凃海元 李景財(cái)

摘要：從婆羅摩笈多定理入手，探究兩個(gè)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形模型，即“婆羅摩笈多”模型，再以垂直關(guān)系或平分關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)探究模型的三個(gè)結(jié)論，通過三個(gè)變式探索基本圖形的內(nèi)涵與外延，以達(dá)到觸類旁通的目的，讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地生根.

關(guān)鍵詞：“婆羅摩笈多”模型；變式；基本結(jié)論；數(shù)學(xué)文化

婆羅摩笈多是印度7世紀(jì)卓越的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他著有《婆羅門歷算書》，其中有兩章專論數(shù)學(xué)，包括算術(shù)、不定方程和幾何等內(nèi)容，尤其是他研究圓內(nèi)接四邊形得出了不少有趣的定理，其中婆羅摩笈多定理常為后人所研究.

1 婆羅摩笈多定理及相關(guān)結(jié)論

1.1 婆羅摩笈多定理

若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊.

符號(hào)語言：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為M，過點(diǎn)M作NH⊥BC交AD于點(diǎn)N，那么N為AD中點(diǎn).

簡證：如圖1，因?yàn)锳C⊥BD，NH⊥BC，以及∠BCM=∠ADM，所以可得∠HMC=∠DAM.因?yàn)椤螲MC=∠AMN，所以∠DAM=∠AMN，則MN=AN.同理可得MN=DN，所以AN=DN，即N為AD的中點(diǎn).

1.2 婆羅摩笈多模型及結(jié)論

對(duì)婆羅摩笈多定理?xiàng)l件進(jìn)行弱化，脫離圓的背景，增加“等腰”的條件，可得婆羅摩笈多模型.

如圖2，如果四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD滿足AC⊥BD，垂足為點(diǎn)M，且AM=BM，CM=DM（即△ABM和△CDM為共頂點(diǎn)M的兩個(gè)等腰直角三角形），過點(diǎn)M的直線分別與AD，BC交于點(diǎn)N，H.

結(jié)論1：若NH⊥BC，則N為AD的中點(diǎn)，且BC=2MN.

結(jié)論2：若N為AD的中點(diǎn)，則NH⊥BC，且BC=2MN.

結(jié)論3：S△ADM=S△BMC.

證明略.

簡證：對(duì)于結(jié)論1，容易證明△AMD≌△BMC，所以∠BCM=∠ADM.同上面定理的證明，可得N為AD的中點(diǎn).因?yàn)镹為AD中點(diǎn)，且AC⊥BD，所以BC=AD=2MN.

對(duì)于結(jié)論2，由（1）可知∠BCM=∠ADM.由N為AD的中點(diǎn)，且AC⊥BD，得MN=AN，可得∠DAM=∠AMN=∠HMC.因?yàn)椤螦DM＋∠DAM=90°，所以∠BCM＋∠HMC=90°，即NH⊥BC.因?yàn)镹為AD中點(diǎn)，AC⊥BD，所以BC=AD=2MN.

對(duì)于結(jié)論3，因?yàn)椤鰽MD≌△BMC，所以S△ADM=S△BMC.

1.3 婆羅摩笈多模型的變式

若對(duì)上述模型條件進(jìn)行弱化，使點(diǎn)B，M，D（或者點(diǎn)A，M，C）不共線，上述三個(gè)結(jié)論是否會(huì)發(fā)生改變？

變式1? 如圖3，△ABM和△CDM為共頂點(diǎn)M的兩個(gè)等腰直角三角形，連接AD，BC，過點(diǎn)M的直線分別與AD，BC相交于點(diǎn)N，H，則結(jié)論1～3仍成立.

證明：（1）如圖4，延長MN至點(diǎn)E，使ME=BC.由NH⊥BC，可得∠MBC=∠AME，∠MCB=∠EMD.因?yàn)锳M=BM，所以△MAE≌△BMC，則AE=MC，∠AEM=∠MCB.又CM=DM，則AE=DM，∠AEM=∠EMD，所以AE∥DM，故四邊形AMDE是平行四邊形，因此N為AD與EM的中點(diǎn).故BC=ME=2MN.

（2）如圖4，延長MN至點(diǎn)E，使NE=MN.由AN=DN，則四邊形AMDE是平行四邊形，故AE=DM=MC，∠EAM＋∠AMD=180°.又∠AMD＋∠BMC=180°，所以∠EAM=∠BMC，于是△MAE≌△BMC，則∠AEM=∠MCB.又∠AEM=∠EMD，所以∠MCH＋∠HMC=∠EMD＋∠HMC=90°，即NH⊥BC.因?yàn)镹為AD的中點(diǎn)，所以BC=ME=2MN.

（3）由△MAE≌△BMC及四邊形AMDE是平行四邊形，得S△ADM=S△MAE=S△BMC.

變式2? 若對(duì)上述模型中的某一個(gè)等腰直角三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，三個(gè)結(jié)論是否會(huì)發(fā)生改變？

如圖5，△ABM和△CDM為共頂點(diǎn)M的兩個(gè)等腰直角三角形，連接AD，BC，過點(diǎn)M的直線分別與AD，BC相交于點(diǎn)N，H，則結(jié)論1～3仍成立.

