劉耀義，余 敏，李 才

（1.惠州市藍(lán)微電子有限公司，惠州 516000；2.三一重工股份有限公司，長沙 430100）

0 引言

實際工業(yè)過程中的很多系統(tǒng)，如材料的成型過程、化學(xué)過程中的催化反應(yīng)、表面貼裝（Surface Mount Technology,SMT）產(chǎn)線上的芯片固化工藝，都具有典型的時間和空間動態(tài)特征，它們常被稱為分布參數(shù)系統(tǒng)（Distributed Parameter System，DPS）[1]。這些過程通常伴隨著明顯的時變或非線性，并且具有未知的動力學(xué)和未知的邊界條件，這些都為DPSs的有效建模帶來了巨大的挑戰(zhàn)[2-4]。

對于這類系統(tǒng)，傳統(tǒng)的處理方法是將其視為一系列的偏微分方程組（Partial Differential Equation，PDE），然后通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)或數(shù)值求解的方法，如有限差分法（Finite difference method，F(xiàn)DM）、有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）、伽遼金及譜方法等[5-7]，將其轉(zhuǎn)化為常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）。這其中需要解決無線維向有限維的近似問題，很多學(xué)者展開了研究并取得了一系列的成果。在工程應(yīng)用中，這類模型通常被稱為有限集總參數(shù)模型。然而，對于這些主要的建模方法，在許多DPS中獲得精確的偏微分方程或邊界條件是一個巨大的挑戰(zhàn)，這往往使得對此類DPS建模變得困難[8-9]。

近年來，隨著傳感器技術(shù)的發(fā)展和數(shù)據(jù)手段的不斷更新，各種形式的數(shù)據(jù)從工業(yè)過程中被采集出來，這為數(shù)據(jù)建模方法的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，提供了強(qiáng)大的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。因此，為了進(jìn)一步彌補傳統(tǒng)方法的不足，很多學(xué)者提出了一些基于數(shù)據(jù)模型的方法，從實驗輸入/輸出數(shù)據(jù)中提取系統(tǒng)的特征，確保數(shù)據(jù)驅(qū)動模型的準(zhǔn)確性[10-11]。其中，時空分離策略被許多學(xué)者研究并獲得了大量成功應(yīng)用[12]。該類方法主要通過機(jī)器學(xué)習(xí)算法，如Karhunen Loève（KL）[13]、主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）[14]和支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）[15]等，從系統(tǒng)的輸入與輸出數(shù)據(jù)中提取空間特征，這些特征被稱表示為空間基函數(shù)。然后，將系統(tǒng)輸出映射到空間基函數(shù)，生成表征DPSs時間動態(tài)的的時間系數(shù)，從而實現(xiàn)從原始時空建模問題向時間序列建模過程的簡化。為此，人們開發(fā)了許多方法來模擬這一時間序列過程[14-16]。然而，這些方法主要在處理線性動態(tài)方法具有明顯的優(yōu)勢，但對于如芯片固化過程等具有明顯非線性的工業(yè)過程，其建模的準(zhǔn)確性無法滿足實際需求。此外，為了解決這個問題，盡管已經(jīng)有學(xué)者開發(fā)了數(shù)據(jù)驅(qū)動的建模模型，但高階模型給計算資源帶來了巨大壓力，使得模型難以用于實際預(yù)測和控制。

因此，為有效解決工程實際中存在的建模難和運算復(fù)雜的問題，本文基于全局降維技術(shù)和現(xiàn)有時空分離架構(gòu)，提出了一種低維時空建模方法，對芯片加熱過程中的非線性空間和時間動態(tài)進(jìn)行有效建模。首先，利用PCA對非線性空間特征進(jìn)行全局處理，識別并刪除冗余空間點；在損失盡量少信息的前提下，將無限維的空間動態(tài)分布轉(zhuǎn)化為有限維的空間基函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，通過將系統(tǒng)的時空數(shù)據(jù)在空間基函數(shù)上投影，得到表示系統(tǒng)非線性時間動態(tài)的時間序列。然后，結(jié)合模糊算法在非線性建模方法的優(yōu)勢，建立了基于模糊算法的非線性時間模型。最后，將所獲得的空間基函數(shù)與非線性模糊模型結(jié)合起來，實現(xiàn)了對芯片固化成型過程中空間分布和非線性時間動態(tài)的有效重構(gòu)。并通過晶圓的快速熱過程仿真，對本文所構(gòu)建模型的有效性進(jìn)行了驗證。

