魯 展,彭 聰,鄧 琳

(長沙理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖南 長沙 410114)

加權(quán)分枝過程(Weighted branching processes,WBP)由R?sler[1]于1992年引入,可視為經(jīng)典分枝過程(Galton-Watson, G-W過程)一個推廣。2004年Kuhlbusch[2]首次在加權(quán)分枝過程中引入隨機環(huán)境。隨機環(huán)境加權(quán)分枝過程具有自相似結(jié)構(gòu)、分枝結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)。若給每個個體一個抽象的權(quán)重,權(quán)重非負條件下的隨機環(huán)境加權(quán)分枝過程也可以稱為Mandelbrot’s cascade[3-4]。目前關(guān)于隨機環(huán)境加權(quán)分枝過程的滅絕問題和條件極限定理的研究成果較豐富,如文獻[5,6]。

在概率不等式的相關(guān)研究中,1963年Hoeffffding[7]給出了有界隨機變量之和的概率不等式,2006年Nagaev[8]研究了臨界G-W過程的概率不等式。Fan等[9-10]2013年在Bernstein條件下證明了鞅的大偏差展式,2020年又建立了隨機環(huán)境分枝過程的一致Cramer中偏差。但值得注意的是,關(guān)于隨機環(huán)境加權(quán)分枝過程的概率不等式研究甚少,因此本文將在隨機環(huán)境分枝過程概率不等式研究的基礎(chǔ)上,嘗試借助Bernstein不等式得到隨機環(huán)境中加權(quán)分枝過程的偏差不等式。

1 模型引入

在獨立同分布的隨機環(huán)境ξ=(ξ0,ξ1,…)中,加權(quán)分枝過程{Yn}定義如下:

2 基本結(jié)果及證明

基于以上定義,有

(1)

(2)

(3)

(4)

定理1得證。