方昱斌，朱曉錦，楊龍飛，許志超，田夢楚，張小兵

（1.南京理工大學智能制造學院，江蘇 南京 210094；2.上海大學機電工程及自動化學院，上海 200072；3.南京理工大學能源與動力工程學院，江蘇 南京 210094）

引言

在高分遙感探測領域中，衛(wèi)星結構微振動會引發(fā)空間相機產(chǎn)生視線抖動和像移，繼而降低成像質(zhì)量和分辨率，其影響不能忽視［1-2］。因此，結構微振動的抑制問題成為學者們研究的重要方向和熱點之一［3］。

當前，針對結構微振動的抑制通常采用主動控制或者是主、被動控制相結合的方式。就主動控制方法而言，當前的研究涵蓋了控制理論中的大部分內(nèi)容［4-7］。從控制理論角度來講，要想對擾動信號取得足夠好的控制效果，控制器中必須包含有擾動的模型。因此，在控制器設計時需要將擾動模型嵌入到閉環(huán)系統(tǒng)控制器中，保證在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下抵消擾動所引起的微振動響應［8］。由于擾動環(huán)境的復雜性，很多系統(tǒng)受到的擾動可能是時變或未知的，這使得通常的魯棒控制器參數(shù)設計變得困難，對其控制效果也產(chǎn)生了諸多影響。但與此同時，一般的控制系統(tǒng)中仍能獲得關于擾動的部分信息，諸如擾動模型結構或者其變化范圍等，此時，自適應控制方法具有優(yōu)勢。

在結構振動自適應控制領域中，濾波自適應控制算法因其簡單、快速的特點而被廣泛使用，成為最常用的主動振動控制（Active Vibration Control，AVC）算法之一。根據(jù)是否能夠獲取與擾動相關的參考信號，該類算法又可以分為前饋濾波自適應控制與反饋濾波自適應控制。

在前饋濾波自適應控制系統(tǒng)中，由于可以取得參考信號，濾波自適應控制算法對于單頻窄帶擾動通常能夠取得較為有效的抑制，對于有限帶的寬頻擾動也能夠有一定程度的抑制。但同時，由于參考傳感器采集的擾動相關信號會受到作動器作動的影響，從而形成一個反饋環(huán)，使得控制系統(tǒng)不再是原來的一個單純前饋系統(tǒng)（稱作“正反饋”效應），還會影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

對于反饋濾波自適應控制算法，其在處理窄帶擾動時具有較好的抑制效果，但其控制效果受到輸出靈敏度函數(shù)伯德積分和“水床”效應的限制。而且，對于多頻窄帶擾動，反饋濾波自適應控制算法會因濾波器階數(shù)有限而限制其抑制效果。此時，常用的處理手段是通過配合前饋控制算法或者是建立內(nèi)擾動模型［9］。實際上，很多應用場合很難接近擾動源甚至是找不到擾動源，無法放置參考傳感器，也就無法實施前饋控制。

針對濾波自適應控制算法在AVC 應用中所面臨的兩個典型問題：前饋AVC 系統(tǒng)中的“正反饋”效應，以及反饋AVC 系統(tǒng)中多頻窄帶擾動的抵消。Y-K 參數(shù)化方法成為自適應控制算法實施中的一個重要且有效的手段。

Y-K 參數(shù)化方法最初在20 世紀70 年代被Youla 和Kucera 分別提出，通過自適應濾波器配合中央魯棒控制器為反饋系統(tǒng)中的線性時不變對象提供一組線性穩(wěn)定控制器，該方法的優(yōu)勢在于可以在不改變控制系統(tǒng)閉環(huán)極點的情況下對擾動的內(nèi)模進行參數(shù)估計［10-12］。20 世紀90 年代，文獻［13］對Y-K 參數(shù)化方法的發(fā)展及其在系統(tǒng)辨識、自適應控制和非線性系統(tǒng)中的應用進行了系統(tǒng)的闡述。在這之后的20 年間，Y-K 參數(shù)化方法被引入到AVC 領域中，并取得了較好的控制效果。

