摘要：考慮一類具有Holling-Ⅱ型功能反應函數(shù)的交叉反應擴散模型在非齊次Dirichlet邊界條件下的動態(tài)分歧問題。首先，用譜分析理論得到對應的線性化問題特征值的臨界穿越條件；其次，選取環(huán)境承載系數(shù)為分歧參數(shù)，利用中心流形約化和動態(tài)分歧理論得到該系統(tǒng)的動態(tài)躍遷類型和分歧解的解析表達式，最后，利用有限差分法，在不同的參數(shù)情形下給出系統(tǒng)的斑圖變化模式.

關鍵詞：反應擴散模型；特征值分析；動態(tài)躍遷；數(shù)值模擬

中圖分類號：O175.29文獻標志碼：A文章編號：1671-5489（2024）05-1063-09

Dynamic Bifurcation of a Class of Predator-Prey Models with Cross Reaction Diffusion

QI Zicheng，LIURuikuan，WUChenlong

（School of Science，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China）

Abstract：We considered the dynamic bifurcation problem of a class of cross-reaction-diffusion models with Holling-lI functional response function under non-homogeneous Dirichlet boundary conditions.Firstly，the critical crossing conditions for the corresponding linearization problem eigenvalues were obtained by using the spectral analysis theory.Secondly，the environmental carrying coefficient was selected as the bifurcation parameter，the analytical expression of the dynamic transition type and bifurcation solution of the system was obtained by using the center manifold reduction and the dynamic bifurcation theory.Finally，by using the finite difference method，the pattern change patterns of the system were given under different parameter conditions.

Keywords：reaction-diffusionmodel;eigenvalueanalysis;dynamictransition;numerical simulation

0引言

考慮如下一類具有Holling-Ⅱ型功能反應函數(shù)且具有交叉擴散效應的模型：

其中ΩCR”為有界光滑區(qū)域，u和v分別表示食餌和捕食者的種群密度，K為環(huán)境承載能力，d，和d，是物種的擴散系數(shù)，d2和d，是交叉擴散系數(shù)，0為捕食者的死亡率，是Holling-11功能反應函數(shù)（該函數(shù)能較準確地反映真實世界中無脊椎動物與其捕食者之間的生物學相互作用），m表示相互作用對兩種物種相對影響的強度，u，gt;0和ngt;0為初值，u=0和。=0（1-（m-DK）為系統(tǒng)（1）的一個穩(wěn)態(tài)解.

當d2=ds=0（即不考慮交叉擴散效應）時，系統(tǒng)（1）即退化為經(jīng)典的具有Holling-11型功能反應函數(shù)的捕食-食餌反應擴散模型，對該模型全局解的存在性、正則性和穩(wěn)定性研究目前已得到廣泛關注[-20]，例如：Bie等3針對類似的交叉擴散模型的定態(tài)過程，探討了交叉擴散對正常數(shù)平衡點穩(wěn)定性的影響；Peng等[4]通過正解的先驗估計，證明了當m足夠大時，經(jīng)典的Holling-11型反應擴散系統(tǒng)不存在非常數(shù)正平衡解；Sun等1討論了具有捕食者同類相食行為的Holling-11型捕食-食餌模型的Turing不穩(wěn)定性，得到了該模型Turing斑圖出現(xiàn)的條件；Wang等[6]研究了具有強Allee效應的Holling-11型反應擴散系統(tǒng)的動力學行為，在強Allee效應的條件下獲得了該系統(tǒng)不存在非常數(shù)正穩(wěn)態(tài)解；Han等[7]提出了一類具有時滯擴散效應的Holling-11型種群內(nèi)捕食模型，并利用規(guī)范化方法和中心流形約化方法，給出了該模型Hopf分歧方向和穩(wěn)定性結(jié)果；Yang等[13]針對一類具有避難和時滯效應且具有雙曲型死亡率的捕食-食餌系統(tǒng)，分別獲得了避難效應和時滯效應引起的Turing不穩(wěn)定性和Hopf分歧結(jié)果；Rao[14]研究了一類具有Holling-11型功能反應函數(shù)的有毒浮游植物與浮游動物空間模型的復雜動力學行為.