1 問題描述

1.1 溫度建模中存在的問題

在芯片固化過程中，溫度經(jīng)常決定著產(chǎn)品的最終性能。例如，晶圓的快速熱過程中，需通過合適的升溫速率將晶片重復(fù)加熱至所需溫度。此外，在STM產(chǎn)線上，將電子元件放置到印刷電路板（Printed circuit boards,PCB）上后，也需要通過固化爐的加熱作用將元件固定在PCB板上。該過程中的升溫速率與峰值溫度分別決定了組裝膠固化后SMT貼片的加工表面質(zhì)量和貼片膠的粘結(jié)強(qiáng)度。因此，溫度的均勻分布與控制精度是芯片成型和質(zhì)量的關(guān)鍵。以晶圓的快速熱過程為例，其具體原理如圖1所示。

圖1 晶圓的快速熱過程示意圖

在一些假設(shè)和簡化條件下，例如忽略位置的極角和晶圓的厚度，該系統(tǒng)可描述為以下偏微分方程[17,18]：

其中，T和Ta是晶圓和石英窗的調(diào)整溫度，dn(z,t)和dr(z,t)分別表示系統(tǒng)中未知的噪聲和擾動；uj(t)表示系統(tǒng)輸入（電源燈的實際強(qiáng)度）；bj(z)表示外部輸入能量從區(qū)域j傳輸?shù)骄A的位置z上的輻射系數(shù)。系統(tǒng)的初始狀態(tài)和邊界條件如下：

目前，雖然有很多針對分布參數(shù)系統(tǒng)的模型被提出，但大多集中在慢變、線性或非線性過程中。由于物體本身的物理特征，從圓心鋪展開來的階梯溫度分布，導(dǎo)致了加熱過程溫度分布具有很強(qiáng)的空間和時間的非線性，這與很多工業(yè)過程有很大的區(qū)別。此外，在實際生產(chǎn)過程中，由于時變非線性、未知動力學(xué)和未知邊界條件，獲得上述顯式的方程和邊界條件非常困難。因此，結(jié)合材料本身的物理過程和生產(chǎn)數(shù)據(jù)建立加熱過程中準(zhǔn)確的溫度分布模型，對于保證良好的質(zhì)量具有重要意義。

1.2 數(shù)據(jù)驅(qū)動的溫度建模方法

針對上述問題，很多基于數(shù)據(jù)的溫度建模方法被提出來，其中比較典型的是時空分離框架[12]，這種方法主要根據(jù)傅里葉變換思想，對不同采樣時刻的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。其具體做法是：首先，利用特定的特征提取算法獲得快照集的主要特征，從而在信息損失最小的情況下，將無限維的空間分布轉(zhuǎn)化為有限維的標(biāo)準(zhǔn)特征向量，即空間基向量。在此基礎(chǔ)上，將原始樣本在空間基向量上投影，得到表征非線性時間動態(tài)的時間序列數(shù)據(jù)。這樣，復(fù)雜的非線性時空建模方法就有效地轉(zhuǎn)化為了時序建模問題。

在測試晶圓的表面沿半徑方向，平均分布N個空間傳感器，采集到如下數(shù)據(jù)：[u(tk),y(xi,tk)]，其中，i=1,2,...,N，k=1,2,...,L。y(xi,tk)表示第i個傳感器在tk(k=1,2,...,L)時刻的輸出。u(t)=[u1(t),u2(t),...,um(t)]T表示輸入電壓?；跁r空分離思想，該分布參數(shù)系統(tǒng)的時空動態(tài)可由下式構(gòu)建：

