廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 梁世鋒

“課程標(biāo)準(zhǔn)”將數(shù)學(xué)建模列為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一,是新教材數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容,有明確的教學(xué)課時(shí)要求和任務(wù).新教材從內(nèi)容設(shè)置、屬性規(guī)模、數(shù)學(xué)抽象、有層次地設(shè)置各類數(shù)學(xué)建模素材資源及深厚的數(shù)學(xué)育人價(jià)值等信息資源. 根據(jù)新教材中對數(shù)學(xué)建模問題進(jìn)行劃分如下:

建?；顒?問題求解問題數(shù)學(xué)化結(jié)果解釋建構(gòu)與簡化結(jié)果檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)化合計(jì)數(shù)量/項(xiàng)32241186485百分比/% 37.728.212.99.47.14.7100.0

如表所示,新教材中的35 個(gè)任務(wù)共考察了85 次建?；顒?其中問題求解是新教材中考察最多的活動,占總活動量的37.7%,數(shù)學(xué)化次之,占28.2%,總的來說,新教材中所涉及的建模活動覆蓋較全面,注重模型的應(yīng)用能力. 但在教學(xué)實(shí)踐中受限于教學(xué)課時(shí)、課堂實(shí)效、建模素材選取的便利性、考題導(dǎo)向以及數(shù)學(xué)建模教學(xué)定位與價(jià)值認(rèn)識模糊等因素,在教學(xué)實(shí)踐中存在不少現(xiàn)實(shí)困境. 如何編制有利于建模教學(xué)的習(xí)題或試題是值得探究的問題.

1 關(guān)于維果茨基“最近發(fā)展區(qū)”的理論概述

維果茨基“最近發(fā)展區(qū)”理論的基本觀點(diǎn)是學(xué)生發(fā)展有兩種水平: 一是已經(jīng)達(dá)到的發(fā)展水平,表現(xiàn)為學(xué)生具備獨(dú)立解決問題的智力水平;二是他可能達(dá)到的發(fā)展水平.

在這種水平下學(xué)生需要借助導(dǎo)師引導(dǎo)、幫助,才能解決問題. 這兩種發(fā)展水平之間的距離定義為最近發(fā)展區(qū). 我們可以用圖1 來形象地說明這個(gè)隱喻性的概念. 坐標(biāo)軸的方向表示思維水平的層次,當(dāng)問題的思維水平要求在C以遠(yuǎn),則即使有幫助,該生也不能解決這問題. 從坐標(biāo)軸上形象地看,教學(xué)過程就是最近發(fā)展區(qū)AB的移動過程. 正是由于這樣的移動,使得原本處于最近發(fā)展區(qū)里的問題,被置于現(xiàn)有發(fā)展水平(區(qū))里. 本文試圖從最近發(fā)展區(qū)的理念作為切入點(diǎn),結(jié)合國家標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的三個(gè)發(fā)展水平,選取新教材的數(shù)學(xué)問題或經(jīng)典習(xí)例題開展數(shù)學(xué)模型習(xí)題編制. 以案例分析為背景,按照以下框架(圖2)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模問題的編制.

圖1

圖2

2 同源改編,從教材及試題中取材

一般來說,直接構(gòu)建源于現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)建模問題有難度. 實(shí)踐結(jié)果表明,立足于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)水平,選取課本習(xí)題適當(dāng)內(nèi)容為載體改編成數(shù)學(xué)建模習(xí)題或試題,有利于深化學(xué)生對內(nèi)容的理解,減輕教師的工作量,是提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)效果的一種較高效策略,筆者認(rèn)為可從下面的視角改編.

2.1. 關(guān)系改編,將定量關(guān)系改編為變量關(guān)系

題源: 人教版新教材必修1若用模型y=ax2來描述汽車緊急剎車后滑行的距離v與剎車時(shí)的速度x的關(guān)系,而某種型號的汽車在速度為60 km/h 時(shí),緊急剎車后滑行的距離為20 m,在限速為100 km/h 的高速公路上,一輛這種型號的車緊急剎車后滑行的距離為50 m,問這輛車是否超速行駛?

