陳建東　聶斌　雷銀香

摘? 要：針對(duì)原始灰狼優(yōu)化算法（GWO）易陷入局部最優(yōu)和全局搜索能力較弱的問題，提出一種改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法（Improved Grey Wolf Optimization， IGWO）。該算法首先通過引入非線性收斂因子來調(diào)整控制參數(shù)，進(jìn)一步平衡GWO的全局搜索和局部開發(fā)能力。其次，在灰狼位置更新的過程中結(jié)合布谷鳥優(yōu)化算法的搜索機(jī)制，幫助灰狼種群陷入停滯時(shí)跳出局部最優(yōu)。最后，在6個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明IGWO能提升GWO的性能。

關(guān)鍵詞：灰狼優(yōu)化算法；非線性收斂因子；布谷鳥搜索；基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

中圖分類號(hào)：TP18? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? 文章編號(hào)：2096-4706（2023）19-0094-05

An Improved Gray Wolf Optimization

CHEN Jiandong， NIE Bin， LEI Yinxiang

（College of Computer Science， Jiangxi University of Chinese Medicine， Nanchang? 330004， China）

Abstract： An Improved Grey Wolf Optimization （IGWO） is proposed to solve the problem that the original Grey Wolf Optimization （GWO） is easy to fall into local optimal and has weak global searching ability. Firstly， this algorithm introduces the nonlinear convergence factor to adjust the control parameter to further balance the global search and local development capabilities of GWO. Secondly， the search mechanism of Cuckoo Optimization algorithm is combined in the process of Grey Wolf position updating to help the Grey Wolf population to jump out of the local optimal. Finally， the simulation experiments on 6 benchmark test functions show that IGWO can improve the performance of GWO.

Keywords： Gray Wolf Optimization; nonlinear convergence factor; Cuckoo Search; benchmark test function

0? 引? 言

群智能優(yōu)化算法是基于自然界動(dòng)物群體行為的模擬而提出的一類優(yōu)化算法。主要應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化和全局尋優(yōu)問題。它具有自適應(yīng)學(xué)習(xí)、全局搜索能力和解決高維問題的能力。因此，群智能算法在以下5大領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]：

1）工程優(yōu)化：群智能算法用于尋找工程問題的最優(yōu)解，如結(jié)構(gòu)優(yōu)化、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、資源分配等。2）數(shù)學(xué)建模：群智能算法用于解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，如非線性方程組、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模等。3）機(jī)器學(xué)習(xí)：群智能算法可用于訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等機(jī)器學(xué)習(xí)模型。4）圖像處理：群智能算法可用于圖像分類、圖像識(shí)別、圖像去噪等任務(wù)。5）計(jì)算機(jī)視覺：群智能算法可用于目標(biāo)跟蹤、目標(biāo)識(shí)別等計(jì)算機(jī)視覺任務(wù)。群智能算法在許多其他領(lǐng)域也得到了應(yīng)用，如特征選擇、預(yù)測(cè)分析等?？偟膩碚f，群智能算法是一種非常強(qiáng)大的優(yōu)化算法，可以解決多種復(fù)雜問題。