文獻［14］首次將Y-K 參數(shù)化方法用于前饋AVC 系統(tǒng)的正反饋效應處理中，通過分析及實驗，取得了較好的控制效果。隨后，針對Y-K 參數(shù)化解決正反饋環(huán)引起的穩(wěn)定性問題，Landau［6］團隊做了大量研究，包括采用不同形式的濾波器、不同的參數(shù)自適應算法、不同的參考信號濾波算法等，通過對于算法的穩(wěn)定性分析以及不同振動、噪聲實驗Testbench 的實驗驗證，系統(tǒng)地驗證了Y-K 參數(shù)化方法對于正反饋環(huán)所引起的前饋系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的適用性和優(yōu)越性。

面向多頻窄帶擾動的抑制，Y-K 參數(shù)方法成功地解決了內(nèi)擾動模型的建立問題，可以在不改變系統(tǒng)原有極點分布的情況下采用自適應濾波器逼近擾動模型［15］?；赮-K 參數(shù)化的反饋自適應控制方法，在應對多頻未知和時變窄帶擾動的應用中取得了較好的控制效果［16］。

就基于Y-K 參數(shù)化的反饋自適應控制方法而言，目前的研究大都是已知次級通道數(shù)學模型來設計中央魯棒控制器的參數(shù)。文獻［17-20］采用了極點配置的方法，中央控制器的預設部分能夠較好地調(diào)整系統(tǒng)的極點分布與輸出靈敏度函數(shù)，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻［21-23］通過H 無窮或最優(yōu)控制方法設計中央魯棒控制器，也取得了令人滿意的振動噪聲抑制效果。

中央魯棒控制器的設計需要振動系統(tǒng)次級通道的精確數(shù)學模型。在很多場合，為了方便設計控制器，假設系統(tǒng)的次級通道是固定且已知的，甚至假設它的變化是可以量化且有界的。但是，一些系統(tǒng)中也存在次級通道模型未知的應用場景，此時基于模型的中央魯棒控制器設計存在困難。

面向多頻窄帶微振動，針對不能獲得次級通道精確模型情況下的多頻時變或未知窄帶擾動的自適應控制問題，基于Y-K 參數(shù)化方法在AVC 應用中的優(yōu)勢，本文提出一種多頻窄帶擾動微振動反饋自適應控制算法。該算法通過PID 控制方法設計中央魯棒控制器，采用FIR 形式參數(shù)濾波器，并采用一種改進的VSSLMS 方法作為參數(shù)自適應算法。通過相應的微振動主動控制實時實驗，對比驗證了本文所提算法對于多頻窄帶擾動的抑振效果。

1 基于Y-K 參數(shù)化的反饋AVC 算法

圖1 為本文所給出的基于Y-K 參數(shù)化的反饋AVC 算法框圖。其中，d(t)為主通道G經(jīng)過擾動信號D(t)（已知模型結構）激勵后的結構微振動響應；y(t)為次級通道H的結構微振動響應；e(t)為系統(tǒng)殘差信號，可通過主通道與次級通道的微振動響應疊加測量得到；u(t)為控制器輸出；w（t）表示自適應濾波器的輸入；表示自適應濾波器；AH與BH分別表示次級通道H的傳遞函數(shù)的分母與分子多項式；G為系統(tǒng)的主通道；S0與R0分別表示中央魯棒控制器N0的傳遞函數(shù)的分母與分子多項式。

圖1 基于Y-K 參數(shù)化的反饋自適應振動主動控制算法Fig.1 Feedback adaptive active vibration control algorithm based on Y-K parameterization

G和H分別表示系統(tǒng)的主通道和次級通道，具體如下式所示：

式中q表示延時因子；dG和dH分別表示主通道和次級通道的整數(shù)延遲；上標“n”表示多項式的階次。

在圖1 所示的反饋控制系統(tǒng)中，采用PID 控制方法設計中央魯棒控制器。由多項式R0(q-1)和S0(q-1)構成的中央魯棒控制器表示為N0(q-1)，具體如下式所示：

