姜敏勤, 石小晶, 楊鈺, 張正勇

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院, 南京 210023)

復(fù)雜系統(tǒng)可以抽象成各種與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),如社交網(wǎng)絡(luò)[1]、航空網(wǎng)絡(luò)[2]、交通網(wǎng)絡(luò)[3]及電力網(wǎng)絡(luò)[4]等。隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的不斷深入,網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效行為作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究領(lǐng)域的重要分支,學(xué)者對(duì)其的探索從未間斷。網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效是指當(dāng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)失效后,需根據(jù)相鄰節(jié)點(diǎn)間的耦合關(guān)系對(duì)失效節(jié)點(diǎn)的負(fù)載進(jìn)行重分配,重分配過(guò)程可能會(huì)導(dǎo)致鄰居節(jié)點(diǎn)的負(fù)載超過(guò)自身的容量,從而發(fā)生鄰居節(jié)點(diǎn)連續(xù)失效的連鎖反應(yīng),導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的部分癱瘓或是全面崩潰[5]。級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象讓現(xiàn)代社會(huì)依賴的各類網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)面臨嚴(yán)峻的挑戰(zhàn),如2019年新冠肺炎疫情在中國(guó)武漢爆發(fā),并迅速蔓延至全國(guó)各地,引發(fā)一系列的連鎖故障,尤其是其物流網(wǎng)絡(luò)接近癱瘓,對(duì)各行各業(yè)都造成了巨大的沖擊[6]。因此,網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和抗毀性問(wèn)題已逐漸成為一個(gè)亟待解決且極具挑戰(zhàn)性的前沿課題。為有效預(yù)防和控制網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象,增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性,研究級(jí)聯(lián)失效具有極強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

已有學(xué)者對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效行為進(jìn)行了諸多探索,研究主要集中在級(jí)聯(lián)失效的建模及級(jí)聯(lián)抗毀性研究?jī)蓚€(gè)方面。Motter等[7]首次提出了經(jīng)典的線性容量負(fù)載模型來(lái)研究網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效,并指出具有高異質(zhì)性負(fù)載分布的網(wǎng)絡(luò)在負(fù)載較高的節(jié)點(diǎn)受到攻擊時(shí),容易引發(fā)級(jí)聯(lián)故障。Crucitti等[8]提出一個(gè)基于網(wǎng)絡(luò)流量動(dòng)態(tài)重分配的級(jí)聯(lián)失效模型,指出一個(gè)負(fù)載最大的節(jié)點(diǎn)失效,便足以擊垮整個(gè)網(wǎng)絡(luò)。而Kim等[9]的研究發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中容量較小的節(jié)點(diǎn)卻擁有較大的剩余容量,即真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中的負(fù)載和容量并非是一種簡(jiǎn)單的線性關(guān)系?；诖?竇炳琳等[10]對(duì)網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)典負(fù)載容量模型做出改進(jìn),以有效地抵御網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效。郝羽成等[11]基于節(jié)點(diǎn)過(guò)載狀態(tài)構(gòu)建了一種級(jí)聯(lián)失效模型,指出節(jié)點(diǎn)負(fù)載的混合分配策略能夠有效控制級(jí)聯(lián)失效的影響。Ma等[12]提出一種新級(jí)聯(lián)失效模型,該模型基于度中心性和接近中心性來(lái)定義任意兩節(jié)點(diǎn)之間的連接負(fù)載,以增強(qiáng)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。劉鳳增等[13]給出了一種考慮資源限制的節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配方式,研究級(jí)聯(lián)失效下非對(duì)稱依賴網(wǎng)絡(luò)的魯棒性,指出根據(jù)度值分配節(jié)點(diǎn)容量的網(wǎng)絡(luò)魯棒性更強(qiáng)。謝本凱等[14]建立了一種考慮節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的民航網(wǎng)絡(luò)容量負(fù)載模型,指出應(yīng)注重增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的魯棒性,以保證網(wǎng)絡(luò)的安全運(yùn)行。Feng等[15]提出一種匹配級(jí)聯(lián)失效模型來(lái)同時(shí)分析節(jié)點(diǎn)和邊的潛在過(guò)載,研究表明在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中,一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的故障可能會(huì)導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的崩潰。高潔等[16]提出一種基于非線性容量負(fù)載模型,研究具有電氣特征的加權(quán)電網(wǎng)和只具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的無(wú)權(quán)電網(wǎng),分別面對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)故障時(shí)的抗毀性情況。