灰狼優(yōu)化算法（GWO）是由Mirjalili等人[2]在2014年提出的一種群智能優(yōu)化算法，它模擬了灰狼對(duì)其他動(dòng)物的捕獵行為，來尋找全局最優(yōu)解。灰狼優(yōu)化算法具有較強(qiáng)的隨機(jī)性和多樣性、簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)和高效穩(wěn)定的特點(diǎn)。因此，作為一種有潛力的優(yōu)化算法，GWO已被廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域問題。如Fouad等人[3]提出基于GWO的sink節(jié)點(diǎn)定位方法，所提出的方法使平均能耗和活動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量最小化，并縮短了構(gòu)建簡(jiǎn)化拓?fù)渌璧臅r(shí)間。Mosavi等人[4]利用GWO來優(yōu)化多層感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)對(duì)Sonar數(shù)據(jù)集進(jìn)行分類，實(shí)驗(yàn)表明該算法在大多數(shù)情況下性能優(yōu)于或與其他算法相當(dāng)。劉勇等人[5]針對(duì)風(fēng)電波動(dòng)降低電網(wǎng)對(duì)其消納水平的問題，設(shè)計(jì)了一種采用GWO改進(jìn)的自適應(yīng)噪聲的完備集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的混合儲(chǔ)能系統(tǒng)功率分配策略，將該策略同其他風(fēng)電平抑策略進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了有效性和優(yōu)越性。馮麟皓等人[6]針對(duì)車間的調(diào)度問題，提出了混合交叉搜索策略的灰狼算法，通過MK數(shù)據(jù)集測(cè)試比，驗(yàn)證了算法在多目標(biāo)車間調(diào)度問題的優(yōu)越性。

然而，同其他群體智能算法相比，GWO依然存在易陷入局部最優(yōu)，收斂速度較慢等問題。針對(duì)這些問題，研究人員進(jìn)行了大量的改進(jìn)。Wang等人[7]提出了一種具有進(jìn)化和淘汰機(jī)制的改進(jìn)灰狼算法（IGWO），實(shí)驗(yàn)表明改進(jìn)后的算法不僅能提高GWO的優(yōu)化精度而且使算法具有跳出局部最優(yōu)的能力。Luo[8]提出了一個(gè)更現(xiàn)實(shí)的模型來模擬自然界中灰狼的領(lǐng)導(dǎo)等級(jí)和群體狩獵機(jī)制。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)后的算法在收斂速度和解的質(zhì)量方面明顯優(yōu)于原有算法。Teng等人[9]提出了一種結(jié)合粒子群優(yōu)化的灰狼優(yōu)化算法（PSO_GWO），仿真結(jié)果表明，該算法能較好地搜索全局最優(yōu)解，具有較好的魯棒性。Nadimi[10]等人基于維度學(xué)習(xí)的狩獵（DLH）搜索策略，提出了一種改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和統(tǒng)計(jì)測(cè)試表明，該算法具有很強(qiáng)的競(jìng)爭(zhēng)力。Elsisi[11]通過引入基于對(duì)立的學(xué)習(xí)（OBL）和準(zhǔn)OB （QOBL），改進(jìn)了GWO的探索和利用方式，增強(qiáng)了原始GWO的搜索性能，防止算法陷入局部最優(yōu)。

雖然上述研究人員都對(duì)GWO進(jìn)行了改進(jìn)，但GWO仍然存在全局搜索與局部搜索不平衡、全局搜索能力較弱的問題。因此，本文通入引入相應(yīng)的策略對(duì)原始GWO進(jìn)行改進(jìn)，該算法首先通過引入非線性收斂因子來調(diào)整控制參數(shù)a，進(jìn)一步平衡GWO的全局搜索和局部開發(fā)能力。其次，在灰狼位置更新的過程中結(jié)合布谷鳥優(yōu)化算法的搜索機(jī)制，幫助灰狼種群陷入停滯時(shí)跳出局部最優(yōu)，增強(qiáng)算法的全局尋優(yōu)能力。在8個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)后算法能提升GWO的性能，表明了改進(jìn)的有效性。

1? 灰狼優(yōu)化算法

受到狼的狩獵行為的啟發(fā)，Mirjalili等人[2]提出了灰狼優(yōu)化算法（Grey Wolf Optimization， GWO）。GWO模擬了灰狼的社會(huì)等級(jí)和狩獵行為，并將灰狼視為食物鏈頂端的頂級(jí)掠食者。在GWO算法中，狼群中的每只灰狼都代表著種群中的一個(gè)潛在解決方案，而領(lǐng)頭的α狼則是最佳解決方案。排名第二的β狼和負(fù)責(zé)偵察、警戒、包圍和守衛(wèi)的δ狼分別代表最佳和次優(yōu)解決方案。其他候選解決方案是排名較低的ω狼的位置。GWO算法由以下三個(gè)步驟組成：

