謝法吾 李玲玲 李麗 黃洋鵬

摘要：

針對(duì)作業(yè)車間分批調(diào)度問(wèn)題，集成可變子批劃分和子批混排策略，考慮批量劃分約束、子批混排加工約束等，建立了最小化能耗和完工時(shí)間的混排可變分批調(diào)度優(yōu)化模型，并提出了一種改進(jìn)多目標(biāo)混合進(jìn)化算法。為了協(xié)調(diào)算法的全局搜索與局部搜索性能，將Jaya算法種群更新機(jī)制引入基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法中，同時(shí)結(jié)合混排可變分批調(diào)度問(wèn)題特征，設(shè)計(jì)了一種基于子批拆分/合并與關(guān)鍵鏈相結(jié)合的局部搜索策略?；诓煌?guī)模算例，對(duì)比分析了所提出的算法與其他經(jīng)典算法的求解性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的算法在Pareto解集收斂性和分布性方面具有明顯優(yōu)勢(shì)，同時(shí)所提出的混排可變分批策略可有效降低能耗、縮短完工時(shí)間。

關(guān)鍵詞：作業(yè)車間；分批調(diào)度；可變分批；子批混排；進(jìn)化算法

中圖分類號(hào)：TH162

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.13.007

Energy-efficient Job Shop Scheduling with Variable Lot Splitting and Sublots Intermingling Based on Multi-objective Hybrid Evolutionary Algorithm

XIE Fawu LI Lingling LI Li HUANG Yangpeng

College of Engineering and Technology，Southwest University，Chongqing，400715

Abstract： For solving the lot streaming job shop scheduling， a strategy was presented integrating variable sublots splitting and sublots intermingling， and a multi-objective optimization model of lot streaming scheduling was established to minimize the energy consumption and makespan. An improved multi-objective hybrid evolutionary algorithm was presented. In order to balance the global and local searching ability of the algorithm， the population updating mechanism of the Jaya algorithm was incorporated into the decomposition based multi-objective evolutionary algorithm. Considering the scheduling characteristics of variable lot splitting and sublots intermingling， a local searching strategy was designed integrating lot splitting/merging with critical path. The performance of the proposed algorithm and the state-of-the-art algorithms were compared under a set of instances of different scales. Experimental results show that the proposed algorithm has good performance on the convergence and distribution of Pareto solution sets. Moreover， the proposed variable lot splitting and sublots intermingling strategy may effectively reduce the energy consumption and makespan.

Key words： job shop； lot streaming scheduling； variable lot splitting； sublots intermingling； evolutionary algorithm

收稿日期：2022-10-12

基金項(xiàng)目：

國(guó)家自然科學(xué)基金（51905449，51875480）；重慶市自然科學(xué)基金（cstc2020jcyj-msxmX0127）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（SWU-KT22023）

0 引言

在全球能源成本飆升和環(huán)境日益惡化的形勢(shì)下，綠色節(jié)能的生產(chǎn)方式已成為制造領(lǐng)域的關(guān)注熱點(diǎn)。車間調(diào)度作為制造系統(tǒng)生產(chǎn)控制的重要組成部分，是影響生產(chǎn)效率、成本的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，同時(shí)調(diào)度方案將對(duì)車間能源消耗產(chǎn)生顯著影響。在開(kāi)展生產(chǎn)調(diào)度優(yōu)化時(shí)，兼顧能源消耗、環(huán)境排放等綠色指標(biāo)以及完工時(shí)間、延期交貨時(shí)間等經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)，已成為綠色制造背景下的熱點(diǎn)研究問(wèn)題。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者從不同角度出發(fā)，對(duì)流水車間［1-4］、作業(yè)車間［5-9］的節(jié)能調(diào)度問(wèn)題開(kāi)展了深入研究。其中，一類研究主要從機(jī)器分配和工序排序這兩個(gè)子問(wèn)題優(yōu)化入手［1，3，5，7］，以達(dá)到生產(chǎn)節(jié)能的目的。第二類研究則在機(jī)器分配和工序排序的基礎(chǔ)上，引入了開(kāi)/關(guān)機(jī)策略［2，8］、機(jī)器加工速度調(diào)節(jié)［9］以及分時(shí)電價(jià)機(jī)制［4］，以最大化地降低能耗?，F(xiàn)有的節(jié)能調(diào)度研究中，一部分研究聚焦于降低能耗［5］，另一部分研究在考慮能耗目標(biāo)的同時(shí)，還兼顧了完工時(shí)間［7，9］、延期交貨時(shí)間［3，6］、成本［4］等經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)。節(jié)能調(diào)度問(wèn)題的求解算法包括遺傳算法［6，9］、進(jìn)化算法［1，2，4］、人工蜂群算法［7］、Jaya算法［3］等。

