周俊文　劉界鵬

摘要：傳統(tǒng)的基于力學(xué)分析軟件的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法存在效率低下、依靠專家經(jīng)驗(yàn)等局限性，采用智能算法能實(shí)現(xiàn)高效的結(jié)構(gòu)自動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。然而，由于隨機(jī)搜索特征，優(yōu)化結(jié)果和收斂性高度依賴于算法的參數(shù)設(shè)置，需要通過試算來確定其合理取值，該方法會(huì)造成優(yōu)化效率低、計(jì)算量大等問題。引入多種群協(xié)作和信息共享機(jī)制來改善此類問題，并研究其在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的適用性。利用MSC.Marc軟件建立鋼框架結(jié)構(gòu)有限元模型，采用底部剪力法將地震作用等效為水平荷載施加到結(jié)構(gòu)上，搭建有限元軟件與智能算法的自動(dòng)優(yōu)化過程，以結(jié)構(gòu)的總體材料用量最低為目標(biāo)，考慮了層間位移角、應(yīng)力比、構(gòu)件穩(wěn)定性和寬厚比等多種約束條件，以遺傳算法為基礎(chǔ)，通過適應(yīng)度尺度變換、基于方向的交叉算子、非均勻變異算子、自適應(yīng)概率、精英保留策略、重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制、基于約束的策略對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，引入多種群思想，對(duì)比多種算法優(yōu)化結(jié)果的差異。結(jié)果表明：基于多種群的遺傳算法能有效改善優(yōu)化結(jié)果對(duì)算法參數(shù)的依賴性，提高結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率。

關(guān)鍵詞：鋼框架結(jié)構(gòu)；結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)；多種群遺傳算法；智能算法

中圖分類號(hào)：TU318；TU392.1? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號(hào)：2096-6717（2024）01-0071-11

Optimization design of steel frame structure based on multi-population genetic algorithm

ZHOU Junwen， LIU Jiepeng

（School of Civil Engineering； Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area of Ministry of Education， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China）

Abstract： The traditional structural design method based on mechanical analysis software has some limitations， such as low efficiency and expert experience reliance. The efficient automatic structural optimization design can be achieved by using intelligent algorithms. However， due to the random search feature， the optimization result and convergence are highly dependent on the parameter settings of the algorithm whose reasonable values need to be determined by the trial-and-error procedure. It results in inefficient optimization and substantial computational cost. Therefore， this paper introduces the multi-population collaboration and information sharing mechanism to improve such problems and its applicability in the structural optimization design is studied. The finite element model of a steel frame is built by MSC.Marc and the equivalent horizontal load from earthquake obtained by base shear method is exerted on the structure. The automatic optimization process is established based on finite element software and the intelligent algorithm with the aim of mininizing the total material cost of the structure. Multiple structural constraints are considered including the inter-story drift ratio， the stress ratio， and the stability and width-thickness ratio of the component. Several strategies are used to improve the performance of the genetic algorithm， such as the fitness scaling， the direction-based crossover operator， the non-uniform mutation operator， the adaptive probability， the elite strategy， the duplicate substitution mechanism， and the constraint-based strategy. Then the multi-population mechanism is introduced to such an algorithm. The results of different algorithms are compared with each other， which shows that the multi-population genetic algorithm can improve the dependence of optimization results on algorithm parameters and the efficiency of structural optimization design.

Keywords： steel frame structure； structural optimization design； multi-population genetic algorithm； intelligent algorithms

中國(guó)位于地震多發(fā)帶，受地震作用的影響，大量建筑物被損毀，造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡[1-3]。據(jù)建筑業(yè)發(fā)展報(bào)告統(tǒng)計(jì)，2021年上半年，中國(guó)建筑業(yè)企業(yè)完成建筑業(yè)總產(chǎn)值119 843.55億元，同比增長(zhǎng)18.85%，呈現(xiàn)出蓬勃向上的發(fā)展趨勢(shì)，建筑結(jié)構(gòu)的安全性和經(jīng)濟(jì)性成為重要的關(guān)注點(diǎn)。因此，研究高效的建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，對(duì)保證建筑行業(yè)的快速發(fā)展具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

傳統(tǒng)的建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法主要依賴PKPM等設(shè)計(jì)軟件的力學(xué)計(jì)算分析結(jié)果，憑借專家經(jīng)驗(yàn)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行人為調(diào)整，包括合理的構(gòu)件布置和截面取值等，使其滿足相關(guān)規(guī)范的要求，以實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)，在保證結(jié)構(gòu)安全性的同時(shí)降低建筑材料成本[4-8]，該方法受人為主觀因素的影響較大且耗時(shí)耗力，已無法滿足建筑行業(yè)快速發(fā)展的需求。以智能化方法實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的自動(dòng)建模分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)，能有效改善傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)效率低下的問題，并保證優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)有效性[9-12]。

