陳曉哲，劉俊岐，鐘 山，李凌軒

（東北大學(xué)秦皇島分校控制工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

引言

在人類生產(chǎn)活動(dòng)中所應(yīng)用的機(jī)械設(shè)備都是由各式各樣的內(nèi)燃機(jī)和電動(dòng)機(jī)等原動(dòng)機(jī)來提供動(dòng)力輸出的。受能量守恒限制，所有的原動(dòng)機(jī)能夠提供的動(dòng)力都是有限的，統(tǒng)稱這類提供有限動(dòng)力的原動(dòng)機(jī)為非理想原動(dòng)機(jī)［1］。在一般機(jī)械系統(tǒng)研究中，因電機(jī)部分與機(jī)械部分無運(yùn)動(dòng)耦合關(guān)系，往往不考慮機(jī)械部分的運(yùn)動(dòng)對(duì)原動(dòng)機(jī)的影響。但是在振動(dòng)系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的變化速度與原動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速同頻，系統(tǒng)的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)會(huì)顯著影響原動(dòng)機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而形成一種機(jī)電耦合作用［2］。特別是在近共振區(qū)工作的振動(dòng)機(jī)械，由于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)振幅較大，需要輸入更多的外部能量，這就會(huì)造成原動(dòng)機(jī)的動(dòng)力不足，最終導(dǎo)致原動(dòng)機(jī)無法升高轉(zhuǎn)速。當(dāng)繼續(xù)增加能量輸入時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)原電機(jī)轉(zhuǎn)速的跳躍現(xiàn)象，即從共振前直接跳到共振后，這種非線性跳躍現(xiàn)象被稱為Sommerfeld 效應(yīng)，此類系統(tǒng)也被稱為非理想振動(dòng)系統(tǒng)［1-2］。因此，在非理想振動(dòng)系統(tǒng)的研究過程中，需要考慮Sommerfeld 效應(yīng)。

國(guó)外學(xué)者在不同機(jī)構(gòu)中對(duì)Sommerfeld 效應(yīng)展開了一定的研究，但是采用的原動(dòng)機(jī)多為直流電機(jī)模型。針對(duì)單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，Bharti 等［3］研究了轉(zhuǎn)子二階共振處的Sommerfeld 效應(yīng)。對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在Sommerfeld 效應(yīng)而導(dǎo)致轉(zhuǎn)速不能升高的問題，Jha 等［4］利用主動(dòng)磁軸承來衰減系統(tǒng)內(nèi)阻尼進(jìn)而控制Sommerfeld 效應(yīng)的發(fā)生。在懸臂梁系統(tǒng)中，Jiang等［5］采用模態(tài)法對(duì)梁進(jìn)行離散，研究了彈性質(zhì)體的Sommerfeld 效應(yīng)。在曲柄滑塊模型中，Sinha 等［6］對(duì)往復(fù)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的Sommerfeld 效應(yīng)進(jìn)行了分析。顯然一個(gè)非理想源可以產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，兩個(gè)非理想源有可能會(huì)產(chǎn)生自同步現(xiàn)象?；趩钨|(zhì)體模型，Kovriguine 等［7］對(duì)比了一個(gè)偏心轉(zhuǎn)子和兩個(gè)偏心轉(zhuǎn)子的Sommerfeld 效應(yīng)。Djanan 等［8］采用兩臺(tái)直流偏心電機(jī)對(duì)彈性矩形板系統(tǒng)的Sommerfeld 效應(yīng)進(jìn)行了研究，采用偏心轉(zhuǎn)子自同步的方式減小了彈性板的振動(dòng)。針對(duì)兩個(gè)偏心轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，Zhang 等［9］研究了一類雙質(zhì)體振動(dòng)系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)子自同步和Sommerfeld 效應(yīng)。在動(dòng)力吸振器模型中，F(xiàn)elix 等［10］基于Sommerfeld 效應(yīng)研究了能量回收?？紤]彈簧非線性，González-Carbajal 等［11］研究了電機(jī)機(jī)械特性曲線的斜率對(duì)Sommerfeld 現(xiàn)象的影響，并且發(fā)現(xiàn)了非線性系統(tǒng)中存在霍普分岔。目前，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)Sommerfeld 效應(yīng)研究較少?？紫橄５龋?2］對(duì)一個(gè)質(zhì)量偏心單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的Sommerfeld 效應(yīng)及不平衡響應(yīng)進(jìn)行了分析。姜嬌等［13］考慮一個(gè)偏心轉(zhuǎn)子作激勵(lì)源的單質(zhì)體振動(dòng)系統(tǒng)，應(yīng)用線性系統(tǒng)的解研究了該機(jī)構(gòu)的Sommerfeld 效應(yīng)。