縱觀已有研究,多側(cè)重于探討如何定義網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載和容量,以及容量的分配策略等方面,鮮有研究關(guān)注級(jí)聯(lián)失效過(guò)程中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要性的度量,普遍認(rèn)為度值較高的節(jié)點(diǎn)更為重要,在級(jí)聯(lián)失效仿真過(guò)程中,較多采用度值攻擊策略,即優(yōu)先攻擊度值較高的節(jié)點(diǎn),但根據(jù)單一指標(biāo)評(píng)估節(jié)點(diǎn)的重要度有一定的局限性。而現(xiàn)有的其他節(jié)點(diǎn)重要性度量方法[17-19],雖已取得諸多進(jìn)展,但基本還停留在網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)層面,鮮有報(bào)道研究級(jí)聯(lián)失效過(guò)程中網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)隨節(jié)點(diǎn)失效呈現(xiàn)出變化的動(dòng)態(tài)特性,且重要度不同的節(jié)點(diǎn)受到攻擊會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性大小的變化存在不同程度的影響,故尚未深刻揭示節(jié)點(diǎn)重要性動(dòng)態(tài)規(guī)律。因此,現(xiàn)提出一種基于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)狀態(tài)演化的節(jié)點(diǎn)重要度評(píng)估方法,以提高重要節(jié)點(diǎn)評(píng)估方法的科學(xué)性及后續(xù)級(jí)聯(lián)失效仿真分析的可靠性,在此基礎(chǔ)上引入兩個(gè)容量參數(shù),分析網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)負(fù)載與容量間的非線性行為,并提出一種新的節(jié)點(diǎn)攻擊策略,以保證每次仿真實(shí)驗(yàn)攻擊的節(jié)點(diǎn)都是當(dāng)下網(wǎng)絡(luò)中最重要的節(jié)點(diǎn),對(duì)網(wǎng)絡(luò)抵制級(jí)聯(lián)失效的抗毀性進(jìn)行深入研究。

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要度評(píng)估方法

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn)對(duì)分析網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和功能,增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)魯棒性和穩(wěn)定性至關(guān)重要。為挖掘網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn),現(xiàn)提出一種基于灰色關(guān)聯(lián)法和多準(zhǔn)則妥協(xié)解排序法(VIKOR),綜合考慮節(jié)點(diǎn)的度中心性、介數(shù)中心性和接近中心性的重要節(jié)點(diǎn)評(píng)估模型。

(1)構(gòu)建評(píng)價(jià)決策矩陣。根據(jù)文獻(xiàn)[20]計(jì)算節(jié)點(diǎn)的度中心性指標(biāo)、介數(shù)中心性指標(biāo)和接近中心性指標(biāo)值,構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要性評(píng)估的決策矩陣X,即

(1)

式(1)中:Xij為節(jié)點(diǎn)i的第j個(gè)中心性指標(biāo);n為節(jié)點(diǎn)數(shù);m為中心性指標(biāo)個(gè)數(shù)。

(2)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣。由于中心性準(zhǔn)則之間存在維度差異,需對(duì)矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理[21],處理后的標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣為D=(dij)n×m,計(jì)算公式為

(2)

(3)計(jì)算各中心性指標(biāo)的權(quán)重。采用客觀賦權(quán)法中的熵權(quán)法,利用中心性準(zhǔn)則之間的關(guān)聯(lián)程度和提供的信息來(lái)確定權(quán)重wj,計(jì)算公式為

(3)

式(3)中:Ej為中心性準(zhǔn)則j的信息熵。

(4)確定正負(fù)理想解。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣,確定正理想解d+和負(fù)理想解d-,計(jì)算公式為

(4)

(5)

式中:J為效益型指標(biāo);O為成本型指標(biāo)。

(5)采用歐氏距離計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的初始群體效用值Si和個(gè)別遺憾值Ri,公式為

(6)

(7)

(8)

(9)

式中:i=1,2,…,m;j=1,2,…,n;ρ為分辨系數(shù),一般ρ=0.5。

(10)

(11)

(12)

(13)

(9)確定各節(jié)點(diǎn)的綜合評(píng)估值Qi,公式為

(14)

2 級(jí)聯(lián)失效模型

2.1 初始負(fù)載

初始負(fù)載反映了節(jié)點(diǎn)在某一時(shí)刻處理信息的能力[22]。已有的研究往往以度值[23]或介數(shù)值[24]來(lái)定義節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載,但網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的有效運(yùn)行也依賴于其他鄰居節(jié)點(diǎn)[25],故設(shè)置節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載為

(15)

式(15)中:Fi為節(jié)點(diǎn)i的初始負(fù)載;ki為節(jié)點(diǎn)i的度值;Γi為節(jié)點(diǎn)i的鄰居節(jié)點(diǎn)的集合;α為調(diào)節(jié)初始負(fù)載強(qiáng)度的參數(shù),α>0。

2.2 節(jié)點(diǎn)容量

一個(gè)節(jié)點(diǎn)的容量是其能承受的最大負(fù)載。根據(jù)Motter-Lai模型,一個(gè)節(jié)點(diǎn)的容量與該節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載呈線性關(guān)系,但在真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)中,容量和負(fù)載表現(xiàn)出一種非線性關(guān)系,為保證節(jié)點(diǎn)容量的模型更接近真實(shí)的復(fù)雜系統(tǒng),定義節(jié)點(diǎn)容量為

Ci=Fi+θFiβ

(16)