數(shù)學(xué)建模問題當(dāng)前交通繁忙,馬路上車水馬龍,怎么保持在公路上安全剎車已經(jīng)成為越來越重要的問題,那么應(yīng)該怎樣規(guī)范才能使人們在安全的條件下駕駛汽車,請同學(xué)們自由選擇品牌車型,研究汽車的剎車距離模型,并進(jìn)一步為使用該車型里的車主提供安全的駕駛建議.

對各種影響因素進(jìn)一步分析,初步建立較為完整的數(shù)學(xué)模型.

假設(shè)一. 道路狀況、天氣、車輛正常行駛、車輪與路面摩擦系數(shù)等外界條件一致;

假設(shè)二. 駕駛員反應(yīng)時(shí)間t1為常數(shù),車輛在反應(yīng)階段作勻速直線運(yùn)動,速度為v;

假設(shè)三. 車輛在制動剎車做勻減速直線運(yùn)動,加速度只與車型相關(guān)(即加速度為常數(shù),制動所做的功全部用于車輛動能消耗);

假設(shè)四. 剎車距離d=反應(yīng)車輛行駛距離d1+車輛制動距離d2;

假設(shè)五. 制動距離d2: 由制動器作用力F、車的質(zhì)量m、車速v(制動時(shí)的初速度)、道路狀況、天氣狀況相關(guān);

假設(shè)六. 剎車時(shí)間用最大動力F,F作的功等于汽車動能的改變,且F與車的質(zhì)量m成正比.

用現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)這個(gè)公式: 根據(jù)查閱資料,摩擦系數(shù)u與多種因素有關(guān),一般為0.8 左右,雨天可降至0.2 以下,冰面就更低了,假設(shè)u=0.8,車速與剎車距離表(表3)如下:

表3

可以得出該車型車速在20km/h～100 km/h, 剎車距離與車速正相關(guān),當(dāng)然也與制動效果、天氣、地面、摩擦系數(shù)等有相關(guān)關(guān)系,可進(jìn)一步研究,描出車速與剎車距離的散點(diǎn)圖,擬合回歸方程,估算出相應(yīng)的剎車時(shí)長.

車速與剎車距離散點(diǎn)圖

2.2. 條件改編,放寬約束條件或隱去限制條件

教材中不少習(xí)例題或已有試題中的應(yīng)用題是給定條件和確定數(shù)據(jù)的,通過調(diào)整數(shù)據(jù),減少或增加條件,放寬約束條件,隱去限制條件可以編制成數(shù)學(xué)建模問題.

題源: 模擬考題某單位有10000 名職工, 想通過驗(yàn)血方式篩查乙肝病毒攜帶者, 假設(shè)攜帶病毒的人占5%, 如果對每個(gè)人逐一化驗(yàn), 就需要化驗(yàn)10000 次, 統(tǒng)計(jì)專家提出了一種化驗(yàn)方法; 隨機(jī)地按5 人一組分組, 然后將各組5人的血液混合再化驗(yàn), 如果混合血液呈陰性, 說明這5 個(gè)人全部陰性; 如果血樣呈陽性, 說明至少有一人的血樣呈陽性, 就需要對每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次, 按照這種化驗(yàn)方法, 平均每人需要化驗(yàn)____次. (結(jié)果保留四位有效數(shù)字)(0.955≈0.7738,0.956≈0.735,0.957≈0.6983)

混管采樣檢測是學(xué)生有生活真實(shí)體驗(yàn)感受的,下面構(gòu)建篩查樣本的真實(shí)情境,作以下假設(shè):

假設(shè)一. 采樣總樣本為n份,采用k份血液樣本混管檢驗(yàn);

假設(shè)二. 每次檢測的時(shí)間和成本相同,人人與之間相互獨(dú)立,不傳染;

假設(shè)三. 方案一,逐個(gè)檢驗(yàn);方案二,平均分成兩組,再將每組樣本混合檢驗(yàn);方案三,四個(gè)樣本混在一起檢驗(yàn).

假設(shè)四. 以檢測次數(shù)的期望衡量方案的優(yōu)略.

