国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

?

歷史啟迪教學(xué) 再現(xiàn)知識本質(zhì) 助力學(xué)生深度理解*
——以“分?jǐn)?shù)除法”教學(xué)為例

2023-11-04 10:45鄭杏桃岳增成
教學(xué)月刊(小學(xué)版) 2023年29期
關(guān)鍵詞:整數(shù)計算方法小數(shù)

□鄭杏桃 岳增成

“分?jǐn)?shù)除法”是人教版教材六年級上冊的教學(xué)內(nèi)容,它是整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運算知識結(jié)構(gòu)中的最后一塊“拼圖”。學(xué)生在學(xué)習(xí)此內(nèi)容之前已熟練掌握分?jǐn)?shù)加法、減法和乘法以及整數(shù)和小數(shù)的四則運算,他們已經(jīng)積累了豐富的分?jǐn)?shù)運算和整數(shù)、小數(shù)除法運算的經(jīng)驗。按理說,學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法應(yīng)該得心應(yīng)手,實則不然。某學(xué)校在六年級第一學(xué)期的期末檢測中有這樣一道題目:“用你喜歡的方法說明200÷一定等于200×2?!睖y試結(jié)果不盡如人意。約65%的學(xué)生給出的答案是“因為除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”;約10%的學(xué)生能仿照教材例題的呈現(xiàn)方式,“結(jié)合現(xiàn)實情境以數(shù)形結(jié)合的方法”闡明理由;約10%的學(xué)生能用演繹推理的方法進(jìn)行解釋;還有約15%的學(xué)生表示不清楚??梢?,對于分?jǐn)?shù)除法,大部分學(xué)生只是依據(jù)算法進(jìn)行運算,而沒有理解算理。

一、分析內(nèi)容,尋找原因

(一)分析當(dāng)下,厘清緣由

人教版教材把本內(nèi)容編排在六年級上冊第3單元,分2課時進(jìn)行教學(xué)。第1課時為“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”,教材以折紙活動為載體,利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理。整個學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生根據(jù)整數(shù)除法的意義、分?jǐn)?shù)乘法等知識,理解“一個分?jǐn)?shù)除以整數(shù),等于乘這個整數(shù)的倒數(shù)”。第2 課時為“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”,包括整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)兩種情況。教材編排了“誰走得快些”這一實際問題,結(jié)合線段圖,依據(jù)“路程÷時間=速度”的數(shù)量關(guān)系,把求速度的問題轉(zhuǎn)化為先歸一再歸總的問題,幫助學(xué)生理解“一個數(shù)除以一個分?jǐn)?shù),等于乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”。

按照教材的學(xué)習(xí)路徑實施教學(xué),結(jié)合現(xiàn)實情境能幫助教師解釋算理,最終使學(xué)生掌握算法。但也存在兩處弊端:一是過于依賴情境,難以凸顯分?jǐn)?shù)除法算理的本質(zhì),更無法讓學(xué)生真正理解算理,這也導(dǎo)致部分學(xué)生不能準(zhǔn)確說明200÷一定等于200×2;二是直觀模型多樣化,不利于體現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法運算的一致性,更無法體現(xiàn)分?jǐn)?shù)、整數(shù)和小數(shù)除法運算的一致性。教師一般會按照教材和教學(xué)用書的要求,結(jié)合不同的現(xiàn)實情境,根據(jù)實際的意義解釋不同的分?jǐn)?shù)除法的算理。然而,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會存在一些疑惑,如:為什么不同的分?jǐn)?shù)除法運用不同的直觀模型解釋算理?是不是每種分?jǐn)?shù)除法的算理都不一樣?

