史歷偉

摘 要：作為當代著名的先鋒電子音樂作曲家，施托克豪森的創(chuàng)作觀念以及多元化的技術(shù)手段整合達到了新的維度。曲子《STUDIE II》以新的音階模型打破了對于傳統(tǒng)十二平均律聽覺上的局限，并且嘗試在新的音階模型上對聲音合成達到邏輯化的音色重塑。無論是傳統(tǒng)的人工調(diào)式還是人工音階，都基于十二平均律，并結(jié)合了邏輯性和隨機性，而施托克豪森則在1954年模擬時代下，依靠有限的硬件設(shè)備計算出25律制，并且將其均等分，將其不同頻率下的正弦波以加法合成的形式進行音色重塑，將其獨有的音階模型與聲音合成進行多維度的融合，改變對固有的十二平均律聽覺上的心理感受。

關(guān)鍵詞：施托克豪森；十二平均律；非平均律音階模型；聲音合成；練習曲二（STUDIE Ⅱ）

中圖分類號：J614文獻標識碼：A文章編號：2096-0905（2023）33-0-03

傳統(tǒng)的調(diào)式音階或是當代人工調(diào)式、音階，都基于傳統(tǒng)的聽覺十二平均律，作曲家在“調(diào)性”與“無調(diào)性”作品之間相互交錯，他們在傳統(tǒng)的音階調(diào)式上做邏輯化的音高材料組織。早期勛伯格的無調(diào)性音樂研究走向十二音的體系，同樣梅西安的《我的音樂語言的技巧》中提出了有關(guān)人工調(diào)式概念的建立。再到后期德彪西、巴托克的對于人工調(diào)式的運用，橫向?qū)τ谌斯ふ{(diào)式內(nèi)的音高動機細胞的使用，縱向音高音程和聲構(gòu)建都與十二平均律密不可分。

而對于平均律的概念早在古希臘時期便被提出，但當時并未合理地運算出結(jié)果，而到我國明朝時期朱載育根據(jù)數(shù)學(xué)來定制十二平均律。而在文藝復(fù)興時期對于音準的概念還未被真正定義，早期大量的鍵盤樂器、樂曲調(diào)式調(diào)性層見疊出，這就導(dǎo)致音樂作品之間音高體系的割裂，每一首作品每一件樂器好似一個單一的系統(tǒng)。針對這種情況才有了新的律制，同樣的旋律便可以用到其他的音高組織上，而之后的鋼琴鍵盤樂器的出現(xiàn)，便是平均律最好的展現(xiàn)形式。十二平均律貫穿了后續(xù)古典主義、浪漫主義以及當代音樂，與我們現(xiàn)在的生活息息相關(guān)。這便于我們從聽覺心理上對音高“準”與“不準”有了一個平衡判斷的標準。同樣，從縱向角度看，“和聲”是由不同音高在同一時刻有組織地同時發(fā)出，從而形成可辨識的音色，當代電子音樂從聲音的本質(zhì)出發(fā)，一切皆以復(fù)合波中諧波和基波的組合而產(chǎn)生各種不同可能性的音色形態(tài)。

而作為二十世紀先鋒作曲家，施托克豪森在電子音樂的創(chuàng)作中展現(xiàn)了多元化的創(chuàng)作觀念和技術(shù)手段。從橫向的音高頻率組織到縱向“和聲化”的音色重塑，從傳統(tǒng)的視角到新維度平衡構(gòu)建，在其不同的創(chuàng)作時期融合了不同風格，形成了新式思維的創(chuàng)作構(gòu)想。施托克豪森于1954年創(chuàng)作的《STUDIE II》，便能夠體現(xiàn)出音樂最基本的音高組織，音色構(gòu)建的新式維度思考。

一、十二平均律與非平均律

“十二平均律”指在一個八度之內(nèi)的等比音程頻率，均等分12份，每個音與音之間叫一個半音，簡稱“平均律”，同時也叫十二等比律制。此時的均等分12份，并不是作以除法計算，而以指數(shù)函數(shù)計算。在鍵盤樂器上十二平均律的應(yīng)用，每個八度的倍頻程為2∶1，所以兩個半音頻率比為，因此波長比和音程比就有了以下的對照關(guān)系：