數(shù)學(xué)建模問題新冠病毒是一種通過飛沫和接觸傳播的變異病毒,篩查該病毒的一種方式是檢驗(yàn)血液樣本中相關(guān)指標(biāo)是否為陽性,對于n份血液樣本,有以下兩種檢驗(yàn)方法: 一是逐份檢驗(yàn),則需檢驗(yàn)n次. 二是混合檢驗(yàn),將其中k份血液樣本分別取樣混合在一起,若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,那么這k份血液全為陰性,從而檢驗(yàn)一次就夠了;如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液中究竟哪些為陽性,就需要對它們再逐份檢驗(yàn),此時(shí)n份血液檢驗(yàn)的次數(shù)總共為k+1 次. 某定點(diǎn)醫(yī)院現(xiàn)取得4 份血液樣本,考慮以下三種檢驗(yàn)方案: 方案一,逐個(gè)檢驗(yàn);方案二,平均分成兩組,再將每組樣本混合檢驗(yàn);方案三,四個(gè)樣本混在一起檢驗(yàn). 假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是相互獨(dú)立的,且每份樣本是陰性的概率為p.

(1)求兩份血液樣本混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率;

(2)若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小,則方案越優(yōu). 那么三種方案中哪個(gè)最優(yōu)? 請說明理由. (以下略,請有興趣讀者自行完成)

進(jìn)一步研究,若取得為4k(k∈N?)份血液樣本,情況如何?

2.3. 情境改編,將數(shù)學(xué)探究問題置于真實(shí)情境

注重構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知的真實(shí)情境或次真實(shí)的情境,有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,常見的真實(shí)情境包括生活情境、文化情境、科學(xué)情境、社會情境,將抽象的數(shù)學(xué)背景置于真實(shí)情境,有利于學(xué)生建模素養(yǎng)的發(fā)展.

題源: 2019 年高考全國Ⅰ卷第4 題古希臘時(shí)期, 人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是稱為黃金分割比例), 著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是()

A. 165cm B. 175cm C. 185cm D. 190cm

數(shù)學(xué)建模問題維納斯身高與黃金分割的關(guān)系,是數(shù)學(xué)在生活場景中的應(yīng)用. 問題遷移,在現(xiàn)實(shí)生活中,不少女孩子穿著高跟鞋時(shí),顯得腿修長美觀,那如何選配鞋跟高度才是合理的呢? 你能給出一個(gè)合理的建議方案么? 其實(shí),這是一個(gè)具有探究現(xiàn)實(shí)真實(shí)情景的數(shù)學(xué)建模問題,具備現(xiàn)實(shí)研究價(jià)值.

假設(shè)一: 定義“美”的模型: 古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是稱為黃金分割比例)即采用黃金分割比例作為標(biāo)準(zhǔn).

假設(shè)二: 女孩身高為lcm,肚臍至足底的長度dcm,鞋跟高度為xcm;

假設(shè)三: 正常比例范圍的人群范圍中采集數(shù)據(jù),也可模擬真實(shí)正常數(shù)據(jù).

身高l肚臍至足底的長度d原始比值(近似值)鞋跟高度為x調(diào)整比值(近似值)160cm 97cm 0.649cm 2cm 0.636cm 160cm 97cm 0.649cm 3cm 0.630cm 160cm 97cm 0.649cm 4cm 0.624cm 160cm 97cm 0.649cm 5cm 0.618cm 160cm 97cm 0.649cm 6cm 0.612cm

注高跟鞋的鞋跟高度可作以下分類: 1. 低高跟鞋一般是4 厘米以下;2. 中跟高跟鞋一般是5-10 厘米;3. 超高跟鞋一般高度為11 厘米以上;4. 日常最低的高跟鞋一般是4 厘米以下,通常是5-10 厘米居多.

從數(shù)學(xué)的理性視角是選擇5 cm 鞋跟,當(dāng)然根據(jù)個(gè)人舒適度選擇4 或6 厘米的鞋跟接近黃金分割比例,也是不錯(cuò)的選擇. 此類模型,貼近生活,有現(xiàn)實(shí)意義、數(shù)學(xué)工具和模型符合學(xué)生認(rèn)知.

