丁佳偉，呂大剛，曹正罡

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150090；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程智能防災(zāi)減災(zāi)工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150090）

引言

地震動(dòng)是非常復(fù)雜且具有很強(qiáng)隨機(jī)性的隨機(jī)過程，其主要特性可以由幅值、持時(shí)和頻譜三個(gè)基本要素來描述［1-2］。其中，地震動(dòng)的頻譜特性是指地震動(dòng)對(duì)不同自振周期的結(jié)構(gòu)反應(yīng)特性的影響，在工程抗震中通常用傅里葉譜和功率譜來表示。地震動(dòng)功率譜用來表征地震動(dòng)的能量在各頻段內(nèi)分布的相對(duì)關(guān)系，可以進(jìn)一步清晰地描述地面運(yùn)動(dòng)能量的頻域分布規(guī)律，是地震動(dòng)模型的重要組成部分［3-5］。對(duì)于功率譜模型的研究，最早是Housner［2］在1947 年提出的平穩(wěn)白噪聲功率譜模型，后來Kanai［6］將平穩(wěn)白噪聲過程經(jīng)過一個(gè)阻尼比和圓頻率分別為ξg和ωg的單自由度體系過濾后得到絕對(duì)加速度的功率譜，但是Kanai-Tajimi 譜嚴(yán)重高估了地震動(dòng)的低頻含量。作為地震學(xué)和地震工程學(xué)的重要內(nèi)容之一，對(duì)功率譜模型的研究在過去的幾十年內(nèi)取得了令人矚目的進(jìn)展，多種改進(jìn)模型被提出，如：C-P 譜［7］、胡聿賢-周錫元譜［8］、歐進(jìn)萍譜［9］、杜修力譜［10］和洪峰譜［11］等，這些功率譜模型基本上都是對(duì)Kanai-Tajimi 譜的修正。

在隨機(jī)地震反應(yīng)分析中，一般采用功率譜密度函數(shù)表征地震地面運(yùn)動(dòng)，目前最大的難點(diǎn)就是地震動(dòng)功率譜模型及其參數(shù)的確定。所采用的功率譜模型是否合理，參數(shù)是否準(zhǔn)確，這將直接決定分析結(jié)果的可信度。在各類功率譜模型中，Clough 等［7］提出的C-P 譜利用了兩個(gè)線性濾波器，可以過濾掉超低頻率處的激勵(lì)，從而改善了Kanai-Tajimi 譜不能反映基巖地震動(dòng)的頻譜特征以及過分夸大低頻能量的缺點(diǎn)，具有明確的物理意義。但是，由于C-P 譜的參數(shù)較多且物理關(guān)系較為復(fù)雜，這在一定程度上限制了該模型的工程應(yīng)用。因此，研究C-P 譜模型的參數(shù)識(shí)別方法及參數(shù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)該模型在工程抗震中的廣泛應(yīng)用具有重要意義。

對(duì)于C-P 譜模型參數(shù)識(shí)別的研究，田利等［12-13］根據(jù)《電力設(shè)施抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50260—2013），采用普通最小二乘（Ordinary Least Square，OLS）算法對(duì)模型參數(shù)的取值進(jìn)行了分析。柳國(guó)環(huán)等［14］、彭凌云等［15］均采用OLS 算法對(duì)功率譜模型參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。但是，OLS 算法對(duì)模型參數(shù)初始值的選取以及原始功率譜曲線的非線性要求高，這顯然給大數(shù)據(jù)批處理統(tǒng)計(jì)分析制造了巨大的困難。為更加準(zhǔn)確地保留原始功率譜的特性，尋求一種廣泛適應(yīng)性和快速收斂性的智能優(yōu)化識(shí)別算法尤為重要。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，越來越多的智能優(yōu)化算法被應(yīng)用于復(fù)雜的計(jì)算中，如遺傳算法（GA）、蟻群算法（ACA）、粒子群優(yōu)化算法（PSO）等，其中PSO 算法具有群體智能、內(nèi)在并行性、迭代格式簡(jiǎn)單、可以快速收斂到最優(yōu)解所在區(qū)域等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練和模糊控制系統(tǒng)等領(lǐng)域。

在地震工程中進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力時(shí)程分析時(shí)，需要選擇合適的地震記錄?！督ㄖ拐鹪O(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010）［16］規(guī)定：采用時(shí)程分析法時(shí)，應(yīng)按建筑場(chǎng)地類別和設(shè)計(jì)地震分組選用實(shí)際強(qiáng)震記錄和人工模擬的加速度時(shí)程曲線，其中實(shí)際強(qiáng)震記錄的數(shù)量不應(yīng)小于總數(shù)的2/3。與真實(shí)地震記錄相比，人工合成地震動(dòng)能更有代表性地反映地震動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特征，并滿足結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)需求，因此研究科學(xué)合理且高精度的人工地震動(dòng)合成方法具有重要意義。

為解決上述問題，本文采用自適應(yīng)加權(quán)粒子群優(yōu)化（AWPSO）算法，對(duì)Clough-Penzien 譜模型的參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，然后從地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)中挑選4159條地震記錄并按照《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010）中的場(chǎng)地分類標(biāo)準(zhǔn)將其分組，采用AWPSO 算法對(duì)C-P譜模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，并依據(jù)K-S 檢驗(yàn)、A-D 檢驗(yàn)及AIC 準(zhǔn)則和BIC 準(zhǔn)則確定參數(shù)的最優(yōu)概率分布模型。依據(jù)各參數(shù)間的相關(guān)性，建立Clough-Penzien 譜模型參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。以Ⅱ類場(chǎng)地為例，對(duì)比分析規(guī)范場(chǎng)地轉(zhuǎn)化功率譜與統(tǒng)計(jì)抽樣功率譜的譜型差異，利用功率譜迭代修正的人工地震動(dòng)合成方法，生成具有場(chǎng)地特性的地震記錄，為地震危險(xiǎn)性、易損性和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估以及工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)和評(píng)估等提供可靠的地震動(dòng)輸入。

