得到網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)。最后通過隨機梯度下降方法，在不斷的更新迭代中優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，以得到預期的結(jié)果。

為了說明使用逆向設(shè)計優(yōu)化的系統(tǒng)比未使用優(yōu)化的系統(tǒng)的分數(shù)OAM 模式探測能力更好，給出間隔為0.1 的OAM 模式經(jīng)過扇形轉(zhuǎn)換相位（見圖5（b）），再分別經(jīng)由優(yōu)化前后的相位（見圖5（c））第一行為優(yōu)化相位，第二行為未優(yōu)化相位調(diào)制，得到如圖5（d）所示的衍射光斑分布。可見，使用逆向設(shè)計優(yōu)化的相位后，得到了區(qū)分明顯的光強分布。相反，未經(jīng)優(yōu)化的相位只能得到強度分布不易區(qū)分的結(jié)果。證實了本文使用的方法可以實現(xiàn)拓撲荷數(shù)范圍在-1～1 之間，間隔為0.1 的21 階OAM 模式探測，并且保持了高達83%的衍射效率。

為了證明該方法并不局限于21 階數(shù)分數(shù)OAM 模式探測，本文使用同樣方式再一次進行模擬。圖5（e）中，從左到右依次表示輸入拓撲荷數(shù)從l= -2 開始，間隔依次增加0.1 的41 階OAM 模式探測結(jié)果的光強分布，并且衍射效率仍保持81%。

另外，為了進一步驗證本文分數(shù)OAM 模式探測方法的可行性，圖6 給出了拓撲荷數(shù)變換范圍從Δl= 0.4 到Δl= 0.9 的OAM 模式探測光強分布曲線。定義探測效率為圖中陰影區(qū)域中的強度分數(shù)[26]，具體指的是兩波峰交點處到其中一波峰的距離的兩倍，所指定的區(qū)域強度與其一光斑總強度之比，探測效率代表兩束光斑能否被分開的程度，探測效率越低，說明兩光斑越不容易被區(qū)分開，反之亦然。不失一般性，認為探測效率至少達到60%，兩束光斑才能被分開。如圖6所示，Δl= 0.4 到Δl= 0.9 的OAM 模式探測效率從48.09%增加到84.63%，且兩束光斑至少能被分開的間隔為Δl= 0.6，此時對應的探測效率為62.91%（見圖6（c））。

圖6 兩種不同模式間隔的分數(shù)OAM 模式通過系統(tǒng)后光斑的強度曲線Fig. 6 The intensity curve of the facula after the fractional OAM mode with two different mode intervals passes through the system

3 結(jié)論

本文提出了一種采用逆向設(shè)計結(jié)合坐標轉(zhuǎn)換實現(xiàn)不同分數(shù)OAM 模式探測的方法。分數(shù)OAM 模式通過扇形轉(zhuǎn)換成倍增加相位梯度，再經(jīng)由對數(shù)轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換相位補償逆向設(shè)計的特定相位，最終實現(xiàn)了最小間隔為0.1 的分數(shù)OAM 模式探測。同時，還確保了系統(tǒng)整體的衍射效率高達83%。此外，兩束復用的OAM 光束間隔至少為Δl= 0.6 時，通過系統(tǒng)得到的光斑才能被分開。另外，相信在未來對逆向設(shè)計和坐標轉(zhuǎn)換的更深入研究過程中，可以設(shè)計出更高維度、更高性能的光學系統(tǒng)，實現(xiàn)對OAM 模式階數(shù)的充分利用。未來能在OAM 光通信的大容量和高效率方面展現(xiàn)出優(yōu)異的應用前景，為OAM 光計算提供更多邏輯信息復用探測的可能，并為以后經(jīng)典光學和量子光學領(lǐng)域的發(fā)展做出貢獻。