考慮到彈簧連桿式振動(dòng)機(jī)械在各工業(yè)部門應(yīng)用比較廣泛，并且其采用交流電機(jī)作為原動(dòng)機(jī)，有必要對(duì)該類型的振動(dòng)機(jī)械進(jìn)行Sommerfeld 效應(yīng)的研究。在上述研究基礎(chǔ)上，本文引入交流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，建立該類振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，通過理論分析和數(shù)值仿真為該類振動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)模型

如圖1 所示，為一類交流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的連桿式振動(dòng)機(jī)械。交流電機(jī)驅(qū)動(dòng)偏心機(jī)構(gòu)使彈性連桿往復(fù)運(yùn)動(dòng)，彈性連桿上的傳動(dòng)彈簧（剛度為k1）使振動(dòng)臺(tái)產(chǎn)生振動(dòng)。振動(dòng)臺(tái)（質(zhì)量為m）與底座之間采用主振彈簧（剛度為k0）連接。由于有導(dǎo)向桿的限制作用，振動(dòng)臺(tái)只能在垂直于導(dǎo)向桿x方向上運(yùn)動(dòng)。其中，r為偏心半徑，φ為偏心軸轉(zhuǎn)角，c為主振彈簧阻尼系數(shù)。

圖1 彈性連桿式振動(dòng)機(jī)械Fig.1 The elastic connecting rod vibration machine

綜合考慮振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)電耦合作用，引入交流電機(jī)數(shù)學(xué)模型［14］，基于拉格朗日方程建立機(jī)電耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型為：

其中，ωs=2πf為定子角頻率，ω為轉(zhuǎn)子角頻率；k=k0+k1，“?”表示d(?)/dt，“??”表示=d2(?)/dt2，Te為電機(jī)電磁力矩，其他電機(jī)參數(shù)詳見表1。

表1 電機(jī)參數(shù)表Tab.1 Parameters of motor

2 理論分析

2.1 理論推導(dǎo)

對(duì)比電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程［14］，可知式（2）中等號(hào)右端第二項(xiàng)為負(fù)載力矩，其中k1rxcosφ為機(jī)電耦合項(xiàng)。根據(jù)非理想源特性［1］，需要研究x為最大時(shí)，是否會(huì)使原動(dòng)機(jī)無法提供足夠的動(dòng)力。眾所周知，只有當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)處于共振區(qū)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)x接近最大。因此，接下來將研究系統(tǒng)共振時(shí)的情況。

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在共振區(qū)時(shí)，阻尼項(xiàng)和外部激勵(lì)項(xiàng)均可以認(rèn)為是小項(xiàng)［15］。通過引入小參數(shù)ε，將式（1）進(jìn)行無量綱化，得：

如果系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，即ε=0 時(shí)，系統(tǒng)的振幅A和相角Θ應(yīng)為常數(shù)，可以設(shè)式（3）的解為：

如果ε≠0 時(shí)，A和Θ都將隨著時(shí)間t緩慢變化，此時(shí)系統(tǒng)頻率為=Ω，因此應(yīng)為：

所以，x對(duì)時(shí)間t的二次導(dǎo)數(shù)可化簡(jiǎn)為：

將式（4）和（7）代入式（3），得：

式中εχ2=k1r/J，εσ1=ωn-Ω。

根據(jù)dφ=Ωdt，對(duì)上述方程組進(jìn)行換元表達(dá)：

式中εTm(Ω)=[Te(Ω)-c1Ω)]/J；?'=d(?)/dφ。

雖然Ω，A和Θ是t或φ的函數(shù)，但是它們是隨時(shí)間緩變的，仍可以看作平均變化量與小的振動(dòng)變化量疊加而成，所以可以設(shè)成如下形式［15］：

式中fΩ，fa和fθ為小的振動(dòng)項(xiàng)。

因此，可取在周期2π 內(nèi)Ω，A和Θ的平均值來作平均變化量部分：

式中εσ2=ωn-ω。

整理式（16）～（18），可得一次近似解：

當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，響應(yīng)的狀態(tài)量應(yīng)為常量，可以得到如下條件［15］：

