鄭友成，朱強(qiáng)國，劉周龍，周 鑠，王光慶

（浙江工商大學(xué)信息與電子工程學(xué)院（薩塞克斯人工智能學(xué)院），浙江 杭州 310018）

引言

壓電振動能量采集器是將環(huán)境中的振動能量轉(zhuǎn)換成電能的新型微機(jī)電器件，在低功耗電子產(chǎn)品的自供電系統(tǒng)中有著較好的應(yīng)用前景。它可以代替電池并解決電池供電所帶來的諸多問題，如更換不方便、污染環(huán)境、壽命有限、成本高等問題［1-2］。早期的壓電振動能量采集器（Piezoelectric Vibration Energy Harvester，PVEH）一般是由壓電雙晶片或壓電單晶片懸臂梁構(gòu)成，它僅在結(jié)構(gòu)的固有頻率點(diǎn)附近有較大的功率輸出。為了拓寬采集器的有效工作頻帶，提高其工作效率，利用非線性結(jié)構(gòu)在多個穩(wěn)態(tài)解之間的非線性突跳特性實(shí)現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)或多穩(wěn)態(tài)能量采集器是目前較為有效的解決方法之一［3-8］。孫仲生等［9］研究了雙穩(wěn)態(tài)懸臂梁機(jī)電模型，并通過數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在隨機(jī)共振下具有更高的輸出電壓。Zhou 等［10］通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了多穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器具有良好的動力學(xué)特性。Zhou 等［11］從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面研究了非線性三穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器，研究結(jié)果顯示三穩(wěn)態(tài)能量采集器比雙穩(wěn)態(tài)采集器的工作頻帶更寬并且有更高的能量輸出。Zhu 等［12］研究了三穩(wěn)態(tài)能量采集裝置在不同勢能阱狀態(tài)下的輸出特性。Wang 等［13］考慮了重力因素對三穩(wěn)態(tài)能量采集器輸出特性的影響。李魁等［14］提出了利用有彈性支撐的外部磁鐵，改變勢能阱深度，結(jié)果表明外部磁鐵的彈性位移可以有效降低勢能阱深度，使系統(tǒng)更易進(jìn)入阱間運(yùn)動。Zou 等［15］提出了一種具有壓縮模結(jié)構(gòu)的寬帶振動能量采集器，仿真和實(shí)驗(yàn)表明該結(jié)構(gòu)有較高能量輸出。當(dāng)前，非線性三穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器由于具有較寬和較淺的勢能阱特性，被證明具有更好的能量采集器輸出性能而受到廣泛的關(guān)注。然而，典型三穩(wěn)態(tài)壓電振動采集器的勢能阱關(guān)于中心平衡位置是對稱的，且勢能阱的深度和寬度隨結(jié)構(gòu)定型而固定不變，這種特性嚴(yán)重限制了三穩(wěn)態(tài)采集器輸出性能的提高，特別是對于低激勵水平下振動能量采集輸出性能會大大降低，甚至失效。近期，人們提出非對稱勢能阱振動能量采集器以解決上述問題：李海濤等［16］對帶有非對稱勢能阱的雙穩(wěn)態(tài)能量采集器進(jìn)行混沌動力學(xué)分析；Zhou 等［17］對具有可變勢能函數(shù)的非線性柔性雙穩(wěn)態(tài)能量采集器進(jìn)行了研究，結(jié)果表明此結(jié)構(gòu)使系統(tǒng)更易突破勢能阱，能夠產(chǎn)生較大的輸出功率。盡管如此，基于非對稱、變勢能阱的壓電振動能量采集增強(qiáng)機(jī)理還未得到深入的研究。為此，本文設(shè)計(jì)了一種新型帶彈簧結(jié)構(gòu)的非對稱、變勢能阱三穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器，外部磁鐵通過彈簧的壓縮和拉伸運(yùn)動，使采集器末端磁鐵間的距離發(fā)生改變，從而使勢能阱的深度和寬度發(fā)生改變，表現(xiàn)出非對稱、時變特性。通過建立其非線性磁力模型和機(jī)電耦合動力學(xué)模型，研究了系統(tǒng)參數(shù)以及非對稱變勢能阱對系統(tǒng)動力學(xué)特性以及能量采集增強(qiáng)機(jī)理的影響。