式(16)中:Fi為節(jié)點(diǎn)i的初始負(fù)載;Ci為節(jié)點(diǎn)i的最大容量;θ和β為控制節(jié)點(diǎn)容量的容量參數(shù),且有θ>0,β>0 ;當(dāng)β=0時(shí),該模型轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的Motter-Lai模型。

2.3 負(fù)載重分配模型

當(dāng)節(jié)點(diǎn)的負(fù)載超過(guò)了節(jié)點(diǎn)自身的最大容量時(shí),則該節(jié)點(diǎn)會(huì)發(fā)生故障,從而引起負(fù)載的重分配。本文中采取與節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載成比例的重分配方式將故障節(jié)點(diǎn)的負(fù)載分配給鄰居節(jié)點(diǎn),表達(dá)式為

(17)

式(17)中:ΔFj為鄰居節(jié)點(diǎn)j增加的負(fù)載量;wj為負(fù)載的分配比例;Γi為節(jié)點(diǎn)i的鄰居節(jié)點(diǎn)的集合。

此時(shí),鄰居節(jié)點(diǎn)j的實(shí)時(shí)負(fù)載為

Fj(t)=Fj(t-1)+ΔFj

(18)

式(18)中:Fj(t)為節(jié)點(diǎn)j的t時(shí)刻的實(shí)時(shí)負(fù)載;Fj(t-1)為t-1時(shí)刻節(jié)點(diǎn)i沒(méi)有失效時(shí)的實(shí)時(shí)負(fù)載。若Fj(t)>Cj,節(jié)點(diǎn)j也會(huì)失效,則進(jìn)行失效節(jié)點(diǎn)j的二次負(fù)載重分配,直至相鄰節(jié)點(diǎn)所分配到的負(fù)載與初始負(fù)載之和滿足其最大容量限制。若Fj(t)≤Cj,則級(jí)聯(lián)失效中斷。

2.4 抗毀性測(cè)度指標(biāo)

最大連通子圖指網(wǎng)絡(luò)受到攻擊,被分為若干個(gè)子網(wǎng)絡(luò)后的最大連通分量,而最大連通子圖比例指網(wǎng)絡(luò)受到攻擊后,網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的節(jié)點(diǎn)數(shù)與初始網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)量的比值[26]。本文中采用最大連通子圖比例來(lái)量化復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的抗毀性,計(jì)算公式為

(19)

式(19)中:S為最大連通子圖的比例,S越大,表示網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越強(qiáng)[27];N′為最大連通子圖所包含的節(jié)點(diǎn)數(shù);N為網(wǎng)絡(luò)總節(jié)點(diǎn)數(shù)。

上述級(jí)聯(lián)失效算法流程如圖1所示。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證所提方法的有效性和可靠性,選擇以《成渝地區(qū)城際鐵路建設(shè)規(guī)劃 (2015—2020年)》的數(shù)據(jù)為例,繪制其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D如圖2所示,進(jìn)行仿真分析。文獻(xiàn)[28]表明,成渝地區(qū)鐵路網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性和無(wú)標(biāo)度特性,且與京津翼和西北地區(qū)的鐵路網(wǎng)絡(luò)相比,具有更為明顯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特性。

圖2 成渝地區(qū)鐵路網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱DFig.2 Topological map of intercity railway network in the Chengdu-Chongqing region

3.1 靜態(tài)節(jié)點(diǎn)重要性評(píng)估

根據(jù)式(2)～式(14)計(jì)算出節(jié)點(diǎn)重要性指標(biāo)數(shù)值如表1所示,由于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)較多,只展示重要度排名前20的節(jié)點(diǎn)。

表1 靜態(tài)評(píng)估下節(jié)點(diǎn)重要度排名前20的節(jié)點(diǎn)排序Table 1 Ranking of the top 20 nodes in terms of node importance under static evaluation

由表1可以看出,節(jié)點(diǎn)41所在的城市——廣安是成渝地區(qū)鐵路網(wǎng)絡(luò)中最關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn),其雖然度值只有3,但是網(wǎng)絡(luò)中大部分節(jié)點(diǎn)間的最短路徑都會(huì)途徑該節(jié)點(diǎn),且廣安的鄰居城市重慶和南充的重要度排名均相對(duì)靠前,進(jìn)一步強(qiáng)化了廣安在整個(gè)鐵路網(wǎng)絡(luò)中的重要性,使其成為網(wǎng)絡(luò)中控制信息傳輸?shù)年P(guān)鍵位置。從鐵路運(yùn)輸?shù)默F(xiàn)實(shí)意義來(lái)看,若廣安喪失正常的運(yùn)轉(zhuǎn)功能,會(huì)使得部分城市間的鐵路運(yùn)輸距離大大增加,從而導(dǎo)致鐵路網(wǎng)絡(luò)運(yùn)輸?shù)男蚀蠓陆?。?jié)點(diǎn)55(重慶)、節(jié)點(diǎn)27(成都)、節(jié)點(diǎn)29(遂寧)、節(jié)點(diǎn)40(合川)和節(jié)點(diǎn)16(南充)在網(wǎng)絡(luò)中的各項(xiàng)中心性指標(biāo)均相對(duì)較大,位于網(wǎng)絡(luò)中心位置,連接多個(gè)節(jié)點(diǎn)城市,具有重要的樞紐作用。節(jié)點(diǎn)14(中江)、節(jié)點(diǎn)73(自貢)、節(jié)點(diǎn)70(樂(lè)山)、節(jié)點(diǎn)45(浦江)、節(jié)點(diǎn)19(達(dá)州)、節(jié)點(diǎn)56(永川)、節(jié)點(diǎn)8(德陽(yáng))雖靠近網(wǎng)絡(luò)的邊緣位置,但是其重要度排名依舊靠前,這是由于這類節(jié)點(diǎn)坐落于成渝地區(qū)與省會(huì)中心城市(重慶和成都)的連接處,其介數(shù)中心性、度中心性和接近中心性指標(biāo)值都相對(duì)較高,若此類節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障,則會(huì)在一定程度上影響邊緣城市與中心城區(qū)的聯(lián)系。