1 Clough-Penzien 功率譜模型參數(shù)及識(shí)別方法

1.1 Clough-Penzien 功率譜模型及參數(shù)

Kanai-Tajimi 譜假定基巖地震加速度為白噪聲，不能反映基巖地震動(dòng)的頻譜特征，且存在夸大地震動(dòng)低頻含量、不能求出地震地面位移、速度以及加速度的有限方差等缺點(diǎn)。Clough 等［7］提出的C-P 譜模型，其優(yōu)點(diǎn)是利用兩個(gè)線性濾波器，過濾掉超低頻率處的激勵(lì)，改善了Kanai-Tajimi 模型［6］過分夸大低頻能量的情況，從而得到修正的模型如下：

式中ωg和ξg分別為場(chǎng)地的卓越圓頻率和阻尼比；ωf和ξf分別為第二過濾層的卓越圓頻率和阻尼比；ω為圓頻率；S0為譜密度。

C-P 譜模型的隨機(jī)參數(shù)向量θ為：

對(duì)于上述5 個(gè)參數(shù)的取值，目前學(xué)者們僅僅指出了ωf的取值應(yīng)該小于ωg，建議ωf的取值范圍為0.1～0.15 倍的ωg，ξf可以取與ξg相同的值，并沒有依據(jù)真實(shí)地震記錄給出場(chǎng)地可供參考的取值范圍。

劉章軍等［17］依據(jù)建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范反應(yīng)譜，給出了不同場(chǎng)地各參數(shù)的建議取值，但對(duì)于ωf的取值采 用0.1 倍 的ωg，ξf取與ξg相同的值，一方面由于第二個(gè)過濾層的參數(shù)設(shè)置的固定化，忽視了由于場(chǎng)地的隨機(jī)性與復(fù)雜性所導(dǎo)致的功率譜模型參數(shù)的不確定性；另一方面由于規(guī)范反應(yīng)譜對(duì)各類場(chǎng)地的5 倍特征周期以上的譜值已經(jīng)進(jìn)行了人為的放大，使譜值在不同周期段的概率特性、精度和協(xié)調(diào)性不一致，進(jìn)而導(dǎo)致了規(guī)范反應(yīng)譜并不能準(zhǔn)確反映真實(shí)地震記錄的時(shí)頻特性。因此基于真實(shí)地震記錄對(duì)隨機(jī)參數(shù)向量θ進(jìn)行精確識(shí)別和統(tǒng)計(jì)，給出不同場(chǎng)地各參數(shù)的取值范圍，對(duì)工程抗震設(shè)計(jì)和評(píng)定具有重要意義。

1.2 基于自適應(yīng)加權(quán)PSO 算法的參數(shù)識(shí)別

洪峰等［11］將Kanai-Tajimi譜模型非線函數(shù)化，然后利用OLS 算法確定參數(shù)，并給出了軟土、中等土兩類場(chǎng)地的參數(shù)識(shí)別結(jié)果?？壮降龋?8］基于日本KiK-net強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫(kù)，采用上述方法對(duì)杜修力-陳厚群功率譜［10］進(jìn)行了四類場(chǎng)地的參數(shù)識(shí)別。在對(duì)大量原始地震記錄功率譜進(jìn)行參數(shù)識(shí)別時(shí)，由于OLS 算法對(duì)數(shù)據(jù)的非線性以及擬合參數(shù)初始值的設(shè)置要求較高，一般預(yù)先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑化處理，以達(dá)到準(zhǔn)確的識(shí)別結(jié)果。鄂國(guó)康等［19］利用移動(dòng)平均算法對(duì)原始地震記錄功率譜進(jìn)行平滑化處理，然后采用OLS 算法確定功率譜模型參數(shù)。彭凌云等［15］也采用了類似的方法對(duì)不同功率譜模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，但移動(dòng)平均算法有兩大缺陷：一方面，平滑處理后的功率譜譜值與真實(shí)譜值之間存在一定的誤差；另一方面，由于沒有考慮結(jié)構(gòu)的自振頻率，無法實(shí)現(xiàn)不同頻率區(qū)間采用不同窗口大小的功能。

目前研究人員可以利用不同的譜窗以及數(shù)字濾波器技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)功率譜的平滑化，無論何種方法，都是削峰填谷，使整體變得平滑，產(chǎn)生偏差是在所難免的。原始地震記錄由于受到震源特性、傳播路徑和場(chǎng)地條件的影響，功率譜在頻率上呈現(xiàn)出顯著的多峰性、非平穩(wěn)性和隨機(jī)性的鋸齒狀，平滑處理后僅大致反映地震能量的平緩分布，消除了大量的隨機(jī)性特征，保留了頻譜的主體特性。因此，基于預(yù)平滑處理后和采用OLS 算法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別的誤差平方和分別可以表示如下：

式中Sreal（ω）為原始地震記錄的功率譜函數(shù)；Ssmooth（θ，ω）為經(jīng)過平滑處理后的功率譜函數(shù)；SOLS（θ，ω）為OLS 算法參數(shù)識(shí)別后的功率譜函數(shù)模型。

