江蘇省南京市文靖東路小學(xué) 史偉琴

數(shù)學(xué)本質(zhì)是指從數(shù)學(xué)學(xué)科的視角研究數(shù)學(xué)知識(shí)，包括數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)源、發(fā)展以及運(yùn)用。基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)，是有效實(shí)施數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的前提。幾何概念能反映幾何圖形的本質(zhì)屬性，經(jīng)歷了從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的抽象過(guò)程。那么，如何凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)行幾何概念教學(xué)設(shè)計(jì)呢？可以從以下幾方面展開(kāi)。

一、整體視角分析，厘清本質(zhì)

整體的視角意味著要從多角度分析數(shù)學(xué)知識(shí)，而不是單一地、孤立地看待數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)并不等同于數(shù)學(xué)教材中的描述與說(shuō)明。數(shù)學(xué)教材往往要考慮學(xué)生的接受能力，有時(shí)會(huì)舍去一些嚴(yán)謹(jǐn)性而規(guī)范性的表達(dá)。同時(shí)，數(shù)學(xué)教材由于篇幅的限制不可能充分展開(kāi)，只能摘其要點(diǎn)，不會(huì)對(duì)“是什么”“為什么”“怎么用”等進(jìn)行完整的敘述。

例如，圓的本質(zhì)是什么，可以從數(shù)學(xué)教材中圓的概念部分去解讀。在數(shù)學(xué)教材中，對(duì)于“圓”的定義主要采用的是描述性的定義，通過(guò)圓的要素半徑和直徑的特征來(lái)幫助學(xué)生了解圓這種圖形。中學(xué)階段圓基本上給出的是幾何定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形,其中定點(diǎn)和定長(zhǎng)分別為該圓的圓心和半徑。當(dāng)然，圓還有其他兩種定義說(shuō)法：一種是軌跡說(shuō)，另一種是集合說(shuō)。從幾種不同的定義方式，我們能發(fā)現(xiàn)小學(xué)階段的圓的定義采用的是靜態(tài)定義方式，比較直觀，利于形成圓的表象；而初中階段針對(duì)圓的定義采用的是動(dòng)態(tài)定義的方式，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中體現(xiàn)出圓的本質(zhì)特征，即到定點(diǎn)距離一定的所有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的曲線圖形。

圓的本質(zhì)是什么，還可以通過(guò)數(shù)學(xué)史去梳理。中國(guó)歷史上最早提出圓的概念的是墨子。早在2000 年前，《墨經(jīng)》中就記載了“圓，一中同長(zhǎng)也”。

從整體的視角分析意味著要弄清知識(shí)的來(lái)源、發(fā)展與應(yīng)用，教師可以從數(shù)學(xué)概念定義本身出發(fā)，厘清不同定義的區(qū)別和聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的基本內(nèi)涵；也可以從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)出發(fā)，梳理不同歷史階段人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，弄清知識(shí)的來(lái)龍去脈，從而深刻把握知識(shí)的本質(zhì)。

二、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，直逼本質(zhì)

把握了知識(shí)的本質(zhì)，接下來(lái)要思考怎樣把知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)為可為學(xué)生可接受的教育形態(tài)。知識(shí)的教育形態(tài)是指將知識(shí)融入適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境中，讓學(xué)生基于情境進(jìn)行學(xué)習(xí)。這種問(wèn)題情境往往基于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)的原型，同時(shí)又帶有一定的問(wèn)題意識(shí)，可以激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲，引發(fā)認(rèn)知沖突。

如在蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)“圓的認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，為了凸顯圓的動(dòng)態(tài)定義這一核心知識(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)了一個(gè)具有探究性的問(wèn)題情境：同學(xué)們將要進(jìn)行一個(gè)游戲活動(dòng)——套圈。至少3 個(gè)同學(xué)做套圈游戲，怎樣站立才公平？套圈的位置可以用一個(gè)圓點(diǎn)表示，玩家的人數(shù)可以是3 人、4 人，甚至更多的人。明白了嗎？出示學(xué)習(xí)單（如圖1），學(xué)生自主思考。

圖1

在“套圈游戲”的情境中，蘊(yùn)含著一個(gè)問(wèn)題：怎樣站才公平。這一情境的創(chuàng)設(shè)從套圈游戲到怎樣站才公平，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題?！霸鯓诱静殴健边@一問(wèn)題助推學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，積極探索新知。學(xué)生在自主探究過(guò)程中形成的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。由此，學(xué)習(xí)不斷深入，直至問(wèn)題解決。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生能感悟到圓的本質(zhì)，即到定點(diǎn)距離定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，從而進(jìn)一步理解“圓，一中同長(zhǎng)也”。合理的問(wèn)題情境不僅可以凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，還要設(shè)法讓學(xué)生“卷入”探究過(guò)程中。

三、經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過(guò)程，形成本質(zhì)

弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。數(shù)學(xué)化就是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程。這里的“數(shù)學(xué)化”過(guò)程不能僅僅依靠教師的灌輸，更重要的是學(xué)生自我的建構(gòu)，讓學(xué)生嘗試用自己的方式表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的理解，建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上，不同思維層次的學(xué)生通過(guò)互動(dòng)交流，不斷糾錯(cuò)，不斷完善，才能實(shí)現(xiàn)感性經(jīng)驗(yàn)向理性知識(shí)的躍升，完成感性經(jīng)驗(yàn)向數(shù)學(xué)知識(shí)的轉(zhuǎn)化。

如在教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)了“套圈游戲”的問(wèn)題情境后，組織學(xué)生交流匯報(bào)。