采用隨機(jī)攻擊、重要度攻擊、度值攻擊以及介數(shù)攻擊4種攻擊策略,攻擊成渝地區(qū)鐵路交通網(wǎng)絡(luò),根據(jù)最大連通子圖比例的變化情況反映網(wǎng)絡(luò)的受損程度,以初步驗(yàn)證節(jié)點(diǎn)重要度評(píng)估模型的有效性。隨機(jī)攻擊是通過(guò)python編程隨機(jī)生成節(jié)點(diǎn)的序列,依次對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行攻擊;蓄意攻擊則是根據(jù)前文方法得到的節(jié)點(diǎn)排序,依次對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行攻擊;度值攻擊和介數(shù)攻擊為按節(jié)點(diǎn)的度中心性和介數(shù)中心性從大到小的順序排序,依次對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行攻擊。最大連通子圖的變化情況如圖3所示。

圖3 靜態(tài)攻擊下最大連通子圖比例變化情況Fig.3 Changes in the proportion of the maximum connected subgraph under static attack

從圖3可以看出,網(wǎng)絡(luò)受到隨機(jī)攻擊時(shí),最大連通子圖比例下降的速度較為緩慢,累計(jì)攻擊20個(gè)節(jié)點(diǎn),網(wǎng)絡(luò)的最大連通子圖比例才降至70.7%。表明小范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn)失效并不會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的整體連通性造成較大的影響,但當(dāng)移除的節(jié)點(diǎn)數(shù)目達(dá)到一定規(guī)模時(shí),也會(huì)使網(wǎng)絡(luò)剩余的節(jié)點(diǎn)變成孤點(diǎn)。網(wǎng)絡(luò)在度值攻擊下的靜態(tài)抗毀性最差,網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖比例下降最快,累計(jì)攻擊15個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),最大連通子圖比例下降至18.7%,說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度中心性最能代表節(jié)點(diǎn)在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的重要程度。在介數(shù)攻擊下,累計(jì)攻擊18個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),網(wǎng)絡(luò)的最大連通子圖的比例才降至18.7%,累計(jì)攻擊24個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),網(wǎng)絡(luò)接近崩潰。在重要度攻擊下,網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)的靜態(tài)抗毀性與度值攻擊下的大致相同,當(dāng)受攻擊的節(jié)點(diǎn)數(shù)少于12個(gè)時(shí),最大連通子圖的比例并沒(méi)有明顯的下降,這是由于節(jié)點(diǎn)重要度排名前12的節(jié)點(diǎn)均具有較大的度值,即周圍的鄰居節(jié)點(diǎn)比較密集,節(jié)點(diǎn)失效后,可以找到可替代路徑疏通網(wǎng)絡(luò),所以并不會(huì)在很大程度上降低網(wǎng)絡(luò)的連通性。當(dāng)累計(jì)攻擊12個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),最大連通子圖比例驟降到54.7%,網(wǎng)絡(luò)連通性受到較大的影響,當(dāng)被攻擊的節(jié)點(diǎn)數(shù)量達(dá)到15個(gè)時(shí),最大連通子圖比例急劇下降到20%,大大降低了網(wǎng)絡(luò)的連通度和可達(dá)性,這是由于受到攻擊的節(jié)點(diǎn)是發(fā)揮連通網(wǎng)絡(luò)作用的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),這些節(jié)點(diǎn)的故障導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)受到重創(chuàng)被分裂成多個(gè)子網(wǎng)絡(luò),無(wú)法實(shí)現(xiàn)跨城區(qū)的運(yùn)輸。

