潘衛(wèi)寧，楊紀(jì)昌，王亞珍，仝麗娟

1洛陽礦山機械工程設(shè)計研究院有限責(zé)任公司 河南洛陽 471039

2智能礦山重型裝備全國重點實驗室 河南洛陽 471039

物料粒度分布的表示方法有表格法、圖示法以及粒度分布方程法，粒度分布方程是根據(jù)物料的粒度篩分?jǐn)?shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)分析方法建立的。物料的粒度分析，通常是由一系列尺寸的篩網(wǎng)篩分獲得的，其結(jié)果是一組離散的點，粒度方程可以對復(fù)雜的篩分?jǐn)?shù)據(jù)進行概括、描述，可以便捷地計算各粒級的產(chǎn)率，避免了繁雜費時的篩分工作，尤其是對較難進行篩分的小粒級。侯英等人對粒度特性參數(shù)與粒度分布均勻程度的關(guān)系進行了研究，利用粒度方程式進行物料顆粒的比表面積計算及均勻性分析，以反映物料的均勻程度[1]。近年來，也有學(xué)者將粒度特性方程式與碎礦、磨礦的功耗相聯(lián)系，成為研究碎磨過程的重要手段[2]。

多年來，學(xué)者已經(jīng)通過統(tǒng)計方法總結(jié)出 10 余種粒度方程，應(yīng)用較廣的粒度方程有高登 Gaudin 方程(簡稱 G 方程) 和羅任-拉姆勒 Rosin-Rammer (簡稱 RR方程)。實踐證明，G 方程對粗、中碎產(chǎn)品或?qū)亯簷C、棒磨機產(chǎn)品較為符合，RR 方程則對破碎的煤、細(xì)碎的礦石和細(xì)磨的礦料以及水泥等較為符合[2]。段希祥教授對球磨機產(chǎn)品粒度特性進行研究，分析了 G方程和 RR 方程之間的關(guān)系[3]；鄔小騏等人對破碎產(chǎn)品的粒度特性方程進行研究，建立了常用破碎設(shè)備的排礦標(biāo)準(zhǔn)粒度曲線[4]；劉晨敏等人對原生煤粉粒度特性進行研究，證實了原生煤粉粒度特性符合 RR 方程[5]。輥壓機 20 世紀(jì) 80 年代被引入國內(nèi)，廣泛應(yīng)用于建材、礦山等行業(yè)，在生料和水泥粉磨系統(tǒng)節(jié)能優(yōu)勢較為明顯[6-7]。丁凱等人的試驗研究，證實了輥壓機在鐵礦石粉磨中的節(jié)能效果[8]；中信重工楊紀(jì)昌等人經(jīng)過多年努力，建立了用于礦山和建材領(lǐng)域的輥壓機選型試驗方法[9]。目前對于輥壓產(chǎn)品粒度特性方程的研究鮮見有報道。輥壓機的破碎機理與傳統(tǒng)破碎機、球磨機顯著不同，其破碎產(chǎn)品的粒度分布理應(yīng)與傳統(tǒng)的碎磨設(shè)備有所不同。筆者借助近年在實驗室進行的水泥原料輥壓產(chǎn)品粒度篩分?jǐn)?shù)據(jù)，對 G 方程和 RR 方程進行驗證、分析，探討適合水泥原料輥壓產(chǎn)品粒度分布描述的粒度方程。

1 常用粒度方程介紹

1.1 高登 Gaudin 方程

高登 Gaudin 方程為冪函數(shù)，形式為

式中：y為篩孔尺寸x的篩下累積產(chǎn)率，即篩下累積，%；x為篩孔尺寸，μm；Ag為與變量 (x，y) 選用單位有關(guān)的參數(shù)；k為與物料性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)，硬度大者k值大，硬度小者k值小。

對式 (1) 兩邊分別取對數(shù)，得

顯然，在以lnx為橫坐標(biāo)，lny為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系內(nèi)，lny與 lnx呈直線關(guān)系，k為直線斜率，lnAg為縱軸截距。