考慮到生產(chǎn)實(shí)際中存在的工件批量性以及批次可分特性，將分批策略與調(diào)度優(yōu)化相結(jié)合，可進(jìn)一步縮短完工時(shí)間、提高設(shè)備利用率和生產(chǎn)效率。目前，分批調(diào)度研究主要面向流水車間［10-13］，只有少部分研究圍繞作業(yè)車間分批調(diào)度問(wèn)題［14-15］展開(kāi)。同時(shí)，現(xiàn)有的分批調(diào)度研究較多著眼于完工時(shí)間［13-14］等經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)。近年來(lái)，節(jié)能分批調(diào)度優(yōu)化問(wèn)題開(kāi)始受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注并取得了初步成果［10-12，15］?，F(xiàn)有的節(jié)能分批調(diào)度研究，根據(jù)車間類型分為流水車間［10-11，15］和作業(yè)車間［15］；按批量劃分策略分為一致子批［10，12，15］和可變子批［11］兩種類型；根據(jù)子批排序類型不同，分為混排［12，15］和非混排［10-11］兩種。例如，PAN等［10］以分布式流水作業(yè)車間為對(duì)象，采用一致子批和非混排策略，并考慮能耗和完工時(shí)間目標(biāo)，提出了一種基于Jaya算法的多目標(biāo)分批調(diào)度優(yōu)化方法。LIU等［11］考慮能耗、完工時(shí)間和延期交貨時(shí)間目標(biāo)，基于可變子批和非混排策略，建立了混合流水作業(yè)車間分批調(diào)度模型，并采用多目標(biāo)進(jìn)化算法進(jìn)行了求解。CHEN等［12］以能耗和完工時(shí)間最小化為目標(biāo)，考慮一致子批和混排策略，提出了基于改進(jìn)遺傳算法的混合流水車間分批調(diào)度方法。李聰波等［15］以柔性作業(yè)車間為研究對(duì)象，考慮能耗和完工時(shí)間目標(biāo)，提出了基于一致子批和混排策略的作業(yè)車間分批調(diào)度節(jié)能優(yōu)化方法。

現(xiàn)有的作業(yè)車間分批調(diào)度優(yōu)化研究未考慮可變子批劃分與子批混排策略的集成影響。對(duì)于多品種、中小批量的作業(yè)車間，由于各工件批量大小差異性以及工藝路線的離散性，將可變子批劃分和子批混排策略相結(jié)合可進(jìn)一步增加調(diào)度的靈活性，由此縮短機(jī)器空閑時(shí)間、提高機(jī)器利用率，并降低能耗。因此，基于可變子批劃分與子批混排策略研究作業(yè)車間節(jié)能分批調(diào)度優(yōu)化問(wèn)題具有重要意義。然而，由于同時(shí)涉及可變子批劃分與子批混排問(wèn)題，要求各工件在各工序上的子批劃分方案各不相同，且同一工件的各子批任務(wù)之間允許其他工件子批的混排加工，因此該調(diào)度問(wèn)題相比于一致分批和非混排調(diào)度問(wèn)題更加復(fù)雜。鑒于此，本文以多品種、中小批量的作業(yè)車間為研究對(duì)象，基于可變子批劃分和子批混排策略，考慮能耗和完工時(shí)間目標(biāo)，建立作業(yè)車間混排可變分批節(jié)能調(diào)度優(yōu)化模型，并提出一種改進(jìn)多目標(biāo)混合進(jìn)化算法求解該問(wèn)題。為了協(xié)調(diào)算法的全局搜索與局部搜索能力，將Jaya算法種群更新機(jī)制引入基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法中，同時(shí)結(jié)合混排可變分批調(diào)度問(wèn)題特征，設(shè)計(jì)了一種基于子批拆分/合并與關(guān)鍵鏈相結(jié)合的局部搜索策略。最后基于不同規(guī)模算例，對(duì)比分析了所提出算法與其他經(jīng)典算法的求解性能，以驗(yàn)證所提出算法的有效性和優(yōu)勢(shì)。