受上述研究的啟發(fā)，本文借助非線性演化方程的動態(tài)分歧和躍遷定理[21-22]，選取模型中的環(huán)境承載能力為分歧參數(shù)，得到具有交叉擴散效應且具有Holling-11型功能反應函數(shù)的非線性反應擴散系統(tǒng)（1）的動態(tài)躍遷類型和分歧解的解析表達式，并給出相關的數(shù)值結(jié)果，針對該類交叉擴散模型研究一般采用類似文獻[3]的經(jīng)典方法，本文用另一種特征值譜分析與動態(tài)躍遷結(jié)果相結(jié)合的方法[23]進行研究.在引入交叉擴散后臨界穿越參數(shù)不具有理想分離的情況下，給出一些假設條件證明對應的臨界穿越條件，最后結(jié)合動態(tài)躍遷定理分析其躍遷類型.

1 預備知識

參考文獻[21-22]，設H和H，為Hilbert空間，H，CH是稠密緊包含.考慮如下非線性演化方程：

其中：入是參數(shù)；w：[0，+0）→H是未知函數(shù)；L：H，→H為一個連續(xù)依賴于A的線性全連續(xù)場，滿足

G（·，A）：H?！鶫（Olt;1）是C'（rgt;1）有界映射，且

下面始終假設式（3）和式（4）成立.

定義1[21]若系統(tǒng)（2）對某個λ。ER滿足下列條件：

1）當入lt;λ。時，w=0是系統(tǒng)（2）的一個漸近穩(wěn)定的平衡解；

2）當Agt;λ。時，存在ω=0的一個與參數(shù)λ無關的鄰域UCH，滿足

其中a（t：g）為系統(tǒng)（2）以為初值的解，為の=0的穩(wěn)定流形.則稱系統(tǒng)（2）在（，）=（0，0）處發(fā)生躍遷.

假設{B（λ）∈C|j∈N*}為算子L2的特征值，且對某個λ∈R滿足如下條件：

引理1[21]若條件（5）成立，則系統(tǒng)（2）在（w，λ）=（0，）處發(fā)生躍遷，且躍遷類型必為下列3種情形之一：

1）（連型遷）存在の=0的某個郭域UCH，使得對任意的∈U，系統(tǒng)（2）的解2（t；）滿足limlimIl w;（t;g）Ilн=0;

2）（跳型遷）對任意的lt;lt;+e（egt;0），存在一個稠密開子集UCU，使得對任意的∈U，有l(wèi)im sup‖w2（t；9）‖H≥δ≥0，其中常數(shù)δgt;0，且與參數(shù)λ無關；

3）（混合型遷）對任意的lt;lt;+e（egt;0），U可分解為U=UUU，U∩U=0，其中U和U均為開集（但不一定連通），且系統(tǒng)（2）的解（t；9）滿足：

U稱為穩(wěn)定型區(qū)域，U稱為跳躍型區(qū)域.

2特征值分析與臨界穿越條件

為方便，不妨取2=（0，L1）×（0，L2）（L1，L2gt;0）.易知無量綱方程（1）存在如下3個常數(shù)穩(wěn)態(tài)解：其中a=0，b=m0（1-（m0）K）

事實上，只有正的穩(wěn)態(tài)解在生物系統(tǒng)長期演化中才有意義.因此，為使系統(tǒng)（1）存在正的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解（u*gt;0，vgt;0），需給出如下假設：

對系統(tǒng)（1）做如下平移變換：u=ǔ+u，v=+v*，則有

下面討論系統(tǒng)（6）在（0，0）處的穩(wěn)定性.對系統(tǒng)（6）中的非線性項在（0，0）處進行Taylor展開（仍將（ǔ，ǔ，1，）記作（u1，u，v1，v），則有

其中p：=1/（1+）.因此，后紋只需對系統(tǒng)（7）在平衡點（0，0）處的遷情況進行討論.