1.2 羅任-拉姆勒 Rosin-Rammer 方程

羅任-拉姆勒 Rosin-Rammer 方程是羅任-拉姆勒于 1934 年用統(tǒng)計方法整理破碎機和磨機產(chǎn)品得出的，形式為

式中：R為篩孔尺寸x的篩上累積，%；b為與破碎方式有關(guān)的常數(shù)；m為與物料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。

對式 (3) 兩邊取 2 次對數(shù)，得

式中：y為篩孔尺寸x的篩下累積產(chǎn)率，即篩下累積，%。

可得

將式 (5) 代入式 (4)，可得

顯然，在以 lnx為橫坐標(biāo)，lnln [100/(100 -y)]為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系中，lnx與 lnln [100/(100 -y)] 之間呈直線關(guān)系，m為直線斜率，lnb為縱軸截距。

2 粒度方程試驗驗證與分析

2.1 輥壓試驗方法

智能礦山重型裝備全國重點實驗室建立了水泥原料輥壓機終粉磨工藝裝備選型試驗方法[7]。輥壓試驗機規(guī)格為φ420-100，輥子直徑為 420 mm，輥面寬度為 100 mm，試驗液壓缸壓力在 1.5～ 3.5 MPa，輥子外緣線速度為 0.46 m/s，試驗入料粒度為 -13.2 mm。試驗分為開路試驗和閉路試驗，閉路試驗流程如圖1所示。

圖1 閉路試驗流程Fig.1 Diagram of closed-circuit test flow

閉路輥壓試驗一般經(jīng)過 3～ 4 次循環(huán)試驗可以達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時給料和排料粒度組成基本保持不變，排料中粗粒級相對減少，物料粒度分布范圍變窄。

2.2 輥壓產(chǎn)品粒度分析方法

輥壓產(chǎn)品的粒度分析以干法、套篩的形式進行，由小到大篩孔尺寸為：0.080、0.106、0.125、0.150、0.200、0.300、0.425、0.600、0.850、1.180、1.700、2.360、3.000、5.000、6.700、9.500 和 13.200 mm，共 17 個粒級。由于輥壓過程中可能形成料餅，為避免料餅對篩分結(jié)果的影響，在粒度篩分前，先對樣品中的料餅進行了打散處理。同時在篩分過程中執(zhí)行達(dá)到篩分終點的原則[2]，以確保篩析結(jié)果能準(zhǔn)確反應(yīng)輥壓產(chǎn)品的粒度分布，并為后續(xù)對不同條件下的試驗結(jié)果進行對比提供了統(tǒng)一基準(zhǔn)。

2.3 G 方程式和 RR 方程式驗證與分析

某水泥原料輥壓試驗開路輥壓中心料 A2C、開路輥壓邊緣料 A2S 以及閉路穩(wěn)定產(chǎn)品中心料 B4C 的篩分粒度分析數(shù)據(jù)如表1 所列。

表1 某水泥原料輥壓樣品粒度篩分?jǐn)?shù)據(jù)Tab.1 Particle size screening data of a cement raw material rolling sample

根據(jù)式 (2)，由表1 數(shù)據(jù)分別計算出 17 個篩孔尺寸x相應(yīng) lnx和篩下累積y相應(yīng)的 lny，在 Excel 中以 lnx為x數(shù)組，lny為y數(shù)組，利用最小二乘法原理，計算 G 方程式參數(shù)k、Ag，獲得 3 個樣品的 G 方程式。同理，根據(jù)式 (6)，以lnx為x數(shù)組，lnln [100/(100 -y)] 為y數(shù)組，利用最小二乘法原理，計算 RR方程式參數(shù)m、b，求得 3 個樣品的 RR 方程式，兩個方程式回歸結(jié)果如表2 所列。

表2 G 方程式和 RR 方程式回歸結(jié)果Tab.2 Regression results of G equation and RR equation

由表2 G 方程式和 RR 方程式，計算不同篩孔尺寸x對應(yīng)的擬合值Y，然后與表1 中的實際篩分值y進行比較，計算篩分值y與擬合值Y的差值，即為殘差s，以殘差平方和∑s2來判斷方程式的擬合精度，殘差平方和∑s2越小認(rèn)為方程式越優(yōu)越。

