王麗娟

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學科，研究對象是客觀世界中的各類事物的量。事物的量有兩種表現(xiàn)形式，分別是“數(shù)”和“形”。數(shù)形結(jié)合思想是“數(shù)”與“形”關(guān)系的彰顯，是數(shù)學思想的重要構(gòu)成，是學生學習數(shù)學的有力支撐。因此，教師要立足數(shù)學學科特點，結(jié)合“數(shù)”與“形”，引導學生進行數(shù)學研究。

所謂數(shù)形結(jié)合思想，是以“數(shù)”“形”關(guān)系為基礎(chǔ)，以“數(shù)”“形”之間的相互轉(zhuǎn)化為重點，化難為易，解決問題的數(shù)學思想。滲透數(shù)形結(jié)合思想于數(shù)學教學中，可以使學生充分發(fā)揮形象和抽象思維作用，借助數(shù)量關(guān)系與幾何性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，扎實掌握數(shù)學知識，培養(yǎng)相關(guān)能力，增強數(shù)學學習效果。學生可以因此獲得數(shù)學學習“工具”并靈活應(yīng)用，學會自主學習，提高數(shù)學學習水平。

眾所周知，數(shù)學的基本課型有三種，即新授課、習題課、復(fù)習課。這三種課型是滲透數(shù)形結(jié)合思想的落腳點。在新授課上滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以使學生經(jīng)歷知識形成過程，做到知其然知其所以然，扎實掌握數(shù)學知識，同時獲取數(shù)形結(jié)合法，積累新知探究經(jīng)驗，有利于自主應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法探究數(shù)學新知，提高數(shù)學學習效果。對此，在教學時，教師可以以三種課型為立足點，結(jié)合教學內(nèi)容，滲透數(shù)形結(jié)合思想，助力學生進行數(shù)學探究，實現(xiàn)學有所獲。

一、在新授課中滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學概念、數(shù)學定理等是新授課的基礎(chǔ)內(nèi)容。在新授課上，學生不僅要掌握知識結(jié)論，還要了解其實質(zhì)及體現(xiàn)的數(shù)學思想。數(shù)學基礎(chǔ)內(nèi)容具有抽象性，是數(shù)學家借助圖形直觀總結(jié)出的內(nèi)容。對此，在新授課上，教師可以以數(shù)學概念、數(shù)學定理等基礎(chǔ)內(nèi)容為立足點，引導學生借助直觀圖形分析、討論，經(jīng)歷知識的形成過程，由此發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律、建構(gòu)數(shù)學認知，同時積累數(shù)形結(jié)合經(jīng)驗，提升學習效果。

例如，在“探索勾股定理”教學時，學生需要探究勾股定理及其逆定理，需要將直角三角形的“形”與斜邊、直角邊的數(shù)量關(guān)系中的“數(shù)”進行轉(zhuǎn)化。此探究過程恰好體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。因此，教師需緊扣勾股定理及逆定理的探究過程，滲透數(shù)形結(jié)合思想。具體而言，在引導學生探究勾股定理時，教師可以用生動的語言講述數(shù)學故事——畢達哥拉斯去朋友家做客發(fā)現(xiàn)了地磚圖案規(guī)律，并借此創(chuàng)設(shè)數(shù)學情境，吸引學生的注意力。結(jié)合故事內(nèi)容，教師在交互式電子白板上呈現(xiàn)圖像，如圖（一）所示：