定義函數(shù)空間H：=L2（2，R2），H1：=H2（2.R2）∩H3（2，R2），并用く，表示空間H上的內(nèi)低令算AH為A-子為

其中λ：=1/K為控制參數(shù).于是，系統(tǒng)（7）的線性部分可寫成如下形式：L2=-A+B2.顯然，L2：H→H是連續(xù)依賴于λ的參數(shù)化線性全連續(xù)場.定義非線性算子G：H1→H為

因此，初邊值問題（7）可等價于如下抽象形式：

其中=（12）=（uo-u，o-0）.

2.1特征值分析

根據(jù)方程（2），算子L1的特征值問題可表示為

令{）lt;C（D）為Laplace算子在齊次Dirichlet邊界下的特征值（p）所對應的一組特征函數(shù)，并滿足歸一化條件d……，中Kke號由于=0L）0.故有

這里k=+k1……A是使d=1成立的正常數(shù).然、p滿足0lt;……pn≤….令

則矩陣MA（λ）的特征值問題可表示為M（λ）=3，其中是MA對應于特征值β的特征向量.因此，特征值問題（8）對應于β的特征向量為ei=k（k=1，2，3，.·）.通過代入u*，v計算可知，BA=B（i=1，2）滿足

其中

因此可表示為

假設：

易見，若條件（H2）成立，則△=B2-4Cgt;0恒成立.因此特征值β均為實數(shù).取L2關于β的特征向量為

且{e}.構(gòu)成空間H上的一組基.設L2和M分別是L2和M的伴隨算子，則M的特征值。與M的特征值β共軛.由于B∈R，因此B=.算子L對應于特征值的特征向量為

且滿足

其中Pk1=1+hkigk1，Pk2=1+hk2gk2.

2.2PES條件

系統(tǒng)（8）的穩(wěn)定性由該系統(tǒng)線性化問題特征值的臨界穿越（principle of exchange of stabilities，PES）條件確定.為此，需先確定特征值的符號.

由式（10）可知，對任意的k∈N°，有k2lt;0，且Bk1的正負取決于Ck的正負.將Ck=0改寫為d-+（——+-）=a

假設：

當條件（H3）成立時，令式（9）中C=0，可定義常數(shù)

令式（9）中B2=0，可定義常數(shù)

下面只討論λ。lt;A的情況.

引理2當λ在入的某個鄰域上時，如下結(jié)論成立：

1）當入lt;Ac時，Bult;0;當λ=2c時，B1=0;當入gt;c時，Bugt;0.

2）當（k，j）≠（1，1），j=1，2時，時（λ）lt;0.

證明：當λ=λ時，C1=0即B1=0，且

當入gt;Ae時，C1lt;0即B1gt;0;當Alt;Ae時，C1gt;0即B1ult;0.

此外，當k≠1時，根據(jù)式（14），（15）中定義，有

因此2（λ）lt;0.綜上可知結(jié)論成立.

3主要結(jié)果

下面分兩種情形討論當參數(shù)λ穿越臨界值λ=λ時，系統(tǒng)（8）的躍遷類型和發(fā)生躍遷后分歧解的解析式記a）=P的定義與式（）3）同

情形10.P=（m-g）mh1

定理1若a（λ）≠0，則下列結(jié)論成立：

1）系統(tǒng)（7）在ω=0處有一個混合型躍遷，即存在=0的鄰域UCH1，滿足：

①U=U+U2+D2，其中U，U為兩個不相交的開集；

②U中的躍遷為跳躍型，U2中的躍遷為連續(xù)型.

2）當λlt;λ。時，=0是漸近穩(wěn)定的，且系統(tǒng)（7）分歧出唯一的鞍點（λ）.

3）當xgt;時、系統(tǒng)（7）在U中分歧出一個奇點吸引子可（）-+（）滿足lil（9）-（）=0gU2

證明：由線性全連續(xù)場譜理論知，空間H和H1可分解為H=E1+E2，H1=E1+E2，其中E1=span{en?，Ez=Et.