波長比例為2：1時，頻率比為2∶1，此時呈現(xiàn)了八度的音程關(guān)系；

波長比例為3∶2時，頻率比為3∶2，此時呈現(xiàn)純五度的音程關(guān)系；

（以小字一組a為例，頻率相差2Hz）

波長比例為5∶4時，頻率比為5∶4，此時呈現(xiàn)大三度的音程關(guān)系。

（以小字一組a為例，頻率相差108Hz）

設(shè)想，對于十二平均律以兩個半音頻率比為來計算的話，被開方數(shù)“2”作為每個倍頻程比例為2∶1，放在國際音高頻率對照表里，a1≈440HZ，那么a2≈880HZ；而“12”作為根指數(shù)意為在每個倍頻程2∶1的規(guī)則下平均分成12份，那么也就有我們十二平均律最為詳細的定義，在每個倍頻程里以2∶1的規(guī)則，被開方12份；也就是每個八度之比為2∶1，一個八度里有12個半音。十二平均律被稱以“平均律”，那從音高體系里均以“平均律”來運算，即作為所有音高的奠定基礎(chǔ)，那么施托克豪森電子音樂作品《STUDIE II》中的“音高”定義皆“非平均律”來作為其音階模型，作為動機細胞來發(fā)展。施托克豪森的作品對于“音高”的定義并非在我們傳統(tǒng)的平均律樂器里，而是采用了在20世紀純模擬時代下壓控振蕩器（VCO）來作為一個個的發(fā)音單元，與傳統(tǒng)的平均律樂器不同的是，該單元發(fā)聲器可以輸出任意頻率下的純音（正弦波）信號，而施托克豪森在這首樂曲中采用的非平均律音階模型，運用81個正弦波，從100Hz到17200Hz不等，以作為每個正弦波之間的恒定比，相比平均律的每個音級恒定比差10%。

在這首樂曲中，施托克豪森將頻率四舍五入到最接近的整數(shù)，但是值得注意的是，直到第35號音在893Hz出現(xiàn)了一些差異，第35號音或許是作曲家唯一一個計算錯誤或者是四舍五入到893Hz上面的，而并非到892Hz，同樣在70-72號音也有缺失，這就對于施托克豪森在計算非平均律數(shù)值上略有降低偏差（見表1）。

二、非平均律音階模型構(gòu)建

施托克豪森在計算得出100Hz—17200Hz下81個非平均律音高之后，他將81個音高進行邏輯化的結(jié)構(gòu)重組，使用以“5”為單位的音高組織模型，將5個不同頻率的正弦波進行重疊式組合，組建一個縱向和聲式的音階框架模型，采用了偏移算法將其一一構(gòu)建。

第一階音階模型施托克豪森使用的頻率范圍在100Hz到2200Hz之間，使用偏移算法，按照音階的順序，將五個頻率進行分組，構(gòu)建模型，因此得到了九組包含五個正弦波的音階模型組合，分別以“100，107，114，121，129；138，147，157，167，178；190，203，217，231，246……”依次按照音高對照表構(gòu)建五音模型。在一類音階模型里，一共記有45組，全曲共193組。

同樣按照第二類音階模型，施托克豪森創(chuàng)建了一組新的音階順序，這一組通過逐一跳過非平均律音階的一個頻率，然后將這些跳過的頻率進行偏移重組，因此在二類的音階模型里，第一組也跳過了原非平均律里的107Hz與121Hz等，分別以“100，144，129，147，167；217，246，280，318；362，412，469，533，607……”依次類推。所以，所得到的音階模型被不斷擴充延展，一共記有45組，全曲共193組[1]。

在第三類音階模型中，施托克豪森采用了逐一跳過兩個音級，進一步擴大了縱向音階模型的距離，同樣再次從100Hz開始，第一個跳過的頻率融合在下一級音階模型中，同樣在這一類的音階模型里，跳過了107Hz，114Hz，129Hz等，分別以“100，121，147，178，217；263，318，386，469，569；690，837，1015，1231，1401……”依此類推。第三類音階模型一共有45組，全曲共193組。

