江蘇省淮陰中學教育集團淮安市新淮高級中學(223001)王恩普

在復習基本不等式求最值這類題型時,有部分學生在解決問題的過程中出現(xiàn)了一些錯誤的解法,但是卻不認為有問題,亦或是感覺有問題又不知錯在哪里,很是困擾,筆者對此進行了深入的探究.

1 錯解呈現(xiàn)

例1已知a>0,b>0,a+b=1,求的最小值.

錯解過程由a> 0,b> 0 知:,當且僅當時取等號,由可得:此時,則所求最小值為6.

我們知道答案顯然是錯的,那么錯在哪里呢?

2 類比示錯

為了解決這樣的問題,先從一個最基本的求最值問題開始研究:

例2已知x>0,求的最小值.

分析由基本不等式易知: 當x>0 時,,當且即當即x=2 時取等號,即的最小值為4.

但若類比本文開頭的解題邏輯, 也可以這樣處理: 當x>0 時,,當且僅當時即時取等號,此時可得,即的最小值為.

還可以再換一種方案來處理: 當x> 0 時,,當且僅當時即x= 1 時取等號,此時可得,即的最小值為5.

如果繼續(xù)按照類似的方案來處理,將得到更多不同的結果,此時學生也意識到根據基本不等式建立不等關系,得到取等條件,再根據取等條件求出的x值回代求最值的思路是存在問題的,文首的雙變量求最值問題亦是如此,但是到底錯在哪里呢?

3 理性釋疑

參考上述錯解過程的做法, 當x> 0 時,, 僅僅表示這個不等式是恒成立的, 此時,記,x> 0,則不等式表示的幾何意義是: 在y軸的右側,f(x)的圖象恒在g(x)圖象的上方(可以有交點),如圖1,而取等號的條件對應的x則表示f(x)的圖象與g(x)圖象相切時的切點的橫坐標,換言之,若按照這樣的方法求出的最值,其結果是由左邊配湊后的式子決定的,而將每改變一種配湊形式,將得到不同的函數(shù)g(x),同時切點的位置也隨之變化,而其橫坐標可以取像前文中的1,,亦或是大于0 的每一個數(shù).

結合開頭展示的正確過程: 由x> 0,根據基本不等式知:,當且僅當即x= 2 時取等號,由此可知只有當x=2 的時候f(x)取得最小值,那么此時的過程為何正確呢? 繼續(xù)來看圖象,如圖2,此時,g(x) = 4,由于g(x)的圖象是一條與y軸垂直的直線,同時f(x)的圖象恒在g(x)圖象的上方,取等號的條件則對應著f(x)的圖象與g(x)圖象的切點處,即x= 2 時f(x)有最小值,此時,也就說明了使用基本不等式求最值時不等號的右側應該是個定值,至此,我們不僅找到了錯誤的根源,也明白了應該如何去處理.

圖2

文章開頭給出借助基本不等式求雙變量類型最值問題,其錯解原因也是一樣的,其實這也是平時提煉出的利用基本不等式求最值時,要注意“一正二定三相等”的原則,“一正”保證了基本不等式可用, 而“二定”則是指使用基本不等式時,不等式的一側應為常數(shù)(不含變量),得到了可能產生的最值,“三相等”則是驗證了最值的存在性,而文首出現(xiàn)的錯誤則是沒有真正理解“二定”的原則.

4 鞏固提升

當從根本上理解了錯誤的原因之后,接下來通過一組題來看下此類問題應如何處理.

例3已知a>b>0,a+b=1,求的最小值.

解由a>b>0 知a-b>0,且有(a-b)+2b=1,則

評注過程中在上乘以(a-b)+2b,目的是為了配湊出與這兩個積為定值的代數(shù)式,進而求出最值.

例4已知a>b>0,a+b=1,求的最小值.

解由a>0,b>0,a+b=1 知:,當且僅當時取等號,此時由a+b=1 可得,則的最小值為3.

評注過程中的1 用a+b來代換,其目的也是為了配湊出和這一對積為定值的代數(shù)式,從而使得問題得到解決.

例5已知a>b>0,且,求ab的最小值.

解由a>b> 0 知,當且僅當時取等號,而,則有,化簡可得ab≥8,由與ab=8 可得a=2,b=4,則ab的最小值為8.

評注本題中雖然開頭運用基本不等式建立的不等關系的右邊不是定值,但是此時結合題中的條件可以得到ab≥8,也是符合前文研究的基本不等式求最值的情況,只是稍微間接了一點,此時得到了兩個不等關系,需要驗證兩個不等式成立的公共條件是否成立.

例6已知a>b>0,求的最小值.

解由題知,當且僅當a4=1即a=1 時取等號,由a>b>0 知.當且僅當時取等號, 由a= 1,可得,a=1,,則的最小值為

評注同例5,過程中運用了兩次基本不等式才使得不等式的一側為常數(shù),則需要去進一步驗證兩次使用基本不等式取等的條件能否同時成立.

5 思想升華

除了利用基本不等式可以直接解決一些最值問題,還可以借助于這種求最值的思想來幫助我們解決一些較為復雜的問題,而且有著事半功倍的效果.

例7函數(shù)f(x)=xex-ax+b的圖象在x=0 處的切線方程為:y=-x+1.

(1)求a和b的值;

(2)若f(x)滿足: 當x> 0 時,f(x) ≥lnx-x+m,求實數(shù)m的取值范圍.

解(1)a=2,b=1.(過程略)

(2)分析 常規(guī)的做法是構造函數(shù)直接求最值,但是此時求最值的過程會涉及到隱零點代換等方法, 過程相對復雜,對學生的推理能力要求比較高,而下面的解法則較為簡潔.

由f(x) ≥lnx-x+m知,m≤xex-x-lnx+1,由ex≥x+1(當且僅當x=0 時取等號)知

當且僅當x+lnx=0 時取等號,令g(x)=x+lnx(x>0),則, 則g(x) =x+ lnx在定義域上單調遞增, 又,g(e) = e + 1 > 0,則存在x0使得g(x0) = 0, 即x+ lnx= 0 有解, 即有(xex-x-lnx+1)min=2,則m≤2.

評注題中的求最值過程采用了放縮法,正是基本不等式法求最值思想的本質體現(xiàn),而放縮法之所以可行,正是因為建構的不等式的一側是定值,而后面的過程則體現(xiàn)了取等這個另一重要的環(huán)節(jié),完美的展現(xiàn)了方法與思想的遷移.

往往一個錯誤的解法都是有其原因的,有時只是根據提供的解答進行糾正,強行入駐大腦,也許只是過眼云煙,因此,我們有必要去探究這樣的解答錯了沒有,錯在哪里,為什么錯, 對此進行充分研究之后, 才真正的走進深度學習, 當然,在此基礎之上,能將掌握的知識,方法,思想進行發(fā)展,遷移,會將更好的提升自身的創(chuàng)新能力.