3.2 動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)重要性評(píng)估

考慮網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)特性下的節(jié)點(diǎn)重要性評(píng)估已取得了諸多進(jìn)展[29],但實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)會(huì)隨節(jié)點(diǎn)所受的攻擊而發(fā)生改變,根據(jù)初始網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)評(píng)估出的重要節(jié)點(diǎn),當(dāng)下可能已經(jīng)不再重要。為提高方法識(shí)別的精確性及后續(xù)級(jí)聯(lián)失效仿真分析的可靠性,應(yīng)每當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)受到攻擊失效后,就重新計(jì)算網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的重要度,以保證每次攻擊的節(jié)點(diǎn)都應(yīng)是當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)最重要的節(jié)點(diǎn),采用上述動(dòng)態(tài)評(píng)估方法得到成渝鐵路網(wǎng)絡(luò)中,節(jié)點(diǎn)重要度排名前20的節(jié)點(diǎn)如表2所示。

由表2可以看出,動(dòng)態(tài)評(píng)估模式下得到的節(jié)點(diǎn)重要度排名與根據(jù)網(wǎng)絡(luò)初始狀態(tài)得到的節(jié)點(diǎn)重要度排名有較大的出入,由于鐵路網(wǎng)絡(luò)的初始拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同,故節(jié)點(diǎn)41(廣安)無(wú)論是在網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)還是動(dòng)態(tài)特性下,都是成渝鐵路網(wǎng)絡(luò)中最關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)41(廣安)失效后,在更新后的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中,節(jié)點(diǎn)55所在的城市——重慶成為當(dāng)下網(wǎng)絡(luò)下最關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn),重要性僅次于節(jié)點(diǎn)41,這與靜態(tài)評(píng)估模式下的排名相同。但后續(xù)的節(jié)點(diǎn)重要度的排名變化較大,節(jié)點(diǎn)27(成都)在動(dòng)態(tài)評(píng)估模式下,其重要性排名從第3降至第7,而節(jié)點(diǎn)52(內(nèi)江)的重要度則從第18升至第4,在靜態(tài)評(píng)估下重要度排名前20的節(jié)點(diǎn)中,節(jié)點(diǎn)14(中江),節(jié)點(diǎn)28(大英),節(jié)點(diǎn)45(浦江),節(jié)點(diǎn)44(長(zhǎng)壽),節(jié)點(diǎn)56(永川)均未進(jìn)入動(dòng)態(tài)評(píng)估模式下節(jié)點(diǎn)重要度排名前20中,說(shuō)明這些站點(diǎn)在成渝鐵路網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵站點(diǎn)受到攻擊后,已經(jīng)不再是網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),可見(jiàn),網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的重要度是伴隨網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化而發(fā)生改變的,進(jìn)一步驗(yàn)證了進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要度動(dòng)態(tài)評(píng)估的必要性。

表2 動(dòng)態(tài)評(píng)估下節(jié)點(diǎn)重要度排名前20的節(jié)點(diǎn)排序Table 2 Ranking of the top 20 nodes in terms of node importance under dynamic evaluation

為對(duì)比分析,采用隨機(jī)攻擊、重要度攻擊、度值攻擊以及介數(shù)攻擊4種攻擊策略,其中重要度攻擊、度值攻擊和介數(shù)攻擊均為根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)時(shí)狀態(tài)計(jì)算得到,累計(jì)攻擊20個(gè)節(jié)點(diǎn)。得到網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖比例隨攻擊節(jié)點(diǎn)數(shù)目的變化情況如圖4所示。

圖4 動(dòng)態(tài)攻擊下最大連通子圖比例變化Fig.4 Maximum connected subgraph scale change under dynamic attack

如圖4所示,在不考慮級(jí)聯(lián)失效情況下,從網(wǎng)絡(luò)的連通性而言,網(wǎng)絡(luò)面對(duì)隨機(jī)攻擊時(shí),網(wǎng)絡(luò)依舊表現(xiàn)出較好的魯棒性,但當(dāng)面臨蓄意攻擊時(shí),則表現(xiàn)出更為明顯的脆弱性。其中,根據(jù)介數(shù)攻擊網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)時(shí),網(wǎng)絡(luò)下降的趨勢(shì)最快,累計(jì)攻擊5個(gè)節(jié)點(diǎn),最大連通子圖的比例便下降至48%。從度值攻擊策略來(lái)看,累計(jì)攻擊9個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),最大連通子圖比例值才降至46.7%,累計(jì)攻擊19個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),網(wǎng)絡(luò)接近崩潰。在重要度攻擊策略下,其最大連通子圖比例值的下降趨勢(shì)與介數(shù)攻擊策略下的非常相似,當(dāng)6個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)受到攻擊時(shí),網(wǎng)絡(luò)的最大連通子圖比例驟降至46.7%,被攻擊的節(jié)點(diǎn)數(shù)量達(dá)到11個(gè)時(shí),最大連通子圖比例驟降至21%,此時(shí)網(wǎng)絡(luò)的連通性和可達(dá)性已經(jīng)受到了嚴(yán)重影響。與度值攻擊策略相比較,重要度攻擊策略可以更快速地使網(wǎng)絡(luò)崩潰,這表明采用動(dòng)態(tài)的節(jié)點(diǎn)重要度計(jì)算方法,可以有效提高關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)識(shí)別的精確性。