第四類音階模型，施托克豪森繼續(xù)采用偏移算法，進一步擴大縱向音級距離，逐一跳過兩個音級來排列，同樣是從100Hz開始，分別以“100，129，167，217，280；362，469，607，785，1015；1313，1699，2844，3679……”依此類推。從第四類音階模型跳過兩個音級來算，縱向“和聲化”的聽感和之前略有所區(qū)別，縱向“和聲化”聽感音色結(jié)構(gòu)略微稀疏。第四類音階模型一共有45組，全曲共193組。

第五類音階模型同樣運用偏移算法，不過第五類跳過的頻率不再被下一組進行模型重新組建。只有被選定的頻率才會進行重組，此類音階模型類似“五度相生律”算法，將五個選定的頻率進行分組，然后重復(fù)到下一組，分別以“100，138，190，263，500；690，952，1310，1810；2500，3450，4760，6570，9060……”依此類推。第五類音階模型一共有13組，全曲第一類至第五類分別45，45，45，45，13組，共計193組。

三、非平均律音階模型下的音色構(gòu)建

（一）傅里葉分析

19世紀法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·傅里葉（Joseph Fourier）在其著作《分析的數(shù)學(xué)原理》中首次提出了傅里葉級數(shù)的概念，然而這一概念對于模擬時代與數(shù)字時代下構(gòu)建與生成聲音有著重要的作用。傅里葉運算，又稱傅里葉分析，是一種數(shù)學(xué)技術(shù)，用于將一個復(fù)雜的信號或函數(shù)分解成一系列簡單的正弦和余弦波成分，這些成分被稱為頻譜。同樣，聲音是由不同頻率的波形組成的，除去正弦波之外的任何聲音波形被統(tǒng)稱為復(fù)合波，復(fù)合波是由基波和不同若干諧波組成的?；ㄊ侵C波中最低的頻率成分，通常對應(yīng)于信號的最低頻率。基波在復(fù)合波中具有重要地位，其通常決定了聲音的音高或信號的基本頻率。諧波分析是音頻合成和音樂樂譜分析的重要組成部分，通過控制不同諧波的振幅和相位可以合成不同音色的聲音[2]。

（二）加法合成

任何聲音的構(gòu)建和生成都是可以看作若干頻率不同、相位不同、振幅不同的正弦波組合，加法合成是一種用于生成復(fù)雜波形的技術(shù)，它是基于將多個不同頻率的正弦波相加以創(chuàng)建新的波形。加法合成的原理源自上述提到的傅里葉分析，有些時候加法合成也會被叫作傅里葉合成（Fourier Synthesis）。加法合成在聲音合成、信號構(gòu)建技術(shù)上屬于較早的技術(shù)，但是在早期模擬時代，加法合成需要大量的振蕩器來實現(xiàn)音色縱向化的構(gòu)建，從技術(shù)手段的實現(xiàn)，到大量振蕩器成本上的運用，所以較為難以實現(xiàn)。但是在當今數(shù)字時代下，電子管算力到晶體管算力的更新迭代，計算機的優(yōu)勢得以展現(xiàn)。所以該技術(shù)在當今數(shù)字時代才得以展現(xiàn)其獨特的優(yōu)勢。

（三）STUDIE II非平均律音階模型音色實現(xiàn)

施托克豪森的這首作品采用公式，算得的音階作為每個正弦波的頻率實現(xiàn)加法合成，將每組音階模型縱向“和聲化”音色構(gòu)建。施托克豪森將5個音作為一組，以此來實現(xiàn)音色的重塑。雖然每個頻率都來自公式運算，但是在每組模型里垂直頻率范圍呈現(xiàn)指數(shù)增長。

在數(shù)字系統(tǒng)中，通過對每個音階模型實現(xiàn)音色重塑，將所有五個頻率為基波的音階模型按照順序進行循環(huán)播放，并且對每個聲音進行了混響處理，以數(shù)字的方式實現(xiàn)了這些選定的音階模型組合，如#89、#94、#99、#104、#25，代表了不同序列下音階模型的組合順序。以下對#89與#25做了和聲重塑與原曲聲音頻譜分析。

