蘇州大學(xué)附屬吳江學(xué)校 (215006) 顧 健
淮陰師范學(xué)院 (223300) 任建波
按照整體論的觀點,學(xué)習(xí)應(yīng)該被視為一個具有內(nèi)在生成性的自然整體,這意味著學(xué)習(xí)應(yīng)該是以整體的方式進行,而不是分而習(xí)之。大概念統(tǒng)攝的單元整體教學(xué)設(shè)計為學(xué)生開展“整體的方式”學(xué)習(xí)提供了可能。開展大概念統(tǒng)攝的單元整體教學(xué),首先需要對單元進行整體教學(xué)分析,既包括解讀教材、提煉大概念,又包括研究學(xué)生、分析學(xué)生學(xué)習(xí)起點,在此基礎(chǔ)上,依據(jù)大概念的中心性、可持久性、網(wǎng)絡(luò)狀和可遷移性等特征,將大概念的“錨點”價值充分彰顯,并滲透和應(yīng)用到學(xué)習(xí)活動的聯(lián)結(jié)、過渡和建構(gòu)之中。本文以蘇教版教材三年級下冊第六單元“長方形和正方形的面積計算”一課為例,在分析單元整體教學(xué)中大概念“錨點”價值的基礎(chǔ)上,對課時教學(xué)進行實踐探索。
本單元是平面圖形面積計算的起步,從一維的度量轉(zhuǎn)到二維的度量,起著承上啟下的作用。從知識脈絡(luò)上看(如圖1),知識點在教材上呈線性排列,將面積單位的教學(xué)分為兩段,中間穿插面積計算,這是因為面積單位之間的進率很難從面積單位本身得出,借助正方形面積更容易理解。教材的編排關(guān)注了單元結(jié)構(gòu),但是前后知識和方法的關(guān)聯(lián)略顯不足,比如,長度、角、體積的度量本質(zhì)都是單位個數(shù)的累積,如果不將其置于更大的視野中,學(xué)生難以形成“度量”的上位概念并搭建整體遷移的支架。
圖1 教材內(nèi)容分析
基于以上分析,結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》對相關(guān)內(nèi)容的要求,可提煉出本單元的大概念:面積是“數(shù)”單位面積的個數(shù),圖形面積具有可加性。在前后知識的相融互通中理解面積,增強幾何直觀和推理意識等。
選取本校三年級5個班學(xué)生(共196名)進行前測,測試內(nèi)容和相關(guān)結(jié)果如下。
前測題1.觀察下面的生活現(xiàn)象(如圖2、圖3),用筆涂一涂、畫一畫或?qū)懸粚?,表示它們的不同?/p>
圖2 粉刷墻面
圖3 柵欄圍地
表1 前測題1的測試結(jié)果
【分析】從統(tǒng)計結(jié)果來看,能識別“面積”的學(xué)生占比高達65.3%,這主要有兩個原因:一是生活中有接觸,如“我的手掌比你的大”“我家電視機屏幕比教室里一體機的小”,學(xué)生的表達體現(xiàn)了對“面積”的初步感知;二是教材中的滲透,如一年級下冊“認(rèn)識圖形”單元習(xí)題“在正方形、長方形、三角形和圓里分別涂不同的顏色”已經(jīng)孕伏“面積”的意義。
前測題2.圖4 中的小正方形表示1 平方厘米,①②長方形的面積分別是多少?
