張亦睿,陳 波,周益林,賈晶晶,李趙儀

(華北理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院,河北 唐山 063210)

1 引 言

自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)主要分為無(wú)波前探測(cè)型和波前探測(cè)型[1],基于哈特曼-夏克(Hartmann-Shack,H-S)傳感器的波前探測(cè)系統(tǒng)目前仍廣泛應(yīng)用于高速實(shí)時(shí)校正技術(shù)中[2],利用比例-積分-微分(Proportion-integral-differential,PID)算法即可實(shí)現(xiàn)較好的效果[3]。但傳統(tǒng)的PID控制依賴(lài)于變形鏡的響應(yīng)模型[4],響應(yīng)模型易受擾動(dòng)影響因此標(biāo)定過(guò)程較為復(fù)雜。針對(duì)此問(wèn)題,2017年劉章文等人[5]提出了一種模糊PID控制方法,該方法利用波面加權(quán)模板[5],無(wú)需對(duì)響應(yīng)矩陣進(jìn)行標(biāo)定,擺脫了對(duì)變形鏡對(duì)響應(yīng)模型的依賴(lài)[6],證實(shí)了模糊PID控制應(yīng)用于波前校正的可行性。2020年,張丹玉[7]提出一種雙重模糊PID算法,該算法更加靈活,提高了系統(tǒng)的自適應(yīng)性,但輸入輸出論域的選取要根據(jù)實(shí)驗(yàn)環(huán)境使用專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)法判定,不合適的論域選取會(huì)影響波面評(píng)價(jià)指標(biāo)[7]進(jìn)而影響系統(tǒng)校正效果。2021年,程爽[8]提出一種基于PID控制的殘差校正畸變算法,應(yīng)用于大幅度畸變波前校正[8],實(shí)現(xiàn)了對(duì)畸變變量中除周期擴(kuò)展外殘差部分的消除,但仍需對(duì)響應(yīng)矩陣進(jìn)行分析,計(jì)算量較為復(fù)雜。

針對(duì)上述問(wèn)題提出一種變論域模糊控制(Variable domain fuzzy control)方法,對(duì)波前校正過(guò)程進(jìn)行了優(yōu)化。變形鏡的每一個(gè)驅(qū)動(dòng)器都有獨(dú)立的變論域模糊推理過(guò)程,對(duì)比例、積分、微分系數(shù)分別進(jìn)行自整定,也就無(wú)需對(duì)變形鏡的響應(yīng)模型進(jìn)行標(biāo)定,同時(shí)具有更高的自適應(yīng)性。波前校正實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明,經(jīng)變論域模糊控制校正后波面的波前峰谷值(Peakto Valley,PV)與波前均方根值(Root Mean Square,RMS)均小于傳統(tǒng)模糊控制校正后的波面,波前殘差的均方根值也更小。控制器性能實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明,變論域模糊控制較傳統(tǒng)模糊控制魯棒性更高、響應(yīng)時(shí)間更短,最終實(shí)現(xiàn)增強(qiáng)系統(tǒng)校正的適應(yīng)能力、提高校正效率與準(zhǔn)確度的目的。

2 變論域模糊控制模型及校正原理

圖1 波前校正的變論域模糊控制模型

2.1 波面評(píng)價(jià)指標(biāo)的提取

WRS為波前重構(gòu)過(guò)程,設(shè)波前重構(gòu)矩陣為A,WRS計(jì)算過(guò)程如公式(1)所示:

Δφ=AZn

(1)

WSE為波面評(píng)價(jià)過(guò)程,波面評(píng)價(jià)過(guò)程主要是從實(shí)時(shí)重構(gòu)出的波前Δφ中提取波面評(píng)價(jià)指標(biāo)P,對(duì)應(yīng)變形鏡單個(gè)驅(qū)動(dòng)器采集重構(gòu)波面的深度信息[5]。COV為PID控制時(shí)的電壓解算過(guò)程,傳統(tǒng)PID控制跳過(guò)WRS和WSE,直接由Zn通過(guò)COV解出電壓殘差ΔV輸入到PID控制器。電壓殘差ΔV可表示為:

ΔV=BAZn=BΔφ=CZn

(2)

式中,B即為變形鏡的響應(yīng)模型矩陣?？梢钥闯?傳統(tǒng)PID控制嚴(yán)格依賴(lài)矩陣B,而矩陣B的標(biāo)定又容易受到變形鏡溫度漂移、振動(dòng)干擾等因素影響,最終對(duì)整個(gè)校正過(guò)程的精確性與快速性產(chǎn)生影響。同時(shí)由公式(2)可以發(fā)現(xiàn)C=BA,即變形鏡各驅(qū)動(dòng)器相對(duì)于H-S傳感器子孔徑的相對(duì)位置矩陣,會(huì)限制實(shí)驗(yàn)器材在實(shí)際光路調(diào)試中的安裝位置。而在變論域模糊控制中只需要在波前重構(gòu)之后確定波面評(píng)價(jià)指標(biāo)P(n),不需要再對(duì)矩陣B進(jìn)行標(biāo)定。