1 非對稱、變勢能阱多穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器理論模型

圖1 為提出的新型壓電能量采集器的結(jié)構(gòu)模型示意圖，它主要由一個壓電雙晶片懸臂梁和末端磁鐵A 以及可隨彈簧壓縮和拉伸而移動的外部磁鐵B和C 組成。長度為Lp且極化方向相反的兩個壓電片固定于懸臂梁的上、下表面，懸臂梁長度為L。壓電懸臂梁的根部固定在U 形底座的左側(cè)支撐板上，尖端磁鐵（表示為磁鐵A）固定在懸臂梁的自由端。外部磁鐵B 和C 對稱粘貼在基板上，一對剛度為k的彈簧連接在U 形底座的右側(cè)支撐板上，外部磁體中心距離為2dg，且與磁鐵A 之間的水平距離為d。

圖1 非對稱變勢能阱三穩(wěn)態(tài)采集器結(jié)構(gòu)Fig.1 TEH with linear compressible magnet-spring system

末端磁鐵受到外部磁鐵的排斥力可以利用點(diǎn)磁荷偶極子理論計(jì)算得來［18］，末端磁鐵與外部磁鐵之間的幾何關(guān)系如圖2 所示。圖中x1，x2分別為磁鐵B，C 的水平位移；y為磁鐵B，C 垂直方向位移；θ=為質(zhì)量塊旋轉(zhuǎn)角。

圖2 磁鐵位置幾何關(guān)系圖Fig.2 Geometric relationship between the tip and two external magnets

系統(tǒng)動力學(xué)方程由拉格朗日方程得出（磁力公式及拉格朗日方程推導(dǎo)見附錄）：

其中，“·”表示對時間t的一階導(dǎo)數(shù)，“''”表示對x的二階偏微分。

式中q(t)為主懸臂梁模態(tài)坐標(biāo)；z0(t)為外部激勵；ρ，E，h和b分別為采集器材料密度、彈性模量、厚度和寬度；下標(biāo)s 和p 分別代表金屬基板和PZT；mt和mf分別為磁鐵和金屬質(zhì)量塊的質(zhì)量和分別為含壓電片懸臂梁和未含壓電片懸臂梁的等效質(zhì)量；?11(x)和?12(x)分別為含壓電元件和不含壓電元件懸臂梁振動模態(tài)；V為采集輸出電壓。

將式（1）代入拉格朗日方程：

2 系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析

本文所用材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示。

表1 系統(tǒng)材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Material and structure parameters

2.1 系統(tǒng)靜態(tài)特性分析

系統(tǒng)靜態(tài)特性主要表現(xiàn)為系統(tǒng)的勢能特性，其表達(dá)式為U=Um+K2+0.5K0q2。

如圖3（a）所示是dg=8mm時，磁鐵間距d分別為20，25，30，40mm時系統(tǒng)的勢能曲線，可以看出，隨著d的不斷增大，能量采集器的運(yùn)動狀態(tài)由雙穩(wěn)態(tài)變?yōu)閱畏€(wěn)態(tài)。當(dāng)d=20mm時，采集器勢能曲線有兩個零平衡點(diǎn)，表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動，兩個勢能阱是非對稱的，左側(cè)勢阱深度明顯大于右側(cè)，兩阱中心坐標(biāo)分別為（-23.3 mm，6.1 mJ）和（25.3 mm，7.3 mJ）；隨著d的不斷增大，兩個勢能阱深度逐漸減小且保持非對稱性；當(dāng)d繼續(xù)增大到40mm時，由于距離過大，磁力太小，勢能阱變?yōu)橐粋€，此時系統(tǒng)只有一個零平衡點(diǎn)，作單穩(wěn)態(tài)運(yùn)動。