將式（22）代入式（12）～（14），得：

聯(lián)立式（24）和（25），可得振動(dòng)系統(tǒng)一次近似的振幅和相角：

將式（26）和（27）代入式（23），得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程：

式中TL(ω)=c1ω+cωna2/2 為電機(jī)總負(fù)載力矩。

值得注意的是式（28）是關(guān)于角速度ω的超越方程，本文在第3 節(jié)的討論中采用了數(shù)值方法。

2.2 穩(wěn)定性分析

接下來研究振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。將式（12），（13）和（14）表達(dá)成如下形式：

根據(jù)一次近似穩(wěn)定性判別法，求式（29）的Jacobi 矩陣［15］，得：

式（30）的特征方程為：

根據(jù)Routh-Hurwitz 定理，得到振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件：

根據(jù)式（32），可得第一穩(wěn)定性條件：

從式（33）中可以看出，由于實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)參數(shù)均為正值，所以第一項(xiàng)和第三項(xiàng)必為正值。如果滿足dTe(ω)/dω<0，第一穩(wěn)定性條件就必然得到滿足。顯然，根據(jù)交流電機(jī)機(jī)械特性曲線［1］，此條件很容易得到滿足。

根據(jù)式（32），可得第二穩(wěn)定性條件：

由于式（34）中括號(hào)內(nèi)項(xiàng)均為平方項(xiàng)，因此可以得到進(jìn)一步簡(jiǎn)化后的第二穩(wěn)定性條件：

根據(jù)式（32），可得第三穩(wěn)定性條件：

觀察式（36）可知，除中括號(hào)項(xiàng)外，其余項(xiàng)均為正值。如果滿足Tn=d(Te-c1ω)/dω<0，只須要求ωn>ω，第三穩(wěn)定性條件也一定滿足。

3 數(shù)值分析

本節(jié)將通過數(shù)值法對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行定量的分析，其中振動(dòng)參數(shù)為m=20 kg，k=30 kN/m，c=54.22 N·s/m，r=0.1 m，k1=1 kN/m，其余相關(guān)電機(jī)參數(shù)如表1 所示。

圖2 為不同供電頻率下，電磁力矩Te與負(fù)載力矩TL隨電機(jī)轉(zhuǎn)速的變化曲線。從圖中可以看出，交流電機(jī)的機(jī)械特性曲線具有非線性特征，Te隨著電機(jī)輸出角速度ω先升后降，這點(diǎn)是不同于直流電機(jī)的。兩種力矩的交點(diǎn)代表著可以滿足式（28）的平衡狀態(tài)，即可以保證系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)。同時(shí)也能看出交點(diǎn)都處于Te的下降區(qū)，這正好符合第一穩(wěn)定性條件要求的dTe(ω)/dω<0。由于TL曲線在共振區(qū)會(huì)出現(xiàn)非線性變化，即出現(xiàn)波峰狀態(tài)。這就會(huì)導(dǎo)致兩種力矩曲線在共振區(qū)內(nèi)可能存在三個(gè)交點(diǎn)。圖中五條曲線，21 Hz 和26.3 Hz 的Te與TL只有一個(gè)交點(diǎn)，這說明并非所有頻率都存在Sommerfeld 效應(yīng)，該現(xiàn)象在共振區(qū)工作的頻率有可能出現(xiàn)。22.3 Hz 和25 Hz 的兩條曲線給出該電機(jī)參數(shù)可能會(huì)存在該現(xiàn)象的頻率界線。根據(jù)第三穩(wěn)定性條件，兩種力矩的交點(diǎn)在共振前，即ω<ωn，就是穩(wěn)定的點(diǎn)。

圖2 角速度-力矩Fig.2 Angular velocity-torque

為了更一步分析Sommerfeld 效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理，將兩種力矩做差后繪圖，如圖3 所示。根據(jù)能量守恒，當(dāng)Te=TL時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。因此，曲線的0 點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的角速度就是系統(tǒng)最終穩(wěn)態(tài)對(duì)應(yīng)的角速度。值得注意的是，23.6 Hz 曲線存在三處等于0 的點(diǎn)。根據(jù)第二穩(wěn)定性條件，兩種力矩差的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為負(fù)值才能保證點(diǎn)是穩(wěn)態(tài)點(diǎn)。23.6 Hz 曲線中間0 點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為正值，所以該點(diǎn)是不穩(wěn)定的點(diǎn)。

圖3 角速度-力矩差Fig.3 Angular velocity-torque difference

通過上述分析解釋了Sommerfeld 效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理，接下來將針對(duì)Sommerfeld 效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響進(jìn)行討論。