1）初始化灰狼種群位置：在灰狼算法中采用隨機(jī)產(chǎn)生種群的方法，即：

（1）

式（1）中，X為灰狼位置，i ∈ {1，2，3，…，N}和j ∈ {1，2，3，…，pop}，N為灰狼個(gè)數(shù)，pop為種群維數(shù)；ub，lb分別是搜索上界和下界。

2）種群搜索?；依峭ㄟ^式（2）和式（3）追蹤獵物：

（2）

（3）

其中，D表示灰狼與獵物的距離；t為迭代次數(shù)；A，C為系數(shù)向量，分別用于調(diào)節(jié)灰狼移動(dòng)的方向和修正獵物位置；X和Xp為灰狼位置和獵物位置。A，C的計(jì)算如下：

（4）

（5）

其中，r1，r2為（0，1）之間的隨機(jī)值，a為控制參數(shù)，由下式計(jì)算：

（6）

其中，T是最大迭代次數(shù)，a在[0，2]范圍內(nèi)取值，隨著迭代次數(shù)增加線性遞減。

（3）種群位置更新。通過計(jì)算灰狼優(yōu)化算法的目標(biāo)函數(shù)值，得到最優(yōu)解、優(yōu)解和次優(yōu)解設(shè)為α狼、β狼和δ狼，其他灰狼ω的位置向α狼、β狼、δ狼移

動(dòng)，完成對(duì)獵物的包圍，由α狼、β狼和δ狼的位置共同決定，移動(dòng)公式如式（7）～式（9）所示。重復(fù)上述過程，直到滿足算法終止條件，最后輸出最優(yōu)解。

（7）

（8）

（9）

其中，C1，C2，C3分別用式（5）計(jì)算，A1，A2，A3分別用式（4）計(jì)算，Xα，Xβ，Xδ是根據(jù)α，β，δ狼的位置生成的新位置，式（9）為ω狼個(gè)體新位置更新公式。

2? 灰狼優(yōu)化算法的改進(jìn)

2.1? 引入非線性收斂因子

由GWO的公式可知，其全局探索能力和局部開發(fā)能力由參數(shù)A決定。當(dāng)A＜1時(shí)，狼群跟隨α狼去獵殺獵物；當(dāng)A＞1時(shí)，狼群散開去尋找獵物。然而這種變化是線性遞減的，這種線性變化控制了全局搜索的前半段迭代和局部?jī)?yōu)化的后半段迭代，阻礙了全局探索與局部開發(fā)之間的平衡。為進(jìn)一步平衡GWO的全局搜索和局部開發(fā)能力，引入了一個(gè)非線性的收斂因子來控制搜索過程，其表現(xiàn)形式如下：

（10）

其中，ainitial代表a的初值，取值為1，afinal代表a的終值，取值為0。t和T分別為當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)。隨著迭代次數(shù)的增加，在早期，下降速度較慢，使得收斂因子a在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)保持較高的值，從而提高了搜索效率。隨著迭代的進(jìn)行，下降的速度越來越快，導(dǎo)致a在更長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)保持較低的值，從而提高了搜索精度，使得算法前期和后期的搜索能力得到較好的平衡。