圖3 不同參數(shù)條件下采集器系統(tǒng)勢能變化情況Fig.3 Potential energy variables with different system parameters

進(jìn)一步增大dg到13 mm，磁鐵距 離d分別為20，25，30，40mm時，系統(tǒng)勢能曲線如圖3（b）所示。當(dāng)d=20mm時，由于dg變大，此時系統(tǒng)能夠表現(xiàn)出三穩(wěn)態(tài)運(yùn)動狀態(tài)，采集器勢能曲線出現(xiàn)三個不對稱的勢能阱，左、右勢能阱呈明顯的非對稱分布，它們的 中心坐標(biāo)分別為（-27.7 mm，7.2 mJ）和（28.5 mm，8.1 mJ）；隨著d的增大，勢能阱非對稱特性逐漸減弱，當(dāng)d增大到40mm時，左右勢能阱消失，中間勢能阱變大，穩(wěn)定點(diǎn)由三個變?yōu)橐粋€，系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)由三穩(wěn)態(tài)變?yōu)閱畏€(wěn)態(tài)。

圖3（c）所示是d=28mm時，外部磁鐵間距dg分別為8，11，14，30mm時的勢能曲線。可以看出隨著dg不斷增大，系統(tǒng)非對稱勢阱由兩個變?yōu)槿齻€，最后變?yōu)橐粋€。且勢能阱的深度由深逐漸變淺。由此可以看出合適的外部磁鐵間距可以使采集器更容易作三穩(wěn)態(tài)大幅值振蕩。

圖3（d）給出了在d=28 mm，dg=13mm時不同彈簧剛度對系統(tǒng)勢能的影響。當(dāng)彈簧剛度較小時，磁鐵排斥力將使彈簧產(chǎn)生較大幅度的位移，出現(xiàn)明顯的不對稱勢能阱；而當(dāng)剛度變大，彈簧受磁鐵間作用力的影響逐漸減小，外部磁鐵水平位置變化逐漸減弱，系統(tǒng)勢能阱非對稱現(xiàn)象也逐漸減弱；當(dāng)彈簧剛度增大某個臨界值（如k=3000 N/m）時，此時由于剛度過大，磁力對彈簧的壓縮和拉伸作用消失，外部磁鐵的水平間距保持一致，最終系統(tǒng)勢能阱變成對稱的。

2.2 系統(tǒng)動態(tài)特性分析

為了研究dg對系統(tǒng)輸出特性的影響，圖4給出了加速度A=10 m/s2，頻率f=5 Hz，d=28 mm，dg=8，12 和18mm時的系統(tǒng)動態(tài)輸出響應(yīng)。從圖4中可以看出，當(dāng)dg由小變大，系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)由雙穩(wěn)態(tài)到三穩(wěn)態(tài)，再到單穩(wěn)態(tài)的變化。如圖4（a）所示，當(dāng)dg=8mm時，由于非對稱勢能阱的緣故，采集器很容易逃脫勢能阱的束縛，作大幅值的雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動，采集器末端振動速度和位移較大，采集電壓為2.6 V；如圖4（b）所示，當(dāng)dg增大到12 mm，采集器由雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動跳轉(zhuǎn)到三穩(wěn)態(tài)運(yùn)動，末端最大振動速度增大到0.9 m/s，最大振動位移為0.038 m，采集電壓達(dá)到2.5 V。如圖4（c）所示，繼續(xù)增大dg到18 mm，由于磁鐵間距過大，非線性磁力較小，能量采集器被束縛在中心勢能阱內(nèi)作小幅單穩(wěn)態(tài)運(yùn)動，采集器振動位移和輸出電壓只有2.8mm和0.2 V。

圖4 dg對采集器振動特性與電壓輸出波形的影響Fig.4 Effects of dg on the dynamic performance and voltage waveform of the harvester

