潘海鴻，丁可帥，吳錫鵬，陳琳，梁旭斌

(廣西大學機械工程學院，廣西南寧 530004)

0 前言

對于工業(yè)機器人而言，由于電機和與連桿之間傳動裝置并非都是剛性材質，使得機器人在響應起動或停止指令的過程中產生定位振動的現(xiàn)象，嚴重降低機器人運動時的精度，導致系統(tǒng)不穩(wěn)定[1]。為解決工業(yè)機器人由于傳動裝置剛性不足所引發(fā)的定位振動問題，國內外學者已經在多個方面進行了研究，提出了諸多抑制方案，大致可分為3種方式：物理抑制方式、主動抑制方式和被動抑制方式[2-3]。

物理抑制方式是通過機械結構優(yōu)化設計改變系統(tǒng)固有頻率，增大阻尼比，或選擇耗能和儲能材料降低柔性變形，抑制振動[4]。主動抑制方式通常是根據電機編碼器等外部傳感器的反饋設計控制器，同時配合伺服參數自整定實現(xiàn)機器人末端振動抑制，改善整個系統(tǒng)的動態(tài)特性[5]，常見方法有：觀測器法、力矩前饋控制和輸入整形法等[6-11]。黃梁松等[7]通過擾動觀測器的方法調節(jié)系統(tǒng)慣性比，將比值設置為適當的值，從而達到抑制扭振的效果。ZHANG 等[8]為實現(xiàn)工業(yè)機器人高精度控制，提出實時力矩前饋控制方法，實驗結果表明：軌跡跟蹤誤差和抖動明顯下降。ZHANG等[9]構造了一個簡單的優(yōu)化器選擇和輸入整形器的最優(yōu)參數，與根據辨識模型確定的整形器參數相比，振動抑制效果更好。被動抑制方式主要是在不改變系統(tǒng)控制結構的基礎上，通過使用補償或校正方法對振動固有頻率進行抑制[12]。常用的方法是處理位置指令輸入信號，除去給定的位置指令中振動相關頻率分量，從而達到抑制振動的目的[13]。張鐵等人[14]通過力錘實驗獲取工業(yè)機器人的振動信息，設計陷波濾波器抑制振動，但實驗方法復雜，實驗成本高。

針對陷波濾波器在解決六自由度工業(yè)機器人伺服系統(tǒng)定位振動問題時所面臨的濾波器參數存在耦合、不便于參數整定的缺點，提出一種參數解耦陷波濾波器，對傳統(tǒng)陷波濾波器參數解耦，利用傅里葉變換和對數衰減法快速整定濾波器參數，最后通過實驗驗證該方法對抑制振動的有效性。

1 柔性關節(jié)模型與定位振動分析

1.1 柔性關節(jié)雙慣量模型的建立

通常情況下將由伺服電機、傳動裝置和關節(jié)組成的伺服系統(tǒng)簡化為一個柔性關節(jié)雙慣量傳動模型(圖1)。其中，JM、JL分別為電機和負載的慣量；Ks為傳動機構的剛度系數；N為減速器減速比；TM、TL和TW分別為電機輸出轉矩、負載轉矩和轉動軸扭轉轉矩；bM、bL和bs分別為電機、負載和傳動機構的阻尼系數；θM、θL、ωM和ωL分別為電機和負載的角度和角速度。

圖1 柔性關節(jié)雙慣量傳動模型Fig.1 Flexible joint double inertia transmission model

根據關節(jié)雙慣量模型，可以得到系統(tǒng)平衡方程：

(1)

由于系統(tǒng)中的阻尼系數很小，可將其忽略。然后對系統(tǒng)微分方程組進行拉普拉斯變換得：

(2)

由式(2)可得雙慣量系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 雙慣量系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of the dual inertia system

電磁轉矩TM與電機角速度ωM之間的傳遞函數為

(3)

由公式(3)可看出：雙慣量系統(tǒng)傳遞函數由一個一階慣性系統(tǒng)和一個二階振蕩系統(tǒng)組成。其中，二階振蕩傳遞函數中存在一對共軛零點和一對共軛極點，分別對應抗諧振頻率點和自然振動頻率點。

