張佳亮，陳 冬，葛洪魁，申潁浩，葉智慧

（1.中國石油大學(北京)非常規(guī)油氣科學技術研究院,北京 102249；2.中國石油大學(北京)石油工程學院,北京 102249；3.中國石油大學(北京)安全與海洋工程學院,北京 102249）

井位優(yōu)選是油氣田開發(fā)過程的重要一步，直接影響鉆井、壓裂和生產的成本與風險[1]。特別是，在自然造斜能力差的高陡傾角地層，防斜打直控制難度高、地質脫靶風險大；在非均質性強、可壓性低的非常規(guī)儲層，儲層改造難度大、作為油氣滲流主要通道的復雜縫網難以均勻形成[2]；在地面地貌復雜的區(qū)域，井位部署受到極大制約[3]：因此，在油氣開采過程中，優(yōu)選井位具有重要意義[4]。國內外眾多學者和工程師就井位優(yōu)選與部署進行了大量研究，井位優(yōu)選方法主要包括以下幾種。

1）優(yōu)選甜點區(qū)是優(yōu)選井位最直接的方法。井筒連通地質甜點是油氣藏高效、經濟開發(fā)的關鍵，將地震、測井、地質和油氣藏工程結合，綜合采用各類地質與工程動靜態(tài)資料，優(yōu)選富含油氣區(qū)，繼而優(yōu)選出井位[5-7]。此外，針對非均質性氣藏，充分將地震與地質相結合，可精細刻畫非均質、微裂縫發(fā)育氣藏小層、構造、沉積和砂體展布特征，并對地層的地震相干屬性、曲率屬性和螞蟻體屬性進行分析，或對地震波進行優(yōu)勢波形結構精細分析及反演，進而確定含氣富集區(qū)內的井位[8-10]。該方法目標性強，主要通過分析地質屬性確定甜點來優(yōu)選井位，但忽略了工程因素，有相當大的局限性。

2）通過對特征參數進行模糊數學分析，在指標分析的基礎上優(yōu)選出離散有限點位的井位。這在特定功能井的選擇上應用較多。儲層厚度、TOC、含油/氣飽和度、脆性、可壓性、孔隙度、滲透率、地層壓力、井控儲量、可動油量、原油密度、原油黏度、儲層溫度等是主要指標參量。在中牟頁巖氣區(qū)塊，對5 個儲層指標進行數據處理和疊加，鉆井壓裂后氣測顯示良好[11]；在J 油田稠油提液井優(yōu)選中，對9 個儲層指標進行模糊分析，通過對各指標的權重和隸屬度相乘得到綜合模糊評價值，進而優(yōu)選出提液井位[12]；在復雜斷塊高含水油藏加密井位優(yōu)選中，將剩余可動油量、最深的油層深度、油層平均滲透率、平均含油飽和度、油層厚度/有層數等權重分別設為0.45、0.05、0.15、0.3、0.05，并應用在大港油田，其效果較好[13]；在煤層氣井位優(yōu)選和CO2吞吐井位優(yōu)選中，分別對6 個指標和11 個指標進行模糊分析，并應用在韓城地區(qū)和東部W 油田，其效果較好[14-15]。此外，在頁巖氣地質調查井位優(yōu)選中，林臘梅等[16]對11 個地質指標和7 個工程地質條件指標進行了分級和模糊數學計算，得到了5 口分析井的綜合評價分值。這種方法主要適用于對有限個備選井進行特定功能井的優(yōu)選，或將地層離散成有限個可能的井位進行的優(yōu)選，或在老井挖潛增產中。

3）數值模擬是優(yōu)選井位的有效方法。通過數值模擬可以快速計算不同位置布井的產量，近年來該方法在國內外應用較多。不同的模擬器求解精度與效率不同，其中算法和控制方程是主要的制約因素和難點。為提高計算能力同時針對地質工程數據量巨大等特點，近年來神經網絡算法被應用于井位優(yōu)選[17-21]。這種方法逐漸成為主流，便于井位的經濟評價，但其要求精準，對儲層建模工作量較大，成本較高。

4）在工程實踐中，往往需要將地質甜點、地形地貌和工程經濟性等綜合考慮，經過多輪次篩選逐步確定最佳井位。在蘇6 與蘇36-11 區(qū)塊水平井位選擇時，根據沉積相，發(fā)現水平段與河道方向一致時，水平井實施效果比較好[22]；在子洲氣田山2 氣藏增產開發(fā)中，先通過地質特征篩選有利區(qū)，然后從經濟角度確定井網，最后結合有利區(qū)及砂體展布確定了最佳井位[23]。在工作流程上，主要采用“多梯次”踏勘的方法優(yōu)選井位，它包括3 個階段：井位意向階段、井位確定階段和井位批準后階段。這種方法需要多梯次組織相關人員進行實地探勘并確定井位[24]，具有較強的實戰(zhàn)意義，但是相對粗放、對經驗的要求較高且工作量較大。