1 調(diào)度問(wèn)題描述及數(shù)學(xué)建模

1.1 問(wèn)題描述

為更好地描述混排可變分批的作業(yè)車間節(jié)能調(diào)度問(wèn)題，本文定義了表1所示的符號(hào)及其含義。問(wèn)題描述如下：作業(yè)車間中共有K臺(tái)機(jī)器M={Mk｜k=1，2，…，K}和I個(gè)待加工工件J={Ji｜i=1，2，…，I}；每個(gè)工件Ji由一批相同零件Pi={Pi，r｜r=1，2，…，Ni}組成；每個(gè)工件的所有Ni個(gè)零件均需經(jīng)過(guò)ni道工序加工，且每個(gè)工件的每道工序所選擇的機(jī)器是已知且確定的。每個(gè)工件Ji在第j道工序上加工時(shí)，可被拆分為ui，j個(gè)子批，且每個(gè)子批s（s=1，2，…，ui，j）所包含的零件數(shù)目為wi，j，s。采用可變子批劃分策略時(shí)，同一個(gè)工件在各工序上被劃分的子批數(shù)量ui，j及各子批的批量大小wi，j，s不盡相同，即同一個(gè)零件Pi，r在不同工序上將被分配到不同的子批中。采用子批混排策略時(shí)，同一臺(tái)機(jī)器上的同一個(gè)工件的各子批之間允許其他工件子批的插入加工。

調(diào)度以總能耗和完工時(shí)間最小為目標(biāo)，確定可變子批劃分方案和子批混排調(diào)度方案。其中，可變子批劃分方案是確定各工件在每道工序上劃分的子批數(shù)量ui，j以及每個(gè)子批的批量大小wi，j，s（s=1，2，…，ui，j）；子批混排調(diào)度方案是確定所有子批在各機(jī)器上的混排加工順序χi，j，s，k。

該調(diào)度問(wèn)題的假設(shè)條件描述如下：

（1）所有工件在零時(shí)刻到達(dá)，所有機(jī)器在零時(shí)刻處于可用狀態(tài)；

（2）同一個(gè)子批中的所有零件必須連續(xù)加工，不可被其他子批的零件中斷；

（3）同一臺(tái)機(jī)器加工相鄰兩個(gè)不同工件子批時(shí)將產(chǎn)生輔助操作（更換模具、夾具等）時(shí)間，且輔助操作必須在子批到達(dá)機(jī)器后才可開(kāi)始；

（4）當(dāng)一個(gè)子批中的所有零件均結(jié)束當(dāng)前工序的加工后才可被運(yùn)輸至下一道工序所對(duì)應(yīng)的機(jī)器上；

（5）每臺(tái)機(jī)器在任一時(shí)刻只能加工一個(gè)子批的一個(gè)零件；一個(gè)零件同一時(shí)刻只能被一臺(tái)機(jī)器加工。

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

MOJA/D算法采用Python3.8編程，運(yùn)行環(huán)境為2.20 GHz PC，8 GB RAM，Windows10，64位操作系統(tǒng)，Intel Core i5 CPU。