當單獨采用中央魯棒控制器時，反饋控制器的輸入e(t)和輸出u(t)分別如下式所示：

系統(tǒng)的特征多項式P0(q-1)決定了系統(tǒng)的閉環(huán)極點分布，如下式所示：

當反饋系統(tǒng)中加入Y-K 參數(shù)濾波器后，Q(q-1)的輸入信號為ω(t)，如下式所示：

Y-K 參數(shù)濾波器采用FIR 形式，其最優(yōu)值Q(q-1)如下式所示：

此時，Q(q-1)和中央魯棒控制器N0(q-1)共同構成了新的反饋魯棒自適應控制器K(q-1)，如下式所示：

新的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式P(q-1)如下式所示：

可以發(fā)現(xiàn)，Y-K 參數(shù)濾波器Q(q-1)的加入并未改變閉環(huán)系統(tǒng)的極點分布。此時，系統(tǒng)誤差如下式所示：

在實際系統(tǒng)運行中，由于系統(tǒng)辨識存在的偏差以及擾動信號在頻域上的浮動，需要通過參數(shù)自適應算法來調(diào)整Y-K 參數(shù)濾波器及時匹配系統(tǒng)擾動的模型。隨著參數(shù)自適應算法的實施，Q(q-1)被其參數(shù)估計值(t，q-1)所替代，如下式所示：

反饋魯棒自適應控制器如下式所示：

我們定義系統(tǒng)的自適應誤差如下式所示：

式中e(t)表示在參數(shù)自適應過程中基于濾波器估計值(q-1)得到的誤差信號，如下式所示：

將式（19）和（23）代入式（22），得到系統(tǒng)的自適應誤差：

構建參數(shù)向量：

構建系統(tǒng)觀測向量：

這樣，系統(tǒng)自適應誤差可以表示為：

因為系統(tǒng)擾動是未知的，所以最優(yōu)參數(shù)向量Q也是不確定的。最接近Q的參數(shù)向量估計值(t)可以使得下式所示的代價函數(shù)最?。?/p>

依據(jù)最 小均方（Least Mean Square，LMS）算法，代價函數(shù)選用系統(tǒng)瞬時誤差平方的梯度：

式中μ為步長因子；W表示參數(shù)向量。

當Y-K 參數(shù)濾波器取最優(yōu)值Q(q-1)時，系統(tǒng)誤差為0。那么，系統(tǒng)自適應誤差ε(t)可被系統(tǒng)實時誤差值e(t)替代，實際系統(tǒng)中通過傳感器測量得到，故式（33）可寫作：

綜上所述，該反饋AVC 算法的表達如下式所示：

2 變步長LMS 算法

在基于Y-K 參數(shù)化的反饋AVC 算法中，參數(shù)自適應算法對于整體算法的實施效果起著至關重要的作用。LMS 算法作為常用的參數(shù)自適應算法，有著簡單、魯棒性好的優(yōu)點，但其固定步長因子的存在引起了收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。在VSSLMS 算法的思想面世后，學者們陸續(xù)提出多種形式的VSSLMS 算法，通過實時改變步長因子來提升算法的性能。其中有一類VSSLMS 算法是通過設置遺忘因子的方式調(diào)節(jié)實時步長以取得更好的收斂效果，典型算法如表1中的“算法A［24］”、“算法B［25］”和“算法C［26］”所示?；谶z忘因子改進形式，方昱斌等［27］提出了一種VSSLMS 算法，其具體步長更新公式如表1 中的“算法D［27］”所示。