當前：基于實地踏勘的“多梯次”定井位方法，相對粗放且工作量巨大；基于“瞄準”甜點的優(yōu)選方法，忽略了部分工程因素，特別是地貌復雜、存在約束區(qū)的情況；基于統(tǒng)計規(guī)律的數學模糊方法，過分依賴數據的準確性和數量；數值模擬優(yōu)化選井位方法，以兼顧地質工程因素、高效和低成本的特點，越來越多地被采用[25]。眾多優(yōu)化算法[26-30]中，無梯度優(yōu)化算法是處理數值模擬優(yōu)選井位的主流算法，主要是因為地質儲層特征在空間分布上呈強非均質性，往往局部會出現高梯度或無梯度的特征。Nelder-Mead 優(yōu)化算法通過對目標函數值比較，確定優(yōu)化方向，非常適合井位優(yōu)化工作，但該算法在反映計算時，反映點較遠，可能會降低收斂速度，并且無法進行約束優(yōu)化，在避讓特定區(qū)域時，可能失效[31]。

本文采用數值模擬方法，通過添加邊界約束項和半程反映點對Nelder-Mead 優(yōu)化算法進行改進，構建的單純形可以高效優(yōu)選出帶約束條件下產量最高的井位。該方法在均質儲層部署一口井的算例中得到了驗證，在非均質儲層、多口井、規(guī)避地面特定區(qū)域中也能實現井位優(yōu)選。

1 數學模型

原油產出是一個復雜過程，包括儲層孔縫間的跨孔隙尺度間傳質傳壓、油氣水多相多組分運移、熱流固化多物理場耦合以及解吸擴散滲流等多過程流動。非常規(guī)油氣的產出則更為復雜。本文主要研究井位優(yōu)選工作，故而簡化原油滲流過程，假設儲層為雙孔介質。在基質孔隙中，流動規(guī)律滿足達西滲流定律；在壓裂裂隙中，流動滿足裂隙流。

1.1 滲流控制方程

本文采用基質和裂縫耦合滲流模型。達西定律理論假設：當流體流過多孔介質時，流體的速度場由流體的壓力梯度、黏度和流過路徑決定，忽略重力作用，其表達式為

式中：u是達西流體速度；k是多孔介質滲透率；μ是流體動力黏度；?是壓力梯度算子；p是流體壓力。

原油狀態(tài)方程為

式中：ρ是流體密度；Cf為流體壓縮系數；p為流體壓力；下標“0”表示初始狀態(tài)。

將式（1）代入連續(xù)方程，得到基質孔隙中流體流動的控制方程，為

式中：φ是基質孔隙度；Cp為巖石的壓縮系數；Qm是流體的質量交換項。

在裂縫中，流體流動滿足裂隙流，通過切向導數來計算沿內部邊界的流量，以此表征模型內的嵌入裂縫，并與基質孔隙流量和壓力耦合。達西定律的切向形式為

式中：qf是單位長度裂縫的體積流量；df是裂縫寬度；?T表示裂縫切向的梯度算子。

裂隙的控制方程為

式中φf是人工裂縫的孔隙度。

為優(yōu)選井位，本文使用累積產量作為評價指標，通過對井周處的法向滲流速度進行積分，得到日產量，再對日產量進行時間積分得到累積產量，計算公式為

式中：Q(x，y)是井位在（x，y）處的累積產量，t是時間，uT是井周處的法向滲流速度。

1.2 改進Nelder-Mead 優(yōu)化算法

根據對優(yōu)化目標函數是否求導，優(yōu)化算法被分為梯度優(yōu)化算法和非梯度優(yōu)化算法。單純形調優(yōu)法是一種簡單可靠的非梯度優(yōu)化算法。在井位優(yōu)選工作中，由于斷層等構造的存在，往往會出現梯度無限大的情況，因此，無梯度優(yōu)化算法更適用。1965 年Nelder 和Mead 對正則單純形調優(yōu)法進行了改進，使其在迭代計算中，出現的單純形不一定是正則的，并且單純形在計算中可以變大，也可以變小，同時改進后的單純形調優(yōu)法搜索成功率更高，收斂速度更快。但是該算法存在2 個缺點：1）Nelder-Mead 算法是無約束優(yōu)化算法，無法在井位優(yōu)選中避讓不適宜布井的區(qū)域；2）當約束起作用的情況時，最壞點被形心x3另一側點代替的機會將明顯減小，最高點被壓縮的次數會增多，甚至導致單純形過多地收縮，影響收斂。因此，本文對Nelder-Mead 算法進行了改進：添加約束項并控制反映點的延伸速度。改進后的優(yōu)化算法如下。