為了驗(yàn)證算法性能，選用La01～La15（Lawrence）共15個(gè)算例，工件種類I={10，15，20}，工序總數(shù)n=5，機(jī)器總數(shù)K=5。算例中相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表2所示。

3.1 參數(shù)設(shè)置

采用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)確定最優(yōu)算法參數(shù)。

MOJA/D算法參數(shù)包括：種群數(shù)量L、鄰域個(gè)數(shù)T、交叉概率Pc以及變異概率Pm。每個(gè)參數(shù)設(shè)置3個(gè)水平，如表3所示。為了驗(yàn)證4種算法參數(shù)對(duì)MOJA/D算法性能的影響，選用La06算例，在每種參數(shù)組合下運(yùn)行10次，得到IGD（inverse generational distance）平均值，結(jié)果如表4所示。其中，IGD的數(shù)值越小，表示算法性能越優(yōu)。

基于表4的數(shù)據(jù)，利用極差分析計(jì)算各參數(shù)L、T、Pc以及Pm在各個(gè)水平下的均值，如表5所示。根據(jù)表5繪制出各個(gè)參數(shù)的水平均值，如圖11所示。由圖11可知，隨著種群數(shù)量的增大，IGD平均值不斷減小，這是因?yàn)榉N群的數(shù)量越大得到的解集就更均勻、更廣泛；隨著鄰域數(shù)量的增大，IGD平均值不斷增大，主要是因?yàn)镴aya在鄰域內(nèi)進(jìn)行更新時(shí)容易使鄰域內(nèi)的解都集中到其中最優(yōu)個(gè)體的附近，進(jìn)而影響整個(gè)種群的解集分布，而更大的交叉概率和更小的變異概率有利于提高種群解集的均勻性。由圖11可以確定最優(yōu)的算法參數(shù)組合為：L=100，T=5，Pc=0.9以及Pm=0.05。

3.2 局部搜索有效性驗(yàn)證

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的局部搜索策略的有效性，選用La01～La15共15組算例，在每個(gè)算例下，分別將采用局部搜索與未采用局部搜索的MOJA/D算法運(yùn)行10次，得到了HV（hyper volume）和IGD平均值，如表6所示。其中，HV平均值越大、IGD平均值越小，表示Pareto解集的分布性和收斂性越好。

由表6的HV數(shù)據(jù)可以看出，未采用局部搜索的MOJA/D僅在算例La02中的表現(xiàn)更好，而采用了局部搜索的MOJA/D在剩余14個(gè)算例中有更好的表現(xiàn)。從表6的IGD數(shù)據(jù)可以看出，在除La04和La11以外的13個(gè)案例中，采用了局部搜索的MOJA/D表現(xiàn)優(yōu)于未采用局部搜索的MOJA/D。

圖12a和圖12b分別展示了HV和IGD箱線圖對(duì)比情況。由圖12可知，采用局部搜索策略得到的Pareto解集明顯優(yōu)于未采用局部搜索策略的Pareto解集，由此驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的局部搜索策略的有效性。

3.3 算法性能對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證MOJA/D算法的有效性，將MOJA/D與MOEA/D、Jaya、NSGA-Ⅱ?qū)Ρ确治?。同樣選用La01～La15共15組算例，每個(gè)算例下分別運(yùn)行每種算法10次，得到了4種算法的HV和IGD平均值，分別如表7和表8所示?？梢钥闯觯岢龅腗OJA/D算法在大部分算例（除La01、La04、La09、La11和La14以外）中的表現(xiàn)均優(yōu)于MOEA/D、Jaya、NSGA-Ⅱ算法。

圖13a和圖13b分別展示了4種算法的HV和IGD箱線圖對(duì)比情況。由圖13可知，相較于MOEA/D、Jaya、NSGA-Ⅱ，MOJA/D能獲得較大的HV值和較小的IGD值，由此說(shuō)明MOJA/D在解集收斂性和分布性方面表現(xiàn)更優(yōu)。