OLS 算法的目標(biāo)是尋找一組隨機(jī)參數(shù)向量θ（ωgξgωfξfS0），使得觀測(cè)值與理論值的殘差平方和εtotal-OLS達(dá)到最小值?？梢钥吹?，采用傳統(tǒng)OLS 算法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別存在兩部分誤差：一個(gè)是由平滑化處理引起的誤差平方和εsmooth，另一個(gè)是OLS 算法參數(shù)識(shí)別產(chǎn)生的誤差平方和εOLS。由此可見，兩項(xiàng)誤差源必定會(huì)導(dǎo)致總誤差偏大，從而影響函數(shù)模型參數(shù)識(shí)別的準(zhǔn)確性。

當(dāng)前，越來越多的智能優(yōu)化算法被應(yīng)用于復(fù)雜工程問題的求解中，其中PSO 算法的應(yīng)用最為廣泛，它通過設(shè)計(jì)一種無質(zhì)量的粒子來模擬鳥群中的鳥，粒子僅具有兩個(gè)屬性：速度和位置，速度代表移動(dòng)的快慢，位置代表移動(dòng)的方向，粒子分別通過以下兩個(gè)公式來更新自己的速度和位置：

式中νi，d（t）為粒子i在第t次迭代的速度；xi，d（t）為粒子i在第t次迭代中的當(dāng)前位置；pbesti，d（t）為粒子i的個(gè)體極值點(diǎn)的位置；gbesti，d（t）為整個(gè)種群的全局極值點(diǎn)的位置；r1，r2為［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)；c1，c2為正的學(xué)習(xí)因子（加速系數(shù)）；d為維數(shù)；λ為慣性權(quán)重系數(shù)。

每個(gè)粒子在搜索空間中單獨(dú)搜尋最優(yōu)解，并將其記為當(dāng)前個(gè)體極值，并將個(gè)體極值與整個(gè)粒子群里的其他粒子共享，找到最優(yōu)的那個(gè)個(gè)體極值作為整個(gè)粒子群的當(dāng)前全局最優(yōu)解，粒子群中的所有粒子根據(jù)自己找到的當(dāng)前個(gè)體極值和整個(gè)粒子群共享的當(dāng)前全局最優(yōu)解來調(diào)整自己的速度和位置，其中粒子更新的方法如圖1 所示。

圖1 粒子更新方法Fig.1 Particle updating method

為進(jìn)一步提高粒子群算法的效率，研究發(fā)現(xiàn)：慣性權(quán)重系數(shù)λ可以影響微粒的局部最優(yōu)能力和全局最優(yōu)能力，較大的λ有利于提高算法的全局搜索能力，較小的λ會(huì)增強(qiáng)算法的局部搜索能力。為了平衡PSO 算法的全局搜索能力與局部改良能力，本文采用非線性動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)的粒子群優(yōu)化算法，因慣性權(quán)重系數(shù)隨微粒的目標(biāo)函數(shù)值自動(dòng)改變，故稱此算法為自適應(yīng)加權(quán)PSO（Adaptive Weighted Particle Swarm Optimization，AWPSO）算 法［20］，其中慣性權(quán)重系數(shù)λ的表達(dá)式為：

式中λmax和λmin分別為λ的最大值和最小值；f為微粒當(dāng)前的目標(biāo)函數(shù)值；favg和fmin分別為當(dāng)前所有微粒的平均目標(biāo)值和最小目標(biāo)值。

由式（6）可知，當(dāng)各微粒的目標(biāo)值趨于一致或趨于局部最優(yōu)時(shí)，慣性權(quán)重系數(shù)增大；而各微粒的目標(biāo)值比較分散時(shí)，慣性權(quán)重系數(shù)減小。同時(shí)，對(duì)于目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于平均目標(biāo)值的微粒，其對(duì)應(yīng)的慣性權(quán)重系數(shù)較小，從而保留該微粒；反之，對(duì)于目標(biāo)函數(shù)值差于平均目標(biāo)值的微粒，其對(duì)應(yīng)的慣性權(quán)重系數(shù)較大，使得該微粒向較好的搜索區(qū)域靠攏。因慣性權(quán)重系數(shù)隨微粒的目標(biāo)函數(shù)值而自動(dòng)改變，所以此方法優(yōu)于傳統(tǒng)PSO 算法，可以更加快速地得到全局最優(yōu)值。AWPSO 算法的流程如圖2 所示。

圖2 AWPSO 算法流程Fig.2 Procedure of the AWPSO algorithm

本文利用上述方法對(duì)原始地震記錄功率譜直接進(jìn)行隨機(jī)參數(shù)向量θ的識(shí)別，適應(yīng)度函數(shù)如式（7）所示，滿足殘差的平方和最小。由于AWPSO 算法不需要進(jìn)行平滑化預(yù)處理，因此，采用上述方法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別的殘差平方和如下式所示：

式中Sreal(ω)為真實(shí)的功率譜譜值；SAWPSO（θ，ω）為使用AWPSO 算法進(jìn)行隨機(jī)參數(shù)向量θ識(shí)別后的功率譜函數(shù)模型?？梢钥闯觯捎么朔椒▋H僅有一項(xiàng)殘差平方和εAWPSO，對(duì)比OSL 算法參數(shù)識(shí)別，誤差項(xiàng)僅有一項(xiàng)，且對(duì)原始數(shù)據(jù)非線性要求更低。