并向?qū)W生提出問題：“一個小格子為一個單位，我們用‘1’代表，現(xiàn)在我們準備邊長分別為a、b、c三個正方形，并按圖一這樣擺放好。大家有沒有發(fā)現(xiàn)，將三個正方形的邊的交點連起來，正好是一個直角三角形。大家想一想，這個直角三角形的三條邊和正方形的邊有什么關(guān)系？和正方形面積之間有什么關(guān)系？”在問題的驅(qū)動下，學生們產(chǎn)生了濃厚的探究興趣，積極發(fā)揮形象思維，細心觀察圖像，并認真數(shù)格子。學生有所發(fā)現(xiàn)：“邊長為a的正方形面積為a2（9個單位），同理，其他兩個正方形的面積分別為b2（16個單位）和c2（25個單位）”。說完之后，該名學生恍然大悟，兩個小正方的面積加起來正好等于大正方的面積。這時，另一名學生補充：“直角三角形的三條邊分別為a、b、c，正如剛才那名同學說的a2+b2=c2，也就是說，直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方?！?/p>

在此觀察、發(fā)現(xiàn)、探究的過程中，學生們積極地與圖像“互動”，將直角三角形的三邊關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為了正方形的面積數(shù)量關(guān)系問題。如此轉(zhuǎn)化，學生不僅能夠直觀地得出和驗證數(shù)學結(jié)論，還感受到了數(shù)形結(jié)合的魅力，同時也為探究其他直角三角形的性質(zhì)奠定了堅實的基礎(chǔ)。

在學生結(jié)合圖案發(fā)揮想象，得出直角三角形的三邊關(guān)系之后，教師應(yīng)依據(jù)學生的探究情況，立足圖像，詳細介紹勾股定理。學生在傾聽之際，認真觀察，再次經(jīng)歷轉(zhuǎn)化過程，總結(jié)出勾股定理：“假設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a、b，斜邊長為c時，則a2+b2=c2?！敝?，教師還應(yīng)帶領(lǐng)學生一起探討等腰直角三角形的三邊關(guān)系。

由此可見，在新授課上滲透數(shù)形結(jié)合思想，不僅可以使學生們經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程，自主轉(zhuǎn)化“數(shù)”與“形”，借助直觀的“形”，得出數(shù)學結(jié)論，建構(gòu)良好的數(shù)學認知，還可以使學生們順其自然地積累數(shù)形結(jié)合經(jīng)驗，增強數(shù)形結(jié)合認知，有利于學生自主應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想探究其他數(shù)學知識，提高學習效果，更有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維、數(shù)學推理能力，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

二、在習題課中滲透數(shù)形結(jié)合思想

習題課是學生應(yīng)用數(shù)學思想和數(shù)學知識解決數(shù)學問題的途徑。數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)為“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”。在習題課上，教師需要依據(jù)教學內(nèi)容設(shè)計相關(guān)題目，并以此為基礎(chǔ)，組織“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”活動，引導學生進行“數(shù)”“形”互轉(zhuǎn)。

（一）以形助數(shù)

以形助數(shù)是借助“形”的直觀性，探索、說明抽象的“數(shù)”或“數(shù)”之間的關(guān)系。初中生的形象思維較為發(fā)達。在習題課上，教師可以組織“以數(shù)助形”活動，使學生獲得運用形象思維機會。在體驗活動中，學生發(fā)揮形象思維繪制數(shù)軸、線段圖等，直觀地展現(xiàn)“數(shù)”，由此發(fā)現(xiàn)“數(shù)”之間的關(guān)系，獲得問題答案，順利地解決問題。

例如，在“數(shù)軸”教學時，在學生了解了“實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)”這一內(nèi)容后，教師呈現(xiàn)相關(guān)習題，如下所示：

實數(shù)a和b的位置如圖（二）所示。根據(jù)圖示，可以確定下面哪一個結(jié)論是正確的？（? ）

A. a＞b B. a＞-b C. -a＞b D. -a＜-b

在呈現(xiàn)習題后，教師給予學生足夠的思考時間。在思考的過程中，大部分學生通過觀察數(shù)軸遷移課堂所學，確定a、b在具體位置，并嘗試繪制數(shù)軸，確定-a、-b的具體位置。此時，學生觀察數(shù)軸、細心比較，得出結(jié)論：a＞-b。

