左皓琛,梁 松*,閆 明

(1.沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 沈陽 110870;2.遼寧省沖擊防護(hù)與損傷評估技術(shù)工程研究中心,遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

柔性鉸鏈?zhǔn)侨嵝詷?gòu)件的一個(gè)分支,其利用材料的柔性變形來傳遞力、位移和能量,可以消除側(cè)隙、摩擦和磨損,具有結(jié)構(gòu)簡單、質(zhì)量小等優(yōu)點(diǎn),在精密傳動(dòng)和控制領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

將柔性鉸鏈的優(yōu)點(diǎn)應(yīng)用在隔振系統(tǒng)中,亦有更優(yōu)的隔振效果。而柔性鉸鏈的剛度對隔振系統(tǒng)性能有重要影響,剛度與柔性鉸鏈的本身參數(shù)和所受載荷緊密聯(lián)系。由此可見,柔性鉸鏈的剛度特性對柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)至關(guān)重要。

而要研究柔性鉸鏈一般都會(huì)從柔性梁入手。

YIN X等人[1]運(yùn)用歐拉伯努利梁理論對柔性梁的大變形進(jìn)行了分析,并采用數(shù)值法和封閉法對其進(jìn)行了求解與驗(yàn)證。交叉簧片型柔性鉸鏈的變形最早由WITTRICK W H等人[2-3]進(jìn)行了理論分析,假設(shè)其為線性小變形(旋轉(zhuǎn)角度小于±5°),進(jìn)而求得了載荷與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系。HARINGX J等人[4]同樣對該類柔性鉸鏈進(jìn)行了研究,并假設(shè)其為對稱變形,在此基礎(chǔ)上得到了彎矩與變形的關(guān)系。GON?ALVES JUNIOR L A等人[5-7]采用迭代法和非線性有限元法,得到了柔性鉸鏈的剛度特性;但在該研究中,研究者對大變形的情況考慮較少。LIU L等人[8]采用了仿真與實(shí)驗(yàn)的方法,對多簧片交叉型鉸鏈進(jìn)行了研究,對其軸向和徑向剛度分別進(jìn)行了分析與計(jì)算。BI S等人[9-11]采用近似和仿真的方法,對交叉簧片型柔性鉸鏈的剛度特性進(jìn)行了研究,得到了載荷與變形的關(guān)系;但其采用的方法只在較小變形范圍內(nèi)有效。李永振等人[12]采用理論近似方法對柔性鉸鏈進(jìn)行了分析,結(jié)果表明,只有在垂直載荷和旋轉(zhuǎn)剛度較小時(shí),交叉簧片型柔性鉸鏈的剛度才能近似保持為常值,而再增大垂直載荷,轉(zhuǎn)動(dòng)剛度也會(huì)隨之逐漸增大。杜紹揚(yáng)[13]在針對柔性鉸鏈的研究中,同樣得出結(jié)論,即隨著載荷的增加,該類柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)剛度不再是單一的常量;但他們對柔性鉸鏈剛度特性分析得還不夠全面。在實(shí)驗(yàn)測量柔性鉸鏈剛度的方法上,文獻(xiàn)[14-17]均基于幾何光學(xué)理論,并搭載了柔性鉸鏈的角位移變形測量平臺;但在上述研究中,測量平臺測量的工況范圍有限。

目前的分析方法大多是針對線性小變形的柔性鉸鏈剛度特性,且沒有全面地考慮不同參數(shù)對柔性鉸鏈剛度的影響。關(guān)于大變形柔性鉸鏈的剛度分析方法的研究也尚不多見。

筆者以交叉簧片型柔性鉸鏈為研究對象,從歐拉伯努利梁理論出發(fā),建立大變形柔性鉸鏈的力學(xué)模型,探討不同載荷和幾何參數(shù)對剛度的影響規(guī)律;給出模型求解方法,采用三維有限元分析模型,建立柔性鉸鏈剛度測量實(shí)驗(yàn)裝置,以探究不同參數(shù)對柔性鉸鏈剛度特性的影響規(guī)律。

