胡宏昌,吳喬艷

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 黃石 435002)

0 引言

自Jorgensen[1](1997)在其專著中定義了再生散度模型(RDM),并且提出廣義線性模型的理論可以推廣到以RDM為隨機(jī)誤差的模型之后,唐年勝等[2～4]從2000年開始研究非線性再生散度模型(NRDM)的相關(guān)性質(zhì),并于2006年在Fahrmeir和Kaufmann[5]的基礎(chǔ)上將廣義線性模型的極大似然估計(jì)(MLE)結(jié)果推廣到線性再生散度模型(LRDM),得到了該模型MLE的相合性和漸近正態(tài)性。Ferrari和Yang[6](2010)研究了基于非廣義熵的極大Lq-似然估計(jì)(MLqE),得到了指數(shù)分布族MLqE的弱相合性和漸近正態(tài)性,并通過 Monte Carlo模擬得到:對(duì)于中小樣本量來(lái)說,MLqE比MLE有更好的穩(wěn)健效果。近年來(lái),不少學(xué)者也研究各種模型的MLqE的各種性質(zhì),如:極大Lq-似然估計(jì)的穩(wěn)健性[7],Gamma分布的極大Lq似然估計(jì)[8],Marshall-Olkin拓展伯爾分布的極大Lq-似然估計(jì)[9]。然而,到目前為止還沒有學(xué)者研究RDLM的MLqE,本文基于Fahrmeir和Kaufmann[10]提出的條件,得到了 RDLM的MLqE的相合性和漸近正態(tài)性,通過模擬算例得到:隨著n的增大,參數(shù)估計(jì)值越接近參數(shù)真值。

1 預(yù)備知識(shí)及其假設(shè)條件

記yi為響應(yīng)變量的觀測(cè)值,xi=(xi1,xi2,…,xim)T為第i個(gè)解釋變量觀測(cè)的向量,如果

1)存在一個(gè)嚴(yán)格可微的函數(shù)g(聯(lián)系函數(shù)),使得

(1)

2)y1,y2,…,yn相互獨(dú)立,且隨機(jī)變量yi的概率密度函數(shù)為

(2)

其中θi=θi(β),β=(β1,β2,…,βm)T(m

由文獻(xiàn)[7]可知,線性再生散度模型的極大Lq似然函數(shù)為

(3)

為了研究β的相關(guān)性質(zhì),我們需要如下假設(shè):

假設(shè)條件A:

i)對(duì)?xi∈χ?Rm,χ為定義在Rm上的緊子集,?β∈B?Rm, B為定義在Rm上的凸緊集;

iii)β為B的未知真參數(shù),且β0為B的內(nèi)點(diǎn);

iv)f為二次連續(xù)可微函數(shù)且f的一階、二階導(dǎo)數(shù)均有界,df/dη≠0;

v)d(y;θ)關(guān)于θ是可微的,對(duì)?θi∈Θ,i=1,2,…,n有0

0

vi)qn為一序列,且qn→1(n→∞).

假設(shè)條件B:

2 相合性和漸近正態(tài)性

在證明定理之前,先不加證明地給出一些引理。

引理1[11]令Ψn是一個(gè)隨機(jī)向量值函數(shù),Ψ為一固定的向量值函數(shù),若對(duì)?ε>0滿足

(4)

其中

因此,為了證明定理1,我們只需要去證明:對(duì)于任意的β∈B,Ψn(β)依概率收斂到Ψ(β).

顯然

(5)

則

(6)

下面只需要證明

(7)

注意到

且由條件A(i)(iv)(v)得

其中C為有限常數(shù),全文不同處的C表示不同值。

(8)

因此由式(7),式(8)可知我們只需證明如下式(9)成立即可。

由于

故若證明式(10)成立,只需要證明如下式(11)及式(12)成立即可。

由a(yi;σ2)有界知

對(duì)于r=1,2,有

(13)

由于β0為內(nèi)點(diǎn),當(dāng)條件A(vi)成立時(shí),由控制定理可知

于是當(dāng)n→∞時(shí),有

(14)

(15)

定理2 如果假設(shè)條件A(i)～(iii)和B成立,則

(16)

其中

(17)

(19)

從而由Lindeberg-Levy中心極限定理有

(20)

(21)

故

(22)

(23)

(24)

3 模擬算例

本節(jié)采用I型極值分布來(lái)進(jìn)行模擬,其密度函數(shù)為

由表1及表2可以得到以下結(jié)論:

表1 β在不同n下MLE的結(jié)果

表2 β在不同n下MLqE的結(jié)果

1)當(dāng)q越趨近于1時(shí),極大Lq-似然估計(jì)的參數(shù)估計(jì)值越接近于極大似然估計(jì);

2)隨著n的增大,參數(shù)估計(jì)值越接近于真值,均方誤差也越小;

3)當(dāng)q<1時(shí),極大Lq-似然估計(jì)參數(shù)的均方誤差大于極大似然估計(jì)的均方誤差;當(dāng)q>1時(shí),極大Lq-似然估計(jì)參數(shù)的均方誤差小于極大似然估計(jì)的均方誤差。