表1 典型VSSLMS 算法的步長更新公式Tab.1 Step size update formula of typical VSSLMS algorithms

文獻［27］中詳細給出了算法D（文獻［27］中命名為VSSLMS-New）的動態(tài)性能與穩(wěn)定性分析。并通過聯(lián)合仿真分析與微振動實時控制實驗，采用LMS 算法、算法A、算法B 和算法C 作為對比算法，驗證了算法D 在前饋濾波自適應微振動主動控制應用中的抑振性能以及在較高噪聲水平下的魯棒性能。

對于表1 中所列出的這類通過設置遺忘因子的方式來提升算法收斂性能的VSSLMS 算法，本文通過大量的仿真和實驗調(diào)試得出結論：該類算法中所采用的固定遺忘因子ξ會影響VSSLMS 算法整體的收斂速度。最初，固定遺忘因子ξ用來衰減步長因子μ(n)的計算中對于前一采樣時刻的權重，通常取接近于1 的值，如0.97。當ξ=0.97 時，當前采樣時刻的步長因子μ(n)是在上一采樣時刻步長因子μ(n-1)的0.97 倍基礎上獲得的。這樣一來，該類VSSLMS 算法的步長因子μ(n)會衰減的很快，尤其是在高采樣頻率的系統(tǒng)中，幾秒之后，VSSLMS 算法的收斂速度就會變得非常慢。

文獻［27］發(fā)現(xiàn)，如果將現(xiàn)有算法中的固定遺忘因子ξ替換為時變遺忘因子ξ(n)，且ξ(n)能夠從1逐漸衰減至ξ，則原有算法的收斂速度會得到提升，且保持原來的穩(wěn)態(tài)性能。

基于此，本文提出一種變遺忘因子改進方法。通過按照特定曲線衰減遺忘因子，保證在原有算法穩(wěn)態(tài)性能的基礎上，提升算法收斂速度，遺忘因子更新公式如下式所示：

式中ξ(t)表示變遺忘因子。參數(shù)λ0和λ1用于調(diào)節(jié)衰減的速率，λ0的取值范圍為0<λ0<1，其取值通常接近于1，如λ0=0.90，…，0.99。λ0的取值決定λ1(t)的衰減速率，λ0的取值越接近于1，參數(shù)λ1(t)的衰減速率越慢，幾個經(jīng)典取值的衰減曲線如圖2所示。λ1(0)表示參數(shù)λ1(t)的初始值，ξ(t)從1 衰減至λ1(0)。

圖2 λ0 經(jīng)典取值下λ1 的衰減曲線Fig.2 Attenuation curves of λ1 under classic values of λ0

自適應控制的本質(zhì)是次級通道的參數(shù)辨識，通過參數(shù)辨識仿真驗證該改進VSSLMS 算法的收斂效果。假設有限維的自適應濾波器可以完全準確地表示真實系統(tǒng)（沒有模型誤差）。采用白噪聲信號激勵未知系統(tǒng)和自適應濾波器，真實系統(tǒng)的輸出與模型輸出在測量噪聲的基礎上得到系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差反映自適應濾波器模型與真實系統(tǒng)之偏差。真實系統(tǒng)數(shù)學模型取為=［0.5，1.1，0.8，0.7，0.6，0.5，0.4，0.3，0.2，0.1］，同時施加信噪比為10 dB 的測量噪聲，信噪比按照SNR=10lg［E（x2（n））/E（ν2（n））］計算，其中，E表示期望，ν表示測量噪聲信號采樣序列。

針對表1 中所給出的四種VSSLMS 算法以及它們的改進算法做參數(shù)辨識仿真驗證。在參數(shù)辨識中，采用原文獻中推薦的參數(shù)組合。參數(shù)λ1(0)取值與原文獻中的遺忘因子ξ相同，其他參數(shù)諸如上、下限等均與原文獻中保持一致。為使上述VSSLMS 算法具有相同的初始收斂速度，四種算法選擇同樣的初始步長。經(jīng)多次實驗均值后，取MSE為各算法的性能對比指標，如圖3 所示。

圖3 四種變遺忘因子改進VSSLMS 算法及原始形式的MSE 曲線對比Fig.3 Comparison of the MSE curves between the VSSLMS algorithms improved by four variable forgetting factors and their original versions

