王暉

葉子超

劉夢嫚

丁一

秦闐怡

一、引論

幾何學(xué)是對建筑學(xué)構(gòu)成支撐的基礎(chǔ)學(xué)科之一。從古埃及到中世紀(jì)再到近現(xiàn)代時期，從建筑的意匠構(gòu)思到設(shè)計法則乃至施工建造，幾何原理都持續(xù)扮演著重要的角色。建筑領(lǐng)域?qū)缀螌W(xué)的應(yīng)用研究由來已久，少數(shù)建筑師如G.笛沙格（Girard Desargues）和B.富勒（Buckminster Fuller）等人，也對幾何學(xué)作出過突出的貢獻(xiàn)。近年來奧地利計算幾何學(xué)家H.波特曼（Helmut Pottmann）明確提出了建筑幾何學(xué)（Architectural Geometry）的概念[1]，它可以理解為面向建筑領(lǐng)域的幾何學(xué)相關(guān)知識的集成。與過去相比，當(dāng)代建筑設(shè)計在復(fù)雜性、系統(tǒng)性和設(shè)計建造一體化等方面有更高的要求，因此對幾何學(xué)原理的需求也更為迫切。

目前建筑幾何學(xué)中討論較多的是拓?fù)鋷缀?、分形幾何、微分幾何和計算幾何等，已有豐富的研究成果。與這些幾何門類相比，本文所探討的離散幾何（Discrete Geometry）不太為人們所熟知。離散幾何也稱為組合幾何①（Combinatorial Geometry），是研究“離散”幾何對象如點、直線、圓、多邊形、多面體、球體、多胞體（高維空間）等的組合性質(zhì)和排布規(guī)律的幾何分支[2]。其中“離散”的基本意義是指元素的相對獨立、分離狀態(tài)，與“連續(xù)、不可分”的意義相對立。形態(tài)組合對設(shè)計工作的重要性不言而喻，尤其建筑設(shè)計而言，很多環(huán)節(jié)的工作從抽象層面都可以看作二維或三維形態(tài)的組織問題。因此，離散幾何必然與建筑設(shè)計之間有密切的關(guān)聯(lián)性。

隨著智能化工具的普及，計算性設(shè)計成為當(dāng)代建筑設(shè)計的前沿研究領(lǐng)域之一。按照孫澄教授的定義，建筑計算性設(shè)計是基于人居環(huán)境系統(tǒng)科學(xué)與復(fù)雜性科學(xué)思想，面向建筑方案創(chuàng)作需求，應(yīng)用適宜的人工智能技術(shù)，展開多性能目標(biāo)耦合考慮下的建筑設(shè)計元素自組織生成與自適應(yīng)優(yōu)化，生成建筑設(shè)計方案的過程[3]。建筑計算性設(shè)計的研究范疇可以更為寬泛，例如有學(xué)者認(rèn)為也包含信息感知與知識表示、模型與學(xué)習(xí)方法、多維評價方法等方面[4]。

建筑計算性設(shè)計依賴人工智能技術(shù)的支撐，后者可分為數(shù)據(jù)驅(qū)動和規(guī)則驅(qū)動兩種大的類型[5]。近兩年以數(shù)據(jù)驅(qū)動為特征的AI 技術(shù)發(fā)展迅速，引發(fā)了全社會的關(guān)注，但在建筑計算性設(shè)計等專業(yè)細(xì)分領(lǐng)域，規(guī)則驅(qū)動仍然占有極為重要的位置。與過程不可解析、不可控制的“黑箱”智能相比，規(guī)則驅(qū)動的優(yōu)勢包括內(nèi)在邏輯性強、過程相對可控、計算速度快、邏輯演繹方法具有更好的創(chuàng)新探索能力等。