1 理論變形分析

1.1 鉸鏈?zhǔn)茌d分析

交叉簧片型柔性鉸鏈?zhǔn)疽鈭D如圖1所示。

圖1 交叉簧片型柔性鉸鏈?zhǔn)疽鈭D

圖1中,交叉簧片型柔性鉸鏈主要包括固定端、簧片和移動(dòng)端。

其中,圖1(a)表示了簧片的參數(shù),包括長度L、寬度B和厚度T。

圖1(b)為幾何參數(shù)和變形圖,包括2根簧片的交叉位置λL(λ∈(0,1))和交叉角度2α(α∈[30°,60°])。當(dāng)柔性鉸鏈移動(dòng)端底部中間受垂直力P、水平力F和彎矩M時(shí),將會(huì)產(chǎn)生一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度θ。

交叉簧片型柔性鉸鏈的受載分析模型如圖2所示。

圖2 交叉簧片型柔性鉸鏈?zhǔn)茌d分析模型

當(dāng)移動(dòng)端底部受到載荷時(shí),兩根梁均會(huì)產(chǎn)生變形。為了方便分析,筆者將移動(dòng)端B1B2的中點(diǎn)所受到的P、F和M這3種載荷分別轉(zhuǎn)換到兩根梁A1B1和A2B2上,這樣就使柔性鉸鏈整體受到的載荷轉(zhuǎn)換到了每根梁上,每根梁所受的力為軸向力Pi、垂直力Fi和彎矩Mi(i=1,2代表梁1和梁2),力的方向以變形前局部坐標(biāo)系xAiy為基準(zhǔn)。

由于考慮了x和y方向的位移,因此,該研究為柔性鉸鏈的大變形分析。

1.2 鉸鏈變形分析

柔性梁的變形計(jì)算以歐拉伯努利梁為主,即梁在變形后,總有一個(gè)截面的長度保持不變,如圖3所示。

圖3 柔性梁變形分析

設(shè)梁的總長度為L,任意一點(diǎn)位移(x,y)弧長為s,該點(diǎn)處的切向角度為ψ;設(shè)梁的端點(diǎn)C處所受軸向力為Pi、垂直力為Fi、彎矩為Mi,則根據(jù)曲率的變形關(guān)系,任意一點(diǎn)處的彎矩M為:

-Pi(ΔY-Y(X))+Fi(L-X)+Mi

(1)

式中:E為材料的彈性模量;I為截面慣性矩。

(2)

即可得到ψ與u的微分方程,其邊值條件為u=0,ψ=0;u=1,dψ/du=LMC/EI,可用打靶法[18]求解該邊值問題。

當(dāng)解出ψ與u的對應(yīng)關(guān)系后,可由下式獲得直角坐標(biāo)系下變形后的形態(tài):

(3)

其中:u0由0到1變化,即可表示梁上任意一點(diǎn)(x,y)處的位移變化。

接著,筆者對柔性鉸鏈的變形進(jìn)行整體分析。

先對所有變量進(jìn)行無量綱化處理:

(4)

式中:L為簧片的長度;EI為材料的抗彎剛度。

則根據(jù)力的平衡關(guān)系可列出以下方程:

f=(p2-p1)sinα+(f1+f2)cosα

(5)

p=(p1+p2)cosα+(f1-f2)sinα

(6)

m=[(p1-p2)cosα+(f1+f2)sinα]λsinαcosθ-

[(p1+p2)sinα-(f1-f2)cosα]λsinαsinθ+m1+m2

(7)

由于B1,B2兩點(diǎn)的距離保持不變,可列出x和y兩個(gè)方向的幾何位移平衡式如下:

(δy1-δy2)cosα+(δx1+δx2)sinα=2λsinα(1-cosθ)

(8)

(δy1+δy2)sinα-(δx1-δx2)cosα=2λsinαsinθ

(9)

在式(5)～式(9)中,有11個(gè)變量,而只有5個(gè)方程,因此,需采用柔性梁變形模型。

筆者首先對式(1)進(jìn)行無量綱轉(zhuǎn)化,即:

初始條件為:

因此,可求得關(guān)于參數(shù)δyi和θ的方程如下:

δyi=yi(1),i=1,2

(10)

(11)

而δxi(i=1,2)的表達(dá)方式為:

(12)

筆者聯(lián)立式(5)～式(9)和式(10)～式(12),可列出關(guān)于11個(gè)參數(shù)的非線性方程組,但該方程組沒有封閉解,只能采用迭代法進(jìn)行求解。

L-M法對該類方程有較好的解[19]。設(shè)F(x)是關(guān)于x的11維非線性方程組,其中,x為δxi,δyi,pi,fi,mi,θ(i=1,2)這11個(gè)變量,設(shè)定步長使該迭代具有二次收斂性,即可完成求解。

2 剛度特性分析

2.1 彎矩對旋轉(zhuǎn)剛度的影響

接下來,筆者將從交叉簧片型柔性鉸鏈的力學(xué)模型出發(fā),開展柔性鉸鏈的剛度特性分析,并討論幾何參數(shù)與載荷形式對剛度特性的影響。

一般定義剛度為載荷與旋轉(zhuǎn)角度θ的比值,則旋轉(zhuǎn)剛度KM、水平剛度KF和垂直剛度KP定義為:

(13)

其中:

(14)

式中:pi,fi,mi均為前述非線性方程組解的變量。

由式(13)和式(14)可知:交叉簧片型柔性鉸鏈的剛度與材料的長度L、寬度B、厚度T、彈性模量E以及所受載荷M、F、P均有關(guān)。

其中,彎矩M與柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)剛度KM的關(guān)系如圖4所示。

圖4 彎矩M與柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)剛度KM的關(guān)系

圖4中,考慮旋轉(zhuǎn)剛度,筆者給出了只有彎矩載荷時(shí)彎矩M與旋轉(zhuǎn)角度KM的關(guān)系,并將其與文獻(xiàn)[9]中的分析結(jié)果相比較。

由圖4可以看出:在彎矩較小時(shí),柔性鉸鏈的旋轉(zhuǎn)剛度與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果相近,且近似為常數(shù);但當(dāng)彎矩足夠大時(shí),旋轉(zhuǎn)剛度出現(xiàn)了非線性變化。

2.2 交叉系數(shù)和交叉角度對剛度的影響

幾何參數(shù)交叉系數(shù)λ和交叉角度α對柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)剛度KM的影響,如圖5所示。

由圖5可知:交叉系數(shù)對柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)剛度影響很大,在交叉系數(shù)λ=0.5時(shí),旋轉(zhuǎn)剛度最小;當(dāng)λ接近0或1時(shí),旋轉(zhuǎn)剛度達(dá)到最大。當(dāng)λ由0.5減小到0或增加到1時(shí),旋轉(zhuǎn)剛度以非線性形式增大;且對于不同的交叉角度α,旋轉(zhuǎn)剛度的曲線基本保持一致,即交叉角度對旋轉(zhuǎn)剛度幾乎沒有影響。

因此,在考慮旋轉(zhuǎn)剛度時(shí),需注重幾何參數(shù)交叉系數(shù)λ的影響。

2.3 垂直載荷和水平載荷對剛度的影響

考慮水平載荷和垂直載荷對旋轉(zhuǎn)剛度的影響,在一定彎矩M下,不同水平載荷F和垂直載荷P對不同交叉系數(shù)λ下旋轉(zhuǎn)剛度KM的影響,如圖6所示。

圖6 垂直載荷P和水平載荷F對柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)剛度的影響

由圖6可以看出:水平載荷相對垂直載荷對柔性鉸鏈的剛度影響更大,且交叉系數(shù)為0.5,比0.2時(shí)的影響更大,這同樣證明了圖5的分析結(jié)果。當(dāng)水平載荷與彎矩使柔性鉸鏈的變形方向相同時(shí),隨著水平載荷的增大,旋轉(zhuǎn)剛度變化較小;當(dāng)兩者方向相反時(shí),旋轉(zhuǎn)剛度變化很大。