通過圖3 可以看出，變遺忘因子改進算法能切實提升該類型VSSLMS 算法的收斂性能，在保持原有VSSLMS 算法穩(wěn)態(tài)性能的前提下提升收斂速度。并且，在前文四種VSSLMS 算法的收斂效果以及它們的改進算法對比中，變遺忘因子改進算法D 仍舊可以取得優(yōu)于其他幾種改進算法的收斂效果，其完整表示如下式所示：

式中η表示誤差信號系數(shù)；β表示反余切函數(shù)的可調(diào)參數(shù)。

為了進一步提升本文基于Y-K 參數(shù)化的反饋AVC 算法的抑振效果與魯棒性，本文擬采用式（40）～（44）所示的變遺忘因子改進算法D 作為反饋AVC 系統(tǒng)的參數(shù)自適應算法，則整個反饋AVC控制器的運行步驟如下：

（2）按照式（27）和（28）構建擾動信號的觀測向量Φ(t)及Φ*(t)。

（4）按照式（35）計算下一控制周期的控制器輸出u(t+1)。

3 微振動主動控制實驗驗證

為了驗證前文所給出的基于Y-K 參數(shù)化的反饋AVC 算法的抑振效果，本文基于文獻［27］中的三自由度隔振結構微振動主動隔振實驗系統(tǒng)，選擇x軸作動方向進行微振動隔振實驗。實驗系統(tǒng)如圖4所示，具體細節(jié)參見文獻［27］。

圖4 三自由度隔振結構微振動主動隔振實驗系統(tǒng)Fig.4 Experimental system of micro-vibration active vibration isolation of 3 DOF vibration isolation structure

實驗中，采用兩個窄帶擾動疊加激勵模擬多頻窄帶擾動環(huán)境，同時，進行雙頻窄帶擾動頻譜突變以及幅值突變實驗，驗證所提出的基于Y-K 參數(shù)化的反饋AVC 算法在多頻擾動環(huán)境下的抑振性能及魯棒性能。

3.1 雙頻正弦擾動

采用幅值為0.3 V，頻率分別為10 和25 Hz 的2個正弦信號的疊加作為微振動激勵信號，在實驗時間為5 s 時開始施加控制算法，雙頻正弦擾動激勵下微振動主動控制的時域曲線如圖5 所示，各算法的功率譜密度對比如圖6 所示。

圖5 雙正弦擾動激勵下的微振動主動控制時域圖Fig.5 Time domain diagram of micro-vibration active control under double sinusoidal perturbation excitation

圖6 雙正弦擾動激勵下微振動主動控制的功率譜密度對比Fig.6 Comparison of power spectral density of micro-vibration active control under double sinusoidal perturbation excitation

綜合圖5 和6 來看，F(xiàn)xLMS 自適應控制算法僅對10 Hz 的擾動具有有效抑制，對于25 Hz 的擾動并無明顯抑制作用，在時域表現(xiàn)出其針對雙頻窄帶擾動的抑制效率約為50%。

相比于單獨采用自適應控制算法，另外兩種基于Y-K 參數(shù)化方法的魯棒自適應控制算法時域穩(wěn)態(tài)效果提升明顯，穩(wěn)態(tài)時的振動僅為0.3 μm。從功率譜密度來看，參數(shù)自適應算法分別選擇LMS 算法與本文所提出的VSSLMS 算法，在雙頻窄帶擾動激勵下，兩種算法的抑振效果差別不大，本文所提出的VSSLMS 算法略優(yōu)。為方便表示，分別將三種算法簡寫為FxLMS，Q+LMS 和Q+VSSLMS。

3.2 頻譜突變

與雙頻正弦擾動一樣，采用頻率分別為10 和25 Hz 的2 個正弦信號的疊加作為微振動激勵信號。在實驗時間為20 s 時，擾動信號的頻譜分別突變?yōu)?1 和26 Hz，幅值不變。頻譜突變擾動激勵下微振動主動控制的時域曲線和功率譜密度分別如圖7 和8 所示。