2.4. 性態(tài)改編,將靜態(tài)模型轉(zhuǎn)為動態(tài)模型

新教材中的習(xí)例題或課外習(xí)題的應(yīng)用探究題大多屬于靜態(tài)模型,通過將模型中的質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為動態(tài)質(zhì)點(diǎn),對模型進(jìn)行數(shù)學(xué)建模假設(shè),構(gòu)建出更符合真實(shí)情境的動態(tài)模型. 考慮到運(yùn)算的便利性,有時(shí)可以改編為次真實(shí)情境的動態(tài)模型.

題源: 人教版選擇性必修1 例題改編在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng),據(jù)監(jiān)測,以臺風(fēng)中心為中心,半徑為20 km的圓形區(qū)域內(nèi)將受到臺風(fēng)影響. 已知城市位于臺風(fēng)中心正西40 km 處,該城市的港口位于城市中心正北30 km 處,如果臺風(fēng)沿北偏西45?的直線行進(jìn),那么港口是否會有受到臺風(fēng)影響?

構(gòu)建臺風(fēng)影響城市的次真實(shí)情境,作以下假設(shè):

假設(shè)一. 臺風(fēng)沿向西偏北β方向勻速直線運(yùn)動;

假設(shè)二. 臺風(fēng)的影響面積是圓形面積,初始半徑為r0km且半徑是勻速v2km/h 變大;

假設(shè)三. 臺風(fēng)中心位于城市O(如圖4)的東偏南θ方向d0km.

圖4

數(shù)學(xué)建模問題在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng), 據(jù)監(jiān)測, 當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O的東偏南θ方向d0km 的海面P處,并以v1km/h 的速度向西偏北β方向移動. 臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域, 當(dāng)前半徑為r0km,并以v2km/h 的速度不斷增大. 問幾小時(shí)后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲?

若建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸正向. 此時(shí),臺風(fēng)中心的坐標(biāo)為臺風(fēng)侵襲的區(qū)域是其中r(t) =v2t+r0, 若在t時(shí)刻城市O受到臺風(fēng)的侵襲, 則有不妨賦值如下:r0=60 km,d0=300 km,v1=20 km/h,β=45?.下面計(jì)算該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲的時(shí)刻.

解如圖4 建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸正向. 臺風(fēng)中心的坐標(biāo)為

此時(shí)臺風(fēng)侵襲的區(qū)域是(x-)2+(y-) ≤[r(t)]2, 其中r(t) = 10t+60,若在t時(shí)刻城市O受到臺風(fēng)的侵襲,則有(0-)2+(0-)2≤(10t+60)2. 即

即t2-36t+288 ≤0,解得12 ≤t≤24. 即12 小時(shí)后臺風(fēng)將侵襲該城市.

進(jìn)一步可以研究, 若臺風(fēng)是沿勻加速(特殊)曲線運(yùn)動,臺風(fēng)半徑膨脹是勻加速狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型.

2.5. 模型改編,探索模型與解釋模型改編為學(xué)科融合模型

題源: 課外習(xí)題已知室內(nèi)溫度T1和室外溫度T2恒定不變,熱傳導(dǎo)過程已處于穩(wěn)定狀態(tài),即沿?zé)醾鲗?dǎo)方向,單位時(shí)間通過單位面積的熱量是常數(shù). 單位時(shí)間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量Q與T成正比,與d成反比,即,其中k為熱傳導(dǎo)系數(shù),現(xiàn)有某家庭的窗戶計(jì)劃從兩種材質(zhì)相同,厚度分別為d1,d2(d1

數(shù)學(xué)建模問題在現(xiàn)代居家裝修中,不少家庭的窗戶采用雙層玻璃,即窗戶上裝兩層玻璃且中間保留一定空隙,據(jù)說這種玻璃窗能夠減少冬天室內(nèi)向室外流失的熱量或夏天減少室外流向室內(nèi)的熱量. 建立數(shù)學(xué)模型,試用所學(xué)的知識解釋其合理性.