為了驗(yàn)證AWPSO 算法相較于普通最小二乘法識(shí)別的準(zhǔn)確性與高效性，本文分別采用上述兩種算法，利用兩個(gè)典型地震記錄El Centro 波和Taft 波的原始地震功率譜，進(jìn)行C-P 譜模型隨機(jī)參數(shù)向量θ的識(shí)別，其中，c1，c2均取2.0；λmax，λmin分別取0.9，0.4；最大迭代次數(shù)取500；種群粒子個(gè)數(shù)取100。圖3（a）為基于上述兩種方法對(duì)El Centro 波的識(shí)別結(jié)果，圖3（b）為對(duì)Taft 波的識(shí)別結(jié)果。表1 分別給出了兩種方法的絕對(duì)殘差和與殘差平方和。

表1 兩種方法的擬合誤差及精度對(duì)比Tab.1 Comparison of fitting error and precision of the two methods

圖3 地震記錄功率譜的參數(shù)識(shí)別Fig.3 Parameter identification of power spectra of seismic records

從圖3 的對(duì)比中可以看出，兩種方法均能夠較好地?cái)M合原始地震動(dòng)功率譜，從Taft 地震波功率譜的參數(shù)識(shí)別中對(duì)比發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于OLS 算法，采用AWPSO 算法參數(shù)識(shí)別可以保留更多的頻譜主體特性，即在10 rad/s 附近可以更加清晰有效地表達(dá)出卓越頻率處的能量分布，實(shí)現(xiàn)對(duì)功率譜更精準(zhǔn)的擬合，對(duì)于結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析和人工地震合成具有重要的意義。表1 分別計(jì)算了兩種方法下不同地震波功率譜的參數(shù)識(shí)別精度，AWPSO 算法參數(shù)識(shí)別的絕對(duì)誤差和及殘差平方和均小于OLS 算法。采用下式計(jì)算AWPSO 算法相對(duì)于OLS 算法擬合精度的提升率：

結(jié)果表明，精度提高率μ均大于2.3%，采用AWPSO 算法的識(shí)別精度更高，優(yōu)于傳統(tǒng)的OSL 算法，同時(shí)計(jì)算效率也具有一定的提升，因此AWPSO算法在龐大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)及隨機(jī)參數(shù)向量θ識(shí)別方面更具準(zhǔn)確性。

為避免過度擬合以及衡量統(tǒng)計(jì)模型擬合的優(yōu)良性，假設(shè)模型的誤差均服從獨(dú)立正態(tài)分布，并采用赤池信息量準(zhǔn)則（Akaike Information Criterion，AIC）精確評(píng)價(jià)擬合優(yōu)度，如下式所示：

式中k為隨機(jī)參數(shù)向量θ的維度；n為擬合數(shù)據(jù)的數(shù)量；SSR為殘差平方和。

AIC的值越小，表明數(shù)據(jù)擬合結(jié)果越優(yōu)。計(jì)算結(jié)果列于表1 中。可以看出，AWPSO 算法的AIC值均小于OLS 算法，從而進(jìn)一步證明了AWPSO 算法對(duì)于隨機(jī)參數(shù)向量θ的識(shí)別更具魯棒性以及擬合結(jié)果的準(zhǔn)確性，尤其對(duì)于具有明顯卓越頻率的功率譜隨機(jī)參數(shù)向量θ的識(shí)別更具敏感性。因此，本文采用精確度高的AWPSO 算法對(duì)C-P 譜模型的隨機(jī)參數(shù)向量θ進(jìn)行大批量的參數(shù)識(shí)別及統(tǒng)計(jì)分析。

2 Clough-Penzien 功率譜模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)建模

鑒于C-P 譜模型具有明確的物理意義以及參數(shù)識(shí)別問題的復(fù)雜性，目前其取值并沒有依據(jù)各類場(chǎng)地的真實(shí)地震記錄給出可供參考的范圍，從而限制了C-P 譜在隨機(jī)振動(dòng)分析中的廣泛應(yīng)用。本文采用圖4 所示的流程，結(jié)合AWPSO 算法，給出了各類場(chǎng)地C-P 譜模型參數(shù)的取值范圍和統(tǒng)計(jì)模型。

圖4 隨機(jī)參數(shù)向量θ 的識(shí)別統(tǒng)計(jì)流程圖Fig.4 Identificatio statisticaln flow chart of random parameter vector θ

2.1 地震記錄的挑選

本文利用太平洋地震工程研究中心（PEER）的NGA-West2 地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)提供的強(qiáng)震加速度時(shí)程，選擇其中信息較全且具有一定強(qiáng)度的地震記錄。鑒于功率譜代表地震動(dòng)的頻譜特性，需要考慮震源特性、傳播介質(zhì)和場(chǎng)地條件三方面的影響來進(jìn)行地震記錄的挑選。

震級(jí)是體現(xiàn)震源特性的主要參數(shù)，ML和MS震級(jí)在一定的范圍時(shí)卻不再隨地震釋放額能量的增加而增加，出現(xiàn)震級(jí)飽和現(xiàn)象，這是由于震級(jí)標(biāo)定本身存在嚴(yán)重缺陷，是不符合自然規(guī)律的。近年來得到廣大應(yīng)用的矩震級(jí)MW可以反映形變規(guī)模的大小，是目前量度地震大小最好的物理量，而且是一個(gè)絕對(duì)力學(xué)標(biāo)度，對(duì)大震不產(chǎn)生飽和問題［21］。因此本文選取NGA-West2 地震數(shù)據(jù)庫(kù)中具有明確矩震級(jí)MW標(biāo)定的地震記錄（4.0≤MW≤8.0）。