3.3 基于動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)重要度評(píng)估的級(jí)聯(lián)失效分析

考慮級(jí)聯(lián)失效情況下,設(shè)置參數(shù)α=0.2,β=0.5,θ=0.8。同樣采用隨機(jī)攻擊、重要度攻擊、度值攻擊以及介數(shù)攻擊4種攻擊策略,得到最大連通子圖比例的變化情況如圖5所示。可以看出,重要節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的作用相較于非級(jí)聯(lián)失效情形更為突出。網(wǎng)絡(luò)面對(duì)隨機(jī)攻擊時(shí),最大連通子圖下降的趨勢(shì)較為平緩,但累計(jì)攻擊一定數(shù)量的節(jié)點(diǎn)后,則會(huì)出現(xiàn)級(jí)聯(lián)失效的現(xiàn)象,可能是因?yàn)楣舻骄W(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中大部分剩余節(jié)點(diǎn)變成孤點(diǎn),從而引起最大連通子圖比例值的急劇下降。網(wǎng)絡(luò)面對(duì)蓄意攻擊下,當(dāng)攻擊節(jié)點(diǎn)達(dá)到5個(gè)時(shí),介數(shù)攻擊策略下的最大連通子圖的比例迅速下降至47.3%;當(dāng)失效節(jié)點(diǎn)達(dá)到8個(gè)時(shí),度值攻擊策略下的最大連通子圖比例驟降至2.63%;攻擊9個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),度值攻擊策略和介數(shù)攻擊策略下的最大連通子圖比例值均下降到0,說(shuō)明每一輪攻擊后,度值和介數(shù)較大的節(jié)點(diǎn)都有可能是網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),這些關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的失效引發(fā)了多輪負(fù)載重新分配過(guò)程,這也進(jìn)一步驗(yàn)證,節(jié)點(diǎn)的重要度評(píng)估不能只關(guān)注網(wǎng)絡(luò)單一屬性指標(biāo),應(yīng)考慮多個(gè)指標(biāo)進(jìn)行綜合評(píng)估。網(wǎng)絡(luò)面對(duì)重要度攻擊策略時(shí),最大連通子圖比例變化最為明顯,僅攻擊一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),對(duì)網(wǎng)絡(luò)的連通性沒(méi)有造成太大影響,但累計(jì)攻擊2個(gè)節(jié)點(diǎn)后,網(wǎng)絡(luò)便迅速崩潰,最大連通子圖比例驟降至0。攻擊的前2個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為節(jié)點(diǎn)41和節(jié)點(diǎn)55,就第2個(gè)受攻擊的節(jié)點(diǎn)55而言,其度值最大,即周圍的鄰居節(jié)點(diǎn)較多,但其大部分鄰居節(jié)點(diǎn)的度值較小,且部分鄰居節(jié)點(diǎn)之間又互為鄰居節(jié)點(diǎn),根據(jù)級(jí)聯(lián)失效的初始負(fù)載及負(fù)載分配策略的定義來(lái)看,由于節(jié)點(diǎn)55的初始負(fù)載較大,且攻擊的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)41也是節(jié)點(diǎn)55的鄰居節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)41失效之后,節(jié)點(diǎn)55又承接了來(lái)自失效節(jié)點(diǎn)41分配的額外負(fù)載,這就導(dǎo)致該節(jié)點(diǎn)受到攻擊之后,其周圍的鄰居受到節(jié)點(diǎn)最大容量的限制,無(wú)法承接來(lái)自節(jié)點(diǎn)55分配的高額負(fù)載,從而引發(fā)級(jí)聯(lián)故障,使最大連通子圖比例值突變?yōu)?。

圖5 級(jí)聯(lián)失效下最大連通子圖比例變化Fig.5 Proportional change of maximum connected subgraph under cascade failure

3.4 模型參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效魯棒性的影響

級(jí)聯(lián)失效模型中包含α、θ和β共3個(gè)參數(shù),采用重要度攻擊策略,探究參數(shù)對(duì)級(jí)聯(lián)失效下網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響。參數(shù)α用于控制節(jié)點(diǎn)初始負(fù)載的強(qiáng)度。設(shè)置β=0.9,θ=0.8,令α∈[0.1,0.9],得到最大連通子圖比例的變化情況如圖6所示。當(dāng)α∈[0.1,0.3]時(shí),最大連通子圖比例曲線沒(méi)有明顯的變化趨勢(shì),但網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出一定的脆弱性,且α=0.2時(shí),網(wǎng)絡(luò)的抗毀性最差,這說(shuō)明當(dāng)參數(shù)α∈[0.1,0.3]時(shí),可能存在一個(gè)邊界值,導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)在抵制級(jí)聯(lián)失效時(shí)表現(xiàn)出一定的脆弱性。當(dāng)α≥0.4時(shí),最大聯(lián)通子圖比例曲線迅速上移,此時(shí)網(wǎng)絡(luò)具有較強(qiáng)的抗毀性,且趨于穩(wěn)定,說(shuō)明當(dāng)α超過(guò)某一閾值時(shí),最大連通子圖比例對(duì)于網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效所帶來(lái)的影響反應(yīng)減緩,能在一定程度上提高網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。