離散幾何的研究對象具有直觀性和可計算性強的特點，它們的組合性質(zhì)和排布規(guī)律，對基于規(guī)則驅(qū)動的計算性設(shè)計有重要支撐作用，特別是在數(shù)理規(guī)則引導(dǎo)下的形態(tài)生成、模式窮舉、性能評價與優(yōu)選等方面。然而迄今為止在建筑設(shè)計領(lǐng)域?qū)τ陔x散幾何還缺乏清晰的討論，不少案例已涉及了離散幾何，但未能明確基礎(chǔ)原理及其在幾何學(xué)體系中的定位。因此，本文主要面向建筑計算性設(shè)計的應(yīng)用需求，梳理離散幾何的相關(guān)概念，探討一般性的應(yīng)用范疇和應(yīng)用潛力，初步構(gòu)建認(rèn)知框架和應(yīng)用體系，以充實當(dāng)代建筑幾何學(xué)的理論內(nèi)涵。

二、離散幾何相關(guān)研究范疇

離散幾何主要在20 世紀(jì)獲得了顯著發(fā)展，數(shù)學(xué)家László Fejes Tóth、H.S.M.Coxeter和Paul Erd?s 等人奠定了現(xiàn)代離散幾何的理論基礎(chǔ)。自20 世紀(jì)80 年代以來，離散幾何各分支在計算機工具的支撐下呈加速發(fā)展態(tài)勢，應(yīng)用范圍已拓展到自然地理學(xué)、材料學(xué)、晶體學(xué)、分子生物學(xué)、計算機圖形學(xué)、設(shè)計學(xué)等多個領(lǐng)域。在由歐洲數(shù)學(xué)學(xué)會和美國數(shù)學(xué)學(xué)會共同發(fā)布的新版數(shù)學(xué)學(xué)科分類目錄（MSC2020）中，“凸體與離散幾何”與其他90 多個分支如數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何等共同列入一級目錄。

目前國內(nèi)在離散幾何方面的基礎(chǔ)研究還相對薄弱，同時離散幾何的知識體系相當(dāng)龐雜，即使在數(shù)學(xué)界內(nèi)部的看法也不完全統(tǒng)一，給應(yīng)用研究造成了一定的困難。鑒于這種情況，本文首先基于國內(nèi)外主流文獻(xiàn)[6～10]進(jìn)行了基礎(chǔ)認(rèn)知的梳理，嘗試歸納離散幾何范疇下與建筑計算性設(shè)計關(guān)系密切的分支。其中包含兩大方面：作為內(nèi)涵的基本范疇（直觀研究對象）和作為外延的拓展范疇（學(xué)科交叉領(lǐng)域）。

1.離散幾何的直觀研究對象

基于維度的視角，可以把離散幾何的直觀研究對象分為兩類：同維度幾何對象的組合，以鑲嵌（Tiling）為主；不同維度幾何對象（主要涉及點與線）的組合，即關(guān)聯(lián)問題（Incidence）。

1）同維度組合問題，此方面主要包括鑲嵌、填裝、覆蓋以及格與離散群等。鑲嵌是指用幾何形體鋪滿空間，形體之間不存在空隙與重疊，研究較多的是二維平面鑲嵌（Tessellation）和三維立體鑲嵌（Honeycomb）。與鑲嵌相關(guān)的概念是填裝（允許空隙）和覆蓋（允許重疊），如果將空隙或重疊部分看作圖元，也可以將二者轉(zhuǎn)換為鑲嵌模式（圖1）。