1.2 柔性關節(jié)定位振動分析

通過公式(3)可以求出二階振蕩系統(tǒng)共軛極點對應的自然振動頻率ωNTF，以及共軛零點對應的抗諧振頻率ωARF：

(4)

(5)

假設某關節(jié)電機轉子轉動慣量JM=0.277×10-4kg·m2，負載側轉動慣量JL=0.1×10-4kg·m2，關節(jié)剛度系數Ks=60 N·m/rad，可得到雙慣量系統(tǒng)傳遞函數的伯德圖如圖3所示。

圖3 雙慣量系統(tǒng)伯德圖Fig.3 Bode plots of the double inertia system

由圖3可知：在自然頻率點處的傳遞函數幅值增益最大，抗諧振頻率點處的傳遞函數幅增益最小。由于抗諧振頻率點導致的幅值增益降低可通過調節(jié)伺服系統(tǒng)閉環(huán)解決；而自然振動頻率點將相位穿越處幅值增益拉高至零分貝以上，導致速度出現(xiàn)振動，即柔性關節(jié)出現(xiàn)定位振動現(xiàn)象。

當公式(3)中s=jωNTF時，則在自然振動頻率點ωNTF處的幅值增益Mn為

(6)

將式(6)進行簡化，可得到：

(7)

由公式(7)可知：自然振動頻率點ωNTF處的幅值增益Mn與系統(tǒng)剛度成反比，系統(tǒng)剛度越大，對應的振動幅值就越小，系統(tǒng)越不容易產生定位振動。在系統(tǒng)發(fā)生諧振時，可使用陷波濾波器將參考指令中的諧振分量濾除，使系統(tǒng)在諧振頻率處的幅值保持在-3 dB以下，實現(xiàn)振動抑制。

2 濾波器設計及參數確定方法

2.1 濾波器設計

根據柔性關節(jié)分析定位振動，在位置閉環(huán)前引入陷波濾波器(圖4)。將陷波器串聯(lián)在位置環(huán)控制環(huán)路之前。其輸入信號為上位機輸入的位置指令，經過陷波處理后，成為位置環(huán)給定輸入信號。

傳統(tǒng)的陷波濾波器傳遞函數表達式如公式(8)所示，使控制系統(tǒng)的特征頻率偏離雙慣量系統(tǒng)的固有頻率，實現(xiàn)抑制振動。

(8)

式中：ωn為濾波器中心角頻率；ξ1、ξ2分別為陷波深度系數和寬度系數。

由于陷波濾波器在自然角頻率點ωn處的幅值增益Dp為

(9)

ξ1和ξ2之間的關系為ξ2=ξ1/10Dp/20，由此可知：寬度系數ξ2與陷波寬度和陷波深度之間存在耦合，不能單獨控制陷波寬度和陷波深度。

為此，在傳統(tǒng)的陷波濾波器的基礎上進行改進，采取極點零點抵消法，即將定位振動的極點放置在陷波濾波器分子上，陷波濾波器分母上的極點替換為阻尼比更高的新極點，如ξ2=1。由濾波器的寬度與阻尼比的關系Bω=ξ2ωn/π，結合式(8)和式(9)得到的改進陷波濾波器傳遞函數表達式為

(10)

式中：ωn=2πfn為陷波器中心角頻率，rad/s；Bω為陷波寬度，Hz；Dp為陷波深度，dB。

傳統(tǒng)的陷波濾波器無法單獨控制陷波寬度和陷波深度，而改進后的濾波器可以對陷波器中心頻率、陷波寬度以及陷波深度進行單獨控制，更加簡單地設計出滿足系統(tǒng)的陷波器。

相較于傳統(tǒng)陷波濾波器，圖5中改進后的濾波器可以通過ωn、Bω和Dp對濾波器頻率、寬度和深度進行單獨控制和調整，且ωn、Bω和Dp越大，濾波器頻率、寬度和深度越大，可更簡單地設計出滿足系統(tǒng)定位振動抑制的陷波器。

2.2 參數解耦陷波器參數確定方法

陷波濾波器參數設置對振動抑制效果影響顯著，一旦陷波濾波器頻率設置偏離振動頻率，振動抑制效果將大大減弱，因此需要快速準確地確定濾波器參數。為此，采用下列方法快速整定濾波器ωn、Bω和Dp參數。