傳播介質(zhì)對(duì)地震動(dòng)的頻譜特性的影響主要指地震波在傳播過程中的幾何擴(kuò)散和能量耗散吸收，常用距離項(xiàng)來表示，如震源距、震中距、斷層距、Joyner-Boore 距等，其中Joyner-Boore 距是由Joyner等［22］于1981 年提出的，表示地面觀測(cè)點(diǎn)到斷層在地面投影的最短距離。因破裂帶上距離場(chǎng)地最近的距離部分能夠更清晰、可靠地表達(dá)傳播途徑對(duì)場(chǎng)地地震動(dòng)頻譜特性的影響，故本文選取地震記錄時(shí)距離參數(shù)選用Joyner-Boore 距。

場(chǎng)地條件主要考慮場(chǎng)地類型對(duì)地震動(dòng)的影響，本文依據(jù)文獻(xiàn)［23］提出的抗震規(guī)范規(guī)定場(chǎng)地類型等效剪切波速與VS30的轉(zhuǎn)化關(guān)系，將地震記錄劃分為5 類。

依據(jù)上述基本要求，確定下述原則從NGA-West2地震數(shù)據(jù)庫(kù)挑選地震記錄：①矩震級(jí)MW范圍在4～8 之 間；②僅考慮Joyner-Boore 距 在30～600 km之間的地震記錄，以排除近場(chǎng)地震動(dòng)的影響，如方向性效應(yīng)和脈沖效應(yīng)都有可能主導(dǎo)地震動(dòng)的頻譜特性；③平均剪切波速符合《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010）［16］場(chǎng)地劃分要求；④地震記錄的PGA 在0.05～0.8g范圍內(nèi)；⑤均采用水平向的地震記錄，不考慮豎向地震記錄。其中，Ⅰ0類場(chǎng)地113 條；Ⅰ1類 場(chǎng)地982 條；Ⅱ類場(chǎng)地2300 條；Ⅲ類場(chǎng)地693 條；Ⅳ類場(chǎng)地71 條，共4159 條地震記錄。圖5 給出了Ⅱ類、Ⅲ類場(chǎng)地地震記錄的矩震級(jí)MW與Joyner-Boore 距的關(guān)系?？梢钥闯觯款悎?chǎng)地地震記錄的矩震級(jí)MW與Joyner-Boore 距分布相對(duì)比較均勻，可以排除由于數(shù)據(jù)集中分布導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)結(jié)果缺乏說服力的問題，對(duì)地震記錄的模型參數(shù)識(shí)別及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律研究提供了良好的基礎(chǔ)。

圖5 不同場(chǎng)地矩震級(jí)（MW）與Joyner-Boore 距分布圖Fig.5 Distribution of MW and Joyner-Boore distance at different sites

2.2 隨機(jī)參數(shù)向量θ 的統(tǒng)計(jì)建模與檢驗(yàn)

C-P 譜模型的隨機(jī)參數(shù)向量θ是5 維向量，基于上述挑選的地震記錄，采用AWPSO 算法對(duì)各類場(chǎng)地地震記錄進(jìn)行C-P 譜參數(shù)識(shí)別，其中AWPSO 算法的初始參數(shù)c1，c2均取2.0；λmax，λmin分別取0.9，0.4；采用最大迭代次數(shù)取500；種群粒子個(gè)數(shù)取100；設(shè)置隨機(jī)參數(shù)向量θ的上下限：ωg∈（0，50），ξg∈（0，1），ωf∈（0，6），ξf∈（0，1），S0∈（0，20），充分保障計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。依據(jù)不同的場(chǎng)地類型，對(duì)隨機(jī)參數(shù)向量θ的5 個(gè)分量分別進(jìn)行識(shí)別統(tǒng)計(jì)。由于篇幅有限，圖6 僅給出Ⅰ1類場(chǎng)地不同參數(shù)的概率密度直方圖，其中縱坐標(biāo)pdf表示概率密度函數(shù)。

圖6 Ⅰ1類場(chǎng)地C-P 譜模型參數(shù)分布直方圖及概率分布模型Fig.6 Parameter distribution histogram and probability distribution model of C-P spectrum model for class Ⅰ1 site

利用上述識(shí)別的C-P 譜模型參數(shù)，分別對(duì)各參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，作出統(tǒng)計(jì)直方圖。依據(jù)統(tǒng)計(jì)直方圖，估計(jì)C-P 譜模型各參數(shù)的分布類型。本文分別選取截?cái)嗾龖B(tài)分布（Truncated-Normal）、對(duì)數(shù)正態(tài)分布（Log-Normal）、極值Ⅰ型Gumbel 分布、偏移Gamma 分布和Weibull 分布五種概率分布形式作為備選概率分布模型。采用極大似然估計(jì)法獲得譜參數(shù)的概率密度函數(shù)，然后分別對(duì)5 種概率分布模型在5%顯著水平下進(jìn)行K-S 檢驗(yàn)和A-D 檢驗(yàn)，以驗(yàn)證分布的合理性，當(dāng)通過假設(shè)檢驗(yàn)的模型多于一種時(shí)，則進(jìn)一步采用AIC 準(zhǔn)則和BIC 準(zhǔn)則挑選出最優(yōu)的概率分布模型。圖6 為Ⅰ1場(chǎng)地C-P 譜參數(shù)的最優(yōu)概率分布模型。