最終，通過降維技術(shù)，系統(tǒng)輸出可近似為以下的M階模型：

在上述時空分離架構(gòu)的基礎(chǔ)上，有很多不同的算法被提出，如KL變換、奇異值分解、流形學(xué)習(xí)等[13-15]，并在實際工業(yè)過程中得到了有效驗證。然而，這一類方法在進(jìn)行降維的時候主要基于線性變換，大多只適用于線性系統(tǒng)或弱非線性系統(tǒng)動態(tài)，往往無法對強(qiáng)非線性時空動態(tài)進(jìn)行有效的建模。因此，需要建立一個有效的非線性時空模型，以表征系統(tǒng)的復(fù)雜空間分布與非線性時間動態(tài)。

2 基于PCA和模糊的低維時空模型

為了解決芯片成型過程中溫度場的時空非線性動態(tài)建模問題，在PCA和非線性模糊建模技術(shù)的啟發(fā)下，提出了一種低維時空建模方法來重新建立溫度場的非線性時空動態(tài)。具體如圖2所示。與傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)建模方法相比，該方法對非線性空間特征采用全局處理的方法，在利用PCA算法的時候，引入了核技巧，使低維空間中的非線性樣本數(shù)據(jù)在高維空間中被映射和線性化，從而在變換過程中保留空間非線性動力學(xué)。在此基礎(chǔ)上，通過將原始時空數(shù)據(jù)映射到空間基函數(shù)，獲得表征系統(tǒng)時間動態(tài)的時間序列。利用T-S模糊模型在非線性建模方面的優(yōu)勢，對系統(tǒng)的時序數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。最終，將二者結(jié)合起來，實現(xiàn)了對芯片成型過程中溫度的空間分布和非線性時間動態(tài)的有效建模。

圖2 基于PCA與模糊的低維時空建模方法

2.1 芯片固化過程的空間降維方法

通常，在對非線性分布參數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行建模的時候，傳統(tǒng)基于主成分分析或流形學(xué)習(xí)等方法的降維過程是線性的，在處理強(qiáng)空間非線性時，空間基函數(shù)的提取不能準(zhǔn)確反映空間動態(tài)，導(dǎo)致低維時間序列數(shù)據(jù)無法準(zhǔn)確獲取，從而產(chǎn)生建模誤差。這里，利用PCA中核技術(shù)，將低維空間中的非線性樣本數(shù)據(jù)在高維空間中做線性映射，從而在變換過程中保留空間非線性動力學(xué)。

為表示方便，將y(xi,tk)，i=1,2,...,N在tk時刻的輸出簡化為：

引入空間映射函數(shù)φ(·)反映數(shù)據(jù)從原始數(shù)據(jù)空間到高維空間的映射。由于在實際生產(chǎn)系統(tǒng)中，φ(·)通常很難獲取，一個有效的方法是引入核技術(shù)，通過映射函數(shù)的內(nèi)積形式，將其顯示化為空間核函數(shù)。在本文中，以下的高斯核徑向基函數(shù)用于反映這種低維到高維的非線性映射關(guān)系：

其中，δ表示高斯核函數(shù)的寬度參數(shù)。傳統(tǒng)的PCA降維方法是直接對樣本數(shù)據(jù)χk進(jìn)行處理。這里考慮到空間的非線性分布，引入了核技巧以實現(xiàn)對空間非線性的有效表征。假設(shè)樣本χk在新坐標(biāo)系中的映射為，則原始數(shù)據(jù)投影前后的誤差為：

其中，E滿足

其中，W=(w1,w2,...,wN)表示投影變換后的新坐標(biāo)系中的一組正交基。這里的核心問題是要找到符合條件的一組基函數(shù)滿足||W||2=1，由上述過程可構(gòu)建如下的二次優(yōu)化問題：

利用拉格朗日乘子法，并對上述目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)后，可以得到滿足條件的一組基函數(shù)：