圖4 給出了系統(tǒng)的一次近似振幅a和角速度ω在不同供電頻率f下的變化規(guī)律。在圖4（a）中，a的曲線在共振區(qū)出現(xiàn)了波峰，但是不同于線性系統(tǒng)，a的曲線出現(xiàn)了硬式非線性特征。隨著f的增加，a由p1點(diǎn)跳到p2點(diǎn)；隨著f的減小，a由q1點(diǎn)跳到q2點(diǎn)。上述現(xiàn)象產(chǎn)生的原因可見圖4（b）所示，ω隨f的增大而升高，但是在共振區(qū)卻出現(xiàn)非線性變化，即頻率俘獲。從能量守恒的角度來分析，系統(tǒng)共振時(shí)需要更多的能量來維持運(yùn)動(dòng)，這就增加了電機(jī)的總負(fù)載力矩。電機(jī)在升速過程中得到的外部能量幾乎全部用于維持系統(tǒng)共振運(yùn)動(dòng)。因此，電機(jī)輸出的角速度即使增加，供電頻率也不會(huì)提升，出現(xiàn)了一種角速度被俘獲的現(xiàn)象。當(dāng)電機(jī)獲得足夠的能量后，可以克服共振時(shí)負(fù)載力矩需要的能量，根據(jù)電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程，電機(jī)的角速度得到了增加。由于角速度產(chǎn)生了變化，系統(tǒng)外部激振頻率也相應(yīng)跟著變化，并且遠(yuǎn)離了共振點(diǎn)。這樣就會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不再需要這么多的能量來維持共振運(yùn)動(dòng)，而已經(jīng)獲得的這部分能量由共振運(yùn)動(dòng)再次傳遞回電機(jī)的升速運(yùn)動(dòng)。最后，大量的能量全部用于角速度的提升，就會(huì)造成其曲線產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象。同理當(dāng)減小供電頻率，系統(tǒng)的共振運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，即經(jīng)過升頻的跳躍點(diǎn)時(shí)，也沒有產(chǎn)生共振。當(dāng)再次降低到一定頻率時(shí)，由于系統(tǒng)產(chǎn)生共振運(yùn)動(dòng)，瞬間需要較大的能量。因此，原先用于維持電機(jī)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的能量再次被轉(zhuǎn)移至共振運(yùn)動(dòng)，就會(huì)造成電機(jī)轉(zhuǎn)速的突然下降。上述分析從能量轉(zhuǎn)換的角度再次解釋了Sommerfeld 效應(yīng)。圖4（c）為第二穩(wěn)定性條件，從圖中可以看出只有p1～q1段是大于0的，因此該段內(nèi)的所有運(yùn)動(dòng)均是不穩(wěn)定的。接下來為驗(yàn)證理論解的正確性，對(duì)式（1）和式（2）進(jìn)行數(shù)值仿真。

圖4 供電頻率-不同參數(shù)Fig.4 Power frequency-different parameters

圖5 選用23 Hz 作為電機(jī)的供電頻率進(jìn)行數(shù)值仿真?？紤]到22.3 Hz 和25 Hz 為頻率界線，為了方便對(duì)比，本例選用3 Hz作為調(diào)節(jié)頻率步長(zhǎng)。如圖5（a）所示，電機(jī)在增頻過程中，因23 Hz<25 Hz，仍處于共振前階段，對(duì)應(yīng)角速度約為38 rad/s。當(dāng)增頻至26 Hz，大于共振點(diǎn)，角速度產(chǎn)生很大的跳變，約為45 rad/s。為了驗(yàn)證硬式非線性特征，將頻率下調(diào)回23 Hz，而角速度卻下降得很少，約為44 rad/s。這說明了相同供電頻率下，系統(tǒng)存在兩個(gè)穩(wěn)定工作點(diǎn)，共振點(diǎn)前后各存在一個(gè)，這個(gè)現(xiàn)象也可以從圖5（b）中發(fā)現(xiàn)。最后，再次將頻率下降至20 Hz。由于離開了Sommerfeld效應(yīng)區(qū)間，角速度躍至約37.5 rad/s，再次回到共振點(diǎn)前。本例展示了角速度的跳躍、系統(tǒng)頻率俘獲和系統(tǒng)響應(yīng)的遲滯共振等現(xiàn)象，同時(shí)也驗(yàn)證了本文所采用的解析方法的有效性和準(zhǔn)確性。