因此,筆者需優(yōu)先考慮交叉系數(shù)λ與水平載荷F對旋轉(zhuǎn)剛度KM的影響。

柔性鉸鏈在垂直方向上的剛度遠(yuǎn)大于水平剛度和旋轉(zhuǎn)剛度,因而垂直載荷對結(jié)構(gòu)的變形位移影響較小,故以下筆者只討論水平剛度及其受幾何參數(shù)的影響。

柔性鉸鏈的水平載荷F與水平剛度KF的關(guān)系如圖7所示。

圖7 水平載荷F與水平剛度KF的關(guān)系

在圖7中,顯示出了水平載荷F與水平剛度KF的關(guān)系與文獻(xiàn)[9]中數(shù)據(jù)的對比。

由圖7可以看出:相比于旋轉(zhuǎn)剛度而言,水平剛度在載荷增大過程中,其近似保持為常值。文獻(xiàn)[9]也證明了這一點(diǎn)。

圖4和圖7都表明,應(yīng)更側(cè)重于對旋轉(zhuǎn)剛度的分析。

2.4 幾何參數(shù)對水平剛度的影響

幾何參數(shù)對水平剛度的影響如圖8所示。

圖8 幾何參數(shù)λ,α對柔性鉸鏈水平剛度KF的影響

由圖8可以看出:水平剛度相對于交叉系數(shù)λ并不是對稱分布的,當(dāng)λ越靠近0,則水平剛度越大;當(dāng)λ在0.4～0.9范圍內(nèi),其剛度處于穩(wěn)定狀態(tài);交叉角度α相對于λ對柔性鉸鏈的水平剛度影響較小。

因此,在分析幾何參數(shù)對其影響時(shí),應(yīng)首先考慮交叉系數(shù)λ。

3 有限元分析與剛度測量實(shí)驗(yàn)

筆者采用有限元法和實(shí)驗(yàn)測量法,分別對交叉簧片型柔性鉸鏈的剛度特性進(jìn)行分析,并將二者分析結(jié)果與理論分析結(jié)果進(jìn)行比較。

由于這兩種方法都對模型的具體參數(shù)和施加的載荷有要求,因此,筆者具體分析7種不同參數(shù)對柔性鉸鏈的剛度特性的影響。

3.1 有限元分析

7種不同參數(shù)均受到相同的彎矩載荷,其中簧片的材料為65 Mn彈簧鋼,彈性模量為200 GPa,泊松比μ=0.3,長度L=60 mm,寬度B=10 mm,厚度T=0.5 mm。

具體參數(shù)如表1所示。

表1 不同參數(shù)下的交叉簧片型柔性鉸鏈

表1中,1～4組的交叉系數(shù)和交叉角度不同,5～7組施加的載荷不同。

表1中,第1組幾何參數(shù)下柔性鉸鏈的有限元模型,如圖9所示。

為了與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖鄬?yīng),柔性鉸鏈的邊界條件為在固定端施加完全約束,在移動(dòng)端底部中心偏下一定距離施加載荷。為防止產(chǎn)生扭轉(zhuǎn),筆者將簧片設(shè)為對稱型[20-21]。

由于簧片的厚度遠(yuǎn)小于長度和寬度,且只產(chǎn)生彎曲變形,因此,筆者對簧片采用一階線性非協(xié)調(diào)單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格,厚度方向?yàn)閮蓚€(gè)網(wǎng)格;其他地方采用一階縮減單元網(wǎng)格劃分。

為減少計(jì)算時(shí)間,且不影響分析結(jié)果,其上下兩端約束為剛體,模型均采用六面體網(wǎng)格。

3.2 剛度測量實(shí)驗(yàn)

此外,筆者開展了剛度特性的實(shí)驗(yàn)測量方法研究,設(shè)計(jì)并搭載了柔性鉸鏈剛度測量實(shí)驗(yàn)平臺。

測量平臺的功能模塊如圖10所示。

圖10 柔性鉸鏈剛度測量實(shí)驗(yàn)平臺功能模塊圖

該平臺主要包括了4種模塊,即支撐、夾持、加載和測量模塊。它們的功能分別為:1)保證系統(tǒng)有足夠的平衡穩(wěn)定性;2)保持柔性鉸鏈的交叉系數(shù)和交叉角度與工況相對應(yīng);3)能任意加載水平、垂直和彎矩3種載荷;4)可以測量柔性鉸鏈?zhǔn)茌d后產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)角度。