為了研究d對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，取A=10 m/s2，頻率f=5 Hz，dg=12 mm，d=28，32 和40 mm時的系統(tǒng)動態(tài)輸出響應(yīng)。由圖5 可知，增大d采集器運(yùn)動狀態(tài)依次從三穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閱畏€(wěn)態(tài)。如圖5（a）所示，當(dāng)d=28mm時，由于采集器末端與外部磁鐵間距離較小，采集器末端振動位移和速度較大，此時兩者間有較大的作用力，會使外部磁鐵產(chǎn)生左右的位移，使系統(tǒng)表現(xiàn)出三穩(wěn)態(tài)運(yùn)動狀態(tài)，振動位移和電壓分別為39mm和2.5 V；如圖5（b）所示，當(dāng)d增大到32mm時，距離增大使外部磁鐵與采集器末端之間的作用力減小，采集器末端振動位移減小為35 mm，輸出電壓為2.2 V，系統(tǒng)表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動狀態(tài)。如圖5（c）所示，繼續(xù)增大d到40 mm，由于磁鐵間距過大，作用力過小，采集器由雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動變?yōu)閱畏€(wěn)態(tài)運(yùn)動，振動位移和采集電壓減小為25mm和2 V。

圖5 d 對采集器振動特性與電壓輸出波形的影響Fig.5 Effects of d on the dynamic performance and voltage waveform of the harvester

進(jìn)一步對采集器的頻率特性進(jìn)行分析，圖6 所示是采集器在d=28 mm，dg=10 mm，k=900 N/m，加速度A分別為2 m/s2和 8 m/s2時的頻 率響應(yīng) 特性。如圖6（a）所示，當(dāng)激勵加速度幅值較?。ˋ=2 m/s2），由于加速度過小，采集器動能不足，采集器末端位移始終為負(fù)值，沒有產(chǎn)生大幅運(yùn)動，此時采集器作小幅阱內(nèi)振動，對應(yīng)的采集電壓及功率都很小。如圖6（b）所示，當(dāng)加速度增大到8 m/s2，在頻率為4～5.6 Hz 時，采集器進(jìn)入三穩(wěn)態(tài)振動，采集器末端產(chǎn)生較大的振動位移，對應(yīng)的采集輸出電壓達(dá)到2.5 V，功率達(dá)到0.075 mW。從以上結(jié)果可以看出，增加激勵加速度可以使能量采集系統(tǒng)進(jìn)入大幅振蕩狀態(tài)，提高系統(tǒng)采集效率。

圖6 不同加速度時采集器位移（左列）、電壓（中列）和功率（右列）頻率響應(yīng)特性Fig.6 Displacement（left column），voltage（middle column）and power（right column）of harvester with different A0

圖7 是不同彈簧剛度下系統(tǒng)輸出響應(yīng)特性仿真結(jié)果，其中dg=12 mm，d=28 mm，A=5 m/s2，彈簧剛度k分別為100，250，1000，5000 N/m。如圖7（a）所示，當(dāng)彈簧剛度較小時，彈簧壓縮位移較大，采集器容易產(chǎn)生非對稱勢能阱，致使采集器在較大范圍內(nèi)均能從低能軌道突跳進(jìn)入高能軌道，產(chǎn)生大幅振蕩。采集器大幅值阱間運(yùn)動的頻率范圍為2～10 Hz，對應(yīng)的采集電壓可以達(dá)到10 V；如圖7（b）所示，當(dāng)彈簧剛度增大到 250 N/m 時，彈簧壓縮量減小，勢能阱的不對稱性減小，采集器大幅值振蕩的頻率范圍逐漸減小，采集器大幅值振蕩的頻率范圍為2.1～6.7 Hz；采集器輸出電壓減小為5 V；進(jìn)一步增大彈簧剛度至1000 N/m，如圖7（c）所示，彈簧壓縮繼續(xù)減小，且采集器的頻帶范圍變窄，僅為3.5～4.3 Hz。如圖7（d）所示，當(dāng)k=5000 N/m 時，由于彈簧壓縮量達(dá)到極限值，其輸出特性和圖7（c）所示結(jié)果基本一致，采集器大幅值阱間振動頻率為3.5～4.2 Hz，采集器輸出電 壓和功率分別為1 V 和0.003 mW。由此可見，彈簧的剛度會影響能量采集系統(tǒng)的輸出性能，彈簧剛度過大，非線性磁力對系統(tǒng)影響較小，彈簧壓縮位移較小，采集器動態(tài)特性降低；當(dāng)彈簧剛度達(dá)到某個臨界值時，采集器動態(tài)特性保持不變；相反，小的彈簧剛度有利于產(chǎn)生非對稱勢能阱，從而提高采集器的綜合輸出性能。但是，太小的彈簧剛度加工制造比較困難。經(jīng)過試驗(yàn)和仿真論證，本文選用彈簧剛度k=900 N/m。