由此可見，通過體驗“以形助數(shù)”活動，學生不僅可以將抽象的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為直觀的“形”，借此了解“數(shù)”之間的關(guān)系，輕松地解決數(shù)學問題，還可以強化數(shù)形結(jié)合思想，深刻理解所學知識點，有利于增強課堂學習效果。

（二）以數(shù)解形

以數(shù)解形指借助數(shù)式的精確化特征刻畫圖像的某些屬性。在體驗“以數(shù)解形”活動的過程中，學生會站在“數(shù)”的角度審視直觀的圖像，將幾何問題代數(shù)化，由此利用“數(shù)”解決問題。對此，在習題課堂上，教師可以依據(jù)學生學情，緊扣“數(shù)”“形”關(guān)系設(shè)計相關(guān)問題，如形數(shù)規(guī)律問題、函數(shù)圖像與幾何圖形問題等，使學生獲得“以數(shù)解形”機會。

例如，“形數(shù)”問題是幾何學與算術(shù)之間的“橋梁”?；诖?，在課堂上，教師可以為學生呈現(xiàn)了如下問題：

用棋子擺出圖案，如圖（三）所示。請觀察圖案，發(fā)現(xiàn)棋子的擺放規(guī)律，并試著用此規(guī)律，繼續(xù)擺放棋子。請問，第n個圖形所使用的棋子個數(shù)是多少？

面對此問題，學生認真觀察圖案。在觀察之際，不少學生試著從不同角度進行數(shù)數(shù)，由此了解每個圖案中的棋子個數(shù)。如：“第一個圖案中使用棋子個數(shù)為：3+3=6；第二個圖案中使用的棋子個數(shù)為：3×2+3=9；第三個圖案中使用的棋子個數(shù)為：3×3+3?！睂W生對此進行對比，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論：“第n個圖案所使用的棋子數(shù)為：3n+3”。

由此可見，通過體驗“以數(shù)解形”活動，學生靈活地應(yīng)用了“數(shù)”與“形”關(guān)系，利用“數(shù)”表示“形”實現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化。尤其，在“數(shù)”的作用下，學生輕松地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到問題結(jié)果。如此，學生不僅輕松地解決了數(shù)學問題，扎實掌握數(shù)形結(jié)合思想，還自然而然地提升了自身的數(shù)形互換能力、數(shù)學思維能力，有利于提升數(shù)學學習水平。

三、在復(fù)習課中滲透數(shù)形結(jié)合思想

復(fù)習課的目的之一是引導學生回顧、總結(jié)所學。引導學生回顧、總結(jié)所學的方式有很多，如解決數(shù)學問題，建立圖表等，這些方式正是數(shù)形結(jié)合思想的承載。例如，在解決數(shù)學問題的過程中，教師可以展現(xiàn)圖像，引導學生回顧所學知識。因此，在復(fù)習課教學時，教師可以聯(lián)系教學內(nèi)容，選用適宜的方式組織復(fù)習活動，順其自然地滲透數(shù)形結(jié)合思想。

（一）在解決問題中滲透數(shù)形結(jié)合思想

解決問題是學生復(fù)習所學的方式之一。在復(fù)習課上，教師可以立足復(fù)習內(nèi)容，呈現(xiàn)“形”或“數(shù)”，對此提出相關(guān)問題。在問題的作用下，學生會自覺地與“數(shù)”或“形”互動，開動思維，回顧所學，解決問題，借此鞏固所學，同時培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，增強復(fù)習效果。

以“一次函數(shù)”教學為例，在學生學習了一次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)后，教師可以組織復(fù)習活動。在活動中，教師向?qū)W生呈現(xiàn)一次函數(shù)圖像，提出問題：“請大家回顧一次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，試著結(jié)合函數(shù)圖像，回答問題。問題一：在這個一次函數(shù)圖像中，k1和b1的取值范圍各是多少？K2和b2的取值范圍是多少？問題二：假設(shè)，A的坐標為（-2，0），B的坐標為（-4，0），C的坐標為（1，0）。則，關(guān)于x的不等式k1x+b1＞0的解集是多少？關(guān)于x的不等式k2+b2＞0的解集是多少？”