圖1： 填裝、鑲嵌與覆蓋

設(shè)計領(lǐng)域的既往研究多以對稱性為依據(jù)，將鑲嵌分為周期性（Periodic）、準(zhǔn)周期（Quasi-periodic）與非周期（Aperiodic/Non-periodic）三種類型，但在離散幾何體系下有更為精確的分類方式。在二維和三維范疇下，根據(jù)鑲嵌元素的交邊、交點性質(zhì)，可將鑲嵌分為從一般到特殊的四個層級[11]（圖2）。一級為各類多邊形和多面體構(gòu)成的鑲嵌，包括交邊對交邊鑲嵌和非交邊對交邊鑲嵌；二級分類在交邊對交邊鑲嵌的基礎(chǔ)上，對交點類型加以約束，如果鑲嵌存在m 種類型的交點，稱為m 交點鑲嵌；三級分類進(jìn)一步將鑲嵌單元限制為正多邊形或均勻多面體，即均勻鑲嵌（uniform tiling），再按照交點類型和傳遞集類型（階數(shù)）進(jìn)行細(xì)分，各類型包含有限數(shù)量的模式，如平面單交點—1 階均勻鑲嵌的類型只有11 種（不含亞型）；四級分類進(jìn)一步約束為所有交點、交邊和單元均全等，只包含3 種正多邊形鑲嵌與1 種立方體鑲嵌。這種分類能夠?qū)驹仡愋瓦M(jìn)行定量描述、分析和控制，在計算性操作中有重要的應(yīng)用價值。

圖2： 二維與三維鑲嵌的分類和典型圖式

格（Lattice）與離散群（Discrete Group）是離散幾何的重要研究對象，它們以對稱性操作作為數(shù)理基礎(chǔ)，與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系密切。周期性晶體的基本單元具有同一性，不同的對稱分布方式?jīng)Q定了不同的性質(zhì)。晶體學(xué)中將基本單元抽象為點，點的空間分布構(gòu)成了空間點陣（也稱為晶格）。數(shù)學(xué)上目前證明在二維空間中有5種布拉維格（Bravais Lattice）和17 種離散對稱群（圖3），三維空間中有14 種布拉維格和230 種離散對稱群[12]。它們與鑲嵌之間也有密切關(guān)系，如由14 種布拉維格子推導(dǎo)出的維格納—賽茨晶胞（Wigner-Seitz Cell）可構(gòu)成空間鑲嵌，每種鑲嵌的基本單元完全相同（圖4）。

圖3： 平面布拉維格和離散對稱群

圖4： 可構(gòu)成鑲嵌的規(guī)則多面體（晶胞）與對應(yīng)的空間點陣（晶格）

2）關(guān)聯(lián)問題。由兩種不同維度的對象以及這些對象之間的單一關(guān)系組成的抽象系統(tǒng)稱為關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。例如在歐幾里得平面中，考慮點和線的連接或非連接關(guān)系，選擇性忽略距離、方向等性質(zhì)，得到的就是一種關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)[13]。關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)可以處理更高維度的對象（n維空間、非歐空間等），而研究最多的還是點—線關(guān)聯(lián)。對設(shè)計工作來說，關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)在空間關(guān)系、功能關(guān)系、連接關(guān)系的研究中有重要價值。

超圖（Hypergraph）不限制每條線關(guān)聯(lián)的頂點數(shù)量，屬于一般性關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每條線關(guān)聯(lián)的點數(shù)均為K 的超圖稱為K 階均勻超圖[14]（圖5）。2 階均勻超圖稱為圖（Graph），即每條線只關(guān)聯(lián)兩個頂點。圖是圖論（Graph Theory）的主要研究對象，后者包含著名的“七橋問題”等。根據(jù)連接關(guān)系可將圖單元分為多種類型（圖6），如多重圖—簡單圖、定向圖—非定向圖、平面圖—非平面圖（在連線不交叉時無法在平面內(nèi)繪制）、循環(huán)圖—非循環(huán)圖等[15]，這些性質(zhì)對設(shè)計工作有重要價值。

圖5： 三種3 階均勻超圖示例（限定直線或者曲線不包含拐點）

圖6： 圖（Graph）的多種分類

2.與其他幾何分支的交叉領(lǐng)域

離散幾何與微分幾何、拓?fù)鋷缀巍⒂嬎銕缀沃g存在廣泛的交叉領(lǐng)域（圖7），它們拓展了離散幾何的研究范疇，從中產(chǎn)生了很多強有力的數(shù)學(xué)工具。

