陳曉斌，謝康，堯俊凱，王業(yè)順，唐祿博

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙，410083；2.中南大學 教育部重載鐵路工程結構重點實驗室，湖南 長沙，410083；3.中國鐵道科學研究院集團有限公司 鐵道建筑研究所，北京 100081)

為了保證高鐵路基的安全性以及提高列車運行的舒適性，相關規(guī)范對路基填料的壓實質量均有著嚴格的要求[1-3]。路基壓實質量的控制指標以壓實系數(shù)K、地基系數(shù)K30等為主[4]，其中，以壓實系數(shù)進行路基壓實質量控制的方式較為普遍，可以直接反映路基的實際壓實效果。目前，測試路基填料壓實密度的方法有環(huán)刀法和灌砂法等，且以灌砂法的應用最廣泛[5]。灌砂法的原理簡單，但測試數(shù)據離散性大，效率較低，且所挖的試坑也在一定程度上破壞路基本體[6]。因此，亟需提出一種更加快速、便捷、易于操作、無損的壓實密度測試方法。

目前，剪切波速vs是表征細粒土強度、變形模量以及干密度等參數(shù)的重要方法[7-8]，CHEN等[9-11]探討了剪切波速與紅黏土強度定量關系，建立了紅黏土強度預測方程；張千里等[12]利用剪切波速理論，計算細粒土最大剪切模量，提出了砂土中的廣義有效應力預測模型；張宇輝等[13]則引入體積膨脹率γv，建立了剪切波速與細粒土干密度評估模型；李建鑫[14揭示了影響路基填料壓縮強度與剪切波速的主控因素，證明了剪切波速與路基填料壓縮強度具有較強相關性；李少波等[15]針對含砂低液限黏土、含砂低液限粉土等細粒土試樣，建立了黏土、粉土的干密度與剪切波速的關系模型。由此可見，針對細粒土采用剪切波速來表征壓實密度的理論和測試體系較為成熟。然而，粗粒土填料屬于多相介質，內部顆粒間的粒度及性質均有較大差異，仍采用細粒土的剪切波速與壓實密度理論和測試方法，效果不理想[16]。

基于對于粗粒土的剪切波速研究的不足，深入探討粗粒土壓實密度與剪切波速的定量關系，旨在建立粗粒土填料剪切波速與壓實密度理論方程，并通過試驗驗證理論方程適用性，同時，提出適用于粗粒土填料的剪切波速測試方法。研究成果可為快速測試粗粒土填料的壓實密度提供新思路。

1 粗粒土剪切波速-壓實密度理論方程

1.1 基于顆粒接觸理論的粗粒土剪切模量研究

首先，基于彈性動力學理論推導出理想介質剪切波速方程[17]：

式中：vs為剪切波速；G為粗粒土剪切模量；ρ為粗粒土密度；E為粗粒土彈性模型；μ為粗粒土泊松比。在壓實過程中，粗粒土的剪切模量、密度實時發(fā)生改變，而剪切模量的測試方法較復雜，導致無法準確建立粗粒土剪切模量、密度與剪切波速之間的定量關系。同時，剪切波波長處于10～30 cm范圍內，對于細粒土而言，剪切波波長遠大于土顆粒粒徑，故近似將細粒土視為連續(xù)體，然而，粗粒土粒徑較大，無法完全近似視為連續(xù)體。趙明階等[18-19]研究砂土和土石混合料的剪切波速計算公式時，將土顆粒等效為粒徑相等、材料性質相同的等球體，雖然等效的假設更合理，但無法量化不同粒徑的粗細顆粒。故本文將粗粒土中顆粒分為粗顆粒和細顆粒2 種球形，如圖1(a)所示。此時，顆粒間接觸的類型主要2種：相同顆粒之間接觸以及不同顆粒之間接觸，分別如圖1(b)和1(c)所示。

圖1 粗粒土簡化模型Fig.1 Simplified model of coarse-grained soil

基于鐘曉雄等[20]提出剪切模量理論公式，可得相同顆粒接觸時剪切模量G：

式中為粗粒土平均配位數(shù)；e為粗粒土孔隙比；r為顆粒半徑；Dn和Ds分別為顆粒接觸的法向剛度和切向剛度。

類似地，不同顆粒接觸時剪切模量G：

以不同顆粒接觸為例，推導散粒體剪切波速方程。首先，基于Hertz 接觸模型[21]，2 個球體受力擠壓變形時，則球體間位移δ為：

式中：P為兩球體間接觸法向力；μ1和μ2分別為粗顆粒和細顆粒的泊松比；E1和E2分別為粗顆粒和細顆粒的彈性模量；k1和k2為球體間位移計算系數(shù)；δ為兩球體間位移，即為圖1(c)中R1+R2-R′。