在問題的作用下，學生進行頭腦風暴，聯(lián)想一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并對此觀察一次函數(shù)圖像，嘗試用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題。在學生解決問題后，教師隨機選擇學生代表，鼓勵其展示問題答案，介紹一次函數(shù)的性質(zhì)。教師則把握時機，補充一次函數(shù)的性質(zhì)。

這種方式的復(fù)習，不但使學生解決了問題，鞏固了課堂所學，還使學生結(jié)合“數(shù)”與“形”內(nèi)化數(shù)形結(jié)合思想，提升問題解決能力。

（二）在制作圖表中滲透數(shù)形結(jié)合思想

制作圖表是學生進行數(shù)學復(fù)習的重要方式。實際上，制作圖表的過程正是學生結(jié)合“數(shù)”“形”的過程。在此過程中，學生可以借助“數(shù)”“形”梳理課堂學習內(nèi)容，建構(gòu)完善的認知識知，同時強化數(shù)形結(jié)合思想，增強復(fù)習效果。對此，在復(fù)習課上，教師可以提出制作圖表任務(wù)，驅(qū)動學生結(jié)合“數(shù)”“形”。

以“直線和圓的位置關(guān)系”教學為例，學生在課堂上體驗操作活動，借助圓形模型、直尺等工具，總結(jié)出了直線和圓的位置關(guān)系。事實上，操作活動即蘊含了數(shù)形結(jié)合思想?；趯W生的學習所得，教師設(shè)置如下任務(wù)：“請大家回顧課堂學習過程，將操作活動轉(zhuǎn)化為圖像，直觀展現(xiàn)直線和圓的位置關(guān)系，歸納結(jié)論?！痹谌蝿?wù)的驅(qū)動下，學生積極思考，在腦海中描繪具體畫面，并將腦海中的畫面轉(zhuǎn)化為具體圖像，如圖（四）所示，繼而進行測量、獲得數(shù)據(jù)、歸納結(jié)論。

在學生建立圖表后，教師需鼓勵他們毛遂自薦，展示自己的圖表內(nèi)容。與此同時，教師應(yīng)鼓勵學生代表結(jié)合圖表，操作交互式電子白板，動態(tài)、直觀地展現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系，詳細講述，幫助其他學生完善認知，做到知其然知其所以然，扎實掌握課堂所學。比如，有學生說：“當直線和圓相交時，有且僅有一個交點?！痹谥v述之際，其操作交互式電子白板，用直觀現(xiàn)象進行驗證。

由此可見，通過制作圖表，學生可以經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合過程，切實鞏固課堂所學，內(nèi)化數(shù)形結(jié)合思想，提高數(shù)學課堂學習質(zhì)量。

四、結(jié)語

總而言之，有效滲透數(shù)形結(jié)合思想于數(shù)學教學中，可以使學生獲得學習助力，走進新授課、習題課、復(fù)習課，發(fā)揮自主性，靈活地轉(zhuǎn)化“數(shù)”與“形”，借此掌握數(shù)學知識，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，增強學習效果。鑒于此，在初中數(shù)學教學時，教師要立足數(shù)學學習特點，把握“數(shù)”與“形”關(guān)系，將數(shù)形結(jié)合思想作為“工具”，應(yīng)用多樣策略，滲透于新授課、習題課、復(fù)習課，為學生提供“數(shù)”“形”互換機會，使他們借此探究數(shù)學規(guī)律，自主探究數(shù)學結(jié)論，并靈活應(yīng)用解決實際數(shù)學問題，梳理、總結(jié)所學，扎實掌握數(shù)學知識、數(shù)形結(jié)合思想，實現(xiàn)學有所得，進而提升數(shù)學教學質(zhì)量。