1）離散微分幾何（Discrete Differential Geometry）是離散幾何與微分幾何的交叉。微分幾何是運用微積分工具研究曲線與曲面性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。相應(yīng)地，離散微分幾何主要探索平滑曲面的離散等價物的構(gòu)造方法[16]，以解決曲面的組合建構(gòu)和計算性問題。對連續(xù)對象進(jìn)行離散化處理也是著名的“有限元分析”方法的理論基礎(chǔ)，結(jié)構(gòu)離散后的網(wǎng)格質(zhì)量直接影響到計算精度。從離散微分的角度，可以將曲面網(wǎng)格區(qū)分為共軛網(wǎng)格、正交網(wǎng)格、漸近網(wǎng)格、等溫網(wǎng)格等，不同網(wǎng)格有各自的特征和處理優(yōu)勢。離散微分幾何首先被應(yīng)用在計算機圖形學(xué)的方面，在曲面建模和渲染方面具有重要價值，也廣泛應(yīng)用于機械制造、工業(yè)設(shè)計、建筑設(shè)計、計算解剖學(xué)等領(lǐng)域。

2）拓?fù)浣M合（Topology Combinatorics）來自離散幾何與拓?fù)鋷缀蔚慕徊妗１砻婵磥?，拓?fù)鋷缀闻c離散幾何的研究范疇正好相反，前者主要研究拓?fù)渥儞Q下圖形的連續(xù)、連通性問題[17]，后者研究離散性問題，但正是在二者向?qū)Ψ睫D(zhuǎn)化的領(lǐng)域產(chǎn)生了特別的創(chuàng)新價值。例如拓?fù)浼夹g(shù)在解決著名的組合問題如Kneser 著色猜想中起了重要作用，而離散Morse 理論為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可視化、拓?fù)淝嬷貥?gòu)帶來了新的解決方案。拓?fù)浣M合主要涉及拓?fù)湓碓陔x散對象上的應(yīng)用[18]、拓?fù)鋵ο蟮慕M合特征，以及開發(fā)拓?fù)浼夹g(shù)處理組合問題及部分圖論問題[19]。拓?fù)湓頌殡x散結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性變換提供了支持，在形態(tài)設(shè)計中有重要應(yīng)用價值。

3）計算幾何主要研究幾何問題的計算性表達(dá)和算法開發(fā)[20]，一般分為數(shù)值計算幾何和組合計算幾何兩類。其中數(shù)值計算幾何構(gòu)成了CAD / CAM 系統(tǒng)的基礎(chǔ)；組合計算幾何（Combinatorial Computational Geometry）用算法處理幾何結(jié)構(gòu)，關(guān)注歐式空間中離散對象的算法設(shè)計[21]，是計算幾何與離散幾何的交叉領(lǐng)域。后者包含了建筑師所熟悉的Voronoi 圖構(gòu)造、凸殼計算、三角剖分等，也包含幾何查找（檢索）、交與并、幾何體的排列、形狀重建、運動規(guī)劃等范疇[22]。計算幾何的特征在于其工具性而不限于特定的幾何對象，建筑界討論過的“算法幾何”大致屬于計算幾何的范疇。