圖5 時(shí)域響應(yīng)Fig.5 Time domain response

通過前面關(guān)于Sommerfeld 效應(yīng)的研究可知，角速度跳變的最終狀態(tài)是由電機(jī)提供的能量在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和系統(tǒng)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)之間互相傳遞來決定的。下面，將結(jié)合不同的振動(dòng)參數(shù)對(duì)Sommerfeld 效應(yīng)進(jìn)行定量的研究，從而給相關(guān)機(jī)械系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)提供理論支持。如圖6 所示，圖6（a）為不同參振質(zhì)量m下，電機(jī)負(fù)載力矩TL的變化情況。從圖中可以看出，隨著參振質(zhì)量增大，TL的波峰逐漸左移，并且波峰變窄。這些變化均是由于固有頻率變小導(dǎo)致的。但值得注意的是，僅改變參振質(zhì)量對(duì)避免發(fā)生Sommerfeld效應(yīng)影響規(guī)律不一。雖然m=30 kg 處于中間位置，可是不存在Sommerfeld 效應(yīng)。圖6（b）為不同主振剛度k條件下，電機(jī)負(fù)載力矩TL的變化情況。因?yàn)楦淖冎髡駝偠纫矔?huì)導(dǎo)致系統(tǒng)固有頻率的變化，進(jìn)而可以避免Sommerfeld 效應(yīng)的發(fā)生。因此，選擇工作在近共振區(qū)的機(jī)構(gòu)，需要慎重選擇電機(jī)型號(hào)，從而避免主振剛度變化引起Sommerfeld 效應(yīng)發(fā)生。圖6（c）為不同偏心半徑r條件下，電機(jī)負(fù)載力矩TL的變化情況。因?yàn)槠陌霃接绊懠ふ窳?，從而影響系統(tǒng)振幅的峰值，從圖中可以看出，適當(dāng)減小r的數(shù)值，可以避免Sommerfeld 效應(yīng)的發(fā)生。圖6（d）為不同傳動(dòng)剛度k1條件下，電機(jī)負(fù)載力矩TL的變化情況。同r變化一致，k1也影響著激振力。但是過小的k1會(huì)影響激振力的傳遞。圖6（e）為不同電機(jī)阻尼系數(shù)c1條件下，電機(jī)負(fù)載力矩TL的變化情況。電機(jī)阻尼系數(shù)本質(zhì)上不同于其他振動(dòng)參數(shù)。該系數(shù)過大會(huì)影響系統(tǒng)的有效功率，應(yīng)盡可能地減小。從圖中也可以看到，如果減小該參數(shù)后，也會(huì)避免Sommerfeld 效應(yīng)的發(fā)生。

圖6 不同參數(shù)情況下負(fù)載力矩曲線Fig.6 The load torque curves with different parameters

4 結(jié)論

本文以一類彈性連桿式振動(dòng)機(jī)械為研究對(duì)象，考慮其為非理想振動(dòng)系統(tǒng)，引入交流電機(jī)模型，建立了該系統(tǒng)的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)模型，通過解析和數(shù)值仿真兩種方法定量地研究了該振動(dòng)系統(tǒng)的Sommerfeld 效應(yīng)。相關(guān)結(jié)論如下：

（1）驗(yàn)證了交流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的彈性連桿式振動(dòng)機(jī)械也存在Sommerfeld 現(xiàn)象，即電機(jī)轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)跳躍式突變現(xiàn)象，并且振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性曲線也呈現(xiàn)出硬式非線性特征。

（2）證明了Sommerfeld 效應(yīng)的本質(zhì)是由于穩(wěn)態(tài)電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程的多根特征導(dǎo)致的。由于該方程是超越方程，當(dāng)接近共振區(qū)時(shí)，方程會(huì)存在三個(gè)解，其中一個(gè)解對(duì)應(yīng)著不穩(wěn)定狀態(tài)。

（3）針對(duì)關(guān)鍵性系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行了定量分析發(fā)現(xiàn)，參振質(zhì)量對(duì)Sommerfeld 效應(yīng)影響規(guī)律不統(tǒng)一；偏心半徑、傳動(dòng)剛度及電機(jī)阻尼對(duì)Sommerfeld 效應(yīng)影響較大，且變化特征基本一致；而系統(tǒng)剛度因其變化影響系統(tǒng)固有頻率，所以對(duì)Sommerfeld 效應(yīng)影響最大。