張麗珊

? 福建省廈門市禾山中學(xué)

1 文本分析

二次函數(shù)屬于函數(shù)與方程,是初中代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容,本節(jié)課重點(diǎn)復(fù)習(xí)二次函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)梳理成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,難點(diǎn)在于拓展遷移應(yīng)用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問題.

2 學(xué)情分析

學(xué)生已復(fù)習(xí)了“方程”“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”,在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)梳理二次函數(shù)解析式的三種表達(dá)方式,建構(gòu)知識(shí)體系,發(fā)現(xiàn)知識(shí)的“新內(nèi)涵”,進(jìn)而獲得研究函數(shù)的通用方法,類比歸納總結(jié),幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí),提升深度學(xué)習(xí)能力[1].

3 目標(biāo)解析

(1) 知識(shí)技能:二次函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì).

(2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般、分類思想、類比歸納思想.

(3)數(shù)學(xué)素養(yǎng):模型意識(shí),研究函數(shù)的方法;結(jié)合圖象,發(fā)揮好幾何直觀的作用[2].

4 教學(xué)實(shí)施

活動(dòng)一：課前診斷 (利用基礎(chǔ)題,了解學(xué)生對(duì)雙基的掌握情況).

(Ⅰ)二次函數(shù)的定義

概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做二次函數(shù).其中x是自變量,a,b,c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

需要注意的是:函數(shù)解析式是整式;整理后自變量的最高次數(shù)是2;二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.

(1)二次函數(shù)y=-x2+2x的二次項(xiàng)系數(shù)是______,一次項(xiàng)系數(shù)是______,常數(shù)項(xiàng)是______.

(2)已知函數(shù)y=(k2-9)x2+(k+3)x+17,當(dāng)k為何值時(shí),該函數(shù)為一次函數(shù)?當(dāng)k為何值時(shí),該函數(shù)為二次函數(shù)?

易錯(cuò)點(diǎn):忽略二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.

(Ⅱ)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

(3)拋物線y=x2-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______.

(4)函數(shù)y=(x-1)2+2的最小值是______.

(5)二次函數(shù)y=-x2-2x的開口______,對(duì)稱軸是______.

師生活動(dòng):教師精心選擇內(nèi)容,回顧本章知識(shí);學(xué)生5分鐘限時(shí)完成上述診斷題.

意圖說明：通過課前診斷快速了解學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況,精準(zhǔn)診斷便于有向有序地進(jìn)行復(fù)習(xí).

活動(dòng)二：課堂探究(借助典型例題及問題串,引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)).

例1已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3中的x,y滿足表1:

表1

(1)求該二次函數(shù)的解析式(頂點(diǎn)式與一般式).

(2)①開口方向:________.

②對(duì)稱軸:__________.

③頂點(diǎn)坐標(biāo):__________.

④圖象與x軸的交點(diǎn)A,B的坐標(biāo):__________.

⑤圖象與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo):__________.

⑥圖象與y軸的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo):__________.

⑦畫出函數(shù)的圖象.

⑧當(dāng)x=______時(shí),函數(shù)的最值為______.

⑨當(dāng)______時(shí),y=0;當(dāng)______時(shí),y>0;當(dāng)______時(shí),y<0.

師生活動(dòng):給予學(xué)生適當(dāng)時(shí)間自主探究,再與小組同伴進(jìn)行交流.還可以提出其他問題,如“若點(diǎn)P在拋物線上,且點(diǎn)P到x軸的距離為2,求點(diǎn)P的坐標(biāo)”.最后歸納總結(jié):

(1)函數(shù)的三種表示形式:列表、圖象、解析式.

(2)二次函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如圖1.

圖1

(3)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、特殊到一般等.

(4)研究函數(shù)的基本思路.