三、在建筑計算性設(shè)計中的應(yīng)用

1.同維度幾何組合與形態(tài)設(shè)計

鑲嵌在建筑中的應(yīng)用有悠久的歷史，只是過去缺乏從數(shù)學(xué)角度的分析歸納。例如數(shù)學(xué)家指出，建于12 世紀(jì)末的伊朗馬拉蓋地區(qū)的墓塔（Blue Tomb）已經(jīng)使用了準(zhǔn)周期鑲嵌圖案[23]。在當(dāng)代建筑設(shè)計中，平面鑲嵌多用于建筑的表皮設(shè)計，空間鑲嵌多用于結(jié)構(gòu)形態(tài)和造型設(shè)計。結(jié)構(gòu)化的表皮設(shè)計也常用到空間鑲嵌模式，如北京奧運會游泳館和冰島HARPA 音樂廳。后者以當(dāng)?shù)氐湫偷牡刭|(zhì)構(gòu)造玄武巖為主題，其基本幾何結(jié)構(gòu)屬于維格納—賽茨晶胞中的單斜點陣（圖4—18）。該建筑表皮在具有構(gòu)件統(tǒng)一性的同時，實現(xiàn)了晶瑩奪目的晶體效果（圖8）。

圖8： 冰島HARPA 音樂廳南立面及表皮設(shè)計分析

鑲嵌原型的維度轉(zhuǎn)換是設(shè)計創(chuàng)新的重要途徑。運用計算性設(shè)計工具，通過拉伸、折疊、包裹等升維操作和剖切、投影等降維操作，可以快速進(jìn)行二維與三維轉(zhuǎn)換，生成多種復(fù)雜形態(tài)。這方面已經(jīng)有大量的建筑實踐案例。

填裝與覆蓋方面，傳統(tǒng)的屋面瓦鋪裝以及魚鱗狀墻板結(jié)構(gòu)事實上運用了覆蓋原理。填裝問題與建筑形體的虛實關(guān)系處理有一定的共通性，例如最密集球填裝問題、立方空間中多種方體的填裝等，在當(dāng)代建筑計算性設(shè)計中的應(yīng)用值得探索。

在基本單元確定的“自下而上”的生成設(shè)計中，單元的復(fù)制所遵循的對稱性均包含于格與對稱群揭示的有限類型之中。在這些數(shù)學(xué)規(guī)則的支持下，能夠以極小的計算量生成給定條件下的所有形態(tài)，對于模式窮舉有重要價值。17 種平面對稱群已廣泛用于傳統(tǒng)的建筑裝飾和印染圖案設(shè)計方面，更為復(fù)雜多樣的空間對稱群在三維形態(tài)的計算性生成、離散自動化建造[24]方面有較大的應(yīng)用潛力。

2.關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)與功能/空間關(guān)系圖

由于其高度的抽象性，關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用范圍很廣，從城市群分析到室內(nèi)空間布置都有很強的適用性。超圖不限制一條邊（路徑）所關(guān)聯(lián)的節(jié)點數(shù)量，可用于交通網(wǎng)絡(luò)設(shè)計、路徑規(guī)劃、設(shè)施選址等方面。而建筑計算性設(shè)計中最常用的還是圖（graph），如功能氣泡圖在數(shù)學(xué)上屬于一種簡單圖。對建筑空間進(jìn)行抽象后，往往能發(fā)現(xiàn)隱含的邏輯，一個早期的范例是March 等人運用空間圖語法（Spatial Graph Grammar）將F.L.賴特設(shè)計的三種別墅平面抽象為類似的圖解[25]（圖9）。

圖9： 運用空間圖語法（SGG）對F.L.賴特住宅的分析

圖論原理可廣泛應(yīng)用于空間生成設(shè)計，例如平面圖—非平面圖可以判定某種空間關(guān)系是否能在單層平面中實現(xiàn)；循環(huán)圖—非循環(huán)圖、定向圖—非定向圖可用于不同交通組織模式的性能對比；最小生成樹（Minimum Spanning Tree，準(zhǔn)確名稱應(yīng)為最小連通樹）是尋找一種非循環(huán)圖，使整個圖中所有路徑之和最小，多用于交通流線或空間骨架的生成設(shè)計。

