季海波

(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院,江蘇 宿遷223800)

0 引言

風(fēng)險(xiǎn)是金融體系與金融活動(dòng)的基本屬性之一,風(fēng)險(xiǎn)管理是各類金融機(jī)構(gòu)所從事的全部業(yè)務(wù)和管理活動(dòng)中最核心的內(nèi)容.對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)度量方法的研究最早可追溯到美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家、金融學(xué)家Markowitz的著作《資產(chǎn)組合選擇:投資的有效分散化》[1],其中的均值-方差模型為風(fēng)險(xiǎn)量化方法的開端.1990年代,國(guó)際清算銀行引入一種針對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的資本金要求,提出了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(value-at-risk,VaR)的概念,對(duì)于損失隨機(jī)變量X,其分布函數(shù)為F(x),則置信水平0<β<1下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值定義為

VaR,β(X)=inf{y∈R|P(X≤y)≥β}=F←(β),

VaR,β(X)實(shí)際上是損失分布的β分位數(shù).對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值計(jì)算的相關(guān)研究可參見文獻(xiàn)[2-5].風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值在風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域影響廣泛,但自身具有局限性,它不符合一致性風(fēng)險(xiǎn)度量,且沒有考慮尾部損失.1997年,Artzner等[6]提出了期望損失(expected shortfall,ES),定義為損失分布中超過(guò)置信水平β下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值部分的損失期望值,表達(dá)式為

對(duì)ES的相關(guān)研究可參見文獻(xiàn)[7-9].之后,Acerbi[10-11]引入更一般的一致性風(fēng)險(xiǎn)度量——譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度(spectral risk measure,SRM),并指出ES是SRM的特例[10].譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的表達(dá)式為

(1)

其中,權(quán)重函數(shù)φ(p)為容許風(fēng)險(xiǎn)譜,具有下列性質(zhì):

1)非負(fù)性:φ(p)≥0;

3)弱增性:φ′(p)≥0.

Acerbi等[12]還對(duì)譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的計(jì)算及以該風(fēng)險(xiǎn)度量作為目標(biāo)或約束條件的資產(chǎn)組合優(yōu)化問(wèn)題作了初步探討;2020年,Xing等[13]研究了一階多元正規(guī)變化尾下譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的漸近式,并利用隨機(jī)模擬驗(yàn)證了譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的二階展開式較一階展開式更接近經(jīng)驗(yàn)值.本文將文獻(xiàn)[13]中的損失分布尾推廣到二階多元正規(guī)變化的情形,計(jì)算譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的漸近式.

1 基本概念

引入一維情形下的正規(guī)變化函數(shù)的定義.

(1)

(2)

(3)

(4)

下面給出多維情形下正規(guī)變化函數(shù)的定義.

定義3[16]假設(shè)隨機(jī)變量向量X=(X1,X2,…,Xd)取值于[0,∞)d中,如果存在函數(shù)b(t)→0(t→∞),b(t)∈VR(1/α),α>0,Radon測(cè)度ν≠0,使得當(dāng)t→∞時(shí),在M+(E)上有

其中:E=[0,∞]d{0},0為全0的d維向量,M+(E)為E的布雷爾子集上全體Radon測(cè)度組成的集合;上述收斂是指淡收斂,則稱X是多元正規(guī)變化的,記作X∈VMR(-α,b,ν).

Radon測(cè)度ν(·)對(duì)相對(duì)緊集A?E有如下性質(zhì):

ν(kA)=k-αν(A),k>0.

定義4[17]假設(shè)X∈VMR(-α,b,ν),且存在一致符號(hào)函數(shù)A(t)→0,|A(t)|∈VR(ρ),ρ≤0,使得當(dāng)t→∞時(shí),有

(5)

其中:x∈(0,∞]d(∞,∞,…,∞);H是一個(gè)非零且有限的函數(shù),則X為二階多元正規(guī)變化的,且具有參數(shù)α>0,ρ≤0,記作X∈V2MR(-α,ρ,b,A,ν,H).

2 二階多元正規(guī)變化下的譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的漸近式

給出兩個(gè)在隨機(jī)變量向量X上的假設(shè),其分布函數(shù)為F.兩個(gè)假設(shè)分別是在ν(·)相對(duì)于Lebesgue測(cè)度存在密度函數(shù)和不存在密度函數(shù)的情形下給出的.

其中極限函數(shù)λ(·)≠0,且在={x∈E|‖x‖=1}上有界,滿足λ(tx)=t-α-dλ(x),≠0在遠(yuǎn)離0的集合上可積,在上有限且有界.

當(dāng)X∈V2MR(-α,ρ,b,A,ν,H)時(shí),在假設(shè)1和假設(shè)2下X都有相同的邊緣分布,且都是二元正規(guī)變化的.對(duì)于投資組合損失

有如下引理.

