詹建峰

(深圳市華僑城高級(jí)中學(xué),廣東 深圳 518053)

古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯, 他證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.近幾年,以阿氏圓為背景的考題不僅在高考中屢次出現(xiàn),各地模擬試題中也頻繁出現(xiàn),文章將對(duì)此作詳細(xì)分析.

1 阿氏圓定義的證明及性質(zhì)

解析設(shè)定線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為2a,以線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)為x軸,線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)為y軸,建立直角坐標(biāo)系,則A(-a,0),B(a,0),M(x,y).

化簡(jiǎn)得(1-λ2)x2+(1-λ2)y2+2a(1+λ2)x+a2(1-λ2)=0.

由上面的推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)下列性質(zhì):

2 基于阿氏圓的題型分類(lèi)

阿氏圓問(wèn)題可以拆解成:(1)定點(diǎn)A、定點(diǎn)B; (2)定比λ; (3)定圓C.因此可以將阿氏圓有關(guān)的題型分解成以下幾種類(lèi)型

類(lèi)型1已知定點(diǎn)A、定點(diǎn)B和定比λ,求定圓C.

整理得到x2+y2+2x-3=0.

即(x+1)2+y2=4,是以(-1,0)為圓心,半徑為2的圓.

類(lèi)型2 已知定點(diǎn)A、定點(diǎn)B和定圓C,求定比λ.

此類(lèi)題對(duì)定點(diǎn)要求比較嚴(yán)格,具有一定的局限性,所以一般很少見(jiàn).

類(lèi)型3已知一定點(diǎn)A、定比λ和定圓C,求另一定點(diǎn)B.

①

又點(diǎn)M在圓(x+1)2+y2=4上,

所以x2+y2=3-2x.

②

對(duì)比①②解得a=3,b=0.

類(lèi)型4已知一定點(diǎn)A和定圓C,求另一定點(diǎn)B和定比λ.

即(x-2)2+y2=t2[(x-m)2+(y-n)2].

因?yàn)镸在圓O:x2+y2=1上,

對(duì)比兩種解法可以發(fā)現(xiàn),解題時(shí)巧妙運(yùn)用阿氏圓的性質(zhì)可以大大減少計(jì)算量[1].

類(lèi)型5已知定比λ和定圓C,求定點(diǎn)A和定點(diǎn)B.

所以?xún)啥c(diǎn)分別為(1,0),(4,0)或(-1,0),(-4,0).

類(lèi)型6已知定點(diǎn)A和定圓C,求最值或范圍.

阿氏圓常用于解決形如:MA+k·MB(k≠1)類(lèi)線(xiàn)段的最值問(wèn)題:其中M是動(dòng)點(diǎn),A,B是定點(diǎn),且動(dòng)點(diǎn)M在阿氏圓上運(yùn)動(dòng).

由題意得該圓的方程為x2+y2=1,

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0).

所以2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|.

因此當(dāng)點(diǎn)M,C,B在同一條直線(xiàn)上時(shí),2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小,且為

從上面例題中我們可以得到MA+k·MB(k≠1)類(lèi)問(wèn)題更加一般性的解題步驟:

運(yùn)用:動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),兩線(xiàn)段(帶系數(shù))相加求最小值.

形如:MA+k·MB(k≠1)的最小值 (k為系數(shù));

原理:構(gòu)造共邊共角相似,轉(zhuǎn)移帶系數(shù)的邊,利用兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短求最小值.

變式在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0, 3), 圓C:(x-a)2+(y-2a+4)2=1.若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|=2|MO|,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____．

類(lèi)型7阿氏圓在復(fù)數(shù),三角等問(wèn)題中的應(yīng)用.

例7設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R),且|z-1|=2|z+1|,則復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡形狀是____.

阿氏圓的應(yīng)用十分廣泛,高中階段充分掌握阿氏圓的概念及其性質(zhì)是必要的,在實(shí)際解題中靈活運(yùn)用會(huì)給我們帶來(lái)意想不到的效果.