結(jié)合具體情境,利用直觀圖式進(jìn)行“分?jǐn)?shù)除法”的教學(xué)是符合小學(xué)生形象思維發(fā)展的。但弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中提到:一味地依賴具體情境會使除法問題變得更加復(fù)雜。由于教材未能很好地展示從直觀的分?jǐn)?shù)到算法的分?jǐn)?shù)再到分?jǐn)?shù)除法規(guī)則建立的過程,“分?jǐn)?shù)除法”成了小學(xué)數(shù)學(xué)中的難點。

(二)回顧歷史,啟迪教學(xué)

從歷史的角度看,國內(nèi)外都很少借用現(xiàn)實情境解釋“分?jǐn)?shù)除法”的算理,大多是把計算問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理,用代數(shù)推理的方式演繹計算過程。如:

這些算法每一步運算的理由都顯而易見,并且每種算法都體現(xiàn)了顛倒相乘法的算理。其中,中國古代的通分法更能體現(xiàn)整數(shù)、分?jǐn)?shù)除法和小數(shù)除法運算的一致性。

二、重構(gòu)教學(xué),探索實踐

(一)運用歷史,確立目標(biāo)

基于以上分析,筆者將數(shù)學(xué)史融入“分?jǐn)?shù)除法”教學(xué)中,確立了以下教學(xué)目標(biāo)。

(1)通過觀察、分析、類比、推理,把整數(shù)除法和小數(shù)除法的計算方法遷移到分?jǐn)?shù)除法中,體會分?jǐn)?shù)除法算法的多樣化,理解顛倒相乘法的算理,感悟計數(shù)單位在運算中的作用以及除法運算的一致性。

(2)在探究分?jǐn)?shù)除法算理和算法的過程中,發(fā)展運算能力和推理意識。

(3)拓寬視野,感受數(shù)學(xué)文化的魅力,體會數(shù)學(xué)知識之諧、方法之美,增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。

(二)重構(gòu)歷史實施教學(xué)

1.實施前測,以學(xué)定教

教育心理學(xué)家奧蘇伯爾說過:影響學(xué)習(xí)最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么,我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況去進(jìn)行教學(xué)。因此,在教學(xué)“分?jǐn)?shù)除法”之前,筆者對所教班級39名學(xué)生進(jìn)行了課前測試。測試題目為:嘗試計算,并說明計算的理由。測試結(jié)果顯示:約85%的學(xué)生用顛倒相乘法進(jìn)行計算,即,但說不出計算理由;約5%的學(xué)生把分?jǐn)?shù)乘法的計算方法遷移到分?jǐn)?shù)除法中,將被除數(shù)和除數(shù)的分子、分母分別相除,由于除得的結(jié)果都不是整數(shù),因而無法算出答案;還有約10%的學(xué)生表示不會,或把分?jǐn)?shù)除法當(dāng)作分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行運算,得出錯誤答案。可見,大部分學(xué)生已經(jīng)會用顛倒相乘的方法進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法的運算,但不清楚這一算法背后的道理。

2.開宗明義,任務(wù)驅(qū)動

設(shè)計意圖:以前測結(jié)果為依據(jù)確定教學(xué)任務(wù),以任務(wù)驅(qū)動的方式激發(fā)學(xué)生的求知欲望,引導(dǎo)他們深度參與課堂學(xué)習(xí)。

3.復(fù)習(xí)舊知,啟發(fā)遷移

通過對話的方式,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)整十?dāng)?shù)除法(360÷90)、小數(shù)除法(1.2÷0.6)的計算方法與計算原理。

設(shè)計意圖:復(fù)習(xí)整十?dāng)?shù)除法、小數(shù)除法能促使學(xué)生將整十?dāng)?shù)除法和小數(shù)除法的計算方法遷移運用到分?jǐn)?shù)除法計算中,為體現(xiàn)小數(shù)、整數(shù)和分?jǐn)?shù)除法的一致性埋下伏筆。

4.小組合作,探究算法

設(shè)計意圖:在學(xué)生原有想法基礎(chǔ)上進(jìn)行整十?dāng)?shù)除法、小數(shù)除法的回顧復(fù)習(xí),通過教師的啟發(fā)和小組討論,使學(xué)生產(chǎn)生新的想法,形成新的算法,在探究過程中逐漸明晰的道理。

5.展示算法,理解算理

教師先要求每個小組匯報算法,解釋運用每種計算方法的依據(jù),然后把多種計算方法呈現(xiàn)在黑板上(如圖1)。再組織全班學(xué)生進(jìn)行討論,比較各種計算方法的異同,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些計算方法之間的區(qū)別與聯(lián)系。最后通過計算結(jié)果推斷前測中學(xué)生做法(即)的合理性,并適時介紹顛倒相乘法。

