摘要：考慮乘積格上非直積三角模的構造問題，給出乘積格上一類非直積三角模，從而解決了在乘積格上是否存在其他形式非直積三角模的一個公開問題.

關鍵詞：非直積；三角模；乘積格

中圖分類號：0159文獻標志碼：A文章編號：1671-5489（2024）05-1085-06

Construction of a Class of Non-direct Product Triangular Norms

CHEN Ziwen，LIUXimin

（School of Mathematical Sciences，Dalian University of Technology，Dalian 116024.Liaoning Province，China）

Abstract：We considered the construction problem of non-direct product triangular norms on product lattices，and gave a class of non-direct product triangular norms on product lattices，thus solving an open problem of whether there were other forms of non-direct product triangular norms on product lattices.

Keywords：non-directproduct;triangularnorm;product lattice

0引言

Menger[1]引入的三角模是一類重要的聚合函數(shù)，旨在統(tǒng)計度量空間框架下的推廣三角不等式，為得到更恰當、更一般的形式，Schweizer等[2]定義了弱統(tǒng)計度量空間的概念，并討論了Menger推廣的三角不等式，給出了單位區(qū)間上三角模的公理化定義.由于三角模較好地反映了“邏輯與”的性質，因此三角模在多值邏輯學研究中得到廣泛關注，目前，三角模已廣泛應用于統(tǒng)計度量空間、多值邏輯、決策支持、函數(shù)方程、測度理論等領域，對三角模的研究已取得了豐富的成果，并將其推廣到一般序結構上，特別是有界格上三角模的構造和刻畫[3-]

單位區(qū)間[0，1]與有界格的區(qū)別是格中的元素具有不可比較性，即底層結構上的序關系有本質不同，故在逐點序的乘積格上賦予三角模的研究備受關注.De Baets等[8]研究了乘積格上的直積三角模，并提出一個公開問題：在[0，1]上是否存在連續(xù)的非直積三角模.

Jenei等[0]給出了一個構造乘積格L\"上非直積三角模的方法，解決了上述問題，并進一步提出以下公開問題：

（i）在乘積格上是否存在其他形式的非直積三角模；

（ii）刻畫一類乘積格上非直積三角模；

（iii）若T是乘積格L上的三角模，則是否存在x，yEL，使得xAy=0，xVy=1，T（x，x）=x，T（y，y）=y蘊含T的直積分解性.

Karacal等]通過一個反例說明了公開問題（i）的答案是否定的，并給出直積三角模的一個刻畫定理，解決了公開問題（ii）.對于公開問題（i），Karacal11給出了乘積格上一個非直積三角模的實例.

本文討論更一般乘積格L，上的非直積三角模，構造乘積格L上一類非直積三角模，對Jenei等提出的公開問題（i）給出不同的答案.

1預備知識

定義1[12]有界格（L，≤，0，1）是有最大元1和最小元0的格.

定義2[8]設（L，≤，0L，1L）是一個有界格，若對任意的x，y，z∈L，滿足下列條件：

1）T（х，у）=T（у，x）;

2）T（x，T（y，z））=T（T（x，y），z）;

3）Vy≤z，T（x，y）≤T（x，z）;

4）T（x，1）=x.

則L上的一個二元運算T：L2→L稱為一個三角模.

下面給出有界格上的最大三角模和最小三角模：

命題1[8]設T1是有界格L1上的三角模，T2是有界格L2上的三角模，則T1和T2的直積

是乘積格L1×L2上的三角模.

假設本文有界格L均滿足“L”≥2，并記1=（11，·，1_1，1），0=（01，.·.，0_1，0），N表示自然數(shù)集，F(xiàn)={1，2，··，n}表示N的前n項.

2主要結果

設n∈N，n≥2，（L1，≤，0t，11）1∈是一族有界格，P是F的非空子集.對任意j，k∈P，i∈F，定義L；上的二元運算+，滿足如下性質：

1）x+，y=y+，x;

2）（Λу），=（xO;z）Λ（у;）;

3）x∧y≤x+;y.