柔性鉸鏈剛度測量平臺的整體裝置如圖11所示。

圖11 柔性鉸鏈剛度測量平臺

圖11中,柔性鉸鏈上端固定在鋁型材上,下端使用軸承座固定了一個(gè)承載軸;彎矩M、水平載荷F和垂直載荷P可以由承載軸傳給柔性鉸鏈,利用懸掛在周圍的砝碼施加載荷,增加或減小砝碼的重量可以調(diào)整載荷的大小。

其中,水平和垂直載荷與砝碼重量相同,彎矩大小為砝碼的重力與相應(yīng)力臂的乘積。

筆者根據(jù)幾何光學(xué)理論的旋轉(zhuǎn)角度測試方法[14],對柔性鉸鏈的變形角度θ進(jìn)行測量。在初始狀態(tài)時(shí),激光會(huì)通過反射鏡在標(biāo)定靶上確定一個(gè)位置。當(dāng)柔性鉸鏈?zhǔn)茌d后會(huì)產(chǎn)生偏轉(zhuǎn),位于鉸鏈底端的平面鏡會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng),進(jìn)而改變激光的原有路線,使其偏離原有的標(biāo)記靶位置;當(dāng)旋轉(zhuǎn)調(diào)整鏡的角度使激光標(biāo)記點(diǎn)恢復(fù)到原有位置時(shí),調(diào)整的角度即為柔性鉸鏈的旋轉(zhuǎn)角度θ,計(jì)算載荷與旋轉(zhuǎn)角度的比值即為柔性鉸鏈的剛度。

柔性鉸鏈裝置的三維設(shè)計(jì)圖與實(shí)物圖如圖12所示。

柔性鉸鏈主要由簧片、夾片、滑動(dòng)塊和固定裝置組成。其中,更改滑動(dòng)塊的位置可以改變?nèi)嵝糟q鏈交叉系數(shù)λ的大小,更改與簧片緊貼的滑動(dòng)塊斜面角度即可調(diào)整交叉角度α的大小,即保證與表1中不同的幾何參數(shù)相對應(yīng)。

根據(jù)表1的前4組數(shù)據(jù),筆者分別采用理論方法、有限元方法和實(shí)驗(yàn)測量方法,對柔性鉸鏈的剛度進(jìn)行計(jì)算。

對其給定相同的彎矩M,筆者分別計(jì)算了理論方法與有限元和實(shí)驗(yàn)測法的誤差:

(15)

不同參數(shù)交叉簧片型柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)剛度如表2所示。

表2 不同參數(shù)交叉簧片型柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)剛度

由表2可以看出:相對于理論分析,有限元分析的相對誤差小于6%,實(shí)驗(yàn)測量的相對誤差小于9%,且均與文獻(xiàn)[9]的計(jì)算結(jié)果接近,證明了3種分析方法的結(jié)果較為一致,分析方法可靠。

對比表2中第1、2組計(jì)算結(jié)果可知:在其他參數(shù)相同的情況下,幾何參數(shù)交叉角度α不同,旋轉(zhuǎn)剛度的變化較小;對比2、3組結(jié)果可知:交叉系數(shù)λ不同,旋轉(zhuǎn)剛度的變化非常大。

以上結(jié)果說明,柔性鉸鏈的旋轉(zhuǎn)剛度主要受幾何參數(shù)交叉系數(shù)λ的影響。

筆者對文獻(xiàn)[9]、理論方法、有限元模擬方法和實(shí)驗(yàn)測量法進(jìn)行了對比分析,得到了表1中1、5、6、7組不同載荷下的旋轉(zhuǎn)剛度。