變式3? 若對(duì)婆羅摩笈多模型的條件作進(jìn)一步弱化，上面的三個(gè)結(jié)論還成立嗎？

如圖6，△ABM和△CDM為共頂點(diǎn)M的兩個(gè)等腰三角形，AM=BM，CM=DM，其中∠AMB＋∠CMD=180°，連接AD，BC，過點(diǎn)M的直線分別與AD，BC相交于點(diǎn)N，H，可得如下結(jié)論：

結(jié)論（1）：若∠BHM=∠AMB（或者∠CHM=∠CMD），那么N為AD的中點(diǎn)，且BC=2MN.

結(jié)論（2）：若N為AD的中點(diǎn)，那么∠BHM=∠AMB（或者∠CHM=∠CMD），且BC=2MN.

結(jié)論（3）：S△ADM=S△BMC.

變式2，3的證明略.

由此可知，隨著條件的一般化，結(jié)論1、結(jié)論2更具有一般性.

2 婆羅摩笈多模型的應(yīng)用

例1? （2022年武漢市中考數(shù)學(xué)試題第16題）如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF．過點(diǎn)C作AB的垂線CJ，垂足為J，分別交DF，LH于點(diǎn)I，K．若CI＝5，CJ＝4，則四邊形AJKL的面積是．

解析：如圖8，因?yàn)镃J⊥AB，由結(jié)論1可知點(diǎn)I是DF的中點(diǎn).由∠DCF=90°，可知DF=2CI.再由△DCF≌△ACB，可得AB=DF=2CI.因?yàn)镃I=5，所以AB=10.設(shè)AJ=m，則JB=10－m.因?yàn)椤螦CB=90°，由△ACJ∽△CBJ，可得CJ2=AJ·JB，所以42=m（10－m），解得m=8.因?yàn)樗倪呅蜛BHL是正方形，所以AL=AB=10，故四邊形AJKL的面積是10×8=80.

例2? （2021年武漢市東湖高新區(qū)和江岸區(qū)期末聯(lián)考試題）如圖9，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F，D分別在AB，BC上（點(diǎn)F，D與點(diǎn)A，B，C都不重合），OF⊥OD，OE⊥AD交AB于點(diǎn)E.

求證：E是BF的中點(diǎn).

證明：因?yàn)镺是等腰直角三角形ABC斜邊AC上的中點(diǎn)，所以O(shè)B⊥OA，OB=OA=OC，∠FAO=∠DBO=45°.又OF⊥OD，則△AFO≌△BDO，所以O(shè)F=OD．

為了研究方便，現(xiàn)對(duì)圖9進(jìn)行簡化，如圖10，延長OE至點(diǎn)G，使OG=AD.

由OE⊥AD，OB⊥OA，得∠PAO＋∠AOP=90°，∠AOP＋∠BOG=90°，所以∠PAO=∠BOG，于是△AOD≌△OBG，故OD=BG=OF，∠D=∠G．

因?yàn)镺E⊥AD，OF⊥OD，所以∠D＋∠DOP=90°，∠DOP＋∠EOF=90°，于是∠D=∠EOF，則∠EOF=∠G.又∠GEB=∠OEF，所以△GEB≌△OEF.

所以BE=FE，故E是BF的中點(diǎn).

例3? 〔2017年江西中考第（3）問的變式〕我們定義：如圖11，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B′C′.當(dāng)α＋β=180°時(shí)，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB′C′的邊B′C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.

問題? 如圖12，在四邊形ABCD中，∠BCD=150°，AB=12，CD=6，以CD為邊在四邊形ABCD內(nèi)部作等邊三角形PCD，連接AP，BP.若△PAD是△PBC的“旋補(bǔ)三角形”，請(qǐng)直接寫出△PBC的“旋補(bǔ)中線”長及四邊形ABCD的邊AD的長.

解析：如圖13，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，取BC的中點(diǎn)F，連接PF.因?yàn)椤鱌CD是等邊三角形，且CD=6，所以PC=CD=PD=6，∠PCD=∠CPD=60°.因?yàn)椤螧CD=150°，所以∠PCB=90°.因?yàn)椤鱌AD是△PBC的“旋補(bǔ)三角形”，所以∠APB=180°-60°=120°，且PA=PB.因?yàn)镻E⊥AB，AB=12，所以AE=EB=6，∠APE=∠BPE=60°.由三角函數(shù)關(guān)系，得PB=6÷sin 60°=43，所以BC=PB2-PC2=23，于是△PBC的“旋補(bǔ)中線”的長度等于12BC，即“旋補(bǔ)中線”長度等于3.由F是BC的中點(diǎn)，可得BF=CF=3，則PF=PC2+CF2=39.因?yàn)椤鱌BC也是△PAD的“旋補(bǔ)三角形”，所以AD=2PF=239.

婆羅摩笈多模型結(jié)論經(jīng)典，變式豐富，在平時(shí)的教學(xué)中利用該素材，融入數(shù)學(xué)史，可發(fā)揮數(shù)學(xué)的教育功能，同時(shí)可激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地生根.

參考文獻(xiàn)：

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[2]桂文通.素養(yǎng)導(dǎo)向下的中考數(shù)學(xué)試題評(píng)價(jià)策略——以2022年武漢市中考數(shù)學(xué)試題為例[J].教師教育論壇，2022，35（10）：44-47.