圖1

設(shè)計意圖:通過小組分享、全班交流,產(chǎn)生多樣化的計算方法,讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)除法算法從一到多的過程,感受探究之樂、成功之悅,品味知識之諧、方法之美。學(xué)生在辨析各種算法的過程中,體會到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,發(fā)展了推理意識。

6.古今對比,優(yōu)化算法

教師用課件呈現(xiàn)古代多位數(shù)學(xué)家不同的方法論證(如圖2)。

圖2

師:中國是世界數(shù)學(xué)史上第一個形成分?jǐn)?shù)理論的國家,意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在接觸了由中國、印度傳至阿拉伯國家的數(shù)學(xué)后,也思考出了幾種解決分?jǐn)?shù)除法的方法。大家能看懂這些古人的方法嗎?

生:中國的通分法實際上就是先通分,然后分子相除。

師:圖1中哪些計算方法用到了通分法?

生:第②⑥⑧種計算方法。

生:斐波那契的化一法實際上是利用商不變性質(zhì)進(jìn)行運算,即被除數(shù)和除數(shù)同時乘。

生:就是把除數(shù)化為1。

師:圖1中哪些計算方法用到了斐波那契的化一法?

生:第④種計算方法。

生:斐波那契的同乘法也是利用商不變性質(zhì)進(jìn)行運算,即被除數(shù)和除數(shù)同時乘ac。

師:ac是什么?為什么要乘ac?

生:ac是被除數(shù)和除數(shù)分母的公倍數(shù),同時乘ac可以去分母,把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法。

師:圖1中哪些計算方法用到了斐波那契的同乘法?

生:第⑤種計算方法。

師:斐波那契的單位法,實際上跟中國和印度的通分法差不多,都是先通分,再計算。我們用多種方法驗證了顛倒相乘法,都是顛倒相乘法的算理,所以以后顛倒相乘法可以直接用,即。

師:你覺得哪種算法最簡便?

生:顛倒相乘法。

師:對的。其實數(shù)學(xué)的發(fā)展也是一個優(yōu)勝劣汰的過程,顛倒相乘法簡便,所以從古代一直沿用至今,還被編寫進(jìn)我們的教材里面。而其他的算法由于麻煩,逐漸被歷史淘汰。但這些被淘汰的算法也有它們的價值,它們都是顛倒相乘法的算理。

設(shè)計意圖:通過介紹中國古代在分?jǐn)?shù)理論上取得的成就,增強學(xué)生的民族自信和文化自信;通過對比古今算法,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的想法與古代數(shù)學(xué)家的想法不謀而合,從而增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。學(xué)生在古今算法的辨析過程中,進(jìn)一步理解顛倒相乘法的算理,優(yōu)化分?jǐn)?shù)除法的計算方法,提升了推理意識。

7.學(xué)以致用,鞏固內(nèi)化

讓學(xué)生獨立計算三道分?jǐn)?shù)除法題目。

設(shè)計意圖:選取三道具有代表性的題目,分別是同分母分?jǐn)?shù)相除、異分母分?jǐn)?shù)相除以及除數(shù)是整數(shù)的除法,讓學(xué)生靈活運用所學(xué)知識,提升推理意識和應(yīng)用意識。

8.對比歸納,領(lǐng)悟本質(zhì)

教師引導(dǎo)學(xué)生比較整十?dāng)?shù)除法、小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法的計算方法,使學(xué)生發(fā)現(xiàn)整十?dāng)?shù)除法、小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法在計算時都會用商不變性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,且最終都轉(zhuǎn)化為相同計數(shù)單位后相除。

設(shè)計意圖:教師引導(dǎo)學(xué)生建立整數(shù)除法、小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法計算之間的關(guān)系,幫助學(xué)生感悟計數(shù)單位在運算中的作用以及除法運算的一致性。

三、效果后測,教后思考

(一)教學(xué)后測

本內(nèi)容教學(xué)結(jié)束2天后,對班級39名學(xué)生進(jìn)行后測。測試題目為:請用你喜歡的方法說明一定等于200×2。

測試結(jié)果如表1所示。

表1

測試結(jié)果顯示,約56.41%的學(xué)生能用代數(shù)推理的方式說明“200÷一定等于200×2”的理由,與日常教學(xué)效果相比有明顯提升。