圖論的一些基礎(chǔ)參數(shù)已在多種空間分析工具中得到應(yīng)用。例如圖論中的度（Degree）是指與一個節(jié)點直接相連的邊數(shù)，在空間句法中稱為連接度（Connectivity），在空間設(shè)計網(wǎng)絡(luò)分析（sDNA）和城市網(wǎng)絡(luò)分析（UNA）中分別稱為線性連接度（Line Connectivity）和到達(dá)（Reach）；中間中心度（Betweenness Centrality）表示某條軸線或某條街道段位于從任一空間到其他空間的最短路徑上的次數(shù)，在空間句法中稱為選擇度（Choice），在sDNA 和UNA 中稱為中間度（Betweenness）；而在社會網(wǎng)絡(luò)分析（SNA）理論中上述參數(shù)沿用了圖論里的原有名稱[26～31]（表1）。在實際應(yīng)用中，點與線的選擇可以根據(jù)需要決定，例如將街道作為空間主體而不是連接體進(jìn)行分析。

圖論與多種空間分析工具的參數(shù)對照 表1

3.離散微分與曲面優(yōu)化

傳統(tǒng)的磚石建筑可以看作是一種“離散化”建造方式，而拱是用離散材料形成大跨度空間的力學(xué)與幾何學(xué)選擇。離散材料的曲面造型能力可以達(dá)到驚人的水平，如20 世紀(jì)烏拉圭建筑師E.迪埃斯特（Eladio Dieste）用黏土磚建造的一系列廠房與倉庫建筑。當(dāng)代建筑幾何學(xué)中，曲面的找形、優(yōu)化與細(xì)分一直是熱點研究領(lǐng)域。在離散微分原理的支撐下，建筑師能夠進(jìn)行更為多樣化、前沿性的探索。

在曲面形態(tài)設(shè)計中往往存在找形和優(yōu)化兩種工作類型?；陔x散材料的找形邏輯，與基于連續(xù)材料（如3D 打?。┑倪壿嫴町惡艽蟆TH的BLOCK研究小組（BRG）2016 年在威尼斯雙年展上建造了一個跨度達(dá)到16m 的拱殼結(jié)構(gòu)。與A.高迪、F.坎德拉等前輩大師不同，這個拱殼使用了399 塊石灰石板（圖10），多數(shù)厚度為5cm，沒有用任何砂漿粘結(jié)劑?；陔x散微分原理的計算性設(shè)計方法—推力網(wǎng)絡(luò)分析方法（Thrust Network Analysis）代替了20 世紀(jì)的“逆吊法”，幫助建筑師找到了只包含壓力的拱殼形式及相應(yīng)的網(wǎng)格細(xì)分，消除了所有彎矩，從而使簡單開槽拼裝的“離散化”建造方式成為可能[32]。

圖10： BRG 建造的拱殼結(jié)構(gòu)“犰狳”（左）及基于靜力學(xué)的曲面細(xì)分（右）

曲面幕墻的建造同樣需要離散化處理，形態(tài)優(yōu)化和單元細(xì)分的質(zhì)量對造型、施工和造價的影響很大。在構(gòu)件層面上，將雙曲面優(yōu)化為單曲面、細(xì)分曲面為平面、減少構(gòu)件類型是優(yōu)化設(shè)計的一般原則。雖然常見曲面均易轉(zhuǎn)換為三角單元網(wǎng)格，但這種擬合往往不能反映曲面主方向，每個交點匯集6 條邊，節(jié)點比較復(fù)雜。利用離散微分原理將曲面擬合為平面四邊形（Planar Quad）網(wǎng)格是常用的優(yōu)化方案之一，這種平面單元便于加工，網(wǎng)格整體呈現(xiàn)為雙向控制線，且大都沿主曲率方向分布，更能反映幾何形體特征。曲面優(yōu)化是深化設(shè)計能力的試金石，例如與早期作品廣州歌劇院的石材幕墻相比，ZAHA 事務(wù)所近年的澳門Morpheus 酒店等作品在曲面細(xì)分和空間整合度上達(dá)到了更高的水準(zhǔn)。