表2給出了不同場(chǎng)地類型C-P 譜參數(shù)的最優(yōu)概率分布模型及其基本參數(shù)。其中，當(dāng)譜參數(shù)的最優(yōu)分布模型為Truncated-Normal 分布和Log-Normal 分布時(shí)，P1和P2分別代表（截?cái)啵┚岛停ń財(cái)啵?biāo)準(zhǔn)差；當(dāng)譜參數(shù)的最優(yōu)分布模型為偏移Gumbel 分布時(shí)，P1和P2分別代表位置參數(shù)和尺度參數(shù)；當(dāng)譜參數(shù)的最優(yōu)分布模型為Gamma 分布時(shí)，P1和P2分別代表形狀參數(shù)和尺度參數(shù)；當(dāng)譜參數(shù)的最優(yōu)分布模型為Weibull 分布時(shí)，P1和P2分別代表尺度參數(shù)和形狀參數(shù)。

表2 各類場(chǎng)地C-P 譜模型參數(shù)的最優(yōu)概率分布模型統(tǒng)計(jì)Tab.2 Statistics of the optimal probability distribution models of C-P spectrum model parameters for various sites

從表2 中可以看出，不同場(chǎng)地的參數(shù)服從不同的最優(yōu)概率分布模型，對(duì)于以上5 種分布模型均未通過假設(shè)檢驗(yàn)的參數(shù)，本文依舊給出了備選分布模型中置信水平最高且AIC與BIC值較小的概率分布模型。綜合各種場(chǎng)地參數(shù)識(shí)別結(jié)果可以看出，ωg近似服從Gumbel分布，ξg基本服從Weibull分布，ωf服從Truncated-Normal 分布，ξf大致服從偏移Gamma分布，S0服從Log-Normal 分布。根據(jù)各參數(shù)的概率分布，可以進(jìn)行Monte Carlo 抽樣模擬，從而得出各類場(chǎng)地具有代表性的C-P 統(tǒng)計(jì)抽樣功率譜，為不同場(chǎng)地的結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析以及人工地震動(dòng)合成奠定基礎(chǔ)。

綜合上述統(tǒng)計(jì)分析，依據(jù)各參數(shù)的最優(yōu)概率分布模型以下四分位值與上四分位值作為建議取值范圍，如表3 所示。通過比較5 類場(chǎng)地各參數(shù)的建議取值范圍可以發(fā)現(xiàn)，ωg隨場(chǎng)地類型的變化最大，隨剪切波速的增大而增大，Ⅰ類場(chǎng)地明顯大于Ⅳ類場(chǎng)地，導(dǎo)致這種現(xiàn)象的原因可能是堅(jiān)硬土層相比于松軟土層固有的卓越圓頻率更高；ξg隨場(chǎng)地的變化并不明顯，大致在0.2～0.6 之間，由于第二個(gè)過濾層的參數(shù)主要體現(xiàn)在對(duì)低頻的抑制作用，因此參數(shù)ωf與ξf受到場(chǎng)地特性的影響較小，ωf大致在1.5～4 rad/s 之間，且同一個(gè)場(chǎng)地ωf大約為0.1～0.25 倍的ωg，ξf建議取值在0.25～0.5 之間，基本與ξg保持一致。

表3 5 類場(chǎng)地各參數(shù)的建議取值范圍Tab.3 Recommended value ranges for parameters of five types of sites

2.3 C-P 譜模型參數(shù)的相關(guān)性分析

為了構(gòu)造C-P 譜模型參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，本文進(jìn)一步分析了隨機(jī)參數(shù)變量θ中各參數(shù)之間的相關(guān)性強(qiáng)弱。選取3 種不同類型的相關(guān)系數(shù)：Pearson 線性相關(guān)系數(shù)、Kendall 秩相關(guān)系數(shù)、Spearman 秩相關(guān)系數(shù)：

式中x1i和x2i分別為隨機(jī)參數(shù)向量θ中任意兩個(gè)參數(shù)的第i個(gè) 值和分別為 它們的 樣本均 值；N為樣本容量；sign［?］為符號(hào)函數(shù)，其中當(dāng)(x1ix1j)(x2i-x2j)>0 時(shí)，sign=1，否則sign=0；ri和si分別為向量θ中任意兩個(gè)參數(shù)的秩和分別為它們的樣本均值。

上述相關(guān)系數(shù)可以分別用來反映變量間的線性相關(guān)程度、一致性變化程度以及單調(diào)相關(guān)程度。

本文分別計(jì)算了5 類場(chǎng)地下隨機(jī)參數(shù)向量θ各分量參數(shù)間的3 種不同相關(guān)系數(shù)。由于篇幅有限，本文僅給出了Ⅱ和Ⅲ類場(chǎng)地的3 種不同相關(guān)系數(shù)熱圖，如圖7 和8 所示。

圖7 Ⅱ類場(chǎng)地隨機(jī)參數(shù)向量θ 的不同相關(guān)系數(shù)熱圖Fig.7 Heat map of different correlation coefficients for random parameter vector θ of class Ⅱ site

圖8 Ⅲ類場(chǎng)地隨機(jī)參數(shù)向量θ 的不同相關(guān)系數(shù)熱圖Fig.8 Heat map of different correlation coefficients for random parameter vector θ of class Ⅲ site

從圖中可以看出，同一類場(chǎng)地中C-P 功率譜隨機(jī)參數(shù)向量θ的任意兩個(gè)參數(shù)之間，無論哪種相關(guān)系數(shù)，均小于0.8 的強(qiáng)相關(guān)閾值；其他場(chǎng)地也具有類似的特性。因此可以認(rèn)為，隨機(jī)參數(shù)向量θ各參數(shù)間存在弱相關(guān)性。基于上述分析，可以給出各單一隨機(jī)參數(shù)變量的最優(yōu)概率密度函數(shù)，進(jìn)一步假設(shè)各變量是相互獨(dú)立的，則C-P 譜模型的聯(lián)合概率密度函數(shù)f（ωg，ξg，ωf，ξf，S0）可以表示為：