與傳統(tǒng)的混凝土結(jié)構(gòu)、砌體結(jié)構(gòu)相比，鋼框架結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)高強(qiáng)、延性好、結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單、施工方便等優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)推廣其在地震區(qū)的應(yīng)用[1]，近年來，在鋼框架結(jié)構(gòu)的智能優(yōu)化設(shè)計(jì)方面已有大量學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。Degertekin等[13]考慮截面選型和位移約束，采用和聲搜索算法對(duì)鋼框架進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，降低了鋼框架的重量。Gholizadeh[14-15]采用智能算法對(duì)平面鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，包括蝙蝠算法和海豚回聲算法，研究了結(jié)構(gòu)尺寸的優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)總質(zhì)量的降低，研究了剪力墻位置的優(yōu)化，得到了最優(yōu)布局。Talatahari等[16]采用基于差分進(jìn)化的鷹策略算法，?arba?[17]采用基于生物地理學(xué)的優(yōu)化算法，Kaveh等[18]采用先進(jìn)的充電系統(tǒng)搜索算法對(duì)鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)能夠滿足約束限值的要求，其材料總成本得到了有效地降低。智能算法已在結(jié)構(gòu)優(yōu)化的研究中有了廣泛的應(yīng)用，在每次優(yōu)化過程中，需要首先對(duì)算法參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的設(shè)置，當(dāng)其取值不合理時(shí)，容易會(huì)引起算法的收斂性和優(yōu)化結(jié)果的優(yōu)異性等問題，造成計(jì)算量大、耗時(shí)長(zhǎng)、結(jié)果不理想、隨機(jī)性強(qiáng)等后果，如遺傳算法中的變異概率，當(dāng)其設(shè)定較大時(shí)，容易破壞原有優(yōu)秀個(gè)體的基因，當(dāng)其設(shè)定較小時(shí)，可能使優(yōu)化陷入局部最優(yōu)解而過早收斂。在單次優(yōu)化過程中，引入多種群的概念，每個(gè)種群設(shè)置不同參數(shù)值而表現(xiàn)出不同的優(yōu)化性能，通過信息共享來進(jìn)行不同種群間的交流，從而發(fā)揮多種群算法的綜合性能優(yōu)勢(shì)，能夠有效提高搜索能力，降低優(yōu)化結(jié)果對(duì)參數(shù)設(shè)置的依賴性[19-20]?；诙喾N群思想的算法在優(yōu)化問題中存在一定的優(yōu)勢(shì)，已應(yīng)用到兵工、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域[21-22]，然而其在土木工程領(lǐng)域的應(yīng)用仍有限。對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)而言，優(yōu)化問題比較復(fù)雜，涉及非凸性、非線性、變量離散性、局部最優(yōu)解眾多等，優(yōu)化對(duì)象存在較大的結(jié)構(gòu)差異和較強(qiáng)的構(gòu)件相互作用，且優(yōu)化結(jié)果和收斂性高度依賴于算法的更新機(jī)制和搜索能力，因此，在實(shí)現(xiàn)高效的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，該算法的適用性仍有待研究。

目前，中國(guó)正在大力推進(jìn)經(jīng)濟(jì)有效結(jié)構(gòu)的發(fā)展，以最小的資源和成本，造出外觀美、空間分布合理并滿足安全性要求的建筑物，實(shí)現(xiàn)資源的最大化利用和經(jīng)濟(jì)性。筆者以遺傳算法為基礎(chǔ)，通過多種策略對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)并引入多種群思想，將其應(yīng)用于鋼框架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題中，以驗(yàn)證方法的有效性，旨在為鋼框架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

1 優(yōu)化問題

1.1 優(yōu)化對(duì)象

研究對(duì)象為4跨10層的平面鋼框架結(jié)構(gòu)，截面為工字型鋼，鋼號(hào)為Q235，跨度為4 m，層高為3 m，從下往上總共分為3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)層，其中1～4層為標(biāo)準(zhǔn)層1，5～7層為標(biāo)準(zhǔn)層2，8～10層為標(biāo)準(zhǔn)層3?？紤]荷載工況為1.3倍重力荷載代表值+1.3倍水平地震作用，前者由恒載4.5 kN/m2（樓面恒載2 kN/m2+樓板自重2.5 kN/m2）與活載2 kN/m2計(jì)算得到，將其等效為豎向線荷載作用在梁上；采用底部剪力法計(jì)算等效水平地震作用，地震設(shè)防烈度、地震動(dòng)設(shè)計(jì)特征周期、地震影響系數(shù)最大值、阻尼比分別取為6度、0.35 s、0.04、0.04，將其等效為水平荷載作用到每一層柱頂節(jié)點(diǎn)上。通過MSC.Marc軟件建立鋼框架結(jié)構(gòu)的有限元模型，見圖1，梁柱構(gòu)件均采用梁?jiǎn)卧?，結(jié)構(gòu)底部和梁柱節(jié)點(diǎn)均為剛接。由于本文旨在研究智能算法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的有效性，而優(yōu)化過程最耗時(shí)部分為結(jié)構(gòu)的有限元分析，因此，為了節(jié)約計(jì)算時(shí)間，僅考慮彈性分析，鋼材密度取為7 850 kg/m3，彈性模量取為206 GPa。

