摘要：基于變指數(shù)Fourier-Besov函數(shù)空間理論，利用Littlewood-Paley分解工具、Fourier局部化方法和Banach壓縮映射原理，通過建立線性項(xiàng)與非線性項(xiàng)的估計(jì)，證明分?jǐn)?shù)階Boussinesq-Coriolis方程在臨界變指數(shù)空間）（R3）中解的整體適定性和Gevrey類正則性.

關(guān)鍵詞：Boussinesq-Coriolis方程；變指數(shù)Fourier-Besov空間；整體適定性；Gevrey類正則性

中圖分類號：O174.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1671-5489（2024）05-1043-09

Global Well-Posedness and Regularity of Solutions to Fractional Boussinesq-Coriolis Equations in Variable Exponent Fourier-Besov Spaces

LI Fengjuan，SUN Xiaochun，WU Yulian

（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China）

Abstract：Based on the theory of variable exponent Fourier-Besov function spaces，we used Littlewood-Paley decomposition tools，F(xiàn)ourier localization methods and Banach contraction mapping principle.By establishing estimations for both linear and nonlinear terms，we proved the global well-posedness and the Gevrey class regularity of the solutions to the fractional Boussinesq-Coriolis equations in critical variable exponent Fourier-Besov spaces 3）（R3）.

Keywords：Boussinesq-Coriolisequation;variable exponent Fourier-Besovspace;globalwell-posedness;Gevrey class regularity

0引言

考慮三維分?jǐn)?shù)階不可壓縮Boussinesq-Coriolis方程解的初值問題：

其中：u=（u（x，）.u2（x.）.3（x.t），=p（x.），=（x.t）分別為流體在點(diǎn)（x，t）∈R3X（0，∞）的未知速度、未知壓力和溫度；正常數(shù)v，μ和g分別為黏度系數(shù)、熱擴(kuò)散系數(shù)和重力加速度；e3×u為CiR為流體燒垂直單位矢量e=0裝速gk表示浮力△=表示Laplace算子.文獻(xiàn)[1-3]給出了問題（1）的物理意義.Wang證明了三維分?jǐn)?shù)階磁流體方程在臨界變指數(shù)Fourier-Besov空間中解的整體適定性和解析性；Abidin等5]證明了當(dāng)初值。屬于變指數(shù)Fourier-Besov-Morrey空間時(shí)，分?jǐn)?shù)階Navier-Stokes方程解的整體適定性；Abidin等]證明了Prandtl常數(shù)為1時(shí)三維地球物理原始方程在變指數(shù)Fourier-Besov空間中小初值意義下解的整體適定性和解析性；當(dāng)方程（1）中a=1時(shí)，Sun等證明了當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度“2”充分大時(shí)，方程（1）在Besov空間中整體溫和解的存在唯一性；Sun等證明了當(dāng)初值（u。，）屬于變指數(shù)Fourier-Besov空間時(shí)，方程（1）解的整體適定性.文獻(xiàn)[9-16]給出了不可壓縮Navier-Stokes方程、微極流體方程、磁流體方程、多孔介質(zhì)方程和地球物理原始方程在變指數(shù)函數(shù)空間中解的適定性結(jié)果.本文主要研究v=μ=1的情形.

二階橢圓微分算子的原型是Lpc算子A=∑Fourier換的象征為ー.Lace算子與Brown運(yùn)動中的Markov運(yùn)動有關(guān)，即一個(gè)給定的微分算子構(gòu)造一個(gè)Markov過程.例如與L次Markov半群相關(guān)的Hunt過程就是利用微分算子構(gòu)造的.Demuth和van Casteren發(fā)展的隨機(jī)譜分析理論用一般對稱的Feller過程代替了Laplace運(yùn)動或Brown運(yùn)動n.分?jǐn)?shù)階Laplace算子（-△）是橢圓微分算子的推廣，其象征為“ξ”2”.Riesz在處理分?jǐn)?shù)階Laplace算子（一△）時(shí)首先注意到了該算子的非局部特征，該特征不僅與物理學(xué)中的擴(kuò)散過程、材料學(xué)中的熱傳導(dǎo)等問題密不可分，而且在圖像處理、信號處理和金融學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[7

與Fourier-Besov空間相比，一般的變指數(shù)Fourier-Besov空間中不再具有平移不變性質(zhì)，從而使一些經(jīng)典理論如Young不等式和乘積定理均不再成立.因此，在變指數(shù)函數(shù)空間中研究方程的適定性有一定困難.本文研究分?jǐn)?shù)階Boussinesq-Coriolis方程在變指數(shù)Fourier-Besov空間中解的整體適定性和Gevrey類正則性，所得結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[8]的相應(yīng)結(jié)果.