式中f（?）表示不同參數(shù)的概率密度函數(shù)。

3 基于Clough-Penzien 功率譜模型的地震動(dòng)合成

基于得到的C-P 譜模型各參數(shù)的最優(yōu)概率分布模型及聯(lián)合概率密度函數(shù)模型，選擇Ⅱ類場(chǎng)地作為典型場(chǎng)地進(jìn)行分析，采用Latin 超立方抽樣方法對(duì)每個(gè)參數(shù)進(jìn)行106次隨機(jī)抽樣，并取其均值作為代表值。同時(shí)，根據(jù)Kual［24］提出的加速度反應(yīng)譜值與譜矩在超越概率為r時(shí)的關(guān)系式，再通過對(duì)譜矩進(jìn)一步近似后得到的由反應(yīng)譜直接計(jì)算功率譜的近似表達(dá)式，當(dāng)采用單邊功率譜時(shí)，Kaul 的計(jì)算公式可以表示為：

式中Sa（ω）為地震動(dòng)的功率譜；ξ為阻尼比；Pa（ω）為加速度反應(yīng)譜；Td為強(qiáng)震動(dòng)的持續(xù)時(shí)間；r為響應(yīng)峰值超越反應(yīng)譜值的概率，Kual 建議r近似取值為0.15。

利用上述Kual 近似轉(zhuǎn)化公式，將規(guī)范Ⅱ類場(chǎng)地反應(yīng)譜轉(zhuǎn)化為場(chǎng)地統(tǒng)計(jì)功率譜，Ⅱ類場(chǎng)地轉(zhuǎn)化統(tǒng)計(jì)功率譜與Latin 超立方抽樣統(tǒng)計(jì)功率譜的對(duì)比如圖9 所示，其中縱坐標(biāo)PSD 表示功率譜密度。

圖9 Ⅱ類場(chǎng)地功率譜對(duì)比Fig.9 Power spectrum comparison of class Ⅱ site

如圖9 所示，場(chǎng)地規(guī)范轉(zhuǎn)化功率譜在0 Hz 處值不為零，與實(shí)際不符；在低頻處場(chǎng)地規(guī)范轉(zhuǎn)化功率譜明顯大于統(tǒng)計(jì)抽樣功率譜，這是由于中國(guó)建筑抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的長(zhǎng)周期段（5 倍特征周期Tg至6 s）處的斜率為0.02 的直線，高估了長(zhǎng)周期的反應(yīng)譜值，但該下降段的譜值隨周期延長(zhǎng)下降過慢，且阻尼調(diào)整系數(shù)值過于保守；同時(shí)，下降段衰減指數(shù)高于美國(guó)和歐洲規(guī)范取值。從高層結(jié)構(gòu)及隔震結(jié)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用來看，用規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜求得的長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)地震作用較實(shí)際大［25］。除此之外，規(guī)范轉(zhuǎn)化功率譜在高頻處明顯高于真實(shí)場(chǎng)地功率譜的譜值，造成這一現(xiàn)象的部分原因是Kual 近似轉(zhuǎn)換公式在高頻處的失真偏大，丁佳偉等［26］和何浩祥等［27］曾對(duì)這一現(xiàn)象做出了合理的解釋，并對(duì)Kual 轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行了修正，如圖9 所示，修正轉(zhuǎn)化后的功率譜與抽樣統(tǒng)計(jì)功率譜在長(zhǎng)周期階段更加吻合，這是由于修正轉(zhuǎn)化功率譜的計(jì)算源于真實(shí)的地震記錄。綜上所述，本文經(jīng)過Latin 超立方抽樣得到的統(tǒng)計(jì)功率譜在卓越頻率處與場(chǎng)地規(guī)范轉(zhuǎn)化功率譜十分接近，因此本文得到的抽樣統(tǒng)計(jì)功率譜可以實(shí)現(xiàn)對(duì)場(chǎng)地總體特性的概括，并對(duì)場(chǎng)地規(guī)范反應(yīng)譜的修正提供一定的基礎(chǔ)。

在目前基于性能地震工程（PBEE）的實(shí)踐中，輸入的地震動(dòng)主要來自過去的地震記錄數(shù)據(jù)庫(kù)。為了滿足實(shí)際需求，需要調(diào)節(jié)所選擇的地震記錄，但調(diào)節(jié)后的地震記錄并不能代表真實(shí)的地震記錄，因此依據(jù)場(chǎng)地特性合成的地震記錄更具代表性。如圖9所示的Ⅱ類場(chǎng)地規(guī)范反應(yīng)譜轉(zhuǎn)化統(tǒng)計(jì)功率譜與Latin 超立方抽樣統(tǒng)計(jì)功率譜，按照下式分別生成上述兩種功率譜密度函數(shù)的強(qiáng)度非平穩(wěn)隨機(jī)過程樣本函數(shù)：

式中φk為（0，2π）內(nèi)均勻分布的隨機(jī)相角；ωu，ωl分別為正ω域內(nèi)的上、下限值，即認(rèn)為Sx（ω）的有效功率在（ωl，ωu）范圍內(nèi)，而范圍外的Sx（ω）值可視為零；f（t）為強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)，體現(xiàn)了模擬地震地面運(yùn)動(dòng)的時(shí)間變化特征，是基于地震記錄由上升、持續(xù)平穩(wěn)到下降這3 個(gè)階段的特性進(jìn)行研究的，一般采用Amin等［28］提出的分段函數(shù)進(jìn)行描述。