意圖說明：通過對(duì)近年來涉及本章知識(shí)點(diǎn)的質(zhì)檢題或中考題的整理,以典型例題引領(lǐng),利用問題串重新建立知識(shí)關(guān)聯(lián),從不同角度看待原有知識(shí),促進(jìn)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的深度理解,進(jìn)而形成高階思維能力.引導(dǎo)學(xué)生自主回顧知識(shí),歸納總結(jié)并繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,幫助學(xué)生構(gòu)建并內(nèi)化知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,從邏輯推理角度將知識(shí)系統(tǒng)化,并形成可遷移能應(yīng)用的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖,真正做到融會(huì)貫通,“溫故而知新”,進(jìn)而找到通向深度學(xué)習(xí)的有效途徑.重視滲透思想方法及積累復(fù)習(xí)課活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[3].

活動(dòng)三：練一練(前后聯(lián)系,加深對(duì)知識(shí)的理解).

(1)(2017-2018學(xué)年廈門)某二次函數(shù)的幾組對(duì)應(yīng)值如表2所示.若x1

表2

生1:例1與練習(xí)(1)相似,都是以表格形式呈現(xiàn).

生2:可以令x1,x2,x3,x4,x5分別為1,2,3,4,5,畫出示意圖即可求解,即特殊值法和圖象法.

生3:我發(fā)現(xiàn)“當(dāng)x1

師:幾位同學(xué)都說得很好,還有補(bǔ)充的嗎?

生4:不管是特殊值結(jié)合圖象法還是函數(shù)性質(zhì)法都是解決函數(shù)問題的常用方法.

生5:若是含參問題,可先嘗試用特殊值法來理解題意,結(jié)合圖象直觀感悟,再用函數(shù)性質(zhì)法解題驗(yàn)證.

師:同學(xué)們能夠反思總結(jié)解題方法,運(yùn)用函數(shù)的本質(zhì)思考并形成解題策略,具有未來數(shù)學(xué)家的潛質(zhì).

意圖說明：展示學(xué)生求解的思路,并邀請(qǐng)學(xué)有余力的學(xué)生嘗試析題,總結(jié)歸納方法,積累解題經(jīng)驗(yàn).此題雖是含參問題,利用特殊值法,數(shù)形結(jié)合將其轉(zhuǎn)化為與例1相似的問題,既鞏固基礎(chǔ)知識(shí)又考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想及知識(shí)遷移能力,讓學(xué)生在不斷思考的過程中感悟轉(zhuǎn)化、一般到特殊、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.通過分享不同的解題方法,開拓思維,培養(yǎng)學(xué)生多角度、全方位思考的深度學(xué)習(xí)能力,提升核心素養(yǎng).

活動(dòng)四：拓展提升(不斷拓展,形成解題策略).

例2(2015年廈門中考第24題改編)已知實(shí)數(shù)a,b滿足a-b=1,a2-ab+2>0,當(dāng)1≤x≤2時(shí), 函數(shù)y=ax2(a≠0)的最大值與最小值之差是1,求a的值．

生1:好多參數(shù)啊!從何入手呢?

生2:先求a的值.可用含a的代數(shù)式表示b,即b=a-1.

生3:將b=a-1代入a2-ab+2>0,得a>-2.這樣還是無法判斷a的符號(hào),也就無法確定函數(shù)的增減性.

生4:雖然無法判斷a的符號(hào),但可以分-20兩種情況進(jìn)行討論.

師:同學(xué)們從一開始的“不知所措”到“步步解套”,最后迎刃而解,能否再對(duì)其進(jìn)行反思總結(jié)?

生6:此函數(shù)問題主要考查函數(shù)性質(zhì),利用函數(shù)與方程思想,結(jié)合數(shù)學(xué)分類討論等解決問題.

生7:認(rèn)真審題,推理能力、運(yùn)算能力是考查重點(diǎn).

師:分析得太棒了,可以取代老師了!那能否幫老師改編題目呢?

變式已知實(shí)數(shù)a,b滿足a-b=1,a2-ab+2>0,當(dāng)-1≤x≤2時(shí), 函數(shù)y=ax2(a≠0)的最大值與最小值之差是1,求a的值．

教師追問:還可以再改編嗎?例如將“函數(shù)y=ax2(a≠0)” 變?yōu)椤昂瘮?shù)y=a(x-1)2(a≠0)”,找出解題策略.