不同載荷對柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)剛度的影響對比,如表3所示。

由表3的第1、5、6組數(shù)據(jù)可知:在施加同樣大小的水平(垂直)載荷時(shí),水平載荷使柔性鉸鏈的旋轉(zhuǎn)剛度變化了近1倍,而垂直載荷使旋轉(zhuǎn)剛度的變化不足10%;由第5、7組數(shù)據(jù)可知:水平載荷單獨(dú)施加與水平、垂直共同施加下的柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)剛度間的差距很小。

以上結(jié)果說明,水平載荷對旋轉(zhuǎn)剛度的影響占主導(dǎo),而垂直載荷對其影響很小。

3種方法的相對誤差在9%內(nèi),證明了上述分析是有效的。

筆者分別采用理論方法、有限元方法和實(shí)驗(yàn)測量的方法,獲取了表1中第1組柔性鉸鏈參數(shù)彎矩M與旋轉(zhuǎn)角度θ的關(guān)系,如圖13所示。

圖13 彎矩M與旋轉(zhuǎn)角度θ的關(guān)系

由圖13可以看出:當(dāng)彎矩大于150 Nmm時(shí),柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)角度曲線的斜率有變化,表明隨著載荷的增加,柔性鉸鏈的旋轉(zhuǎn)剛度不再近似為一個(gè)常量,而是產(chǎn)生了非線性變化[22]。

筆者同樣采用理論分析、有限元模擬和實(shí)驗(yàn)測量3種方法,獲取了水平載荷F與水平剛度KF的關(guān)系,如圖14所示。

圖14 水平載荷F與水平剛度KF的關(guān)系

由圖14可以看出:雖然實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有波動(dòng),但總體上仍然圍繞著一個(gè)常量上下浮動(dòng);3種方法均表明柔性鉸鏈具有近似恒定的水平剛度,也證明了筆者所用方法的有效性。

4 結(jié)束語

剛度特性是交叉簧片型柔性鉸鏈的重要因素,尤其在非線性大變形的情況下。針對現(xiàn)有方法對柔性鉸鏈的剛度特性及影響因素分析不夠全面等問題,筆者采用了3種方法對交叉簧片型柔性鉸鏈的剛度特性作了分析。

分析方法及結(jié)論如下:

1)采用了理論分析、數(shù)值求解、有限元模擬和實(shí)驗(yàn)測量的方法,分別對交叉簧片型柔性鉸鏈大變形剛度特性進(jìn)行了分析。建立了基于歐拉伯努利梁理論分析模型、有限元分析模型,設(shè)計(jì)并搭載了柔性鉸鏈剛度測量平臺,并對三者的分析結(jié)果做了比較,總的誤差小于9%,表明了分析方法具有足夠的精確度和可靠度;

2)分析了柔性鉸鏈的旋轉(zhuǎn)、水平和垂直剛度。在只有彎矩載荷時(shí),當(dāng)彎矩較小時(shí),柔性鉸鏈的旋轉(zhuǎn)剛度保持為常值;而當(dāng)彎矩增大時(shí),旋轉(zhuǎn)剛度以非線性方式增加。在只有水平載荷時(shí),柔性鉸鏈的剛度保持恒定。柔性鉸鏈的垂直剛度遠(yuǎn)大于水平剛度和旋轉(zhuǎn)剛度;

3)討論了不同參數(shù)對柔性鉸鏈剛度的影響。在一定載荷下,柔性鉸鏈的剛度主要受交叉系數(shù)λ的影響。交叉系數(shù)λ越接近0.5,剛度越小;交叉系數(shù)λ越接近0或1,剛度越大;交叉角度α對其剛度影響較小。相對于垂直載荷,水平載荷對旋轉(zhuǎn)剛度的影響更大。在進(jìn)行柔性鉸鏈的剛度設(shè)計(jì)與分析時(shí),應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注水平載荷與交叉系數(shù)。

在未來的研究中,筆者將對不對稱的交叉簧片型柔性鉸鏈進(jìn)行分析,進(jìn)而研究結(jié)構(gòu)對稱性對柔性鉸鏈剛度特性的影響。