圖7 頻譜突變擾動激勵下的微振動主動控制時域圖Fig.7 Time domain diagram of micro-vibration active control under spectrum mutation perturbation excitation

在該實驗中，三種算法在頻譜突變后均取得了不同程度的抑振效果。從圖7 來看，Q+VSSLMS 算法能夠在發(fā)生頻譜突變后快速調(diào)整，在3 s 之內(nèi)進入新的穩(wěn)態(tài)，抑振效果及魯棒性能要明顯優(yōu)于其他兩種算法。從圖8 來看，在頻譜突變后，F(xiàn)xLMS 自適應控制算法對26 Hz 的擾動失去抑制作用。Q+LMS算法、Q+FANG 算法在11 與26 Hz 處的抑振效果也有明顯弱化，但仍能夠取得較為滿意的效果。必須指出的是，Q+LMS 算法原有的步長因子在頻譜突變后會立即發(fā)散。調(diào)小步長因子后取得了收斂的控制效果，但限制了算法的收斂速度，在頻譜突變前的收斂速度甚至慢于單獨采用FxLMS 控制算法。

圖8 頻譜突變擾動激勵下微振動主動控制的功率譜密度對比Fig.8 Comparison of power spectral density of micro-vibration active control under spectrum mutation perturbation excitation

3.3 幅值突變

與前面兩個實驗相同，以10 和25 Hz 的雙頻窄帶正弦擾動開始，在實驗時間為20 s 時，每個正弦擾動信號的幅值突變?yōu)樵姓倚盘柗档?25%，頻譜不變。幅值突變擾動激勵下微振動主動控制的時域曲線和功率譜密度分別如圖9 和10 所示。

圖9 幅值突變擾動激勵下的微振動主動控制時域圖Fig.9 Time domain diagram of micro-vibration active control under amplitude mutation perturbation excitation

由圖9～10 可以看出，幅值突變后，三種算法的抑振效果都有了不同程度的減弱。從功率譜密度角度來看，幅值突變后Q+LMS 算法在兩個窄帶頻譜處的抑振效果都明顯弱化，Q+VSSLMS 算法對10 Hz 窄帶擾動仍具有較好抑制效果。從時域來看，Q+VSSLMS 算法的穩(wěn)態(tài)振幅由突變前的0.3 μm變?yōu)橥蛔兒蟮?.5 μm，但是仍優(yōu)于Q+LMS 算法與FxLMS 算法。

通過上述3 種典型擾動激勵下的微振動主動控制實驗，可以發(fā)現(xiàn)：

（1）在雙頻正弦窄帶擾動下，基于Y-K 參數(shù)化法魯棒自適應控制算法的抑振效果要明顯優(yōu)于單獨采用FxLMS 自適應控制算法。

（2）在應對雙頻正弦窄帶擾動頻譜突變和幅值突變的情況時，Q+VSSLMS 算法能夠取得更令人滿意的效果。相較于Q+LMS 算法，本文設計的VSSLMS 算法能夠及時調(diào)整參數(shù)自適應算法的步長因子，使算法在新擾動情況下快速收斂至新穩(wěn)態(tài)，具有更好的魯棒性能。

4 結論

本文以多頻未知和時變窄帶擾動激勵下的微振動主動控制為目標，針對次級通道模型未知的情況，基于Y-K 參數(shù)化方法，提出一種反饋魯棒自適應振動主動控制算法及一種VSSLMS 參數(shù)自適應算法。通過系統(tǒng)辨識仿真驗證了本文所提出VSSLMS 算法的優(yōu)越特性，通過微振動主動控制實時實驗驗證了基于Y-K 參數(shù)化的反饋魯棒自適應控制算法的抑振效果及相比于其他算法在擾動信號頻譜、幅值突變情況下的魯棒性能。