經(jīng)過(guò)校正后,變形鏡第k次、第n個(gè)驅(qū)動(dòng)器的輸出電壓為:

v(n)(k)=v0+Δv(n)(k)

(3)

(4)

公式(4)中e(n)(k)為第k次、第n個(gè)驅(qū)動(dòng)器的波面評(píng)價(jià)指標(biāo)P的殘差參數(shù),所有殘差參數(shù)記為e=[e(0)(k),e(1)(k),…,e(n)(k)]T。

即:

(5)

2.2 模糊論域及規(guī)則庫(kù)的設(shè)計(jì)

首先確定論域的選取范圍,包含輸入論域{e}和{ec}以及輸出論域{Kp}、{Ki}和{Kd},符號(hào){·}表示集合。輸入論域的選取參考波面評(píng)價(jià)指標(biāo)P的范圍,設(shè)定{e}和{ec}在模糊集合上的范圍分別為[-120,120]和[-6,6]。對(duì)于輸出論域的選取,當(dāng)隸屬度為正負(fù)對(duì)稱(chēng)時(shí)Kp、Ki和Kd通常需要設(shè)定初始值,而隸屬度為正分布時(shí)則不需要設(shè)定初始值[10],因此設(shè)定{Kp}、{Ki}和{Kd}在模糊集合上的范圍均為[0,1]。其次將模糊集合的范圍劃分為7個(gè)模糊子集,即負(fù)大(NB)、負(fù)中(NM)、負(fù)小(NS)、零(ZO)、正小(PS)、正中(PM)和正大(PB)[11]。模糊控制規(guī)則的設(shè)計(jì)要求如下:誤差較大時(shí),控制參數(shù)傾向于快速減小誤差的效用;誤差較小時(shí),控制參數(shù)在消除誤差的同時(shí),還需要盡量避免系統(tǒng)振蕩、減小超調(diào)[12]。根據(jù)系統(tǒng)在受控過(guò)程中對(duì)應(yīng)不同范圍的e和ec,建立合適的關(guān)于Kp、Ki、Kd的模糊邏輯語(yǔ)句:

1)If(eis NB)and(ecis NB)then(Kpis PB)(Kiis NB)(Kdis PS)

2)If(eis NB)and(ecis NM)then(Kpis PB)(Kiis NB)(Kdis NS)

3)If(eis NB)and(ecis NS)then(Kpis PM)(Kiis NM)(Kdis NB)

……

49)If(eis PB)and(ecis PB)then(Kpis NB)(Kiis PB)(Kdis PB)

最后選取高斯型(Gaussmf)函數(shù)構(gòu)造如表1、表2、表3所示隸屬度分布的模糊規(guī)則表。

表1 Kp的模糊規(guī)則表

表2 Ki的模糊規(guī)則表

表3 Kd的模糊規(guī)則表

表4 波前校正結(jié)果評(píng)價(jià)指標(biāo)

2.3 變論域模糊控制算法的設(shè)計(jì)

變論域模糊算法實(shí)質(zhì)上是在已有規(guī)則的模糊控制器的基礎(chǔ)上合理添加變論域調(diào)節(jié)因子,原本的論域范圍就會(huì)隨著誤差的變化而實(shí)時(shí)更新,進(jìn)而將模糊規(guī)則庫(kù)轉(zhuǎn)變?yōu)楦屿`活的自適應(yīng)規(guī)則庫(kù)。輸入變量為e,通過(guò)伸縮因子α(e)(α∈[0,1])將初始論域[-αE,αE])變換為[-α(e′)E,α(e′)E],如圖2所示,無(wú)論當(dāng)論域膨脹還是壓縮,都相當(dāng)于對(duì)控制規(guī)則進(jìn)行實(shí)施調(diào)控,從而提高了控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,最終達(dá)到提升控制精度的效果。

圖2 可變論域模糊控制規(guī)則變化圖

變論域調(diào)節(jié)因子使用函數(shù)法[13]來(lái)確定,模糊輸入變量的伸縮因子的算式為:

(6)

其中,e∈[-E,E]∈[-120,120],ec∈[-EC,EC]∈[-6,6],τ稱(chēng)為伸縮因子系數(shù),0<τ1<1,0<τ2<1。將和e和ec分別用α、β表示,采用下述公式計(jì)算τ(x)的值:

τ(x)=1-ζe-kx2

(7)

則:

τ(α)=1-ζe-kα2

(8)

τ(β)=1-ζe-kβ2

(9)

其中,k稱(chēng)為控制系統(tǒng)靈敏度系數(shù),k>0。在合理的范圍內(nèi)k值越大,論域伸縮的響應(yīng)速度越快,系統(tǒng)的靈敏度也就越高。ζ稱(chēng)為論域最小取值系數(shù),0<ζ<1。取k=10,ζ=0.1。

模糊輸出變量的伸縮因子的算式為:

(10)

式中,Q為比例常數(shù);T為采樣周期;P為常數(shù)向量;γ(0)為初始值。取Q=100,T=0.001,P=[1,1]T,γ(0)=1。

量化因子ke、kec和比例因子LKp、LKi、LKd的求解按照實(shí)際控制系統(tǒng)運(yùn)行的動(dòng)態(tài)范圍,[emin,emax]、[ecmin,ecmax]、[Δkmin(m),Δkmax(m)](m=p、i、d),使用論域正規(guī)化[13]變換公式:

(11)

(12)

(13)

2.4 清晰化處理

清晰化過(guò)程就是反模糊化的過(guò)程,使用重心法[14]可以達(dá)到使輸出更加平滑的目的。若ΔKp、ΔKi和ΔKd為經(jīng)過(guò)參數(shù)整定后的輸出量,則Kp、Ki和Kd的最終取值為:

(14)

式中,kp0、ki0、kd0為PID的初始值,均設(shè)定為零。在控制過(guò)程中,重復(fù)上述流程至輸出穩(wěn)定最終實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的參數(shù)自整定。

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

波前校正實(shí)驗(yàn)中,模擬光源的波長(zhǎng)為λ=589 nm,波前畸變由前20階Zernike多項(xiàng)式表示。H-S傳感器孔徑面陣為120×120,變形鏡驅(qū)動(dòng)器數(shù)為49。為保證系統(tǒng)的魯棒性并提升系統(tǒng)響應(yīng)的快速性,在波前校正實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,附加了系統(tǒng)性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

圖3為兩種模糊控制算法下波前校正的完整過(guò)程。模糊控制與變論域模糊控制校正后重構(gòu)的波面分別為圖3(d)與圖3(f),波面峰谷值DPV和均方根值WRMS分別從4.510λ,0.685λ到1.684λ,0.232λ。圖4波前復(fù)原誤差的標(biāo)準(zhǔn)差MSTD由0.206 μm降至0.09 μm。

圖3 兩種算法的波前校正結(jié)果

圖4 兩種算法波前校正殘余誤差的標(biāo)準(zhǔn)差

采用頻域分析的方法是證明系統(tǒng)性能的有效方法[15]。通過(guò)Simulink搭建模糊控制與變論域模糊控制對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?驗(yàn)證系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的跟蹤性能,如圖5所示。輸入采樣時(shí)間為0.01 s,幅值為1 rad的階躍信號(hào)。模糊控制和變論域模糊控制的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)如圖6所示。兩條曲線(xiàn)的穩(wěn)態(tài)誤差均為0,通過(guò)表5中超調(diào)量、上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間和振蕩次數(shù)四個(gè)性能指標(biāo)對(duì)比分析,模糊控制超調(diào)量大,振動(dòng)次數(shù)多,調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng),充分證明變論域模糊控制具有良好的穩(wěn)態(tài)性能與快速的響應(yīng)性能。

表5 兩種控制器的性能對(duì)比

圖5 控制系統(tǒng)對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

圖6 輸出的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)

4 結(jié) 論

波前校正的變論域模糊控制方法無(wú)需標(biāo)定變形鏡的響應(yīng)矩陣,降低了光路對(duì)準(zhǔn)調(diào)試的難度。借助變論域的自整定特性,校正后的波面峰谷值和均方根值大約為常規(guī)模糊控制的50 %,可以更好地實(shí)現(xiàn)波前復(fù)原。變論域模糊控制器相比于常規(guī)模糊控制器,超調(diào)量幾乎為零,系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間提前了大約33 %。變論域模糊控制方法在保證系統(tǒng)具有更高的魯棒性,提升系統(tǒng)的快速性的同時(shí),利用參數(shù)自整定的特性克服了擾動(dòng)因素對(duì)變形鏡響應(yīng)模型造成的不利影響,增強(qiáng)系統(tǒng)校正的適應(yīng)能力,縮短了系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間,提高了校正效率與準(zhǔn)確度,對(duì)于波前校正更具有實(shí)用性。目前已經(jīng)通過(guò)仿真證明波前校正的變論域模糊控制方法具有優(yōu)勢(shì),下一步工作需要利用儀器設(shè)備繼續(xù)進(jìn)行算法的優(yōu)化。