給定3 個初始點x0、x1、x2：

式中，n為維數，本文為二維模型，故n=2。設置反映系數a=1，收縮系數b=0.5，擴展系數c=2，緊縮系數d=0.5，并構建單純形，為

以累計產量為目標函數Q，分別計算并比較單純形H各點（井位）的函數值，按照目標函數由高到低對各點重新編號后，得到

此時，稱x0為H最好頂點、x2為最壞點。判斷x0是否滿足截止條件，若是則其為最優(yōu)井位，否則進行最壞點迭代替換，主要步驟如下。

1）反映。首先，求取H中去掉最壞頂點x2后，具有2 個頂點的單純形H1（x0，x1）的重心，為

再求最壞頂點x2關于重心x1的反映點，如圖1(a)所示。

圖1 反映點計算方法Fig.1 Computing method of refraction point

式中α是反映系數。由于反映點可能出現在約束區(qū)（井位優(yōu)選的避讓區(qū)），因此，需要對該點進行約束處理。處理方法為：檢驗反映點是否在約束區(qū)，如果在，則將反映點替換為x2、x4連接線與約束區(qū)范圍線的近交點；否則反映點成立，如圖1(b)所示。

2）擴展。如果Q(x4)＞Q(x0)，方向（x4-x3）是使得目標函數值上升的有利方向，可在x4和x3連線的延長線上，求得擴展點，并同樣檢驗約束區(qū)，為

式中c是擴展系數。如果Q(x5)＞Q(x0)，就用x5替換x2，構成新的單純形H2（擴展單純形），如圖2 所示。

圖2 擴展點計算方法Fig.2 Computing method of extension point

3）半程反映點。如果Q(x4)＜Q(x0)，但Q(x4)＞Q(x1)，方向（x4-x3）是使得目標函數值緩慢上升的有利方向，可在x4和x3之間的連線上，求得半程反映點，并同樣檢驗避讓約束區(qū)，如圖3 所示，如果Q(x4′)＞Q(x1)，并用x4′替換x2，構建新的單純形H3。

圖3 半程反映點計算方法Fig.3 Computing method of half-way refraction point

圖4 緊縮點計算方法Fig.4 Computing method of contraction point

5）收縮。當Q(x6)≤Q(x2)時，為方便起見，將x4和x2之間目標函數值較大的點記為x2，另外一個記為x4，并在x2和x3的連線上靠近點x2處求一個收縮點x7，如圖5 所示，并構成新的單純形H4（收縮單純形）。

圖5 收縮點計算方法Fig.5 Computing method of shrinkage point

在井位優(yōu)選中，通過反映點、半程反映點和擴展點向低產能井位x2的反方向迭代，當反映點方向不利于增產時，通過緊縮點和收縮點向高產量井位x0的方向迭代。改進后的Nelder-Mead 優(yōu)化算法流程如圖6 所示。

圖6 基于改進Nelder-Mead 算法的井位優(yōu)選方法流程圖Fig.6 Flow diagram of well location optimization based on improved Nelder-Mead algorithm

2 模型驗證

本文以累計產量為優(yōu)化目標，通過改進Nelder-Mead 優(yōu)化算法，逐步迭代出相同生產時間內累積產量最高的井位。為驗證該算法的適用性、精度和迭代速度，設置60 m×60 m 的正方形理想均質油藏模型，井周圍設置2 條裂隙，進行井位優(yōu)選模型的實驗，如圖7 所示。模型幾何和工況參數如表1 所示。從產量公式（6）可知，理想模型的最優(yōu)井位應在儲層的中心位置。

表1 模型參數Tab.1 Model parameter

圖7 理想模型示意圖Fig.7 Diagram of ideal model

對該模型生產800 d 求解，由于油藏在整個油藏區(qū)均勻分布，所以最優(yōu)井位應該在油藏區(qū)中心，坐標為（0 m，0 m）。迭代計算的井位坐標優(yōu)選過程，如圖8 所示。初始井位在（-20 m，20 m）處，迭代過程中，井位逐步優(yōu)選到原點附近，最優(yōu)計算結果為（-0.437 1 m，-0.384 1 m），這與預計結果一致。

圖8 理想模型迭代過程井位坐標曲線圖Fig.8 Well location coordinate curve of ideal model

為評價計算結果，定義計算的最優(yōu)井位到理想最優(yōu)井位的距離，與油藏邊界到理想最優(yōu)井位的距離之比為誤差，如公式（17）所示。本例的模型誤差為1.372%，其中X、Y坐標的誤差分別是1.457%和1.281%。其計算結果表明，該算法基本可以滿足工程應用。