表2 前測題2的測試結(jié)果
圖4
【分析】統(tǒng)計結(jié)果表明,學(xué)生借助單位面積用“全覆蓋”方式求①號長方形的面積的正確率達82.65%,而利用“沿邊擺放”方法求②號長方形的面積的正確率只有51.53%,說明學(xué)生自主探究有一定的困難。進一步分析,有82.14%都采用了劃分單位面積的方法,說明教師要關(guān)注這一年齡階段學(xué)生直觀想象和推理能力的培養(yǎng)。
前測題3.你會計算圖5 中長方形的面積嗎?請列式并說明理由。
表3 前測題3的測試結(jié)果
圖5
【分析】從數(shù)據(jù)上看,一旦沒有“單位面積”輔助思考,學(xué)生的計算正確率驟然下降,只有65.81%,其中,計算正確的學(xué)生中有48.06%對長方形進行了劃分。雖然前測題2 已有暗示,但是學(xué)生并不能建立單位面積的個數(shù)與長、寬數(shù)值之間的聯(lián)系。這說明教學(xué)中要重視長方形面積計算的推導(dǎo)過程,引導(dǎo)學(xué)生感悟長度、周長、面積等度量方法的內(nèi)在一致性。
不難發(fā)現(xiàn),很多學(xué)生已經(jīng)知道了長方形的面積計算方法,但是對“面積大小和計算”的認(rèn)識仍然浮于表面,難以遷移和感受度量方法的一致性。教學(xué)中要著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用面積單位度量長方形的過程,關(guān)聯(lián)線段的“測量屬性”,進而推導(dǎo)出長方形和正方形的面積計算公式,為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)角、圓的面積、長方體的體積做鋪墊。
[片段1]關(guān)聯(lián)舊知,激疑啟思
師:還記得怎樣測量線段的長度嗎?(出示圖6)請說一說測量的過程。
圖6
生1:用1 厘米的線段去量,4 個1 厘米就是4厘米。
師:線段長幾個1 厘米就是幾厘米。如果想知道圖7中圖形的面積大小,首先要知道什么?
圖7
生2:知道一個小正方形的面積是多少。
師:如果一個小正方的面積是1平方厘米,圖7中圖形的面積分別是多少?
生3:分別是1 平方厘米、3 平方厘米、5 平方厘米。
師:你是怎么想的?
生3:每個圖形中有多少個面積是1 平方厘米的小正方形,面積就是多少平方厘米。
[設(shè)計意圖]通過對測量線段長度方法的回顧,使得學(xué)生的度量經(jīng)驗自然遷移到面積測量之中,學(xué)生初步建立“單位測量屬性”的知識錨點。在判斷圖7②、③圖形面積時,學(xué)生還發(fā)現(xiàn),雖然形狀不同,但是都與小正方形的個數(shù)有關(guān),由此感知面積的可度量屬性。
[片段2]實驗操作,探究規(guī)律
師:利用1 平方厘米的透明方格紙,拼出一個長方形,并記錄在學(xué)習(xí)單上(見表4)。
表4 學(xué)習(xí)記錄單
師:觀察表格,說一說你的發(fā)現(xiàn)。
生1:我擺的長方形有4 排,每排有5 個,一共有20個1平方厘米的小正方形,這個長方形的面積是20平方厘米。
生2:我發(fā)現(xiàn)長方形的面積與小正方形的個數(shù)相同。
師(出示圖8):根據(jù)同學(xué)們的發(fā)現(xiàn),可以用這樣的方式表示它們的關(guān)系。
圖8
[設(shè)計意圖]學(xué)習(xí)單給出了思考和觀察的路徑,讓探索有方向。學(xué)生在操作中感受到長方形的面積與小正方形(單位面積)個數(shù)之間的關(guān)系,學(xué)習(xí)單為聚焦面積概念的本質(zhì)提供了豐富的表象;通過觀察、說理,學(xué)生發(fā)現(xiàn)了每排個數(shù)與長之間的聯(lián)系、排數(shù)與寬之間的聯(lián)系;通過推理,學(xué)生驗證了長方形的面積與單位面積個數(shù)之間的關(guān)系。雖然從前測的結(jié)果來看,“算”更接近學(xué)生的思維實際,但是很多學(xué)生對面積的理解還是停留在了數(shù)值上的相等。
[片段3]抽象推理,得出模型
師(出示長為4 厘米,寬為3 厘米的長方形圖片,圖略):根據(jù)剛才的結(jié)論,測量出這個長方形的面積至少需要多少個面積為1 平方厘米的小正方形?
生1:不用鋪滿,只需要沿著它的長擺4 個,沿著它的寬擺3個,一共需要6個小正方形,長方形的面積是4×3=12(平方厘米)。
生2:如果不怕麻煩,只需要一個小正方形,一邊鋪一邊畫線,同樣能算出長方形的面積是12 平方厘米。
師:如果沒有小正方形,怎么能知道這個長方形的面積?