【教學(xué)片段】

學(xué)生交流后，匯總出了5 種不同的方法。

方法1：排成一條直線的。

方法2：排成長(zhǎng)方形，人放在頂點(diǎn)。

方法3：擺成正方形，人的位置放在頂點(diǎn)和每條邊的中點(diǎn)。

方法4：擺成正三角形、正多邊形的，人放在頂點(diǎn)。

方法5：放在一段弧上的。

師：同學(xué)們真愛(ài)動(dòng)腦筋，想出了這么多方案。這些方案有什么共同點(diǎn)？看來(lái)只要點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離相等就可以。

師：如果兩個(gè)人之間的距離相等，就會(huì)形成正三角形；如果四個(gè)人呢？人越來(lái)越多，會(huì)形成什么樣的圖形？

師：結(jié)合剛才的研究，閉上眼睛想象，你認(rèn)為圓是一個(gè)什么樣的圖形？

生：到中心一樣長(zhǎng)的無(wú)數(shù)點(diǎn)就形成一個(gè)圓。

本節(jié)課中出現(xiàn)了比較有代表性的3 個(gè)學(xué)生的作品。1 號(hào)作品（如圖2），學(xué)生通過(guò)測(cè)量或根據(jù)已有的知識(shí)“點(diǎn)到直線的所有線段中，垂直線段最短”，能夠發(fā)現(xiàn)這一設(shè)計(jì)是存在缺陷的，由于每個(gè)人到套圈位置的長(zhǎng)度不同，游戲是不公平的；2 號(hào)作品（如圖3），通過(guò)精準(zhǔn)的測(cè)量，展示每個(gè)人到套圈位置的距離要相等；3 號(hào)作品（如圖4），在測(cè)量的基礎(chǔ)上，又進(jìn)一步發(fā)揮自身的想象，把可能的點(diǎn)的位置描了出來(lái)。不同作品體現(xiàn)出學(xué)生不同的思維特點(diǎn)，通過(guò)課堂中的交流辨析，學(xué)生都能領(lǐng)悟到“圓，一中同長(zhǎng)”這一本質(zhì)特征。

圖2

圖3

圖4

在此基礎(chǔ)上，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)感受到這些點(diǎn)的集合會(huì)形成一個(gè)圓形。此時(shí)，教師設(shè)計(jì)想象無(wú)數(shù)點(diǎn)匯集成圓這一環(huán)節(jié)。圓，作為一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)圖形，在生活中雖然隨處可見(jiàn)其實(shí)物模型，但這些都不是真正數(shù)學(xué)意義上的圓。數(shù)學(xué)意義上的圓是沒(méi)有瑕疵的，沒(méi)有直線的，這些特質(zhì)只能付諸學(xué)生的自我想象。這一環(huán)節(jié)中想象圓的形成過(guò)程是不可缺少的部分，突破圓的實(shí)物模型束縛，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中的圓的本質(zhì)。

四、感悟數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化本質(zhì)

從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，還要深入分析數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)可以分成不同的知識(shí)板塊，知識(shí)之間有著聯(lián)系和區(qū)別。如果將數(shù)學(xué)知識(shí)比喻成散落的珍珠，那么數(shù)學(xué)思想就是將這些珍珠串聯(lián)起來(lái)的金線。解釋和分析現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)知識(shí)會(huì)不斷地更新，但數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)的靈魂。

如在蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“圓的面積”的教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生探究圓的面積推導(dǎo)時(shí)，就設(shè)計(jì)了體悟轉(zhuǎn)化這一思想的教學(xué)環(huán)節(jié)。首先，通過(guò)回顧學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形、正方形、三角形、梯形等平面圖形面積的推導(dǎo)過(guò)程，激活學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，為圓的面積推導(dǎo)做鋪墊。但圓不同于其他直線圖形，它是一種曲線圖形，那么如何進(jìn)行分割，將其轉(zhuǎn)化成哪種我們學(xué)過(guò)的圖形來(lái)推導(dǎo)它的面積，就成為學(xué)生迫切需要思考的問(wèn)題。對(duì)于如何轉(zhuǎn)化圓這一曲面圖形這一問(wèn)題，教師先讓學(xué)生動(dòng)手嘗試未果后，出示一張生活中常見(jiàn)的比薩圖片，學(xué)生便恍然大悟，可以從圓心，沿著圓的半徑等分圓。

解決了如何分割圓之后，轉(zhuǎn)化成哪種平面圖形進(jìn)行推導(dǎo)？聯(lián)系已有直線圖形的面積推導(dǎo)，學(xué)生不僅可以想到轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長(zhǎng)方形，也可以轉(zhuǎn)化成不常見(jiàn)的三角形和梯形。（如圖5）

圖5

【教學(xué)片段】

師：我們通過(guò)生活中等分比薩的事例，類比出等分圓的方法。那么，我們需要將圓這一曲線圖形轉(zhuǎn)化成哪種學(xué)過(guò)的平面圖形呢？

小組合作，拼一拼，說(shuō)一說(shuō)圓的面積推導(dǎo)過(guò)程。

生1：我把圓等分16 份后，可以將其轉(zhuǎn)化成平行四邊形。平行四邊形的底是圓周長(zhǎng)的一半，高是圓的半徑，底×高就得到平行四邊形的面積，也就是圓的面積。

生2：也可以將圓轉(zhuǎn)化成一個(gè)梯形來(lái)求，上底和下底的長(zhǎng)度和就是圓周長(zhǎng)的一半，高是圓半徑的2 倍，利用梯形面積公式，求出梯形面積，也就是圓的面積。

師：用這些方法雖然將圓轉(zhuǎn)化成不同的平面圖形，但有什么相同的地方？

生4：都是將圓轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的平面圖形，找到轉(zhuǎn)化過(guò)后底和高與原來(lái)圓的關(guān)系，再推導(dǎo)出圓的面積公式。

……

如此體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體方法的多樣化，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的思維空間，增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性。