張 威,鄧招華,楊 琴,李紅印,劉應(yīng)開(kāi)*

(1.云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,云南 昆明 650500;2.龍陵縣河頭初級(jí)中學(xué),云南 保山 678300)

1 木板擺動(dòng)實(shí)驗(yàn)

1.1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1.1 雙線擺周期的理論推導(dǎo)

圖1中表示一個(gè)雙線擺,兩根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩懸掛一質(zhì)量為M的光滑勻質(zhì)平木板,板的中央放置一質(zhì)量為m的光滑小球,開(kāi)始時(shí)給木板一個(gè)水平向右的初速度v0,隨后木板將作小角度地?cái)[動(dòng)[3]。板在擺動(dòng)時(shí),各部分與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)一致,只需要考慮質(zhì)心運(yùn)動(dòng)即可,擺角為θ時(shí)平板質(zhì)心速度v和小球豎直向上的速度vy,如圖2所示。能量方程和速度關(guān)系式為

圖1 木板擺動(dòng)圖

圖2 木板擺動(dòng)θ角圖

(1)

木板的質(zhì)心加速度為

(2)

假設(shè)木板與小球之間的豎直方向作用力大小為N,則木板的切向動(dòng)力學(xué)方程為

(Mg+N)sinθ=-Ma切。

(3)

小球的動(dòng)力學(xué)方程為

N-mg=may。

(4)

聯(lián)立,消去N有:

(M+m)gsinθ=-Ma切-maysinθ。

(5)

小球向上的加速度ay即為木板圓運(yùn)動(dòng)加速度的相應(yīng)分量,即:

ay=a心cosθ+a切sinθ。

(6)

將(2)代入(6),可得:

(7)

將(7)代入(5)式,并有:

(8)

引入關(guān)于θ的角加速β=a切/L可得:

(9)

本題所給V0很小,θ也就很小,有如下近似:

(9)式簡(jiǎn)化為

β+ω2θ=0 ,

(10)

(11)

可見(jiàn)平木板的運(yùn)動(dòng)類(lèi)似于單擺運(yùn)動(dòng),擺動(dòng)周期為

(12)

從(11)式可知,平木板的擺動(dòng)周期與小球質(zhì)量平木板質(zhì)量以及擺長(zhǎng)有關(guān)。當(dāng)小鐵球的質(zhì)量變大時(shí),系統(tǒng)的振動(dòng)周期將變小。本文測(cè)量平木板和小鐵球的質(zhì)量以及擺長(zhǎng),利用智能手機(jī)上的phyphox軟件記錄下平木板下方的光源隨平木板周期性擺動(dòng)時(shí)光強(qiáng)隨時(shí)間的變化,從而獲得平木板的擺動(dòng)周期T。與理論結(jié)果比較,研究木板的擺動(dòng)規(guī)律,從大到小改變小鐵球的質(zhì)量,探究擺動(dòng)周期變化所呈現(xiàn)的規(guī)律。

1.1.2 空氣阻力對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響

實(shí)驗(yàn)在空氣中進(jìn)行,平木板的擺動(dòng)不再是等幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振幅按Ae-ξωnt5規(guī)律隨時(shí)間不斷衰減。當(dāng)時(shí)間趨近無(wú)窮大時(shí),振幅趨近零,平板靜止下來(lái)。在該研究中,平木板擺動(dòng)為小阻尼的自由振動(dòng),也稱(chēng)為衰減振動(dòng)[5]。阻尼對(duì)自由振動(dòng)存在兩方面的影響,一方面使系統(tǒng)振動(dòng)的周期有細(xì)微的增大,頻率略有降低;另一方面小阻尼使系統(tǒng)振動(dòng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減。當(dāng)阻尼比較小時(shí),即阻尼系數(shù)遠(yuǎn)小于1時(shí),可以忽略對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。如當(dāng)阻尼系數(shù)為0.05時(shí),T′=1.001 25T,與無(wú)阻尼相比較,僅僅相差0.125%。此時(shí)振幅A2=A1/1.336=0.73A1,也就是在每一個(gè)周期內(nèi)振幅減少27%,振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減。空氣阻尼系數(shù)在k=2mβ=2.15×10-46左右,由于空氣阻尼系數(shù)比較小,對(duì)平木板的周期和頻率的影響可以忽略不計(jì),實(shí)驗(yàn)中的小鐵球與木板的接觸產(chǎn)生的摩擦也十分小,故忽略不計(jì)。