(二)教學(xué)反思

本內(nèi)容教學(xué)以學(xué)生的已有認(rèn)知為起點,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)史中獲得教學(xué)啟示,打破日常教學(xué)方式,運用代數(shù)推理的方式進(jìn)行教學(xué),讓學(xué)生經(jīng)歷從算法多樣化到算法優(yōu)化的過程,突破分?jǐn)?shù)除法算理理解的認(rèn)知難點。

1.研讀歷史,直白引入,突破難點

“如何計算”并不是分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)難點,“為什么可以這樣計算”才是理解分?jǐn)?shù)除法算理的教學(xué)難點,前測的結(jié)果也充分說明了這一點。前面的分析說明了利用具體情境結(jié)合直觀圖示教學(xué)并不能有效突破難點。歷史是教學(xué)的指南,在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史,并不是為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史,而是幫助教師在數(shù)學(xué)知識發(fā)展的歷史進(jìn)程中獲得教育啟示,并進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計。筆者通過查閱史料,發(fā)現(xiàn)歷史中分?jǐn)?shù)除法都是通過代數(shù)推理的方式闡明算理的。因此,本內(nèi)容的教學(xué)重點應(yīng)放在幫助學(xué)生利用代數(shù)推理理解分?jǐn)?shù)除法的算理、破解教學(xué)的難點上?;诖耍虒W(xué)時直接以無背景的分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)計算為切入點,“逼迫”學(xué)生運用代數(shù)推理的方式解決問題。通過知識的聯(lián)結(jié)與遷移,學(xué)生利用代數(shù)推理探究出了多種解決問題的方法。

2.巧設(shè)教學(xué),凸顯過程,方法多元

歷史發(fā)展的進(jìn)程表明,代數(shù)推理在分?jǐn)?shù)除法的計算中至關(guān)重要。如何喚起學(xué)生代數(shù)推理的思維,探究出分?jǐn)?shù)除法的多種計算方法是教學(xué)的關(guān)鍵。本內(nèi)容的教學(xué)通過復(fù)習(xí)整十?dāng)?shù)除法、小數(shù)除法的計算方法與計算原理,喚起學(xué)生對商不變規(guī)律及計數(shù)單位在運算中的本質(zhì)作用的再認(rèn)識,為分?jǐn)?shù)除法運算做好了鋪墊;通過小組活動探究分?jǐn)?shù)除法的多種計算方法,從而幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理。

3.古今對照,理解算理,優(yōu)化算法

讓學(xué)生穿越時空,與古人隔空進(jìn)行思想交流與思維碰撞,不僅能激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,還能促使他們在古今方法的對比中自主優(yōu)化算法。學(xué)生通過自主探究,得出8 種不同的分?jǐn)?shù)除法計算方法,與古人的算法大致相同。通過與歷史上算法的橫向比較,學(xué)生更好地理解了古今算法,并對探究出的方法進(jìn)行了歸類,在歸類中深刻地理解了分?jǐn)?shù)除法的算理;通過與歷史上算法的縱向?qū)Ρ?,學(xué)生發(fā)現(xiàn)顛倒相乘法是多種算法中最簡便的一種,這也是人們最終選擇顛倒相乘法計算分?jǐn)?shù)除法的原因。在對比中,學(xué)生從多到少、由繁入簡,不僅理解了算理、優(yōu)化了算法,還在思考中感受到數(shù)學(xué)探究的樂趣,發(fā)現(xiàn)了人類思維的趨同性,增強了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

猜你喜歡
整數(shù)計算方法小數(shù)
浮力計算方法匯集
小數(shù)加減“四不忘”
我國古代的小數(shù)
小數(shù)的認(rèn)識
小數(shù)的認(rèn)識
一類整數(shù)遞推數(shù)列的周期性
隨機振動試驗包絡(luò)計算方法
不同應(yīng)變率比值計算方法在甲狀腺惡性腫瘤診斷中的應(yīng)用
一種伺服機構(gòu)剛度計算方法
答案