意圖說明：將例2的條件“當(dāng)1≤x≤2時(shí)”改編為“當(dāng)-1≤x≤2時(shí)”,其他條件不變,此時(shí)由于自變量取值范圍的改變導(dǎo)致最大與最小值的變化進(jìn)而引起a值的改變.加深對(duì)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解,深化對(duì)知識(shí)的遷移,進(jìn)而提升深度學(xué)習(xí)能力,積累經(jīng)驗(yàn),增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解,提高核心素養(yǎng).

活動(dòng)五：課堂反饋 (有效反饋,精準(zhǔn)輔導(dǎo)).

(1)將拋物線y=-3x2向上平移一個(gè)單位,再向右平移2個(gè)單位后,得到的拋物線解析式是______．

(3)(B層)已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1),且過點(diǎn)(2,0) ,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

(A層)已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點(diǎn)(2,0)且對(duì)稱軸過點(diǎn)(3,1),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

意圖說明：課堂反饋是教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié).保證每節(jié)課有適當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間,及時(shí)運(yùn)用剛學(xué)到的知識(shí)解決問題,靈活地“做”,不死記硬背.讓學(xué)生獨(dú)立限時(shí)完成,教師巡視.在雙減政策下,減輕學(xué)生過重的課外負(fù)擔(dān),如第(3)題可以選擇做A層或B層,并且可用來檢驗(yàn)教學(xué)效果,精準(zhǔn)反饋學(xué)情,有利于教師課后有針對(duì)性地進(jìn)行輔導(dǎo),布置拓展性的作業(yè),使學(xué)生擁有高階思維能力,進(jìn)一步走向深度學(xué)習(xí).

活動(dòng)六：課后作業(yè)(鞏固教學(xué)內(nèi)容,中考鏈接,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力).

(1)對(duì)于一元二次方程x2-2x+1=0,根的判別式b2-4ac中的b表示的數(shù)是( ).

A.-2 B.2 C.-1 D.1

(2)已知某二次函數(shù),當(dāng)x<1時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而增大,則該二次函數(shù)的解析式可以是( ).

A.y=2(x+1)2B.y=2(x-1)2

C.y=-2(x+1)2D.y=-2(x-1)2

意圖說明：結(jié)合近幾年質(zhì)檢題或中考題,讓學(xué)生感受中考?xì)夥?第(1)題與第(2)題考查方程與函數(shù)知識(shí),都屬于“四基”內(nèi)容,以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.第(4)題屬于二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注實(shí)際生活問題,強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型意識(shí),感悟知識(shí)的遷移,獲取通向深度學(xué)習(xí)的途徑.

5 反思與感悟

在雙減背景下,數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂采用何種教學(xué)模式提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)給新時(shí)代數(shù)學(xué)教師帶來了挑戰(zhàn).由于是復(fù)習(xí)課,因此可以引導(dǎo)學(xué)生在課前閱讀教材并繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖,或以手抄報(bào)的形式關(guān)聯(lián)各知識(shí)點(diǎn),以個(gè)體的視角呈現(xiàn)重難點(diǎn)及典型例題,并在課堂中與同學(xué)分享交流討論,再通過拓展題的解析與變式,發(fā)展學(xué)生思維素養(yǎng),促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng),構(gòu)建高效有趣的復(fù)習(xí)課堂.

以活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生思考、觀察、猜想、驗(yàn)證,合理運(yùn)用教材資源,讓復(fù)習(xí)課不再枯燥,這樣的深度學(xué)習(xí)才能拓寬學(xué)生視野,有利于學(xué)生提高認(rèn)知,積累有意義的活動(dòng)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

總之,基于深度學(xué)習(xí)的期末復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度等方面使學(xué)生達(dá)成課程目標(biāo),獲得適應(yīng)社會(huì)生活和發(fā)展所需的數(shù)學(xué)知識(shí),提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).