1.2 實(shí)驗(yàn)裝置和步驟

1.2.1 實(shí)驗(yàn)器材和裝置

實(shí)驗(yàn)所用器材為紐扣電池,LED燈,兩個(gè)鐵架臺(tái),電子秤,兩根PC硬管(一根短,一根長(zhǎng)),兩根等長(zhǎng)的細(xì)繩,不同質(zhì)量的小鐵球4個(gè),厘米刻度尺,一塊勻質(zhì)的平木板,膠水,已安裝phyphox的智能手機(jī)一部。

裝置如圖3所示,將發(fā)光裝置用膠水黏合在板的幾何中心正下方,并在木板上方中央將PC塑料管按如3圖所示黏合牢固,用于束縛小鐵球。將一根長(zhǎng)的PC塑料管固定在鐵架臺(tái)上,用細(xì)繩固定好,并將木板懸掛在PC塑料管下方,確保兩根擺線等長(zhǎng).裝置后面用木板制作一個(gè)角標(biāo),便于確保在5O內(nèi)擺動(dòng)。光源的正下方放置一部智能手機(jī),使手機(jī)感光部分正位于光源光強(qiáng)最強(qiáng)處,用于接收光強(qiáng)隨時(shí)間變化情況。

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置

1.2.2 實(shí)驗(yàn)步驟

(1)用電子秤測(cè)量出木板的質(zhì)量M和小鐵球的質(zhì)量m。

(2)按照要求確定橫桿的高度,并固定橫桿,平木板固定在橫桿的下方形成一個(gè)復(fù)雜的擺動(dòng)系統(tǒng),將PC塑料管固定在木板橫向的中央處,在木板的下表面的幾何中心處固定好LED燈。

(3)用厘米刻度尺測(cè)量出擺的擺長(zhǎng)l。

(4)利用智能手機(jī)上的phyphox軟件測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。

(5)打開(kāi)智能手機(jī)中phyphox軟件的光接收器,讓木板在5°以?xún)?nèi)擺動(dòng),記錄光強(qiáng)隨時(shí)間變化曲線,更換不同質(zhì)量的小鐵球,記錄光強(qiáng)隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)。

(6)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析。

2 雙線擺周期測(cè)量

2.1 數(shù)據(jù)記錄

Phyphox記錄了光強(qiáng)隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù),圖4是系統(tǒng)的擺動(dòng)周期圖。

t/s圖4 0.53 g小鐵球擺動(dòng)周期圖

從圖4中可以看到光強(qiáng)呈現(xiàn)出周期性變化,圖中一個(gè)波峰表示光強(qiáng)最強(qiáng),也就是平木板剛好經(jīng)過(guò)手機(jī)正上方時(shí)的光強(qiáng)。因此,從第一個(gè)峰開(kāi)始出現(xiàn)第三峰時(shí)為一個(gè)周期,為了使結(jié)果更精確,選擇了5個(gè)周期的平均值來(lái)計(jì)算平木板擺動(dòng)的周期,數(shù)據(jù)列于見(jiàn)表1。

表1 質(zhì)量為0.53 g的小鐵球的周期

木板的質(zhì)量為86.45 g,小鐵球質(zhì)量為0.53 g,擺長(zhǎng)為32.91 cm。另外,為了求出木板小角振動(dòng)的周期的理論值,我們還利用手機(jī)重力加速度傳感器及其物理工作坊軟件測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?取6次測(cè)量結(jié)果的平均值9.78 m/s2代入公式(12)如圖5所示,從而求出木板雙線擺振動(dòng)周期的理論值,便于和實(shí)驗(yàn)直接測(cè)量振動(dòng)周期作比較,并計(jì)算相對(duì)誤差。

圖5 智能手機(jī)重力加速度傳感器測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?/p>

2.2 數(shù)據(jù)處理與分析

將相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入公式(12),得到雙線擺的理論周期,即:

(13)

與實(shí)際測(cè)量的周期相比,二者相差僅僅0.002 550,相對(duì)誤差為0.255%。

2.3 計(jì)算不確定度引起的誤差

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中測(cè)量了質(zhì)量2次,分別為M和m,細(xì)繩的長(zhǎng)度L,電子天平最小分度為0.01 g,相應(yīng)的直接測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類(lèi)分量[7]為0.005 774 g,測(cè)量長(zhǎng)度用厘米刻度尺,其最小分度為0.01 m,相應(yīng)的直接測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類(lèi)分量[7]為0.005 774 m。計(jì)算理論周期T時(shí),其結(jié)果為C類(lèi)不確定度[7],所得周期為0.048 339 s。智能手機(jī)上的光傳感器為每0.16 s記錄一次光強(qiáng),由此直接測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類(lèi)分量[7]為0.092 376,從而得到相應(yīng)的真實(shí)值:T測(cè)量=1.152 011±0.092 376,T理論=1.150 101±0.048 339。