圖7 彈簧剛度k 對采集器動態(tài)特性的影響Fig.7 Effects of k on the dynamic performance of the harvester

2.3 與TPEH 性能對比

為了進(jìn)一步揭示非對稱、變勢能阱三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的優(yōu)越性，比較了非對稱勢能阱系統(tǒng)（TPEH-K）與傳統(tǒng)三穩(wěn)態(tài)能量采集器（TPEH）的動態(tài)輸出響應(yīng)。取dg=13 mm，d=28 mm，f=5 Hz，彈簧剛度k=900 N/m 條件下，其勢能曲線、相圖及輸出電壓圖如圖8～10 所示。

圖8 TPEH-K 和TPEH 勢能對比結(jié)果Fig.8 Potential energy of TPEH-K and TPEH

圖8 為勢能曲線對比結(jié)果，對于TPEH 來說，其勢能阱具有對稱性，其勢阱深度為7.342 mJ。而對于外部接入彈簧的三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，當(dāng)懸臂梁末端發(fā)生運(yùn)動時，外部彈簧受到的非線性磁力發(fā)生改變，使外部磁鐵的位置隨彈簧的運(yùn)動發(fā)生實(shí)時改變，從而發(fā)生可變勢阱，此時左側(cè)勢阱較深，右側(cè)較淺，出現(xiàn)不對稱的情況，其勢能阱深度分別為4.796 mJ 和2.686 mJ，更淺的勢阱使系統(tǒng)更易躍過勢壘。

為了比較TPEH-K 和TPEH 兩種采集器在不同激勵情況下的頻域輸出特性，圖9 給出了加速度A0分別為2.5，4 和8 m/s2時兩種采集器的位移和電壓頻率響應(yīng)特性。從圖9（a）中可以看出，當(dāng)A0=2.5 m/s2時，激勵加 速度較 小，TPEH-K 和TPEH 系統(tǒng)在大部分頻域內(nèi)均作小幅值的阱內(nèi)振動，TPEH-K 僅在較小頻率范圍3～3.1 Hz 內(nèi)作大幅振動。增大加速度至A0=4 m/s2，如圖9（b）所示，TPEH-K 大幅值阱間振動的頻率范圍增大至2.87～3.47 Hz，而TPEH 僅在3.08～3.13 Hz 作大幅值阱間振動；兩種采集器阱內(nèi)間振動時輸出電壓到達(dá)1.5 V。繼續(xù)增大加速度至A0=8 m/s2，如圖9（c）所示，此結(jié)果表明，在低激勵條件下，TPEH-K 的阱間振動頻率范圍擴(kuò)大至0～4.5 Hz，而TPEH 的阱間振動頻率范圍為2.5～3.5 Hz。此外，TPEH-K 的振動位移和輸出電壓也都大于TPEH?？梢?，由于非對稱勢能阱的加入，TPEH-K 系統(tǒng)可以在更低加速度和更寬的頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生更大的輸出。

圖9 不同加速度下TPEH-K 和TPEH 位移（左列）和電壓（右列）頻率響應(yīng)特性Fig.9 Displacement（left column）and voltage（right column）of TPEH-K and TPEH with different A0