2.2? 結(jié)合布谷鳥優(yōu)化算法更新灰狼位置

由于原始灰狼優(yōu)化算法中的α狼并不總是朝向全局最優(yōu)解移動(dòng)，因此容易陷入局部最優(yōu)?；依侨后w總是向全局最優(yōu)的前三個(gè)解靠近，其全局搜索能力相對(duì)較弱，在求解復(fù)雜的優(yōu)化問題時(shí)表現(xiàn)就非常不理想，比如在具有多峰的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)或一些固定維數(shù)復(fù)雜函數(shù)上的求解。這是因?yàn)樵惴ㄖ械乃阉鞑呗詥我唬瑢?dǎo)致算法難以找到全局最優(yōu)解。因此，對(duì)灰狼優(yōu)化算法的搜索策略進(jìn)行改進(jìn)，以提高其全局搜索能力和降低陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)，是十分必要的。而布谷鳥算法的優(yōu)勢(shì)在于它能夠有效地避免局部最優(yōu)解，以及具有較快的收斂速度和較高的全局搜索能力。因此通過使用布谷鳥算法的搜索機(jī)制來改進(jìn)灰狼種群的搜索方式能有效解決灰狼優(yōu)化算法中容易陷入局部最優(yōu)的問題。

布谷鳥優(yōu)化算法 （Cuckoo Search Algorithm， CSA）是一種基于布谷鳥覓食行為的優(yōu)化算法。它是由Yang[11]在2009年提出的。布谷鳥算法的工作原理是模擬布谷鳥的覓食行為。布谷鳥會(huì)在覓食地隨機(jī)地扔下蛋，如果蛋在覓食地里找到了食物，那么布谷鳥會(huì)留下該蛋；如果沒有找到食物，布谷鳥會(huì)隨機(jī)地選擇一個(gè)地方再扔下一個(gè)蛋，直到找到食物為止。

在布谷鳥算法中，覓食地就是搜索空間，蛋就是搜索點(diǎn)，食物就是目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。每次布谷鳥算法執(zhí)行一次搜索操作，就相當(dāng)于布谷鳥扔下一個(gè)蛋，并評(píng)估該蛋是否是當(dāng)前最優(yōu)解。

通過結(jié)合布谷鳥的搜索機(jī)制，新的灰狼種群的搜索公式如下：

（11）

其中，Xbest為迭代過程中最好的灰狼位置，α為步長(zhǎng)控制因子，Levy（λ）為服從萊維分布的隨機(jī)步長(zhǎng)，使用Mantegna算法進(jìn)行模擬。由式（12）計(jì)算：

（12）

式（12）中，，，?μ由式（13）決定：

（13）

式（13）中，β通常取值為1.5。

最后，通過這樣的更新過程，耦合灰狼優(yōu)化算法可以更快地尋找到全局最優(yōu)解，并且比單獨(dú)使用灰狼優(yōu)化算法和布谷鳥優(yōu)算法具有更高的優(yōu)化效率和更好的全局搜索能力。此外，由于耦合灰狼優(yōu)化算法的參數(shù)更新方式不僅依賴于當(dāng)前種群中的個(gè)體，還考慮了前一代種群的信息，因此它具有更高的穩(wěn)定性。

2.3? 算法流程

結(jié)合上述改進(jìn)，IGWO的算法步驟如下：

1）算法相關(guān)參數(shù)初始化，設(shè)定種群規(guī)模N，最大迭代次數(shù)T，搜索范圍上界ub，下界lb。

2）根據(jù)原始GWO算法中隨機(jī)初始化種群。

3）計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度值，記錄排名前三的灰狼位置Xα，Xβ，Xδ，然后結(jié)合式（3）（9）和（10）得出平均適應(yīng)度值。

4）如果當(dāng)前灰狼適應(yīng)度值小于平均適應(yīng)度值則按照原有公式進(jìn)行位置更新；否則，保存當(dāng)前位置根據(jù)式（11）進(jìn)行位置更新。最后進(jìn)行適應(yīng)度比較，保留適應(yīng)度更高的灰狼個(gè)體位置。

5）判斷當(dāng)前迭代次數(shù)是否達(dá)到設(shè)置的值，若達(dá)到則輸出最優(yōu)灰狼個(gè)體適應(yīng)度值和位置，否則返回3）。