模型假設(shè)

假設(shè)一. 雙層玻璃和單層玻璃的室內(nèi)外氣流流速及流向一致,室內(nèi)室外溫差為?T;

假設(shè)二. 窗戶的密封性能很好,兩層玻璃的空隙中的空氣保持靜態(tài),即熱量的傳播無對流的單向傳導(dǎo);

假設(shè)三. 玻璃材料均勻,雙層玻璃每層厚度為d,雙層玻璃之間空隙寬度為l,單層玻璃厚度為2d;

假設(shè)四. 用物理學(xué)熱傳導(dǎo)定理解釋數(shù)學(xué)模型;

假設(shè)五. 室內(nèi)溫度T1和室外溫度T2恒定不變,熱傳導(dǎo)過程已處于穩(wěn)定狀態(tài),即沿?zé)醾鲗?dǎo)方向,單位時(shí)間通過單位面積的熱量是常數(shù). 單位時(shí)間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量Q與T成正比, 與d成反比, 即其中k為熱傳導(dǎo)系數(shù).

根據(jù)物理定律的數(shù)學(xué)建模問題

雙層窗內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度為Tm外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度為Tn, 玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為k1, 空氣的傳導(dǎo)系數(shù)為k2, 單位時(shí)間單位面積的熱量傳導(dǎo)(即熱量流失)為求解得其中s=而厚度為2d的單層玻璃窗, 其熱傳導(dǎo)為,兩者之比為

從而可以得出結(jié)論: 材質(zhì)一致,雙層玻璃比單層玻璃能夠減少熱量的流失(流入). 進(jìn)一步探究,雙層玻璃之間的空氣層的寬度并非越大越好? 雙層玻璃單片厚度與中間空隙的合理比值是多少?

3. 基于教材習(xí)例題和試題編制數(shù)學(xué)建模習(xí)題的啟示

3.1 重視教材和習(xí)題的數(shù)學(xué)建模資源整合,引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象,一般步驟為信息表述、問題求解、模型解釋、結(jié)果驗(yàn)證幾個(gè)階段,通過系統(tǒng)挖掘并深度解析教科書中數(shù)學(xué)建模問題資源,提升學(xué)生實(shí)踐能力與創(chuàng)新意識,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng),體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過程和“實(shí)踐一理論一實(shí)踐”這一循環(huán),有助于學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展.

3.2 重視教材中建模內(nèi)容的組織與改編,有助于突破建模教學(xué)的制約因素

挖掘教科書中數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)建模本質(zhì),將生活現(xiàn)象與社會熱點(diǎn)問題編制為高中數(shù)學(xué)建模習(xí)題符合學(xué)生認(rèn)知最近發(fā)展區(qū),有利于學(xué)生深化理解已有的數(shù)學(xué)問題,促進(jìn)潛在建模能力水平的發(fā)展,有利于改善數(shù)學(xué)建模教學(xué)中受教學(xué)課時(shí)限制、試題命制限制、演算工具限制、教師意識限制等制約數(shù)學(xué)建模教學(xué)發(fā)展的干擾因素. 因此教師應(yīng)對教材素材其進(jìn)行系統(tǒng)挖掘,并統(tǒng)籌編制數(shù)學(xué)建模問題,幫助學(xué)生較全面系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)建模的教育價(jià)值、科學(xué)價(jià)值及應(yīng)用價(jià)值.

3.3 提升教師的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與挖掘教材的能力,有助于學(xué)生建模素養(yǎng)發(fā)展

數(shù)學(xué)建模教學(xué)要求教師有較高的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),也要求教師要準(zhǔn)確把控教材對建模內(nèi)容的數(shù)量與功能定位. 基于新教材中的素材改編為學(xué)生感興趣的、符合高中課程標(biāo)準(zhǔn)的、符合學(xué)生發(fā)展水平的、體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模特點(diǎn)的、融合技術(shù)工具、體現(xiàn)完整的數(shù)學(xué)建模過程的數(shù)學(xué)建模問題是有意義的. 總之,在編制數(shù)學(xué)建模問題時(shí)還應(yīng)關(guān)注問題情境的真實(shí)性(次真實(shí)性)、條件的約束性、問題的有效性、過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、表述的閱讀性、科學(xué)工具參與性.