第89號音階模型在全曲第25秒處得以實現(xiàn)，并且在基于Max/MSP環(huán)境下“Additive Synthesis Patch”中得以實現(xiàn)音階模型音色重塑，在該組建中，設(shè)定基波為362Hz，依次輸入第二號到第五號振蕩器剩余89號音階模型的頻率最終得以實現(xiàn)，通過不同維度的聲音數(shù)據(jù)可視化，最后得以還原原曲的音階模型音色。第25號音階模型在全曲第1分24秒處得以實現(xiàn)，在該組建中，設(shè)定基波為362Hz，依次輸入第二號到第五號振蕩器剩余25號音階模型的頻率最終得以實現(xiàn)，還原原曲的音階模型音色，因此，不同的音階模型所反映出來的頻譜結(jié)構(gòu)也是大有區(qū)別的[3]。

（四）STUDIE II結(jié)構(gòu)分析

施托克豪森的這首曲子的縱向音階模型與橫向結(jié)構(gòu)都可以數(shù)字“5”來解釋，從宏觀的整個曲子結(jié)構(gòu)到微觀的音階模型，聲音合成都離不開“5”。早在理查德·途譜（Richard Toop）對這首曲子的草圖圖表框架研究中，作品的每個樂段都由5個部分組成，然而每個樂段都由5個樂句組成，每個樂句都由1-5個音階模型組成，每一個模型都由5個音組成。但在這首作品中，也會存在一些例外。在整個樂曲的宏觀結(jié)構(gòu)中，也并非所有的微觀組成都是數(shù)字“5”，部分微觀音色結(jié)構(gòu)包含6個純波，并非局限于5個，施托克豪森的這種非一致性或許與這部作品獨一無二的電子樂譜呈現(xiàn)形式有關(guān)，通過對樂曲頻譜圖分析得以發(fā)現(xiàn)，斯托克豪森生成了總共193組非平均律音高頻率并將其邏輯化音階模型有機組合，但并不是所有193個音高頻率都被使用，但在整首作品中，100Hz至17200Hz之間的所有頻率都曾被播放，或者通過諧波被激發(fā)，或包含在其他音階模型之中。例如，音階模型第43、44和45號包含頻率386Hz等。

四、結(jié)束語

《Studie II》非平均律下的音階模型從傳統(tǒng)的十二平均律脫離開，十二平均律可以被視為音樂的本體論表達，它基于音的存在和實體屬性，將音樂看作一種客觀實體。這引發(fā)了關(guān)于音樂的本質(zhì)是什么以及音樂存在的形而上學(xué)問題。非平均律則挑戰(zhàn)了這一本體論觀點，因為它將音的屬性視為相對的，可以隨意改變，非平均律下的音階模型是對傳統(tǒng)音樂結(jié)構(gòu)的突破，也同時引發(fā)了關(guān)于音樂實體的多元性和主觀性的討論。

音樂的平均律選擇涉及審美標準。十二平均律的規(guī)則性和可預(yù)測性可能會被認為是符合傳統(tǒng)審美標準的，而非平均律可能會引發(fā)對審美多樣性和相對性的討論。人在長期的非平均律聽感下，再回頭聽十二平均律，也會注意到音準是否準確的問題，這牽涉到審美哲學(xué)的問題，即如何評價音樂的美和音樂審美標準是否普遍適用。

參考文獻：

[1]錢仁平，馬琳.中國新音樂：人工調(diào)式的理論與實踐[J].音樂藝術(shù)（上海音樂學(xué)院學(xué)報），2019（01）：90-103+5.

[2]謝嘉幸，張爍.十二平均律音高探索的“終結(jié)”？——談“音級集合”理論的貢獻與局限[J].北方音樂，2023（03）：70-75.

[3]陳倩.論人工調(diào)式的運用與發(fā)展[D].天津音樂學(xué)院，2012.