1.2 約束條件

根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010）[23]和《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50017—2017）[24]規(guī)定，在鋼框架的優(yōu)化設(shè)計(jì)中考慮以下結(jié)構(gòu)約束條件。

最大層間位移角約束

式中：Ei、Ai、Wxi、Wyi、Ni、Mxi、Myi分別為構(gòu)件i的材料彈性模量、截面面積、x向毛截面模量、y向毛截面模量、軸力、x向最大彎矩、y向最大彎矩；λxi、λyi分別為構(gòu)件i對(duì)x軸、y軸的長(zhǎng)細(xì)比；λxi、λyi為構(gòu)件i的截面塑性發(fā)展系數(shù)；φxi、φyi分別為構(gòu)件i對(duì)x軸、y軸的軸心受壓整體穩(wěn)定系數(shù)；βmxi、βmyi為構(gòu)件i按《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50017—2017）第8.2.1條彎矩作用平面內(nèi)穩(wěn)定計(jì)算采用的等效彎矩系數(shù)；βtxi、βtyi為構(gòu)件i按《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50017—2017）第8.2.1條彎矩作用平面外穩(wěn)定計(jì)算采用的等效彎矩系數(shù)；f為構(gòu)件i的材料強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；η為截面影響系數(shù)，取為1；nm為構(gòu)件的總數(shù)。

式中：bci、hci、tcfi、tcwi分別為第i組框架柱的翼緣外伸部分寬度、腹板高度、翼緣厚度、腹板厚度；bbi、tbfi分別為第i組框架梁的翼緣外伸部分寬度、翼緣厚度，ngc、ngb分別為框架柱、框架梁的組數(shù)。此類約束可以在進(jìn)行有限元分析前計(jì)算得到，包括框架柱的翼緣外伸部分和腹板寬厚比、框架梁的翼緣外伸部分寬厚比。

2 優(yōu)化方法

2.1 設(shè)計(jì)變量

如圖1所示，鋼框架結(jié)構(gòu)總共設(shè)有3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)層，將每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)層中的構(gòu)件劃分3組，包括角柱、中柱和梁，總共有9組構(gòu)件，每組構(gòu)件設(shè)置4個(gè)參數(shù)，包括工字型鋼截面的翼緣寬度b、總高度h、腹板厚度t1、翼緣厚度t2，記為（b、h、t1、t2），單位為mm，因此，該優(yōu)化問題中總共考慮36個(gè)設(shè)計(jì)變量，變量的取值范圍見表1。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

以結(jié)構(gòu)的鋼材總質(zhì)量最小化為目標(biāo)函數(shù)，包括所有的框架梁柱構(gòu)件，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

當(dāng)結(jié)構(gòu)滿足所有的約束條件時(shí)，式（12）第2項(xiàng)為0，偽目標(biāo)函數(shù)等于結(jié)構(gòu)總質(zhì)量；當(dāng)結(jié)構(gòu)存在約束超限的情況時(shí)，式（12）第2項(xiàng)將遠(yuǎn)大于0，偽目標(biāo)函數(shù)大于結(jié)構(gòu)總質(zhì)量。因此，偽目標(biāo)函數(shù)值越小，則結(jié)構(gòu)更好，其既能滿足所有的約束條件，又能實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)性。

偽目標(biāo)函數(shù)是一項(xiàng)考慮結(jié)構(gòu)原始總質(zhì)量和所有約束條件的綜合指標(biāo)，可以將有強(qiáng)約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)換為無約束問題，通過種群個(gè)體函數(shù)值之間的對(duì)比，能夠反映出結(jié)構(gòu)違反約束條件的程度、超限數(shù)量、材料質(zhì)量和結(jié)構(gòu)相對(duì)優(yōu)劣等信息，以實(shí)現(xiàn)對(duì)個(gè)體的比較選擇。

2.3 優(yōu)化算法

以遺傳算法為基礎(chǔ)，引入多種改進(jìn)策略和多種群思想，結(jié)合結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)變量特征，基于規(guī)范要求對(duì)鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，旨在說明多種群遺傳算法的有效性。采用的所有算法都具有相同的種群初始化、適應(yīng)度評(píng)估步驟，在設(shè)計(jì)變量生成和更新時(shí)都采用了基于約束的策略，將先對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)一描述。

