【摘 要】通過(guò)對(duì)2023年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題進(jìn)行解法探究、拓展探究和源頭探究，聚焦于運(yùn)用解析幾何中的主干知識(shí)和主要方法，對(duì)借助幾何圖形進(jìn)行的代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行了優(yōu)化，以期達(dá)到對(duì)高三解析幾何備考復(fù)習(xí)有一定的啟發(fā).

【關(guān)鍵詞】新高考；解法；拓展；源頭；探究；反思

1 試題呈現(xiàn)題目 （2023年新高考Ⅰ卷第22題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)0，1/2的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.

（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長(zhǎng)大于33.

2 試題評(píng)析

本題第（1）問(wèn)考查求曲線的軌跡方程，考生在新教材的解析幾何章節(jié)已經(jīng)探究過(guò)橢圓、雙曲線和拋物線的軌跡方程，因軌跡方程屬于高中數(shù)學(xué)解析幾何版塊的基本知識(shí)，故只需要將求曲線軌跡方程的方法遷移過(guò)來(lái)就可以順利解答本題.第（2）問(wèn)是圓錐曲線最值問(wèn)題，綜合考查了直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、分段函數(shù)和利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了高考試題注重在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn).從后文解法探究中計(jì)算的結(jié)果來(lái)看，本題打破常規(guī)的地方在于第（1）問(wèn)求出的拋物線方程不是形如x2=2py（p>0）的標(biāo)準(zhǔn)方程.本題考查了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想等基本思想方法，考查了考生的運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力，考查了考生的思維的靈活性和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.本題很好的落實(shí)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中高考考查的“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”等“四翼”要求.以下對(duì)這道試題進(jìn)行解法探究、拓展探究和源頭探究.

3 解法探究

6 總結(jié)反思

在新課標(biāo)、新教材和新高考這個(gè)“三新”背景下，圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容，其出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)解答題位置，第（2）問(wèn)往往具有很強(qiáng)的綜合性，對(duì)考生的綜合思維能力和運(yùn)算能力有著較高的要求，是考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)的重要載體.是否能夠破解圓錐曲線綜合問(wèn)題的關(guān)鍵在于學(xué)生是否具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，2023年新高考Ⅰ卷第22題第（2）問(wèn)正因?yàn)閷?duì)運(yùn)算能力和核心素養(yǎng)有較高的要求，使得許多學(xué)生在解答該題時(shí)望而生畏.上述從不同的視角出發(fā)對(duì)真題進(jìn)行多解探究，探究過(guò)程中用到的弦長(zhǎng)公式、參數(shù)方程、不等式和函數(shù)與導(dǎo)數(shù)都是高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)，用到的數(shù)形結(jié)合等思想都是高中數(shù)學(xué)基本方法，通過(guò)比較不同解法，可以引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化解題思維和克服思維定勢(shì)，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算路徑，達(dá)到運(yùn)算量簡(jiǎn)化的目的.對(duì)高考真題進(jìn)行拓展探究，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到隱藏在試題背后的題根背景，強(qiáng)化了這類問(wèn)題的通法，以期達(dá)到解一題而破萬(wàn)題的效果.通過(guò)對(duì)真題探源，發(fā)現(xiàn)該真題改編自競(jìng)賽陳題，這啟示我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中，也要引導(dǎo)學(xué)生涉獵一些經(jīng)典競(jìng)賽數(shù)學(xué)試題，通過(guò)探究賽題為依托，開(kāi)拓學(xué)生的學(xué)習(xí)視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提升學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］楊洪香.為什么橢圓內(nèi)接矩形的邊平行于橢圓的長(zhǎng)短軸？[J].數(shù)學(xué)通訊，2005（24）：18.

作者簡(jiǎn)介 羅文軍（１９８６ —），男，甘肅秦安人，中學(xué)二級(jí)教師；首批華中師范大學(xué)考試研究院特聘研究員，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》 特約編輯，《中學(xué)數(shù)學(xué)》特約編委；主要研究高中數(shù)學(xué)一題多解和高中數(shù)學(xué)文化；發(fā)表論文 １７０ 余篇，其中1篇論文被中國(guó)人民大學(xué)報(bào)刊復(fù)印資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載．