生3:可以用尺子量一量,長是4 厘米,寬是3厘米,4×3=12(平方厘米)。也就是每行可以畫出4個1厘米的小正方形,一共有3排。
師(出示圖9):回顧剛才的學(xué)習(xí)過程,從最初的鋪滿,到鋪一部分,到邊鋪邊畫,最后直接量出長和寬,計算出長方形的面積,我們推導(dǎo)出的長方形的面積計算方法是什么?
圖9
生4:長方形的面積=長×寬。
師:如果長方形的長用字母a表示,寬用字母b表示,長方形的面積計算可以用字母表示為S=a×b。
[設(shè)計意圖]這一環(huán)節(jié)把密鋪和測量聯(lián)系在一起,學(xué)生在“操作—想象—符號表征”的過程中能夠提高數(shù)學(xué)思維力。在進行“部分鋪”的操作中,學(xué)生感知了長方形的面積與長、寬相關(guān);在“邊鋪邊畫”的想象中,學(xué)生明確了二維圖形的面積需要兩個一維線段長度的數(shù)值進行刻畫;在總結(jié)計算公式可用符號表征的推理中,學(xué)生經(jīng)歷從“特殊”到“一般”,體會符號表征的簡潔性。在整個過程中,學(xué)生理解了面積的內(nèi)涵,實現(xiàn)了從操作的“實踐表征”向“空間想象”的邁進。
[片段4]運用模型,體會一致
師(出示圖10):只能用邊長為1厘米的正方形測量長方形或正方形的面積嗎?能不能用給定的正方形量一量長方形的面積?
圖10
生1:邊長為1 厘米的正方形面積是1 平方厘米,所以圖形①的面積是4×3=12(平方厘米),圖形②的面積是8×4=32(平方厘米);邊長為2厘米的正方形面積是4 平方厘米,測量圖形②的面積時一共擺8 個,所以圖形②面積是4×8=32(平方厘米),但是測量圖形①時,不能正好擺滿。
師(出示圖11):測量圖形的面積和測量線段的長度之間有什么相同的地方嗎?
圖11
生2:測量線段是看有幾個長度單位;測量面積是看有幾個面積單位。
師(出示圖12):在以后的學(xué)習(xí)中,測量物體的體積還會用到這樣的方法。
圖12
[設(shè)計意圖]學(xué)生通過比較,發(fā)現(xiàn)用邊長為2 厘米的正方形測量圖形②更方便,但是測量圖形①卻有困難。用邊長為1 厘米的正方形既能測量圖形①也能測量圖形②,在對比中從度量角度理解了像1 厘米、1 分米,以及1 平方厘米、1 平方分米這些數(shù)學(xué)中規(guī)定的常用長度和面積單位有其合理性,是選擇的結(jié)果。
一般來說,兒童建構(gòu)“面積測量”這個“概念”需要經(jīng)歷三個階段:首先,6 歲左右的兒童可以在具體操作活動中建構(gòu)面積守恒的觀念;其次,10 歲左右的兒童可以通過操作活動“發(fā)明”測量各種規(guī)則平面圖形面積的方法;最后,12 歲左右的兒童可以用純粹形式化的代數(shù)推理得出各種平面圖形的面積公式。
為了更精確地了解三年級學(xué)生的學(xué)習(xí)起點,通過前測了解學(xué)生對“面積”相關(guān)知識的掌握現(xiàn)狀,如混淆周長和面積的概念、會計算方法卻道不明理由等。在此基礎(chǔ)上,教師從學(xué)生的“已知”“已會”出發(fā),重整教學(xué)資源,使學(xué)生在回顧測量長度的經(jīng)驗的過程中初步感悟“單位測量屬性”;在操作活動中體悟數(shù)值相等背后是“單位面積個數(shù)”與“長方形面積”的對應(yīng)關(guān)系;在推理思辨中領(lǐng)悟如何用“一維線段”刻畫“二維面積”;在拓展運用中以整體視角深刻理解線、面、體的“錨點”——單位的可累積性?!皩W(xué)”是“需求側(cè)”,表明在哪里;“教”是“供給側(cè)”,指向去哪里。只要立足學(xué)情調(diào)研、資源調(diào)配,抓住大概念的“錨點”,就能讓教學(xué)預(yù)期“可及”,也能實現(xiàn)“學(xué)”與“教”的“共振”。