基于約束的策略見圖2。遺傳算法是一種隨機(jī)性較強(qiáng)的算法，在初始化和迭代過程中生成種群時(shí)不具有方向性，通常存在新個(gè)體無法滿足約束條件或原本滿足要求的個(gè)體在變量更新后出現(xiàn)超限的情況，這會(huì)增加無效個(gè)體（存在超限情況的個(gè)體）的數(shù)量，從而導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間的增加。為了減少該情況發(fā)生的可能性，以構(gòu)件組為單位，采用基于約束的策略來改善該問題，僅針對(duì)計(jì)算前約束條件。在初始化過程中或在迭代過程中通過交叉、變異操作后，當(dāng)有新個(gè)體生成時(shí)，遍歷每個(gè)構(gòu)件組，均通過式（7）～式（9）對(duì)其截面參數(shù)進(jìn)行相關(guān)驗(yàn)算，當(dāng)滿足要求時(shí)，該構(gòu)件組生成有效，否則重復(fù)進(jìn)行相同操作，直至滿足要求為止，為了避免某些構(gòu)件組始終無法滿足要求而陷入死循環(huán)的情況，設(shè)置最大重復(fù)操作的次數(shù)，在超過30次后，將該構(gòu)件組的4個(gè)參數(shù)在取值范圍內(nèi)重新隨機(jī)生成，直到滿足要求。該策略將應(yīng)用于包括種群初始化、交叉、變異、重生成等所有會(huì)生成新個(gè)體的步驟中。

種群初始化。個(gè)體的所有設(shè)計(jì)變量在相應(yīng)的取值范圍內(nèi)隨機(jī)選擇，以構(gòu)件組為單位，采用基于約束的策略生成最終個(gè)體，最大限度地保證初始種群在可行域內(nèi)均勻分布和算法的全局搜索能力。

適應(yīng)度評(píng)估。采用式（12）計(jì)算每個(gè)個(gè)體的偽目標(biāo)函數(shù)值，進(jìn)而得到其適應(yīng)度。

2.3.1 遺傳算法

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）是基于大自然中生物體進(jìn)化規(guī)律，模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇法則和遺傳學(xué)機(jī)理的生物進(jìn)化過程思想的一種優(yōu)化算法，具體為將優(yōu)化問題以基因的形式對(duì)種群中所有個(gè)體進(jìn)行編碼，通過自然選擇、遺傳和變異過程實(shí)現(xiàn)新種群的更新迭代，最終獲得適應(yīng)性高的個(gè)體，即最優(yōu)個(gè)體，該方法已被廣泛應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)、信號(hào)處理、組合優(yōu)化等領(lǐng)域。該算法的主要流程（見圖3）如下。

1）個(gè)體編碼。采用實(shí)數(shù)編碼方式將求解問題轉(zhuǎn)換為可供遺傳算法進(jìn)行后續(xù)操作的帶有數(shù)據(jù)信息的染色體或個(gè)體，建立問題解空間和算法參數(shù)搜索空間的映射關(guān)系。

2）選擇算子。根據(jù)遺傳算法中“適者生存”的思想，從上一代種群的適應(yīng)度選擇出優(yōu)質(zhì)個(gè)體作為交叉和變異操作的基礎(chǔ)。采用輪盤賭策略對(duì)個(gè)體進(jìn)行選擇，即通過計(jì)算所有個(gè)體的適應(yīng)度，其值越高，則被選擇的概率越大。

3）交叉算子。在荷載作用下，結(jié)構(gòu)構(gòu)件具有較強(qiáng)的相互作用關(guān)系，存在著荷載的分配問題，如應(yīng)力不僅與該構(gòu)件的截面尺寸相關(guān)，還與其他構(gòu)件的剛度以及分配的荷載相關(guān)，若在所有設(shè)計(jì)變量之間采用多點(diǎn)交叉，容易導(dǎo)致原本滿足應(yīng)力要求的構(gòu)件發(fā)生超限的情況，使算法的收斂速度降低等問題。為了提高算法的性能，采用基于構(gòu)件層次的多點(diǎn)交叉策略，即在每一組構(gòu)件的4個(gè)參數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)點(diǎn)位進(jìn)行交叉，突出相同構(gòu)件組之間父代特性的繼承和遺傳。

4）變異算子。與交叉算子相似，采用基于構(gòu)件層次的多點(diǎn)變異策略，即在每一組構(gòu)件的4個(gè)參數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)點(diǎn)位，在其取值范圍內(nèi)隨機(jī)生成，提高對(duì)構(gòu)件組的局部搜索能力，增加種群的多樣性并避免“早熟”現(xiàn)象的發(fā)生。