4.拓?fù)浣M合與形態(tài)創(chuàng)新

拓?fù)浣M合工具在處理幾何對象的多樣性方面具有突出優(yōu)勢。例如將鑲嵌原型和拓?fù)渥儞Q結(jié)合起來，能夠產(chǎn)生大量新穎的圖形群。鑲嵌的拓?fù)渥儞Q是一種鑲嵌單元連續(xù)地變形為另一個無撕裂點的鑲嵌模式，在變換過程中原交點的階數(shù)、鄰近單元數(shù)保持不變；在類型上可以分為基于交點、交邊和復(fù)合型拓?fù)渥儞Q。根據(jù)拓?fù)浞治?，可以發(fā)現(xiàn)許多直觀上毫無關(guān)系的鑲嵌圖形屬于拓?fù)渫?，能夠?qū)崿F(xiàn)連續(xù)性變換（圖11）。而這些圖形的對稱類型并未發(fā)生變化，提示了從對稱群出發(fā)進(jìn)行逆向操作的可能性。

圖11： 拓?fù)渫叩蔫偳秷D案

基于交點特征的鑲嵌圖形分類為拓?fù)渥儞Q奠定了基礎(chǔ)。以P3 型彭羅斯鑲嵌為例，首先根據(jù)其7 交點特征，基于核心交點提取7 種基本單元，然后以其他交點相對于核心交點的偏移矢量為連續(xù)函數(shù)，調(diào)節(jié)位移量及角度變量生成多種變形模式（圖12）。與原圖相比，變形后的圖形維持了準(zhǔn)周期的旋轉(zhuǎn)對稱性，但又產(chǎn)生了新的特點，如第3種模式的外觀尺度有所膨脹，強化了彭羅斯鑲嵌的分形特征。這種拓?fù)渥儞Q操作通過簡單的參數(shù)控制，生成極為豐富的新形態(tài)。類似的操作也可以用于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，在空間布局的生成設(shè)計中有較大的應(yīng)用潛力。

圖12： 基于交點性質(zhì)對彭羅斯鑲嵌原型（左上）所做的3 種變換

5.面向離散對象的算法應(yīng)用

計算幾何的算法工具已經(jīng)滲透到建筑幾何學(xué)的各個方面。算法的內(nèi)涵首先是一套可執(zhí)行的邏輯規(guī)則，其次是集成化的編程語言。針對上述離散幾何問題，數(shù)學(xué)領(lǐng)域已開發(fā)出大量算法，例如填充問題中的圓球填裝可以采用Kangaroo 算法，Grasshopper 平臺也有相應(yīng)插件進(jìn)行直觀模擬；圖論中的最小生成樹問題，主要有Kruskal 算法（加邊法）、Prim 算法（加點法）和破圈法三種算法；離散微分范疇下的形狀（曲線和曲面）重建算法在動態(tài)建模與優(yōu)化方面有應(yīng)用價值；屬于臨近問題的Voronoi 算法已廣泛用于建筑表皮、平面與空間形態(tài)的生成設(shè)計；運動規(guī)劃問題的相關(guān)算法可用于智能建造中機械臂的可達(dá)性與碰撞問題等。這些問題中有不少是開放性的，還沒有終極解決方案，只有階段性的最佳逼近方法。