通過時空數(shù)據(jù)的非線性映射和高維特征空間的降維，空間基函數(shù)ψ(x)={ψ(x1),ψ(x2),L,ψ(xd)}即可獲得：

2.2 模糊時間模型

基于上述有限維空間基函數(shù)，通過將系統(tǒng)輸入與輸出數(shù)據(jù)在該高維空間進(jìn)行映射，得到系統(tǒng)的非線性時間序列。根據(jù)時間序列數(shù)據(jù)的特征，建立相應(yīng)的模糊規(guī)則，提出了一種基于模糊算法的非線性模型，對系統(tǒng)的非線性時間動態(tài)進(jìn)行重構(gòu)。

根據(jù)時空分離的思想，將系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)在核函數(shù)上投影，可以得到表征系統(tǒng)時間動態(tài)的時間乘子。其中，αi(tk)用于表征系統(tǒng)在xi位置的時間動態(tài)?？梢?，對該時間乘子建立有效的模型，即可實現(xiàn)對系統(tǒng)的非線性時間動態(tài)的準(zhǔn)確表達(dá)。這里，考慮到模糊模型對一切非線性過程的精確逼近能力，采用模糊模型來構(gòu)建晶圓固化過程中時間維度上的非線性動態(tài)。假設(shè)Gsi(i=1,2,L,p)表示先驗規(guī)則變量的模糊集，令，對于空間位置點j建立模糊規(guī)則如下：

其中，s=1,2,L,r表示規(guī)則編號；α(tk)表示系統(tǒng)在tk時刻的非線性時間動態(tài)；u(tk)表示系統(tǒng)在tk時刻的輸入；As和Bs分別表示上一時刻的輸出與該時刻輸入的系數(shù)。通常，利用優(yōu)化算法可進(jìn)一步求解得到參數(shù)As和Bs。由此，可以構(gòu)建系統(tǒng)的時間乘子模型如下：

σl表示第l個模糊集的高斯參數(shù)。最后，結(jié)合無冗余空間基函數(shù)和模糊時間模型，可得用于表征系統(tǒng)非線性空間分布和時間動態(tài)的時空模型：

綜上所述，本文所建立的基于核化主成分分析和模糊算法的低維時空建模方法的主要過程如下：

1）利用傳感器測量系統(tǒng)中的輸入和輸出數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)采用核化主成分分析方法，通過式(13)和閾值（95%）確定降維后的最優(yōu)維數(shù)，將無限維的空間分布轉(zhuǎn)化為有限維的傳感器的空間特征。

2）基于上述的空間基函數(shù)，根據(jù)式(5)將系統(tǒng)輸入與輸出數(shù)據(jù)在該高維空間進(jìn)行映射，得到式(16)中的非線性時間序列。

3）根據(jù)時間序列數(shù)據(jù)的特征，建立相應(yīng)的模糊規(guī)則，提出基于模糊算法的非線性模型(18)，對系統(tǒng)的非線性時間動態(tài)進(jìn)行重構(gòu)，表征晶圓固化過程中的非線性時間動態(tài)；

4）根據(jù)空間基函數(shù)與時間模糊模型，得到最終的低維非線性時空模型(20)，實現(xiàn)對系統(tǒng)非線性空間動態(tài)和時間動態(tài)的準(zhǔn)確重構(gòu)。

3 算例分析

為了進(jìn)一步驗證，本文所建立的基于KPCA和模糊算法的時空非線性建模策略，本章設(shè)計了晶圓固化過程中的算例，對模型的準(zhǔn)確性和有效性進(jìn)行驗證。

對于方程(1)～(2)描述的晶圓固化系統(tǒng)，方程(1)中的bj(z)表示外部輸入能量從區(qū)域j傳輸?shù)骄A位置z上的輻射系數(shù)，其具體形式可表示為[17]：

上式，dl表示燈到晶圓的距離，rin,j和rout,j是電源燈在區(qū)域j的內(nèi)徑和外徑。

該系統(tǒng)中，噪聲為滿足dn(z,t)～N(0,0.042)的高斯白噪聲；燈光源到晶圓的距離dl=1.15cm。其他加熱過程中的參數(shù)設(shè)計和取值如表1和表2所示[18]。