5）終止準(zhǔn)則。設(shè)置最大迭代次數(shù)和最優(yōu)解保持在誤差范圍內(nèi)的最大連續(xù)次數(shù)，當(dāng)滿足任意一種情況時(shí)，優(yōu)化過程終止，輸出最優(yōu)解。

2.3.2 改進(jìn)遺傳算法

經(jīng)典遺傳算法存在著一些弊端，在基于輪盤賭策略的選擇操作中，迭代后期的個(gè)體差異較小，由于適應(yīng)度相近較難選擇出真正的優(yōu)質(zhì)個(gè)體，在交叉和變異操作中，概率固定且缺乏搜索方向的引導(dǎo)，對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值擾動(dòng)較大，容易破壞構(gòu)件層次的優(yōu)質(zhì)基因，使算法的局部搜索能力降低，整體未設(shè)置精英保留策略，可能造成優(yōu)質(zhì)個(gè)體基因的浪費(fèi)。因此，考慮采用適應(yīng)度尺度變換、基于方向的交叉算子、非均勻變異算子、自適應(yīng)概率、精英保留策略、重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，稱為基于方向的自遺傳算法（genetic algorithm，DBAGA），其主要流程見圖4。

適應(yīng)度尺度變換[25]。適應(yīng)度對(duì)算法的收斂性有一定的影響，為了在優(yōu)化初期對(duì)少數(shù)適應(yīng)度較高的個(gè)體進(jìn)行控制，降低其與其他個(gè)體的差異，以維護(hù)種群多樣性，在優(yōu)化后期適當(dāng)放大個(gè)體之間的差異，提高優(yōu)質(zhì)個(gè)體的競(jìng)爭(zhēng)性，采用線性尺度變換策略對(duì)適應(yīng)度進(jìn)行處理，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

精英保留策略[25]。為了避免精英個(gè)體的丟失，提高子代個(gè)體對(duì)父代個(gè)體優(yōu)質(zhì)基因的繼承特性，將歷史最優(yōu)解保存并在每一次迭代過程中用于替代最劣解，可以有效保證最優(yōu)個(gè)體不會(huì)被破壞，提高算法的收斂性，但同樣存在某個(gè)局部最優(yōu)解不易被淘汰而使優(yōu)化過早收斂的問題，因此與重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制配合使用。

重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制[26]。由于算法的遺傳特性，經(jīng)過選擇、交叉和變異操作后，種群中很可能存在重復(fù)個(gè)體，為了避免重復(fù)計(jì)算和降低優(yōu)化時(shí)間，用變異后的精英個(gè)體來替代重復(fù)項(xiàng)，能夠有效增加種群的多樣性，同時(shí)提高對(duì)精英個(gè)體參數(shù)取值附近的局部搜索，改善因精英保留策略帶來的過早收斂和陷入局部最優(yōu)解問題。

2.3.3 多種群遺傳算法

優(yōu)化算法的性能和結(jié)果受到算法中參數(shù)的影響，如遺傳算法中的交叉概率等，基于固定參數(shù)的優(yōu)化隨機(jī)性較強(qiáng)、魯棒性較差，采用基于多種群的思想可以改善此類問題。在同一次優(yōu)化中，同時(shí)生成多個(gè)初始種群或者將整體群體劃分為多個(gè)子群體，每個(gè)子群體設(shè)置不同的算法參數(shù)，各自同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，在一定的迭代次數(shù)后，通過移民算子將各子種群在進(jìn)化過程中出現(xiàn)的最優(yōu)個(gè)體引入相鄰的子種群中，實(shí)現(xiàn)種群之間的信息交換。該方法能夠有效降低的單一種群算法的隨機(jī)性和提高魯棒性，減少對(duì)參數(shù)設(shè)置的依賴性。對(duì)上述GA和DBAGA都進(jìn)行多種群的設(shè)置，即多種群遺傳算法（Multi Population GA，MPGA）和基于方向的多種群遺傳算法（Direction-based MPGA，DMPGA），以MPGA為例進(jìn)行說明，見圖5。在多種群算法中，各參數(shù)值不固定，只給定各自的取值范圍，在每次優(yōu)化開始時(shí)隨機(jī)得到。

移民算子。在多種群算法中，將群體劃分為一些子種群，通過移民操作建立子種群之間的相互聯(lián)系并實(shí)現(xiàn)信息交流，具體步驟如下：設(shè)置子種群數(shù)、移民間隔（相鄰兩次移民的間隔迭代數(shù)）和移民率（每次被移民的個(gè)體數(shù)量）；每個(gè)子種群按一定的模式（即獨(dú)立優(yōu)化器，在圖5中為GA）分別進(jìn)行獨(dú)立優(yōu)化；當(dāng)?shù)螖?shù)滿足移民間隔時(shí)，相鄰子種群進(jìn)行有序的移民操作。如設(shè)置子種群數(shù)為4，移民間隔為5，移民率為1，則將群體劃分為4個(gè)子種群，每個(gè)子種群進(jìn)行獨(dú)立優(yōu)化，每5次迭代時(shí)，用子種群1中歷史最優(yōu)的1個(gè)個(gè)體替換子種群2中當(dāng)代最差的1個(gè)個(gè)體，以此類推，按順序完成所有子種群間的移民操作（2→3，3→4，4→1）。