針對開路輥壓中心料 A2C、開路輥壓邊緣料 A2S以及閉路穩(wěn)定產(chǎn)品中心料 B4C，應(yīng)用 G 方程式和 RR方程式進行擬合，得到殘差分布圖，結(jié)果如圖2～ 4所示。

圖2 中心料 A2C 各粒級殘差分布Fig.2 Residual distribution of each particle size of central material A2C

由圖2 可以看出：采用 G 方程式進行中心料A2C 粒度分布的擬合，13.200、9.500 mm 粒級殘差較大，分別達(dá)到 24.7% 和 11.2%，從而導(dǎo)致殘差平方和增加到 988.7，而 RR 方程式殘差平方和較小為271.4；但在 0.080 到 0.300 mm 區(qū)間內(nèi)，RR 方程式的殘差明顯大于 G 方程式；在 0.300 到 6.700 mm 區(qū)間內(nèi)，RR 方程式的殘差也明顯大于 G 方程式。對中心料 A2C 而言，不論是 G 方程式，還是 RR 方程式，其擬合誤差均較大，沒有實際使用價值。

由圖3 可以看出：采用 G 方程式進行邊緣料 A2S粒度分布的擬合，G 方程式各粒級殘差較小，殘差最大值為 4.3%，殘差平方和為 30.6，遠(yuǎn)小于 RR 方程式殘差平方和 639.4。邊緣料可以被認(rèn)為是類似于破碎機的破碎產(chǎn)品。所以對于邊緣料的擬合，G 方程式擬合精度較高，反映了 G 方程式對破碎產(chǎn)品進行擬合是可行的。

圖3 邊緣料 A2S 各粒級殘差分布Fig.3 Residual distribution of each particle size of edge material A2S

由圖4 可以看出：采用 RR 方程式進行穩(wěn)定中心料 B4C 粒度分布的擬合，RR 方程式各粒級殘差明顯較小，殘差最大值為 4.1%，RR 方程式殘差平方和為50.49，遠(yuǎn)小于 G 方程式殘差平方和為 2 118.8。對輥壓閉路穩(wěn)定產(chǎn)品而言，RR 方程式較優(yōu)。

圖4 穩(wěn)定中心料 B4C 各粒級殘差分布Fig.4 Residual distribution of each particle size of stable central material B4C

綜觀圖2～ 4 可知，存在一個共性，即在 0.080到 0.300 mm 粒度范圍內(nèi)，兩種方程式擬合殘差都較小，但在擬合的粒度區(qū)間擴展到 13.200 mm 后，兩種方程式擬合的殘差都大幅增加。分析式 (2) 和式 (6)，參數(shù)k和m均為定值，如果粒度分布曲線的斜率變化較小，回歸精度必然很高，但輥壓產(chǎn)品粒度分布曲線的斜率會隨篩孔尺寸x不斷變化，在以 lnx為橫坐標(biāo)，lny為縱坐標(biāo)的直角坐標(biāo)系中，輥壓產(chǎn)品的粒度分布曲線大多呈現(xiàn)為上凸形狀。對于閉路穩(wěn)定產(chǎn)品的粒度分布曲線更為明顯，表現(xiàn)為由分級篩位置向較粗方向上的曲線斜率明顯增加，然后在達(dá)到粒度上限時趨于平緩，甚至為零。

RR 方程式中，開路輥壓中心料樣品 A2C、開路輥壓邊緣料樣品 A2S 以及閉路穩(wěn)定產(chǎn)品中心料 B4C，不同篩孔尺寸x的斜率變化如圖5 所示。

圖5 RR 方程式中不同篩孔尺寸的曲線斜率分布Fig.5 Curve slope distribution of different screen sizes in RR equation