對(duì)于功率譜的修正迭代，本文采用文獻(xiàn)［26］提供的方法，其迭代公式為：

式中j為功率譜迭代的次數(shù)，對(duì)第i個(gè)控制點(diǎn)周圍的非控制點(diǎn)采用線性插值的方法進(jìn)行修正；(ωi)為目標(biāo)反應(yīng)譜；Sa（ωi）為計(jì)算反應(yīng)譜；Sj（ωi）為控制點(diǎn)的功率譜，達(dá)到誤差允許的范圍內(nèi)即可停止迭代。

基于本文得到的C-P 譜參數(shù)概率分布模型，可以分別得到各類場(chǎng)地C-P 譜的函數(shù)模型，并依據(jù)功率譜迭代的人工地震動(dòng)合成方法，合成具有場(chǎng)地統(tǒng)計(jì)時(shí)頻特性的人工地震記錄，如圖10 所示。圖11 計(jì)算了50 次隨機(jī)模擬地震記錄的平均反應(yīng)譜與累計(jì)正斜率穿零點(diǎn)數(shù)的分布，其中縱坐標(biāo)PSA 表示偽譜加速度。如圖11（a）所示，合成地震記錄的頻譜在長(zhǎng)周期階段小于規(guī)范反應(yīng)譜，這也符合真實(shí)地震記錄的反應(yīng)譜特性，因?yàn)楸疚奶岢龅墓β首V模型源于對(duì)不同場(chǎng)地真實(shí)地震記錄的計(jì)算，并且中國(guó)規(guī)范反應(yīng)譜的長(zhǎng)周期的譜值偏大問題并沒有解決，所以本文合成地震記錄的反應(yīng)譜的長(zhǎng)周期譜值更具真實(shí)性。圖11（b）通過累計(jì)正斜率穿零點(diǎn)數(shù)的分布進(jìn)一步表征了合成地震記錄的頻域非平穩(wěn)特性。綜上所述，本文提出的合成地震動(dòng)記錄的方法無論是在時(shí)域還是在頻域范圍內(nèi)，均具有良好的非平穩(wěn)特性，從而可為工程結(jié)構(gòu)的抗震分析、設(shè)計(jì)和評(píng)估提供可靠的地震動(dòng)輸入模型。

圖10 基于不同功率譜合成的地震記錄Fig.10 Synthesis of seismic records based on different power spectra

圖11 模擬地震記錄的頻譜驗(yàn)證Fig.11 Spectrum verification of simulated seismic records

4 結(jié)論

Clough-Penzien 功率譜模型利用兩個(gè)線性濾波器過濾掉超低頻率處的激勵(lì)，改善了Kanai-Tajimi譜不能反映基巖地震動(dòng)的頻譜特征以及過分夸大低頻能量的缺點(diǎn)，具有更加明確的物理意義，但因其參數(shù)較多，學(xué)術(shù)界沒有給出各參數(shù)依據(jù)具體場(chǎng)地真實(shí)地震記錄的取值范圍，限制了C-P 譜在結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析以及人工地震動(dòng)合成等地震工程中的應(yīng)用和發(fā)展。

本文采用AWPSO 算法對(duì)C-P 模型的譜參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，通過對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)AWPSO 算法的參數(shù)識(shí)別精度相比OLS 算法至少提升2.3%，且AIC值更小，進(jìn)一步表明AWPSO 算法對(duì)數(shù)據(jù)擬合的可靠性，尤其在進(jìn)行大數(shù)據(jù)處理中保障了參數(shù)識(shí)別的精度，同時(shí)該算法具有快速、高效等計(jì)算優(yōu)勢(shì)。

依據(jù)“震源特性-傳播路徑-場(chǎng)地條件”的地震記錄挑選準(zhǔn)則建立地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)，利用AWPSO 算法分別對(duì)5 類不同場(chǎng)地的地震記錄進(jìn)行C-P 譜隨機(jī)參數(shù)向量θ識(shí)別，并對(duì)各類場(chǎng)地不同參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，依據(jù)K-S 檢驗(yàn)和A-D 檢驗(yàn)以及AIC 準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則確定參數(shù)的最優(yōu)概率分布模型。采用3 種不同的相關(guān)系數(shù)，分別計(jì)算了各參數(shù)間的相關(guān)性，結(jié)果表明各參數(shù)間存在弱相關(guān)性，進(jìn)而假設(shè)各參數(shù)相互獨(dú)立，建立了C-P 譜模型的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

以Ⅱ類場(chǎng)地為例，依據(jù)給出的C-P 譜各參數(shù)最優(yōu)概率分布模型，得到場(chǎng)地具有抽樣統(tǒng)計(jì)意義的C-P 譜。相比于規(guī)范反應(yīng)譜轉(zhuǎn)換功率譜，無論在高頻還是低頻處，C-P 譜都更加符合真實(shí)的地震動(dòng)頻譜特性，也對(duì)反應(yīng)譜的修正提供了參考。利用功率譜迭代修正三角級(jí)數(shù)合成人工地震動(dòng)的方法，合成了具有場(chǎng)地抽樣統(tǒng)計(jì)意義的C-P 譜地震記錄，合成的人工地震記錄具有真實(shí)場(chǎng)地特性地震記錄的時(shí)/頻域全非平穩(wěn)特性，可為地震危險(xiǎn)性、易損性和風(fēng)險(xiǎn)分析及工程結(jié)構(gòu)抗震分析、設(shè)計(jì)及評(píng)估提供更為科學(xué)合理的地震動(dòng)輸入模型。