因此，球體接觸間的法向接觸剛度Dn為

引入LI 等[22]所提出的剛度比概念，建立顆粒剛度與顆粒接觸泊松定量關系：

式中：μ12為剛度比計算系數(shù)；kr為剛度比，即法向剛度與切向剛度的比。

綜上可知，通過式(3)、(7)以及式(10)，結合式(1)即可求得不同顆粒接觸散粒體剪切波速方程。

類似地，相同顆粒散粒體剪切波速方程為：

基于所得粗粒土剪切波速計算公式，分析各參數(shù)對于剪切波速的影響關系，結果如圖2所示。

圖2 剪切波速-壓實密度理論的參數(shù)分析Fig.2 Parametric analysis of shear wave velocity-compaction density theory

從圖2(a)可見：對于相同顆粒計算模型，顆粒的泊松比μ對剪切波速結果影響不大，而顆粒彈性模量對理論剪切波速的影響大，剪切波速隨著顆粒彈性模量提高而增加。從圖2(b)可見：對于不同顆粒計算模型，顆粒的泊松比μ對于剪切波速的影響不大，而顆粒彈性模量對剪切波速的影響更大，如當泊松比μ為0.2，彈性模量從5 GPa 增大到10 GPa時，剪切波速從197.9 m/s增大到279.9 m/s，提升了41.4%。

1.2 粗粒土干密度與剪切波速理論模型

在實際情況中，粗顆粒路基填料整體土體的顆粒接觸形式并不是單一的，而是多種顆粒接觸形式共存，且壓實過程中填料顆粒參數(shù)一般(如單個顆粒粒徑、剛度等)是固定的。根據1.1節(jié)的理論公式，不同接觸形式的理論計算公式不同，剪切波在復雜級配的粗粒土中在不同部分以不同速度傳播。

首先，按不同顆粒接觸形式將剪切波傳播路徑按不同波速分段：

式中：v′1為相同顆粒接觸部分的剪切波傳播速度；v′2為不同顆粒接觸部分的剪切波傳播速度；s1為相同顆粒接觸的剪切波傳播距離；s2為不同顆粒接觸的剪切波傳播距離；s=s1+s2，為整體剪切波傳播距離；t為整體剪切波傳播時間；v′為整體表觀剪切波傳播速度。為方便計算，整體取倒數(shù)處理：

其中，不同剪切波速對應不同形式的顆粒接觸，其剪切波速與土體顆粒性質間的關系為

基于楊尚惠等[23-24]的配位數(shù)計算理論，平均配位數(shù)計算如下：

式中：?為孔隙率。

孔隙率與土體密度有如下關系：

式中：ρs為粗粒土的顆粒密度。

將式(16)～(19)代入式(15)。假定單個顆粒的密度均相同，按照級配即粗細顆粒質量比，等價得到粗細顆粒體積比，再根據顆粒的粒徑比，推斷出顆粒數(shù)量比，進而得到其配位數(shù)的關系，并將式(18)代入，可得：

式中：a、b和c為與所用填料級配相關的顆粒接觸配位數(shù)系數(shù)。式(21)涉及參數(shù)較多，對實際使用造成了一定不便，但所涉及的參數(shù)M、ρs均只與土體性質相關，即當填料確定后，這些參數(shù)均保持不變，在同種土體的壓實過程中不發(fā)生變化。

1.3 數(shù)值驗證

采用Comsol 數(shù)值軟件建立模型，進一步驗證理論公式的正確性。建模時，使用與理論相同的假設條件，將粗粒土近似為無限空間，模型采用周期性邊界來模擬這種無限空間土體中傳播的剪切波，取直達波進行分析，避免邊界折射、反射等現(xiàn)象的影響。

由于在Comsol 中采用周期性結構進行模擬，故建模時只需要建立最小單元，然后進行重復即可。圖3所示為相同顆粒以及不同顆粒的數(shù)值計算模型圖，分別對應于理論公式中相同顆粒組成的散粒體以及2種不同顆粒組成的散粒體模型。模型的剪切波速通過Comsol 軟件內置的固體物理周期性結構計算方程求解。模型中，頻率與波矢之間的頻散關系為

圖3 不同顆粒類型的數(shù)值計算模型Fig.3 Numerical computation model of different particle types

式中：ω為頻率；k′為波矢。

對于模型的參數(shù)，按照表1進行取值。值得注意的是，模型及參數(shù)取值僅為了驗證1.2節(jié)中粗粒土壓實密度與剪切波速方程在假定和推導等理論方面的合理性，與實際粗粒土存在一定偏差。