3? 實(shí)驗(yàn)與討論

3.1? 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析

為了驗(yàn)證IGWO的有效性，實(shí)驗(yàn)選取已發(fā)表文獻(xiàn)中的8個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)測(cè)試IGWO的性能，并與原始灰狼優(yōu)化算法GWO、融合粒子群的灰狼優(yōu)化算法算法[9]（PSOGWO）進(jìn)行對(duì)比?；鶞?zhǔn)測(cè)試函數(shù)信息如表1所示，其中F1～F6在30維中運(yùn)行，F(xiàn)7～F8運(yùn)行固定維度，每個(gè)算法均獨(dú)立運(yùn)行50次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

實(shí)驗(yàn)采用最優(yōu)值（Best）、平均值（Mean）和標(biāo)準(zhǔn)差（Std）來評(píng)估IGWO的性能，同時(shí)為了展示三種算法的收斂性能，繪制了三種算法在30維的收斂曲線圖，如圖1所示，其中縱坐標(biāo)代表適應(yīng)度值以10為底的對(duì)數(shù)。

3.2? 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

由表2可知：

1）在單峰測(cè)試函數(shù)F1～F2上，IGWO在最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差上相比其他算法均有著更好的表現(xiàn)。其中相比原始GWO和改進(jìn)算法有著大幅度的領(lǐng)先，說明改進(jìn)提升了尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性。

2）在多峰測(cè)試函數(shù)F3～F4上，IGWO在最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差上有著最優(yōu)值，領(lǐng)先GWO10個(gè)數(shù)量級(jí)。說明改進(jìn)后在復(fù)雜的多峰測(cè)試函數(shù)上提升了其穩(wěn)定性和全局尋優(yōu)能力。

3）在固定維度測(cè)試函數(shù)F5～F6上，PSOGWO和 IGWO在F5上都取得了近似最優(yōu)值，IGWO在平均值和標(biāo)準(zhǔn)差上取得了最好的結(jié)果。IGWO在F6上在平均值和標(biāo)準(zhǔn)差上依然是最優(yōu)。

在所有圖像中可以發(fā)現(xiàn)，隨著迭代次數(shù)的增加，IGWO相比其他算法收斂速度更快，并且在相同迭代次數(shù)的情況下有著更高的精度。其中在F3中，其他算法都陷入了局部最優(yōu)，只有IGWO收斂于全局最優(yōu)，表明IGWO有著更強(qiáng)的跳出局部最優(yōu)的能力。

因此，綜合上述分析，在6個(gè)基測(cè)試函數(shù)上的尋優(yōu)對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明IGWO總體尋優(yōu)精度更高、穩(wěn)定性更好和具備跳出局部最優(yōu)的能力，相比GWO在三個(gè)指標(biāo)數(shù)據(jù)上有著大幅度的提升。表明改進(jìn)能進(jìn)一步提升GWO的性能，改進(jìn)是有效的。

4? 結(jié)? 論

本文通過對(duì)GWO的分析，針對(duì)其不足之處提出一種改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法（IGWO），首先通過引入非線性收斂因子，有效解決了算法全局搜索和局部開發(fā)能力不平衡的問題；其次通過耦合布谷鳥優(yōu)化算法的搜索機(jī)制，使得算法具備跳出局部最優(yōu)的能力的同時(shí)提升其全局尋優(yōu)能力。最后，在8個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了IGWO的性能。

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作者簡(jiǎn)介：陳建東（1997－），男，漢族，江西贛州人，碩士研究生，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘；通訊作者：聶斌（1972－），男，漢族，江西吉安人，教授，碩導(dǎo)，博士研究生，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘、中醫(yī)藥信息學(xué)、中藥學(xué);雷銀香（1989—），女，漢族，江西井岡山人，講師，碩士，研究方向：信息安全。

收稿日期：2023-03-09

基金項(xiàng)目：江西中醫(yī)藥大學(xué)星火傳承培養(yǎng)計(jì)劃（2252000111/4004）；江西省教育廳科學(xué)技術(shù)項(xiàng)目（GJJ2200925）;江西省中醫(yī)藥管理局科技計(jì)劃項(xiàng)目（2020B0412）