2.4 自動(dòng)優(yōu)化過程

結(jié)構(gòu)體系的自動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)過程主要包括結(jié)構(gòu)的有限元分析和智能算法的迭代更新兩步，搭建優(yōu)化算法框架，通過MSC.Marc有限元軟件完成對(duì)初始化種群的力學(xué)分析，基于Python二次開發(fā)技術(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行提取和整理，得到個(gè)體的適應(yīng)度，再由優(yōu)化算法生成新一代種群，基于參數(shù)化建模方法和智能算法實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的反復(fù)計(jì)算分析和自動(dòng)尋優(yōu)過程，見圖6。為了節(jié)約結(jié)構(gòu)分析時(shí)間，利用多核CPU設(shè)置并行計(jì)算。

采用4種算法對(duì)鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，各進(jìn)行20次優(yōu)化，在優(yōu)化過程中，各算法的參數(shù)設(shè)置保持不變，具體取值見表2。在2種單種群算法中，因試算后發(fā)現(xiàn)種群規(guī)模設(shè)置較小時(shí)會(huì)出現(xiàn)過早收斂情況且優(yōu)化結(jié)果不理想，故均設(shè)置為100；在2種多種群算法中，移民算子均設(shè)置為每1次迭代后進(jìn)行相應(yīng)操作，子種群均設(shè)置為5個(gè)且每個(gè)子種群10個(gè)個(gè)體。

3 結(jié)果分析

鋼框架結(jié)構(gòu)不同算法的優(yōu)化曲線和計(jì)算結(jié)果見圖7、圖8和表3。對(duì)于GA，20次優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)均能滿足所有的約束條件，但最優(yōu)解呈現(xiàn)出較強(qiáng)的離散性，其標(biāo)準(zhǔn)差為1.79 t，其中，最優(yōu)解和最劣解分別為19.75、27.04 t，差值較大，達(dá)到7.29 t。從圖7（a）中可見，大多數(shù)優(yōu)化所需的分析次數(shù)在4 000次左右，其中，有6次優(yōu)化所需的分析次數(shù)小于2 800次，計(jì)算成本較小，但在1 000次分析后，大多數(shù)優(yōu)化曲線進(jìn)入平穩(wěn)階段且后期僅存在1～2次下降，由此說明，該算法容易陷入局部最優(yōu)解而過早收斂，局部搜索能力較差，這是因?yàn)槠浣徊婧妥儺惒呗远际轻槍?duì)每個(gè)構(gòu)件組的某一個(gè)隨機(jī)的基因位進(jìn)行的相關(guān)操作，不確定性較高，缺乏一個(gè)搜索方向的引導(dǎo)，容易造成優(yōu)質(zhì)基因被破壞。

對(duì)于DBAGA，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)中有8次無法滿足所有的約束條件，由于偽目標(biāo)函數(shù)中考慮了約束條件的影響，因此，受多個(gè)最劣解的影響，優(yōu)化結(jié)果的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差均較差，分別達(dá)到89.35、89.11 t，在該算法參數(shù)的設(shè)置下呈現(xiàn)出較強(qiáng)的離散性和隨機(jī)性。從優(yōu)化所需的分析次數(shù)來說，有14次算例小于3 000次即可達(dá)到終止判別條件，計(jì)算代價(jià)較低，同樣存在容易陷入局部最優(yōu)解而過早收斂的問題。這是因?yàn)樵撍惴ǖ慕徊娌呗允轻槍?duì)設(shè)計(jì)變量的所有維度，雖然通過較優(yōu)個(gè)體向較差個(gè)體提供了搜索方向的引導(dǎo)，但受到算法參數(shù)的設(shè)置影響，如果交叉的兩個(gè)個(gè)體都較差，其交叉后的子代個(gè)體則有較大可能無法得到好的改善，此外，在迭代后期，由于精英策略保留的歷史最優(yōu)個(gè)體將在種群中重要性增加，即使設(shè)置了重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制對(duì)該個(gè)體的重復(fù)項(xiàng)進(jìn)行了變異且在其參數(shù)取值附近進(jìn)行了局部搜索，但由于該個(gè)體本身質(zhì)量較差且每一次迭代僅存在少數(shù)重復(fù)項(xiàng)，算法的局部搜索能力仍不易尋到更優(yōu)質(zhì)的解。