四、體系化認(rèn)知與應(yīng)用

基于以上考察，可初步梳理離散幾何范疇下與建筑計算性設(shè)計關(guān)系密切的內(nèi)容，總結(jié)一般性應(yīng)用領(lǐng)域（表2）。作為應(yīng)用基礎(chǔ)研究，這種工作并非“發(fā)明”一種新理論，而是將既有的、局部性的經(jīng)驗和實踐收納于一個體系化的認(rèn)知框架內(nèi)，并啟發(fā)新的應(yīng)用可能性。與片段化的認(rèn)知相比，形成知識體系至少在三個方面具有更大的優(yōu)勢。第一是面對實際問題，有助于快速定位它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域所處的范疇，更快地找到正確的解決途徑；第二是數(shù)學(xué)體系的邏輯嚴(yán)整性有助于設(shè)計師運用演繹的方式探索新的應(yīng)用潛力，例如很容易發(fā)現(xiàn)歷史經(jīng)驗只觸及到了某些局部，數(shù)學(xué)方面還有更為廣闊的領(lǐng)域有待挖掘；第三是有助于通過分支體系之間的聯(lián)系與交叉，綜合多種工具進(jìn)行設(shè)計創(chuàng)新探索。離散幾何的上述分支之間存在密切的關(guān)聯(lián)，例如鑲嵌的精確分類為拓?fù)渥儞Q奠定了基礎(chǔ)，關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)也關(guān)涉網(wǎng)格問題，離散微分可以看作尋求合理鑲嵌模式的過程，而幾乎所有的領(lǐng)域都越來越依賴算法的支持。

離散幾何的對象范疇與一般性應(yīng)用 表2

在綜合運用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行設(shè)計創(chuàng)新方面，SKOPE 事務(wù)所設(shè)計的布魯塞爾法語部議會大樓提供了一個簡明的例子。大樓的幕墻設(shè)計經(jīng)過分析是提取P3 型彭羅斯鑲嵌的交點，再對交點進(jìn)行Voronoi 運算，得到了由5 種多邊形構(gòu)成的新型圖案（圖13）。雖然設(shè)計者未必從幾何體系的角度展開思考，但從數(shù)學(xué)范疇來看，其創(chuàng)新性在于將算法和鑲嵌原型進(jìn)行結(jié)合，用少數(shù)模件的組合獲得了隨機性效果。這種方法論具有一定的普遍性意義。

圖13： 布魯塞爾議會法語部辦公樓及其表皮生成邏輯分析

五、結(jié)語

數(shù)字化的邏輯基礎(chǔ)之一，就是用離散的點集代替現(xiàn)實對象，從而獲得可計算與可操控性。離散幾何著重研究的組合問題，在內(nèi)涵上與建筑計算性設(shè)計有深刻的一致性，因此從概念階段的形態(tài)生成、到依據(jù)條件進(jìn)行適應(yīng)性變換，再到成果的評估、優(yōu)化乃至裝配式與智能化建造等，離散幾何原理的應(yīng)用可以貫穿設(shè)計前期、中期和后期的全過程。

在人工智能技術(shù)突飛猛進(jìn)的背景下，建筑設(shè)計已經(jīng)呈現(xiàn)出越來越強的計算性和整合性發(fā)展趨勢。在方法層面，一方面有基于數(shù)據(jù)和案例的機器學(xué)習(xí)，另一方面有基于數(shù)理規(guī)則的演繹與生成。依托離散幾何的數(shù)學(xué)體系，有助于將片段化的知識和經(jīng)驗整合在一個較為完整、清晰的框架內(nèi)，探索新的應(yīng)用范式，從而發(fā)揮更大的知識效能。同時跨學(xué)科研究也是一項極富挑戰(zhàn)性的工作，本文只能基于目前有限的認(rèn)識，以設(shè)計應(yīng)用為導(dǎo)向初步梳理離散幾何的認(rèn)知與應(yīng)用體系，這方面的工作還需要今后不斷進(jìn)行修正、完善與提升。

注釋

① 多數(shù)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中組合幾何被認(rèn)為等同于離散幾何，本文采用認(rèn)知度更高的“離散幾何”這一說法，涵蓋組合幾何的相關(guān)內(nèi)容；還有一些更為抽象的分支如結(jié)構(gòu)剛性與柔性理論和定向擬陣等，因與建筑設(shè)計關(guān)系不很直接，未納入本文的討論；關(guān)于幾何單體性質(zhì)的研究與離散幾何關(guān)系密切，主要包含在“凸體”幾何分支下。