圖14展示了4種算法分別求解6個(gè)算例（La01、La03、La05、La9、La13和La15）所獲得的Pareto前沿。由圖14可以看出，MOJA/D算法所得的Pareto前沿在大多數(shù)情況下均支配了MOEA/D、Jaya和NSGA-Ⅱ的Pareto前沿。此結(jié)果說(shuō)明所提出的MOJA/D算法在求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題上具有優(yōu)越性。

3.4 混排可變分批調(diào)度方法有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的混排可變分批調(diào)度方法的有效性，選用La01～La15共15組算例，將可變分批+子批混排策略與可變分批+子批非混排策略的節(jié)能效果以及完工時(shí)間數(shù)據(jù)作對(duì)比分析，具體數(shù)據(jù)如表9所示。

由表9可以看出，相比于非混排策略，采用子批混排策略時(shí)，所有算例的能耗均有顯著降低；同時(shí)，在除La03和La07以外的其他13個(gè)算例中，子批混排策略相較于非混排策略可有效縮短完工時(shí)間。由此可知，可變分批+子批混排策略在降低能耗、縮短完工時(shí)間上明顯優(yōu)于可變分批+子批非混排策略。究其原因，將可變子批（如子批拆分、子批合并）與子批混排相結(jié)合，一方面可有效縮短機(jī)器空閑時(shí)間，由此縮短完工時(shí)間（見(jiàn)圖15和圖16）；另一方面，隨著機(jī)器空閑時(shí)間的縮短，機(jī)器空閑時(shí)段能耗隨之降低，同時(shí)由于混排可變分批增加了調(diào)度的靈活性，通過(guò)協(xié)同優(yōu)化工件分批方案與子批混排調(diào)度方案可有效減少機(jī)器輔助操作能耗、子批運(yùn)輸能耗。由此可知，將可變分批和子批混排策略應(yīng)用到多品種批量生產(chǎn)的作業(yè)車間中，可有效降低能源消耗、提高生產(chǎn)效率。

4 結(jié)論

（1）本文針對(duì)作業(yè)車間分批調(diào)度問(wèn)題，基于混排可變分批策略，以可變分批劃分方案和子批混排調(diào)度方案為集成優(yōu)化變量，建立了最小化能耗和完工時(shí)間目標(biāo)的作業(yè)車間多目標(biāo)調(diào)度優(yōu)化模型。

（2）將Jaya算法種群更新機(jī)制引入基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法中，以提高種群多樣性；結(jié)合混排可變分批調(diào)度問(wèn)題特征，設(shè)計(jì)了一種基于子批拆分/合并與關(guān)鍵鏈相結(jié)合的局部搜索策略，以協(xié)調(diào)算法的全局搜索與局部搜索。

（3）選取不同規(guī)模算例，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的局部搜索策略的有效性；對(duì)比分析了所提出算法（MOJA/D）與MOEA/D、Jaya、NSGA-Ⅱ算法在不同規(guī)模算例下的求解性能，結(jié)果表明MOJA/D在解集收斂性和分布性方面具有明顯優(yōu)勢(shì)；對(duì)比分析了不同算例下混排可變分批策略相較于非混排可變分批策略的節(jié)能效果。

（4）后續(xù)研究可將混排可變分批調(diào)度方法擴(kuò)展到更為復(fù)雜的生產(chǎn)系統(tǒng)中（如動(dòng)態(tài)生產(chǎn)環(huán)境），并添加更多約束以貼近實(shí)際生產(chǎn)，同時(shí)進(jìn)一步提高算法的求解性能。

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（編輯 王旻玥）

作者簡(jiǎn)介：

謝法吾，男，1996年生，碩士研究生。研究方向?yàn)橹悄軆?yōu)化和調(diào)度算法。E-mail：fawuxie@email.swu.edu.cn。

李玲玲（通信作者），女，1989年生，博士、講師。研究方向?yàn)橹悄軆?yōu)化和調(diào)度算法。E-mail：lingzithyme@swu.edu.cn。