對(duì)于MPGA，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)均能滿足所有的約束條件，最優(yōu)解和最劣解分別為18.25、24.50 t，差值達(dá)到6.25 t，但除少數(shù)案例以外，其他優(yōu)化結(jié)果相對(duì)集中且標(biāo)準(zhǔn)差僅有1.56 t，表現(xiàn)出較大的離散性，但優(yōu)于GA。從圖7（c）中可見，大多數(shù)優(yōu)化所需的分析次數(shù)小于2 700次，計(jì)算時(shí)間較短，在迭代前期能下降到接近最終解便進(jìn)入到平穩(wěn)階段且后期出現(xiàn)下降的次數(shù)較GA有所增加，說明算法的局部搜索能力較GA更好，這是因?yàn)椴捎昧硕喾N群思想，部分改善了GA存在的局部搜索能力較差的缺點(diǎn)。該算法的基礎(chǔ)是GA，同樣是基于構(gòu)件組進(jìn)行的交叉操作，在迭代過程中容易破壞較優(yōu)個(gè)體，缺少搜索方向的引導(dǎo)，大多靠全局搜索來尋優(yōu)，具有一定的隨機(jī)性。

對(duì)于DMPGA，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)均能滿足所有的約束條件，其中，最優(yōu)解和最劣解分別為13.27、17.52 t，標(biāo)準(zhǔn)差僅有1.17 t，該算法的魯棒性較好。從圖7（d）可見，優(yōu)化所需的分析次數(shù)大多集中于5 000次左右，少數(shù)案例進(jìn)行到了最大迭代次數(shù)才終止，受其影響，20次優(yōu)化所需的平均分析次數(shù)達(dá)到6 403次，所有的優(yōu)化曲線表現(xiàn)出較多次的下降，說明該算法的局部搜索能力較強(qiáng)。這是因?yàn)镈MPGA設(shè)置了多個(gè)子種群，集合了多個(gè)不同參數(shù)設(shè)置且獨(dú)立的DBAGA，極大地降低了單種群算法對(duì)其參數(shù)取值的依賴性，由于自適應(yīng)概率和基于方向的交叉算子，每個(gè)DBAGA都存在較差個(gè)體向較優(yōu)個(gè)體前進(jìn)的機(jī)制，即使其歷史最優(yōu)解的質(zhì)量較差，但通過移民算子可以得到極大地改善。

由圖7（e）可見，除DBAGA之外，其他3種算法優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)均能滿足約束條件。其中，GA、DBAGA和MPGA的平均優(yōu)化曲線分別在約1 000、2 000和1 500次分析后下降到較低水平，優(yōu)化前期的收斂速度較快，但隨后基本保持平穩(wěn)狀態(tài)，此外，由表3可見，3種算法所需的平均分析次數(shù)分別為4 195、3 305、3 205次，整體表現(xiàn)為局部搜索能力不足，存在早期陷入局部最優(yōu)解而過早收斂的問題。相比之下，DMPGA的平均優(yōu)化曲線在1 000～3 000次分析中仍有較大幅度的下降，約6 000次分析后進(jìn)入穩(wěn)定期，所需的平均分析次數(shù)為6 403次，雖然遠(yuǎn)高于其他算法，但優(yōu)化前期和后期均能表現(xiàn)出較好的搜索能力且最終得到的優(yōu)化結(jié)果遠(yuǎn)好于其他算法，具體如下：從平均解來說，DMPGA的結(jié)果為15.58 t，比GA、DBAGA、MPGA的結(jié)果分別低33.3%、82.6%、29.2%；從最優(yōu)解來說，DMPGA的結(jié)果為13.27 t，比GA、DBAGA、MPGA的結(jié)果分別低32.8%、32.1%、27.3%；從標(biāo)準(zhǔn)差來說，DMPGA的結(jié)果為1.17 t，比GA、DBAGA、MPGA的結(jié)果分別低34.7%、98.7%、25.2%；從最劣解來說，DMPGA的結(jié)果為17.52 t，比GA、DBAGA、MPGA的最優(yōu)解都小，分別低11.3%、10.3%、4.0%。因此，由于采用了并行計(jì)算技術(shù)，平均一次結(jié)構(gòu)分析所用時(shí)間約為1～2 s，一次結(jié)構(gòu)優(yōu)化所需的總體計(jì)算時(shí)間約為1～4 h，耗時(shí)較短，DMPGA在計(jì)算效率方面雖有不足和有待改進(jìn)之處，但在可接受范圍之內(nèi)，此外，該算法在搜索能力和優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的質(zhì)量結(jié)果方面有明顯的優(yōu)勢(shì)。