當在附近時，方程（）的解可表示為=n+EeEBz∈E2，e（i=1，2）是特征值B對應的特征向量.因此在空間E1中，系統(tǒng)（7）可約化為

由于r0因此不需要考慮中心流形函數(shù)的影響，令式（1）a=則有

直接計算可得

于是，方程（17）可化為

若a（λ）≠0，則方程（18）的一個穩(wěn)態(tài)解為1=-+0（“B1”）.顯然，當λgt;λ。時，1是方程（18）的一個局部漸近穩(wěn)定奇點，且當λlt;λ。時，x1是方程（18）的一個不穩(wěn)定鞍點.

注意到系統(tǒng)（7）的躍遷類型及其局部拓撲結(jié)構(gòu)完全由約化方程（18）決定，從而當λgt;入時，可（）-n+1是系統(tǒng)（）的一個局部新近穩(wěn)定奇點，即系統(tǒng)（）在U中有一個連線型躍遷；同時，當lt;時，の（）是系統(tǒng)（7）的一個不穩(wěn)定鞍點，即系統(tǒng)（7）在U2中有一個跳型遷證畢.

情形

其中

定理2若λ足夠小，則下列結(jié)論成立：

1）當a（）gt;0時，系統(tǒng)（7）在（0.）處有一個跳型遷，并在gt;一側(cè)分歧出兩個鞍點の（）；

2）當a（）lt;0時，系統(tǒng)（7）在（0）處有一個連型遷，并在lt;一側(cè)分歧出兩個淅近穩(wěn)定的奇點の（）;

3）奇點の（）可表示為

證明：類似定理1的證明，系統(tǒng)（7）在空間E1中可約化為

為計算式（21）的最后一項，需確定中心流形函數(shù)Φ（x）：E1→E2，令

由。附近中心流形函數(shù)的漸近表達式（文獻[22]中定理A.1.14）可知，

其中

將式（19），（20）代入（x1）=（中1）x+o（2）中，并結(jié)合式（22，有

再結(jié)合式（21）和式（24），有

顯然，當a（λ）gt;0，λgt;λ時，方程（25）分歧出兩個鞍點；當a（λ）lt;0，λlt;λ。時，方程（25）分歧出兩個漸近穩(wěn)定的奇點：x=B+0（B）.注意到系統(tǒng)（7）的躍遷類型及其局部拓撲結(jié)構(gòu)完全由約化方程（25）決定.因此，當a（λ）gt;0，λgt;A。時，系統(tǒng)（7）分歧出兩個不穩(wěn)定的鞍點；當a（λ）lt;0，lt;λ時，系統(tǒng)（7）分歧出兩個漸近穩(wěn)定的奇點：

4數(shù)值模擬

下面利用MATLAB進行數(shù)值模擬，討論當控制參數(shù)λ發(fā)生變化時系統(tǒng)（7）的Turing不穩(wěn)定性.固定擴散項系數(shù)的取值為d1=0.5508，d2=-0.7081，d3=-0.2909，d4=0.5108，m=0.4，0=0.0647，L1=L2=π.

模擬過程中令上述系數(shù)固定，同時令參數(shù)λ在適當范圍內(nèi)變化，系統(tǒng)（7）的斑圖如圖1所示.由圖1可見，隨著λ值的逐漸增大，系統(tǒng)（7）的Turing斑圖形成的圓環(huán)逐漸向外擴散，當λ達到某一臨界值后，斑圖幾乎保持不變.當斑圖固定臨界值在=20附近時，將模擬中數(shù)值代入計算可知對應的A≈18.4607，與模擬斑圖效果一致，因此控制參數(shù)λ的變化能影響系統(tǒng)（7）的Turing不穩(wěn)定性.系統(tǒng)（7）的數(shù)值模擬中系數(shù)需滿足所有假設條件，在此基礎上，通過使參數(shù)在適合范圍內(nèi)變化，最終選取斑圖效果較好的一組數(shù)據(jù)作為模擬結(jié)果，對滿足假設條件的不同系數(shù)，所得的臨界值參數(shù)λ也會隨之變化，結(jié)論仍成立.

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（責任編輯：李琦）