(1)陷波器中心頻率。對運動控制器采集到的位置跟蹤誤差進行FFT變換，得到振幅最高點所對應的頻率即為陷波濾波器中心角頻率ωn。

(3)陷波器深度。需要先確定二階振蕩傳遞函數中的阻尼比系數。阻尼比可采用對數衰減法通過外部測量設備獲取到擺動信息計算得知。其中對數衰減率δ為

(11)

式中：Ai表示第i個振動信號的幅值；Ai+j表示第i+j個振動信號的幅值；dj為阻尼比系數；ωn為振動角頻率；T為振動周期。

式(11)化簡可得：

(12)

又因為

(13)

整理后得到陷波器的深度為

(14)

3 實驗與結果

3.1 實驗平臺與方法

搭建的六自由度工業(yè)機器人實驗平臺如圖6所示，工業(yè)機器人主要包括：機械臂、減速機、伺服電機、伺服驅動器以及控制器五部分；機器人末端位置信息測試裝置激光跟蹤儀主要包括：跟蹤儀跟蹤頭、控制箱、主動靶標。

圖7所示為實驗測試中給定工業(yè)機器人末端點路徑，對應的軌跡勻速段速度為1 000 mm/s，加速時間1 s的T形加減速曲線。為檢測機器人定位振動抑制前后的變化，使用激光跟蹤儀以1 000 Hz的采樣頻率對機器人末端點位置信息進行采樣，采樣時間為26 s。

3.2 實驗結果與分析

通過控制系統(tǒng)對位置跟蹤誤差進行采樣并進行FFT變換，測得各關節(jié)振動頻率f1-6=(3.2,2.6,2.8,3.1,2.7,3.1)Hz。根據第2.2節(jié)濾波參數的確定方法和機器人各關節(jié)濾波器參數匹配原則，設置機器人各關節(jié)陷波濾波器參數均為振動頻率3 Hz，寬度4 Hz，深度3.8 dB。

機器人各關節(jié)抑制振動前后FFT頻譜圖如圖8所示，可知：引入濾波器前各關節(jié)頻譜圖含有2個振動頻率點，分別在0.5 Hz和3 Hz附近。引入濾波器后，各關節(jié)振動中心頻率設置點3 Hz處的振幅均得到明顯降低，只保留0.5 Hz附近的振動頻率點。

為更加直觀地驗證所提出算法的抑振效果，通過激光跟蹤儀對國家標準測試軌跡(圖7)下的機器人末端振動信息進行采集，得到工業(yè)機器人振動抑制前后機器人末端點軌跡如圖9所示。

圖9(a)為定位振動抑制前機器人末端實際速度曲線，其勻速段平均速度為1 050.836 7 mm/s，勻速段速度波動范圍(841.250 1，1 133.670 8)mm/s，且停止段殘余振動明顯；圖9(b)為振動抑制后的末端實際速度曲線，其勻速段平均速度為998.576 1 mm/s，勻速段速度波動范圍(991.489 3，1 054.315 8)mm/s ，并且在停止段沒有殘余振動。

根據國家標準所規(guī)定的實驗測試步驟、軌跡速度準確度和軌跡速度波動的計算方法[15]，機器人定位振動抑制前的軌跡速度準確度Av1為5.083 7%，軌跡速度波動vF1為292.420 7 mm/s；定位振動抑制后的軌跡速度準確度Av2為-0.142 39%，軌跡速度波動vF2為62.826 5 mm/s，定位振動得到78.5%的抑制，證明提出的參數解耦陷波濾波器的有效性和參數整定的準確性。

4 結語

針對陷波濾波器在解決六自由度工業(yè)機器人伺服系統(tǒng)定位振動問題過程中所面臨濾波器參數存在耦合、不便于參數整定的缺點，對柔性關節(jié)的雙慣量系統(tǒng)進行建模，并分析產生振動的原因和特性?；诹銟O點抵消法對陷波濾波器改進，實現(xiàn)對陷波器中心頻率、陷波寬度以及陷波深度的單獨控制。通過將位置跟蹤誤差進行FFT變換和對數衰減法快速整定陷波器各參數。實驗結果表明：參數解耦陷波濾波器不存在參數耦合，參數整定方便；使用參數解耦陷波濾波器后，定位振動得到78.5%的抑制，該方法能夠有效抑制定位振動。