引理2設(shè)X∈V2MR(-α,ρ,b,A,ν,H),α>1,ρ≤0,且ν({x∈R+d|xi>1})>0,ω∈Σd,則有

(6)

其中:Ωd={x∈R+d|ωTx>1},Γi={x∈R+d|xi>1},i=1,2,…,d.

證因?yàn)閄∈V2MR(-α,ρ,b,A,ν,H),由定義4知,X∈VMR(-α,b,ν).由文獻(xiàn)[2]中定理3.4.1的證明,有

從而可得

再由文獻(xiàn)[8]中的結(jié)論,可知

故(6)式成立.

ωTX∈V2R(-α,ρ,b*,A*,H*),

證只需將文獻(xiàn)[2]中定理4.2證明過(guò)程中的Γd換成Ωd,即可證.

推論1設(shè)X∈R+d,滿足定理1的所有條件,則有

ωTX∈V2R(-α,ρ,b1,A1,H1),

根據(jù)引理2,給出二階多元正規(guī)變化下的譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度Mφ1-β(ωTX)的漸近式,對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)譜函數(shù)定義為

(7)

其中φ1:[0,1]→R.

定理2設(shè)X∈R+d,滿足定理1的所有條件,ν({x∈R+d|xi>1})>0,ω∈Σd,風(fēng)險(xiǎn)譜函數(shù)為(7)式,且對(duì)任意的10和δ>0,有

(8)

則當(dāng)β→1時(shí),有

(9)

證由(1)、(7)式,有

令s=1-(1-β)t-1,換元可得

(10)

由推論1可知,X∈V2MR(-α,ρ,b,A,ν,H),從而可得

ωTX∈V2R(-α,ρ),α>1,ρ<0.

由定義2,有ωTX∈VR(-α).假設(shè)ωTX的分布函數(shù)為Fω,則

即當(dāng)β→1時(shí),

(11)

由文獻(xiàn)[13]的引理3.3知,當(dāng)β→1時(shí),

(12)

結(jié)合(11)、(12)式,可得

(13)

再將(6)式代入(13)式,可得結(jié)論.

3 實(shí)例分析

例1假設(shè)X1,X2是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,且共同的分布函數(shù)F滿足

(14)

計(jì)算二維隨機(jī)變量X=(X1,X2)對(duì)應(yīng)的譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的漸進(jìn)式.

由定義2可知,X1∈V2R(-2,-1),其中α=2,ρ=-1.

記ν2(x,∞)=x-α,x>0,則有

故假設(shè)2成立.

再驗(yàn)證X=(X1,X2)∈VMR.對(duì)于x1>0,x2>0,有

且有

(15)

為了作比較,應(yīng)用文獻(xiàn)[13]中的定理3.2(8)式,得β→1時(shí)譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的一階漸近式為

(16)

取冪風(fēng)險(xiǎn)譜函數(shù)

即可滿足(8)式;再取ω=(0.5,0.5)T,利用Monte-Carlo模擬對(duì)二階漸近式(15)與一階漸近式(16)進(jìn)行比較,具體步驟如下:

第1步假設(shè)X1,X2獨(dú)立同分布于(14)式,隨機(jī)產(chǎn)生105組X=(X1,X2)的樣本,記作xi=(xi1,xi2)(i=1,2,…,105);

第2步產(chǎn)生投資組合損失ωTX=0.5(X1+X2)的樣本;

具體模擬結(jié)果見表1.

表1 不同β下譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度漸近式與經(jīng)驗(yàn)式的模擬值Tab.1 Simulated values of asymptotics and empirical formulas for spectral risk measures under different β

在實(shí)際應(yīng)用中,風(fēng)險(xiǎn)譜函數(shù)的選擇需要滿足(8)式.由表1可知,無(wú)論β取何值,二階多元正規(guī)變化下的譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度較一階情形都更加接近經(jīng)驗(yàn)值;隨著β的增加,(15)與(16)式的值都越來(lái)越接近經(jīng)驗(yàn)值,且兩者之間的絕對(duì)誤差隨著β的增大而減小.

對(duì)投資組合ωTX=αX1+(1-α)X2(0<α<1)在系數(shù)α取不同值時(shí),進(jìn)行同樣的模擬,結(jié)果發(fā)現(xiàn):只要α固定,則二階多元正規(guī)變化下的譜風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度較一階情形下更接近經(jīng)驗(yàn)值;且隨著α的增加,兩個(gè)漸近式的值越來(lái)越接近經(jīng)驗(yàn)值.

可見,一旦投資項(xiàng)目數(shù)與組合系數(shù)固定,無(wú)論增加投資項(xiàng)目數(shù)量還是改變項(xiàng)目組合系數(shù),變化規(guī)律都是一致的.