1預(yù)備知識

設(shè)9（R3）是R3上的光滑速降函數(shù)空間，9（R3）表示9（R3）的拓?fù)鋵ε伎臻g，也稱為緩增分布空間.設(shè)非負(fù)光滑函數(shù)X，∈9（R3）滿足

其中1（E）=φ（2-ξ）.定義局部化算子

其中∫，=9-.由上述定義可知，當(dāng)｜iーi｜≥2時(shí)，，恒為0；當(dāng)ー｜≥5時(shí)，（，-1-△）恒為0.

對可測函數(shù)p（·），記

變指數(shù)Lebesgue函數(shù)空間定義為LM）={f：R3→R，‖f‖（.）lt;∞}，f的L（）范數(shù)定義為

由于L中不具有平移不變性，為保證Hardy-Littlewood極大算子在L（）（R3）上有界，因此假設(shè)p（·）滿足log-Holder連續(xù)條件.

若存在正常數(shù)Cag（p），使得對任意的x，y∈R3且x≠y，p（·）滿足

或若存在正常數(shù)Clog（p）和p，使得對任意的x∈R3，p（·）滿足

則p（·）分別稱為局部log-Holder連續(xù)的和整體log-Holder連續(xù)的.本文所考慮的p（·）屬于既局部log-Holder連續(xù)又整體log-Holder連續(xù)的函數(shù)空間，記為Clog（R3）.

設(shè)p（·），q（·）∈%（R3），l（）（L（））表示由R3上所有可測函數(shù)序列{f}；∈z組成的函數(shù)空間，記

其中

假設(shè)qlt;P）z）=成立

定義1設(shè)p（·），q（·）∈Cng（R3）∩%（R3）且s（·）∈Cg（R3），則齊次變指數(shù)Besov空間定義為

f的范數(shù)定義為

其中9'（R3）表示y（R3）=｛f∈（R3）：（D）（0）=0，a∈N+｝的對偶空間.

設(shè)Tgt;0，p∈[1，∞]，L°（0，T；B）空間中緩增分布函數(shù)f的范數(shù)定義為

L°（0，T；）空間中緩增分布函數(shù)f的范數(shù)定義為

記L：=L°（0，T;），L：=L°（0，T;）.根據(jù)Minkowski不等式，有

定義2（齊次變指數(shù)Fourier-Besov空間）設(shè)p（·）.q（·）∈C（R3）（R3）且s（·）∈Clog（R3），則齊次變指數(shù)Fourier-Besov空間定義為

f的B（）范數(shù)定義為

類似可定義L°（0，T；FB），L°（0，T；B）空間中緩增分布函數(shù)f的范數(shù).

引理Ice不等給定一個(gè)可測集A和可測函數(shù)r（（））（A），則存在一個(gè)常數(shù)C使得當(dāng)（）gA（A）時(shí)有

引理2

引理3（Sobolev不等式）[18]設(shè)po（·），p1（·）∈（R3）且50（·），s1（·）∈L（R3）∩C（R3）（s，（·）gt;s1（·）.

1）若（（R）和（）“（）-”是局部I，則

2）若%（）（）+是局部log-Holder連續(xù)的，則（）（）（）（），其中ess infe（x）gt;0.

引理4（Mollification：不萬等式）設(shè)p（·）∈Cn（R3），f∈L（R3），ゅ∈L（R3），（x）=y“（y）”可積，則有

其中（）C依賴于

引理5[10]設(shè)0≤a≤2且0lt;5≤tlt;∞，則對任意的y，z∈R3，有

2線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)的估計(jì)

考慮下列方程：

方程（4）的解可由Stokes-Coriolis半群Ta（t）表示為

其中u∈（R3），I是M3x3（R）中的單位矩陣，R（ξ）是斜對稱矩陣：

根據(jù)Duhamel原則，方程（1）的解可寫為

對Tn.a（t）的推導(dǎo)可參考文獻(xiàn)[20].