圖6 不同α下的最大連圖子圖比例變化情況Fig.6 Variation of the proportion of maximum contiguous subgraphs for different values of α

β和θ都是用于控制節(jié)點(diǎn)最大容量的容量參數(shù),為探究容量參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)抵御級(jí)聯(lián)失效的抗毀性的影響,令α=0.4,β=0.9,得到參數(shù)θ不同取值對(duì)網(wǎng)絡(luò)最大連圖子圖比例的演化情況如圖7所示?？梢钥闯?隨著θ取值的增大,網(wǎng)絡(luò)最大聯(lián)通子圖比例曲線逐漸右移,當(dāng)θ≥0.7時(shí),級(jí)聯(lián)失效的臨界值較大,此時(shí)網(wǎng)絡(luò)有較好的抗毀性,網(wǎng)絡(luò)受到攻擊也不會(huì)導(dǎo)致最大連通子圖比例曲線有較大的波動(dòng)。

令α=0.4,θ=0.8,在實(shí)驗(yàn)中,當(dāng)0<β≤0.3時(shí),由于節(jié)點(diǎn)的容量較小,導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的抗毀性較差,僅攻擊一個(gè)重要節(jié)點(diǎn),網(wǎng)絡(luò)便迅速崩潰,且最大連通子圖比例曲線均與β=0.4時(shí)相重合,故取β∈[0.4,1.2],得到參數(shù)β不同取值導(dǎo)致的網(wǎng)絡(luò)最大連圖子圖比例變化情況如圖8所示?？梢钥闯?網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖比例變化趨勢(shì)與θ導(dǎo)致的最大連圖子圖比例變化情況相似,都是隨著參數(shù)的增大,網(wǎng)絡(luò)的抗毀性也逐漸增強(qiáng),β≥0.9時(shí),網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級(jí)聯(lián)失效的概率較低,節(jié)點(diǎn)的失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)造成的影響也較小,網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效抗毀性就會(huì)逐漸增強(qiáng),且趨于穩(wěn)定。

圖7 不同θ下的最大連圖子圖比例變化情況Fig.7 Variation of the proportion of maximum contiguous subgraphs for different values of θ

圖8 不同β下的最大連圖子圖比例變化情況Fig.8 Variation of the proportion of maximum contiguous subgraphs with different β

綜上,可以發(fā)現(xiàn),容忍系數(shù)的增大可以提高網(wǎng)絡(luò)抵御級(jí)聯(lián)失效的抗毀性,且當(dāng)容忍系數(shù)達(dá)到一定值時(shí),網(wǎng)絡(luò)的抗毀性趨于穩(wěn)定,級(jí)聯(lián)失效也不會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的連通性造成嚴(yán)重的影響,但再繼續(xù)提高容忍參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的提高作用不大。其次,當(dāng)容量系數(shù)取較高的值時(shí),網(wǎng)絡(luò)的抗毀性能便會(huì)趨于穩(wěn)定,這是因?yàn)楦鶕?jù)重要度策略攻擊的節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的連通性起著關(guān)鍵作用,這類節(jié)點(diǎn)最大容量的設(shè)置應(yīng)使其能夠滿足節(jié)點(diǎn)失效后負(fù)載流的傳播,這樣網(wǎng)絡(luò)才能具有較強(qiáng)的抗毀性。此外,本文仿真分析選取的網(wǎng)絡(luò)具有顯著的無(wú)標(biāo)度特性,即只有少量的節(jié)點(diǎn)擁有較大的度值,級(jí)聯(lián)失效模型的初始負(fù)載是根據(jù)節(jié)點(diǎn)及鄰居節(jié)點(diǎn)的度值所定義,且采取了與節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載成比例的重分配策略,故當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)受到攻擊的過(guò)程發(fā)生級(jí)聯(lián)失效時(shí),會(huì)有較多的負(fù)載流經(jīng)度值較小的節(jié)點(diǎn),而這類節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載和容量一般都相對(duì)較小,無(wú)法承接來(lái)自失效節(jié)點(diǎn)的高額負(fù)載,從而加劇了對(duì)網(wǎng)絡(luò)連通性和可達(dá)性的破壞,需要設(shè)置較大的容量參數(shù)獲取更大的節(jié)點(diǎn)容量,以增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)抵御級(jí)聯(lián)失效的能力。