映射δ：L→L，滿足如下性質：

對乘積格∏L1中的任意元x=（x1，··，xn_1，xn），y=（y1，··，yn-1，yn），定義

定理1設n∈N，n≥2，（L1，≤，0L，1）∈是一族有界格，P是F的非空子集.對任意j∈P，i∈F，L，上的二元運算滿足性質1）～3），且映射a：L；→L，滿足性質4）～7），則二元運算

是L1上的三角模.特別地，下列結論等價：

1）T是一個非直積三角模；

2）對某個j∈P，存在a，b∈Lj，滿足a+，b≠1L，.

證明：單位元和交換性易證.下面驗證保序性和結合性.

保序性假設IL.如果1｝則保序性然如果1（則由δ和+，保序易知T保序.

結合性.需證明對任意x，y，z∈ⅡL2，T（T（x，y），z）=T（T（y，z），x）成立.對1∈{x，y，z}，顯然.對1∈{x，y，z}，j∈F且P={i1，··，i，}具有序i1lt;i2lt;·lt;i，考慮如下兩種情形.

①如果jP，則T（T（x.y）z）和T（x.T（y.z）的第j項坐標然均為x，Ay，A

②如果j∈P，假設j=i1，則T（T（x，y），z）的第j項坐標為

對每個i2≤t≤i，有

因此

z，A y;A z，A a，（x.y）A（（A o（z）A

類似地，T（T（y，z），x）的第j項坐標為

根據(jù)∧和+的交換性，有

因此T是L1上的三角模.

2）→1）.假設T是一個直積的三角模，對任意j∈P，有

因此，對任意a，b∈L1，0L，+01，=11，a+b=1t1，矛盾.

1）→2）.顯然成立.

注1對任意i，j∈P，易證L和L，同構.因此，如果P=F，則由定理1可得L”上的一類非直積三角模.

上述結果是在更一般的乘積格L；上構造了一類非直積三角模，推廣了文獻[9]中乘積格L”上的結果，對Jenei等提出的公開問題（i）給出了不同回答.基于定理1可繼續(xù)研究DeBaets等]提出的公開問題.

定理2設n∈N，n≥2，（L，≤，0L，1L）是一個有界格，P是F的非空子集.對任意的j∈P，i∈F，L上的二元運算④，滿足性質1）～3），且映射：L→L滿足性質4）～7），則二元運算

是L”上的三角模.進一步，下列結論等價：

1）T是一個非直積三角模；

2）對某個j∈P，存在a，b∈L，滿足a+b≠11.

證明類似定理1，故略.

下面利用上述結果，研究乘積格[0，1]3上的非直積三角模.

例1對于乘積格[0，1]3，設F={1，2，3}且P是F的非空子集.

情形1）對P={1}，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A1=（6n），δn：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

情形2）對P={2}，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A2=（δ2）∈，δ2：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

情形3）對P={3}，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A3=（6B）F，3：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

情形4）對P={1，2}，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A4=（δ）∈.∈P，：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

情形5）對P={1，3}，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A5=（δ），P，：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

情形6）對P={2，3}，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A6=（δ）P.∈P，6：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

情形7）對P=F，0lt;a，b≤1，定義映射矩陣A7=（δ）.∈，δ：[0，1]→[0，1]為

由定理1知，

是非直積三角模.

易證p。T：[0，1]3×[0，1]3→[0，1]是連續(xù)的，p是從[0，1]3到[0，1]的投射.因此T是一個連續(xù)的非直積三角模，其中i∈{1，2，··，7}，j∈{1，2，3}.

注2例1說明隨著參數(shù)a和b的取值不同，[0，1]”上存在足夠多的連續(xù)的非直積三角模.顯然，文獻[9]中的結果是a和b都等于1的情形，表明本文的結果也回答了DeBaets等提出的公開問題.

參考文獻

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（責任編輯：李琦）