式中：ε、εx、εy分別是模型總誤差、X方向誤差和Y方向誤差；Xi、Yi分別是井位X和Y坐標；Xboun、Yboun分別是X方向和Y方向的模型邊界半長。

在優(yōu)化工作中，COBYLA 算法是常用優(yōu)化算法[32]，通過對目標函數進行抽樣，構建和控制在移動置信區(qū)間內目標的線性近似。該方法收斂速度快，計算量小，被廣泛使用。本文通過與COBYLA算法對比，來驗證本文算法的精度。其誤差對比結果如圖9 所示，COBYLA 算法誤差約為6.89%，本文算法誤差為1.37%。

圖9 算法誤差對比圖Fig.9 Algorithm error comparison chart

3 算例

在礦場選井位時，為更準確地優(yōu)選出最佳井位以提高產量，需考慮儲層非均質性、多口井部署、地面約束等情況。本章分別對滲透率非均質性、3 口井部署和避讓特定區(qū)域3 種情況進行井位優(yōu)選，以驗證改進的Nelder-Mead 算法優(yōu)選井位的適用性。

1）考慮滲透率非均質性井位優(yōu)選算例。由于實際工程中，油氣藏的滲透性在空間分布上差異較大，在上述模型的基礎上，將油藏滲透率與空間坐標關聯(lián)，重新計算最優(yōu)井位。假設油藏空間某點的滲透率，與該點（x,y）到左下方角點的距離成正比，同時保證任一點的滲透率不小于30 mD，表達式如方程式（18），滲透率如圖10(a)所示。模型其他參數仍然如表1 所示，非均質滲透率下的最優(yōu)井位迭代計算過程如圖10(b)所示，最優(yōu)井位的坐標為（10.353,9.726），該點基本在副對角線上且偏向高滲區(qū)，在一定程度上說明了該模型是正確的、適用的。

圖10 滲透率非均質條件下的最佳井位與坐標迭代曲線圖Fig.10 Optimal well location and coordinate iteration curve for heterogeneous permeability

式中（x0，y0）是空間左下角點位的坐標值。

2）3 口井井位優(yōu)選算例。在油氣田規(guī)模開發(fā)時，需部署多口井同時開采，此時應以當前開采工藝的總體產量為優(yōu)化目標。部署3 口井進行井位優(yōu)選，優(yōu)選的最佳井位在開采800 d 后的壓力分布如圖11(a)所示，3 口井基本均勻分布在整個油藏區(qū)上。井位坐標迭代如圖11(b)所示。本文算法在3 口井井位優(yōu)化時，迭代80 步即可基本穩(wěn)定收斂到結果，相對于1 口井的井位優(yōu)選，約需要30 步迭代（圖8），計算效率有所提高。

圖11 部署3 口井時的最佳井位分布與坐標迭代曲線圖Fig.11 Optimal well location and coordinate iteration curve for three wells

3）避讓地面特定區(qū)域井位優(yōu)選算例。在井位部署時，由于地面可能存在建筑，地形可能存在河流、溝壑等需要避讓的區(qū)域，因此井位需要避開這些特定區(qū)域。在部署3 口井算例中，對優(yōu)選到的C 井附近一個圓形區(qū)域進行避讓運算，優(yōu)選后的最佳井位如圖12(a)所示。由于避讓特定區(qū)域，3 口井的井位均發(fā)生了較大變化，其中原優(yōu)選在避讓區(qū)的井（C 井）調整到避讓區(qū)外側，但并非避讓區(qū)外圍邊界。井位坐標迭代如圖12(b)所示，迭代步數較無避讓區(qū)時增加約30%，避讓后3 口井的累產量沒有明顯下降。這說明當存在避讓區(qū)時，本文算法依然可以優(yōu)選到合適的井位。

圖12 避讓特定區(qū)域時的最佳井位分布與坐標迭代曲線圖Fig.12 Optimal well location and coordinate iteration curve for avoiding certain an area

4 結論

本文通過添加計算半程反映點步驟和約束項，對Nelder-Mead 優(yōu)化算法進行了改進，并應用到井位優(yōu)選設計中，研究滲透率非均質性、部署多口井以及避讓特定區(qū)域3 種情況的優(yōu)化計算，得到如下結論。

1）改進的Nelder-Mead 算法可以高效應用于井位優(yōu)選設計。該方法運行穩(wěn)定，在驗證模型的案例中，井位坐標誤差僅1.372%。

2）在滲透率非均質油藏算例中，優(yōu)選井位符合預期，且迭代步數與驗證模型基本相同，說明在非均質儲層參數模型中，本文算法也可以高效運算。

3）在部署3 口井算例中，最優(yōu)井位較全面地控制著整個計算域，且迭代步數少于3 倍的1 口井優(yōu)選迭代步數；當需要避讓特定區(qū)域時，最優(yōu)井位不在避讓區(qū)的外圍線上，說明本文算法沒有簡單地在避讓區(qū)邊界上布井，而是進行了整體優(yōu)化調整，迭代步數較無避讓區(qū)時增加了約30%。