綜合分析，在方程式中引入描述篩分曲線不同位置斜率的參數(shù)有可能是提高方程擬合精度的有效辦法，由于 RR 方程進行了兩次取對數(shù)，對平滑斜率變化更有利，故在 RR 方程式中引入斜率修正參數(shù)進行嘗試。

在RR 方程式中引入?yún)?shù)M和N，將原方程式中的參數(shù)m變?yōu)橐粋€與篩孔尺寸x有關(guān)的函數(shù)，關(guān)系如式(7)所示。

將式 (7) 代入式 (3)，可得新 RR 方程式

對表1 粒度分布數(shù)據(jù)重新進行擬合分析，計算參數(shù)b、M、N，得到 3 個樣品的粒度特性回歸方程式如表3 所列。

表3 新 RR 方程式回歸結(jié)果Tab.3 Regression results of new RR equation

由表3 數(shù)據(jù)，計算新 RR 方程式擬合的篩下累積Y，并與實際篩分值y做差，計算新方程式各粒級殘差s，殘差s分布及與修正前殘差的比較如圖6～ 8 所示。

圖6 新 RR 方程 A2C 各粒級殘差分布Fig.6 Residual distribution of each particle size of A2C in new RR equation

由圖6 可以看出：利用新 RR 方程式進行擬合，在 0.080 到 13.200 mm 整個篩分區(qū)間上，各粒級殘差都很小，殘差最大值為 1.9%，殘差平方和∑s2為 15.23；而原 RR 方程式殘差平方和 ∑s2為271.4，新 RR 方程式的擬合效果明顯較好。

由圖7 可以看出：利用新 RR 方程式進行擬合，在 0.080 到 13.200 mm 整個篩分區(qū)間上，各粒級殘差都很小，殘差最大值為 2.0%，殘差平方和 ∑s2為9.91；而 RR 方程式殘差平方和∑s2為 639.4，新 RR方程式的擬合效果明顯較好。

圖7 新 RR 方程 A2S 各粒級殘差分布Fig.7 Residual distribution of each particle size of A2S in new RR equation

由圖8 可以看出：利用新 RR 方程式進行擬合，在 0.080 到 13.200 mm 整個篩分區(qū)間上，各粒級殘差都很小，殘差最大值為 1.2%，殘差平方和∑s2為6.2；而 RR 方程式殘差平方和∑s2為 50.49，新 RR 方程式的擬合效果明顯較好。

圖8 新 RR 方程 B4C 各粒級殘差分布Fig.8 Residual distribution of each particle size of B4C in new RR equation

由圖6～ 8 可知，新 RR 方程的殘差明顯減小，為進一步確認(rèn)新 RR 方程式的可靠性，對數(shù)據(jù)庫中的17 組輥壓數(shù)據(jù)均以新 RR 方程式進行回歸計算，并與篩分?jǐn)?shù)據(jù)進行對比，結(jié)果如圖9 所示。

圖9 新 RR 方程式擬合值與篩分值對比Fig.9 Comparison between fitting value and screening value of new RR equation

由圖9 可以看出，新 RR 方程式回歸結(jié)果與實際篩分結(jié)果非常接近，于是認(rèn)為新 RR 方程式是可以作為水泥原料輥壓產(chǎn)品粒度分布的回歸方程式。

3 結(jié)語

(1) 在 RR 方程中引入描述粒度曲線斜率的參數(shù)M、N，將原固定斜率變?yōu)橐粋€與篩孔尺寸有關(guān)的函數(shù)，方程的擬合精度明顯提升，能夠較為準(zhǔn)確描述水泥原料輥壓產(chǎn)品開路中心料、開路邊緣料以及閉路穩(wěn)定產(chǎn)品中心料的粒度分布，是理想的方程形式。在Excel 軟件中利用規(guī)劃求解功能，可以方便地進行參數(shù)b、M、N的計算，從而確定粒度分布方程。

(2) 通過粒度分布方程可以求得任意x值對應(yīng)的篩下累積y，尤其對于獲得較難篩分的小粒級篩下累積數(shù)據(jù)極為便捷。