3 選取不同質(zhì)量的小鐵球時(shí),系統(tǒng)的擺動(dòng)周期

選取不同質(zhì)量的小鐵球來(lái)探究平木板擺動(dòng)周期的變化。小鐵球的質(zhì)量(m)分別用1.67,1.00,0.53和0.21 g,擺長(zhǎng)(l)為32.91 cm,木板的質(zhì)量(M)為86.45 g,重力加速度取上述實(shí)驗(yàn)測(cè)定的9.78 m/s2。實(shí)驗(yàn)過(guò)程重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)步驟(1)-(5),結(jié)果列于表2?？梢?jiàn),理論與實(shí)際數(shù)值吻合得很好,在誤差允許范圍內(nèi)驗(yàn)證了理論結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文從動(dòng)力學(xué)方程出發(fā),研究了等長(zhǎng)的雙線懸掛的平板在水平方向的小角擺動(dòng)周期,獲得了(6)式的周期公式。平木板系統(tǒng)的周期隨小鐵球的質(zhì)量的增加而減小。同時(shí),利用安裝phyphox軟件的智能手機(jī)及其光傳感器功能測(cè)量了平木板系統(tǒng)的周期,測(cè)量結(jié)果表明:擺長(zhǎng)(L)為32.91 cm,重力加速度(g)為9.78 m/s2,木板的質(zhì)量(M)為86.45 g。小鐵球質(zhì)量(m)分別為1.67、1.00、0.53、0.21 g時(shí),平木板系統(tǒng)的擺動(dòng)周期分別為1.142 811、1.151 377、1.1520 02和1.156 924 s,而理論計(jì)算周期則分別為1.141 615、1.145 980、1.149 072和1.151 191 s,相對(duì)誤差分別為0.105%,0.471%,0.255%和0.498%,二者符合得很好。

綜上所述,隨著小鐵質(zhì)量的減小,雙線擺系統(tǒng)擺動(dòng)周期逐漸增大,實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與理論周期十分吻合,且利用智能手機(jī)測(cè)量的數(shù)據(jù)的精度得到提高,進(jìn)一步驗(yàn)證了理論推導(dǎo)式的正確性。間接地為教學(xué)研究者利用生活中普遍存在的智能手機(jī)應(yīng)用于物理實(shí)驗(yàn)提供了參考。利用智能手機(jī)能方便地測(cè)量和記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),實(shí)驗(yàn)研究不再局限于實(shí)驗(yàn)室,便于進(jìn)行更多的物理問(wèn)題的探究活動(dòng)。智能手機(jī)上各種傳感器隨著科技的發(fā)展和技術(shù)進(jìn)步,其精度也越來(lái)越高,使用越來(lái)越方便,為開(kāi)展高精度的自制教具和物理研究提供了便利。結(jié)合智能手機(jī)上的音頻傳感器,磁力傳感器、光學(xué)傳感器等可進(jìn)行聲學(xué)、光學(xué)、磁學(xué)等物理研究,化抽象為具體,化理性為感知,可大大提高物理教學(xué)實(shí)效,促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

5 展 望

物理實(shí)驗(yàn)和教學(xué)必然要隨著時(shí)代不斷優(yōu)化,實(shí)驗(yàn)精確度不斷提高,實(shí)驗(yàn)裝置和記錄方法更加智能化[8]。目前智能手機(jī)作為一種智能化的現(xiàn)代產(chǎn)品,相關(guān)技術(shù)功能已經(jīng)很成熟,將智能手機(jī)用于物理實(shí)驗(yàn),已經(jīng)成為一種趨勢(shì),大量學(xué)者已經(jīng)用其完成了許多物理實(shí)驗(yàn)的研究,許多學(xué)者也在用智能手機(jī)不斷開(kāi)發(fā)物理實(shí)驗(yàn),不斷探究如何將智能手機(jī)用于物理實(shí)驗(yàn)和研究[9]。我們深信未來(lái)智能手機(jī)將出現(xiàn)在物理教學(xué)中,越來(lái)越多的大學(xué)生、中學(xué)生將利用智能手機(jī)獨(dú)自完成物理實(shí)驗(yàn),發(fā)揮智能手機(jī)在教學(xué)和人才培養(yǎng)中的功能。