圖10 給出了TPEH-K 和TPEH 采集器隨激勵加速度的跳轉(zhuǎn)特性。由圖10 可知，對于非對稱勢阱系統(tǒng)TPEH-K，在加速度為8 m/s2時產(chǎn)生突跳，從低能軌道進(jìn)入高能軌道運(yùn)動，此時，采集器開始出現(xiàn)大幅振動位移，輸出功率會急劇增大。而TPEH 則在加速度10 m/s2激勵作用下產(chǎn)生突跳進(jìn)入高能軌道運(yùn)動。這說明非對稱勢阱系統(tǒng)能量采集器更容易在較低激勵水平作用下產(chǎn)生更大的能量采集器輸出。

圖10 TPEH-K 和TPEH 跳轉(zhuǎn)特性Fig.10 The snap-through behaviors of TPEH-K and TPEH

3 實(shí)驗(yàn)研究與結(jié)果分析

圖11 為研制的非對稱勢能阱壓電振動能量采集器樣機(jī)，實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的懸臂梁（70 mm×10 mm×0.15 mm）由不銹鋼片制作，兩個壓電片（PZT-5A，10 mm×10 mm×0.5 mm）粘貼在其根部上下表面，左側(cè)固定在基座上，右端通過高強(qiáng)度膠粘貼一磁鐵A，外部磁鐵B 和C 粘貼在基板上，基板通過彈簧固定在可調(diào)節(jié)基板上。

圖11 實(shí)驗(yàn)樣機(jī)Fig.11 Experimental prototype

圖12 為搭建的實(shí)驗(yàn)測試平臺。信號發(fā)生器產(chǎn)生正弦信號用來模擬環(huán)境中的振動，經(jīng)過功率放大器放大后傳輸?shù)郊钇?，以激勵采集器產(chǎn)生振動；由安裝在基座上的加速度傳感器測得其基礎(chǔ)加速度；激光位移傳感器位于懸臂梁上方檢測能量采集器振動位移信號，后進(jìn)入動態(tài)信號分析系統(tǒng)處理；由示波器獲取采集電壓，將所得信號通過動態(tài)信號分析儀分析后輸出；直流電源為測試系統(tǒng)提供電能。

首先，對采集器的動態(tài)輸出特性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測試。圖13為激勵加速度A=9 m/s2，激勵頻 率f=5 Hz，水平距離d=28 mm，不同外部磁鐵間距下的采集器動態(tài)輸出性能的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從圖13 中可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果基本吻合。由圖13（a）得到dg=8mm時的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，采集器表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動特征，懸臂梁末端最大振動位移和速度分別為0.04m和0.5 m/s2，最大輸出電壓為1 V；調(diào)整采集器外部磁鐵間距dg=18 mm，從圖13（b）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，采集器系統(tǒng)表現(xiàn)為單穩(wěn)態(tài)運(yùn)動，懸臂梁末端最大振動位移和速度分別為0.01m和0.05 m/s2，最大輸出電壓為0.1 V。

圖14 所示為TPEH-K 和TPEH 采集器突跳特性的實(shí)驗(yàn)與理論仿真結(jié)果，其中圖14（a）為可變非對稱勢阱TPEH-K 系統(tǒng)，圖14（b）為固定勢阱三穩(wěn)態(tài)TPEH 系統(tǒng)。由圖14 可以看出，實(shí)驗(yàn)和理論仿真結(jié)果基本吻合，證明本文模型是正確的。此外還可以看到，隨著激勵加速度的增大，TPEH 采集器在A=9.7 m/s2時發(fā)生跳變，從小幅值阱內(nèi)振動跳轉(zhuǎn)到大幅值阱間振蕩，輸出較大電壓；而TPEH-K 采集器在A=8 m/s2時就發(fā)生跳躍，進(jìn)入大幅值阱間運(yùn)動，產(chǎn)生較大電壓。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真分析相符，由此可見，非對稱、變勢能阱的加入能夠降低采集器做大幅阱間振動所需的激勵加速度，提高能量采集效率。