下面給出關(guān)于半群｛Ta（t）1gt;的估計(jì)

引理6（GR（）（·））=4+1且…則有

其中0∈R.

證明：由定義2、引理1和Fourier乘子T.（t）有界可得

其中第4行不等式的估計(jì)用到了如下估計(jì)結(jié)果：

引理7 設(shè)G）（·-+.1則有

其中Ω∈R.

證明：由定義2、引理1、引理3、引理4和Hausdorff-Young不等式，可得

其中最后一個(gè)不等式的估計(jì)用到了如下估計(jì)結(jié)果：

3 分?jǐn)?shù)階Boussinesq-Coriolis方程解的整體適定性

定理1設(shè)（·C（R%（）.lt;1.·=41存在一個(gè)足夠小的常數(shù)egt;0，使得uol+Ilt;則此時(shí)方程（1）有唯一的整體解

進(jìn)一歩設(shè)（）CR（R）（·）C（R）（·）=42+g-若存在一個(gè)常數(shù)cgt;0，使得2≤1（·）≤c≤p（·）≤6/（5-4a），則上述解仍滿足

證明：設(shè)M，6gt;0，

在該空間上定義度量為

易見（X，d）是一個(gè)度量空間.考慮映射：

其中AΩ，α（t）= TΩ，α（t） 0 0 e-t（-Δ） ? è ?? ? ? α ÷÷ ，P∶=I-?（-Δ）-1 為零散度向量域上的 Helmholtz投影.下面證明中下E：（X，d）→（X，d）是一個(gè)壓縮映射

首先，估計(jì)線性項(xiàng)Tn.。（t）u。和e-“-△00.根據(jù)引理6，有

且‖e-（-）?！?.00（）≤‖0?！?（），類似地，有

此外，對于p=∞和p1（·）=p（·），Tn.a（t）uo和e——△）。的估計(jì)如下：

其次，估計(jì)剩余項(xiàng).根據(jù)定義2、引理2～引理4和Hausdorff-Young不等式，有

其中第3行不等式的估計(jì)用到了如下估計(jì)結(jié)果：

同理，根據(jù)引理7和式（6），可得

此外，還有

最后，證明解的存在性和唯一性.設(shè)Y=L（0，∞；2））（0，∞；+52-2）L（0，∞；2/2-2a），則有

令=M=2（ol+I-）lt;2C，若e足夠小，則有‖更（u）l+‖（）l≤+-.且d（（），（）lt;d（）.（））當(dāng)e足夠小時(shí)，由Banach壓縮映射原理可知三維分?jǐn)?shù)階Boussinesq-Coriolis方程具有唯一的整體解，且滿足

另一方面，設(shè)

則有

設(shè)

若足夠小，則有‖u+=且d

當(dāng)ε足夠小時(shí)，由Banach壓縮映射原理可知三維分?jǐn)?shù)階Boussinesq-Coriolis方程具有唯一的整體解，且滿足

注1變指數(shù)Fourier-Besov空間）是方程（1）的臨界空間.若u（t，x）是方程（1）的解，則u（t.x）=2u（t，x）也是方程（1）的一個(gè)解，且

4分?jǐn)?shù)階Boussinesq-Coriolis方程解的Gevrey類正則性

定理2（Gery類正則性）設(shè)p（·）∈C（R2）（R2），lt;a1.2≤（·）≤（·）≤≤2-對任意初（）（）若存在一個(gè)正常數(shù)使待l（o，）lt;，則定理1的解是正則的，且滿足

其中eID|°是一個(gè)Fourier乘子，其象征定義為e.

證明：設(shè) Bu B ? è ? ? ? ÷ θ =Hα（t） ?u è ? ? ? ÷ θ ，其中 Hα（t）= et D α 0 0 et D ? è ? ? ? ? ÷ α ÷ ，由式（5）得

類似定理1的證明，只需證以下結(jié)論.由e1-11=eー2+lt;e和引理5，有

其中，

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（責(zé)任編輯：趙立芹）