由圖8和表3可見，不同算法的最優(yōu)解都能滿足約束條件，但最優(yōu)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量參數(shù)值和性能指標(biāo)結(jié)果相差較大，這是因?yàn)槊糠N算法都是基于遺傳算法的思想，具有一定的隨機(jī)性，即使結(jié)構(gòu)總質(zhì)量相近，但構(gòu)件尺寸和結(jié)構(gòu)性能仍存在較大差異。與GA和DBAGA相比，總體來說，基于多種群思想的MPGA和DMPGA最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)更接近限值，兩者相比，DMPGA的結(jié)果更好，如最大層間位移角為0.003 98，基本等于限值1/250，多組構(gòu)件的穩(wěn)定性結(jié)果接近1，說明其優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)更優(yōu)，既能滿足約束條件，又具有較小的總質(zhì)量。

總體來說，DBAGA比GA的局部搜索能力更強(qiáng)，這是因?yàn)榉蔷鶆蜃儺愃阕雍椭貜?fù)項(xiàng)替代機(jī)制同時(shí)增加了種群的多樣性和歷史最優(yōu)個(gè)體參數(shù)取值附近的局部搜索，但優(yōu)化結(jié)果仍較差；基于多種群的算法能夠有效改善基于單種群的算法的隨機(jī)性和魯棒性，通過多組不同參數(shù)設(shè)置降低了優(yōu)化結(jié)果對(duì)其的依賴性，如在前面分析中提到的DBAGA可能由于精英策略保留的個(gè)體質(zhì)量較差而不易尋到更優(yōu)質(zhì)的解，但通過多種群機(jī)制的移民算子，能夠有效建立起子種群之間多個(gè)歷史最優(yōu)解的聯(lián)系，有效彌補(bǔ)了單種群算法的不足；與MPGA相比，由于增加了基于方向的交叉算子能夠引導(dǎo)較差個(gè)體向較優(yōu)個(gè)體學(xué)習(xí)，DMPGA具有更強(qiáng)的全局和局部搜索能力。

4 結(jié)論

以結(jié)構(gòu)的材料用量最小化為目標(biāo)，通過罰函數(shù)法同時(shí)考慮多種結(jié)構(gòu)約束條件，以遺傳算法為基礎(chǔ)，結(jié)合鋼框架結(jié)構(gòu)的特征，建立了結(jié)構(gòu)的自動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程，通過多種策略對(duì)算法進(jìn)行了改進(jìn)，引入多種群思想，驗(yàn)證了多種群遺傳算法在鋼框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中的有效性，主要結(jié)論如下：

1）與GA相比，DBAGA由于引入了基于方向的交叉算子、非均勻變異算子和重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制，有效地提高了算法的局部搜索能力，但其優(yōu)化結(jié)果仍較差，多數(shù)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)無法滿足所有的約束條件。

2）基于多種群思想的遺傳算法通過設(shè)置多個(gè)不同參數(shù)的子種群和移民算子，建立起子種群之間的聯(lián)系，降低了單種群遺傳算法對(duì)參數(shù)設(shè)置的依賴性，有效地改善了其隨機(jī)性較強(qiáng)的問題，提高了算法的魯棒性。

3）基于多種群思想的DMPGA由于存在基于方向的交叉算子、非均勻變異算子、重復(fù)項(xiàng)替代機(jī)制，其局部搜索能力得到了較大的改善，優(yōu)化結(jié)果的最優(yōu)解為13.27 t，比GA、DBAGA、MPGA的結(jié)果分別低32.8%、32.1%、27.3%。

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[24]? 鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)： GB 50017—2017 [S]. 北京： 中國(guó)計(jì)劃出版社， 2018.

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[27]? 周明， 孫樹棟. 遺傳算法原理及應(yīng)用[M]. 北京： 國(guó)防工業(yè)出版社， 1999.

ZHOU M， SUN S D. Genetic algorithms： theory and applications[M]. Beijing： National Defense Industry Press， 1999. （in Chinese）

（編輯? 胡玲）

DOI： 10.11835/j.issn.2096-6717.2022.071

收稿日期：2022?01?30

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（52130801）；重慶市博士后研究項(xiàng)目（2021XM2039）

作者簡(jiǎn)介：周俊文（1991- ），男，博士，助理研究員，主要從事結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，E-mail：0zhoujunwen0@cqu.edu.cn

通信作者：劉界鵬（通信作者），男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：liujp@cqu.edu.cn。

Received： 2022?01?30

Foundation items： National Natural Science Foundation of China （No. 52130801）; Chongqing Postdoctoral Science Foundation （No. 2021XM2039）

Author brief： ZHOU Junwen （1991- ）， PhD， research assistant， main research interest： structural optimization design， E-mail： 0zhoujunwen0@cqu.edu.cn.

corresponding author：LIU Jiepeng （corresponding author）， professor， doctorial supervisor， E-mail： liujp@cqu.edu.cn.