表1 加熱區(qū)域劃分及相關(guān)參數(shù)設(shè)置

表2 晶圓固化過程中的參數(shù)取值

通過與幾種常用方法的比較，對晶圓的固化過程進(jìn)行了仿真研究，評估所提出的建模方法的有效性。采用相對誤差（RE）和均方根誤差（RMSE）兩個指標(biāo)來驗證建模性能。

在仿真過程中，以晶圓的圓心為重點，沿半徑方向平均布局了13個傳感器，用于監(jiān)測和收集固化過程中晶圓的溫度，每個傳感器之間的距離是1cm，如圖3所示。

圖3 晶圓表面?zhèn)鞲衅鞯目臻g分布

對系統(tǒng)的每個區(qū)域施加激勵信號[17]，以0.01s為采樣時間，經(jīng)時長為3s的收集，總共采集了300組輸入及相應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)。加熱過程中五個區(qū)域的激勵信號及晶圓表面溫度的最終分布如圖4、圖5所示。

圖4 加熱過程中的激勵信號

圖5 晶圓表面的溫度分布

在這些數(shù)據(jù)中，取前200組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其余100組數(shù)據(jù)用于測試模型。根據(jù)所提出的方法，利用最佳切圖策略后，所建模型的階數(shù)從13減少到8。根據(jù)降階后的8個傳感器，基于空間核函數(shù)與模糊算法進(jìn)行時空非線性動態(tài)的建模，該模型的實際輸出和訓(xùn)練輸出，以及相對誤差如圖6、圖7所示。

圖6 訓(xùn)練數(shù)據(jù)上的模型輸出

圖7 訓(xùn)練相對誤差

從圖6和圖7可以看出，在訓(xùn)練過程中，所提出的模型可以有效地模擬系統(tǒng)的時空動態(tài)，相對誤差在很小的范圍內(nèi)有界。此外，所建立模型的預(yù)測性能如圖8、圖9所示。

圖8 測試模型輸出

圖9 測試相對誤差

從圖中可以看出，利用實際的實驗輸入和輸出數(shù)據(jù)，該降階模型能夠有效地重建該熱過程的時空動態(tài)，且測試點的預(yù)測誤差較小。為進(jìn)一步展示該算法對于刪減點的重建性能，在原始特征值的基礎(chǔ)上，利用插值的方法對刪減后的傳感器點進(jìn)行還原，模型的還原結(jié)果與原始數(shù)據(jù)對比結(jié)果如圖10所示。由圖可知，插值恢復(fù)后的傳感器數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)吻合度較高，總體丟失信息較少。

圖10 晶圓位置s3處的模型預(yù)測輸出

然后，通過比較驗證了該方法的有效性。表3顯示了相同順序下不同方法的性能比較。為了在同一維度上真實反映所有比較結(jié)果，與其他降維方法相比，本文設(shè)計的模型通過插值恢復(fù)冗余傳感器的數(shù)據(jù)。從RMSE可以看出，與文獻(xiàn)[14]中提出的基于PCA與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模方法相比，該方法具有更好的建模性能，因為該方法在降階過程中充分考慮了非線性空間分布，并且通過在線時空建模策略重構(gòu)了時間非線性動力學(xué)。

表3 算法對比結(jié)果

4 結(jié)語

本文針對芯片成型過程中溫度場在空間和時間上的非線性動態(tài)分布特性，在傳統(tǒng)時空分離結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，采用KPCA和模糊算法相結(jié)合的方法，提出了一種低維時空建模方法來重構(gòu)DPS的非線性時空動力學(xué)。利用這些機(jī)制，該方法可以有效地實現(xiàn)時變非線性DPSs模型。在此低維時空模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合晶圓的快速熱過程進(jìn)行了算例分析，并選取了幾種常用的方法進(jìn)行了進(jìn)一步的比較。最終的實驗結(jié)果和數(shù)據(jù)分析表明，由于充分考慮了空間和時間非線性動力學(xué)，與其他方法相比，該方法具有更好的建模性能。在后面的工作中，會進(jìn)一步基于實際的晶圓固化過程進(jìn)行硬件實驗，并對芯片固化成型過程中溫度的準(zhǔn)確與均勻控制展開深入研究。