圖14 TPEH-K 與TPEH 跳轉(zhuǎn)特性實(shí)驗(yàn)與理論對比結(jié)果Fig.14 Experimental and theoretical results of snap-through of TPEH-K and TPEH

為了進(jìn)一步驗(yàn)證激勵加速度對兩種能量采集器動力學(xué)特性的影響，取水平距離d=28 mm，外部磁鐵間距dg=13 mm，激勵加速度為A=8.5 m/s2，激勵頻率f=5 Hz。從圖15 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，相同激勵加速度條件下，非對稱變勢能阱TPEH-K 系統(tǒng)表現(xiàn)為三穩(wěn)態(tài)大幅振動，采集器最大振動位移為0.05 m，最大輸出電壓為1.8 V；而固定勢阱采集器TPEH 做阱內(nèi)小幅振動，最大振動位移為0.01 m，最大輸出電壓為0.12 V。

圖15 TPEH-K 和TPEH 動態(tài)特性實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Fig.15 Experimental compaison of the dynamic performances betwen TPEH-K and TPEH

為了驗(yàn)證彈簧剛度對能量采集器輸出性能的影響，圖16 為采集器在彈簧剛度分別為300，900，3000 N/m 時正向掃頻得出的輸出電壓幅值的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，當(dāng)k=900 N/m，在2.1～5.4 Hz 時采集器有較大的輸出電壓，最大輸出電壓達(dá)到6.8 V，與固定勢阱的三穩(wěn)態(tài)能量采集器相比有更高的輸出電壓和更寬的工作頻帶。

4 結(jié)論

設(shè)計(jì)建立非對稱、變勢能阱能量采集器的非線性磁力模型和機(jī)電耦合動力學(xué)模型。利用龍格-庫塔算法進(jìn)行仿真分析，研究了能量采集器的動態(tài)特性，以及彈簧剛度對系統(tǒng)能量采集性能的影響。得到以下結(jié)論：

（1）外部磁鐵在水平方向的振動使非對稱勢能阱深度降低，大幅值振蕩運(yùn)動更容易產(chǎn)生，有利于提升能量采集效率。

（2）磁體間距會對系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)產(chǎn)生影響，隨著距離的增大，采集器會經(jīng)歷雙穩(wěn)態(tài)、三穩(wěn)態(tài)、單穩(wěn)態(tài)的運(yùn)動狀態(tài)。增大加速度幅值可以有效提高能量采集器的輸出性能，拓寬其有效工作頻帶。

（3）彈簧剛度是影響能量采集器輸出性能的關(guān)鍵因素，選擇適當(dāng)?shù)膹椈蓜偠龋梢缘玫阶畲蟮妮敵鲭妷杭拜^寬的有效工作頻帶。

（4）k=900 N/m 時，TPEH-K 采集器大幅值阱間運(yùn)動的頻率范圍為2.1～5.4 Hz，最大輸出電壓達(dá)到6.8 V，結(jié)果均優(yōu)于TPEH。

附錄：磁力及拉格朗日方程推導(dǎo)

磁鐵i（i=B or C）在A 處的磁通密度為：

式中μ0為真空磁導(dǎo)率，?為向量梯度，mi為磁偶極子i的磁矩，且mi=MiVi，Mi為磁鐵i的磁化強(qiáng)度，Vi為磁鐵i的體積，riA為磁鐵i到磁鐵A 的方向向量。

末端磁鐵A 與外部磁鐵B 之間的磁勢能為：

由圖2 中磁鐵間的幾何關(guān)系可知：

式中 i 和j 分別代表水平方向和垂直方向的單位向量，將式（A1）和（A3）代入式（A2）可得UmBA，同理可得UmCA。所以磁場勢能為：

系統(tǒng)動力學(xué)方程可由拉格朗日方程得出：

將式（A4），（A8）～（A12）代入式（A7）可得拉格朗日方程式（1）。