分析可知:成渝鐵路網(wǎng)絡(luò)在面對(duì)隨機(jī)攻擊時(shí)表現(xiàn)出較強(qiáng)的抗毀性,而面對(duì)重要度攻擊時(shí),則表現(xiàn)出一定的脆弱性,在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)級(jí)聯(lián)失效情況下,其脆弱性更為顯著,隨著關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的失效,網(wǎng)絡(luò)性能也急劇下降,失效節(jié)點(diǎn)達(dá)到一定數(shù)量時(shí),網(wǎng)絡(luò)會(huì)被分裂成多個(gè)孤立的子網(wǎng)絡(luò),網(wǎng)絡(luò)徹底癱瘓,因此,在制定鐵路網(wǎng)絡(luò)相關(guān)應(yīng)急策略時(shí),應(yīng)盡量避免級(jí)聯(lián)故障現(xiàn)象的發(fā)生,應(yīng)做好鐵路網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵站點(diǎn)的防護(hù)措施,在考慮經(jīng)濟(jì)效益的基礎(chǔ)上,適當(dāng)提高節(jié)點(diǎn)的容量,增加關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)其他節(jié)點(diǎn)間的耦合關(guān)系,以增強(qiáng)節(jié)點(diǎn)在出現(xiàn)負(fù)載過(guò)載情況時(shí)向其他站點(diǎn)的進(jìn)行負(fù)載輸送的能力。此外,發(fā)生級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象后,應(yīng)嚴(yán)格控制負(fù)載向度值較少的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移的流量,以防止發(fā)生承接負(fù)載的節(jié)點(diǎn)沒(méi)有足夠的可替代路徑疏通路徑來(lái)繼續(xù)分配負(fù)載,造成更大規(guī)模的失效情況。

4 結(jié)論

提出了基于灰色關(guān)聯(lián)法和VIKOR法的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要度評(píng)估模型,并應(yīng)用于成渝地區(qū)鐵路交通網(wǎng)絡(luò),能有效識(shí)別出網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn)?？紤]到網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)受到攻擊的同時(shí),網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)也會(huì)隨之改變,為更精準(zhǔn)的識(shí)別出網(wǎng)絡(luò)實(shí)時(shí)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),對(duì)節(jié)點(diǎn)重要度評(píng)估過(guò)程做出改進(jìn),選擇根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)演化來(lái)評(píng)估節(jié)點(diǎn)的重要性,即每攻擊一個(gè)節(jié)點(diǎn),便重新計(jì)算當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)重要度,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,采用動(dòng)態(tài)的節(jié)點(diǎn)重要度評(píng)估過(guò)程可以有效提高識(shí)別的精確性。在此基礎(chǔ)上,采用一種更符合真實(shí)網(wǎng)絡(luò)非線性容量負(fù)載的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效模型進(jìn)行仿真分析,仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了節(jié)點(diǎn)重要度動(dòng)態(tài)評(píng)估模型的有效性。同時(shí)討論了初始負(fù)載控制參數(shù)及容量控制參數(shù)在重要度攻擊策略下對(duì)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效的影響,實(shí)驗(yàn)得到以下結(jié)論。

(1)廣安和重慶是成渝鐵路網(wǎng)絡(luò)中最關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn);不考慮級(jí)聯(lián)失效情況時(shí),節(jié)點(diǎn)的度中心性最能表示節(jié)點(diǎn)在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)下的重要性,而在動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中,介數(shù)最能代表網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的重要程度;考慮級(jí)聯(lián)失效情況下,綜合性的動(dòng)態(tài)評(píng)估模型更能代表節(jié)點(diǎn)的重要性。

(2)在以節(jié)點(diǎn)和鄰居節(jié)點(diǎn)的度值定義節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載方式下,當(dāng)初始負(fù)載控制參數(shù)α∈[0.1,0.3]時(shí),網(wǎng)絡(luò)在抵制級(jí)聯(lián)失效時(shí)表現(xiàn)出一定的脆弱性;當(dāng)α≥0.4時(shí),隨著α的增大,網(wǎng)絡(luò)的抗毀性也逐漸增強(qiáng),但當(dāng)α超過(guò)某一閾值時(shí),網(wǎng)絡(luò)的魯棒性趨于穩(wěn)定,繼續(xù)提高α,對(duì)網(wǎng)絡(luò)的增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)魯棒性沒(méi)有明顯效果。

(3)網(wǎng)絡(luò)的抗毀性與容量參數(shù)取值呈正相關(guān),增大網(wǎng)絡(luò)的容量參數(shù)可以增加網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的容量,減小級(jí)聯(lián)失效行為對(duì)網(wǎng)絡(luò)的破壞程度;受網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和攻擊策略的影響,取較大的容量參數(shù)時(shí),網(wǎng)絡(luò)具備較強(qiáng)的的抗毀性。

(4)由于選取的成渝地區(qū)鐵路網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)量相對(duì)較少,在分析網(wǎng)絡(luò)面對(duì)級(jí)聯(lián)失效的魯棒性時(shí),網(wǎng)絡(luò)容易發(fā)生多級(jí)級(jí)聯(lián)失效而迅速崩潰,導(dǎo)致一些結(jié)果的呈現(xiàn)不太明顯,因此,可進(jìn)一步將本文模型應(yīng)用于大型網(wǎng)絡(luò),以更好地反映網(wǎng)絡(luò)面對(duì)級(jí)聯(lián)失效時(shí)的抗毀性情況。