表1 數(shù)值模型的參數(shù)取值Table 1 Numerical model parameter values

圖4所示為理論模型與Comsol 數(shù)值模型對不同接觸類型的剪切波速計算結果對比圖。由圖4可知：理論公式與數(shù)值模擬計算的剪切波速相近，預測趨勢相同。由于數(shù)值模擬與理論模型的假設條件并不完全一致，例如理論模型在計算顆粒模量時近似認為各向同性，同時數(shù)值模擬與理論分析對于2 個球體間接觸后體積的計算方法也不同。故理論計算和數(shù)值模擬間仍有一定的相對誤差，但相對誤差在8%以內，可認為理論模型是正確的。

圖4 剪切波速計算結果對比圖Fig.4 Comparison of shear wave speed calculation results

2 粗粒土剪切波速試驗

2.1 試驗材料

為了與實際工程接近，本次測試剪切波速所用的粗粒土取自京雄高鐵霸州某標段。根據GB/T50123—2019《土工試驗方法標準》，開展了篩分試驗，得到了試驗粗粒土填料的級配曲線如圖5所示。通過擊實試驗確定了試驗粗粒土填料的最優(yōu)含水率為5.5%，最大干密度為2.24 g/cm3。

圖5 填料級配Fig.5 Filler gradation

2.2 試驗設備

室內振動壓實試驗設備采用課題組自主研發(fā)的大型智能振動壓實儀，該新型智能振動壓實儀主要由機架、振動系統(tǒng)與控制系統(tǒng)組成，其構造如圖6所示。振動系統(tǒng)主要包括配重塊、偏心塊、激振頭與激振電機。控制系統(tǒng)由位移計和數(shù)據采集軟件組成，其中數(shù)據采集軟件可通過控制變頻器對電機轉速進行調節(jié)，實現(xiàn)對變頻器啟停控制、工作狀態(tài)的實時監(jiān)控，可控制振動頻率為0～80 Hz。通過位移計，采用表面沉降法，實現(xiàn)壓實密度的自動監(jiān)測，形成壓密曲線。壓實儀的質量為200 kg，配重塊的質量調節(jié)范圍為0～400 kg，偏心距的調節(jié)范圍為0～8 cm，偏心塊質量為2.4 kg。

圖6 試驗設備Fig.6 Test equipment

目前，學者們采用下式直接測試剪切波速vs：

式中：l0為激發(fā)剪切波裝置與接收裝置間的距離；ts為激發(fā)剪切波裝置與接收裝置間傳播時間。

然而，針對粗粒土剪切波測試方法鮮有相關研究，需要提出合理的剪切波速測試方法。影響剪切波速的試驗因素主要包括激發(fā)波形和激發(fā)頻率2 個因素[25]。本文剪切波速試驗采用英國GDS彎曲元系統(tǒng)，該設備不但可以實現(xiàn)正弦波、方波等激發(fā)波形的調節(jié)，而且可以激發(fā)不同頻率的剪切波。

2.3 試驗方案

首先，研究了激發(fā)波波形和激發(fā)波頻率對于剪切波速測試結果的影響，獲得準確的剪切波速測試值。

然后，提出合理的粗粒土填料剪切波速測試方法。

最后，根據此方法測試不同壓實密度下粗粒土的剪切波速，并與理論計算對比，驗證剪切波速-壓實密度理論公式適用性。試驗工況如表2所示。

表2 試驗工況Table 2 Test conditions

3 試驗結果

3.1 激發(fā)信號波形的影響

粗粒土處于疏松狀態(tài)和緊密狀態(tài)下，分別采用方波和正弦以10 Hz 頻率激發(fā)，結果如圖7所示。

圖7 不同激發(fā)波形測試結果Fig.7 Test results of different excitation waveforms

由圖7 可知：不論激發(fā)波形如何，接收波形均為正弦波。以圖7(a)為例，當填料干密度為2.17 g/cm3時，根據接收波波形圖，以剪切波初至時間點計算得到剪切波速，對于正弦波激發(fā)的情況，激發(fā)波在0 ms 初激發(fā)，而接收波的初至點出現(xiàn)在0.474 ms，時間差為0.474 ms，減去彎曲元系統(tǒng)傳播時間0.035 ms，實際傳播時間為0.439 ms，粗粒土填料高度為118.7 mm，根據式(22)計算出剪切波速為270.4 m/s。而對于方波激發(fā)的情況，計算出剪切波速為266.1 m/s。當粗粒土填料干密度較小時，正弦波激發(fā)無法得到可辨認的接收波形圖，而采用方波激發(fā)卻可以得到有效的接收波波形圖。而當粗粒土填料干密度較大時，正弦波、方波激發(fā)均可得到有效的接收波形?？梢姡讲ぐl(fā)具有更廣泛的適用性。

3.2 激發(fā)頻率的影響

粗粒土處于疏松狀態(tài)和緊密狀態(tài)下，采用方波激發(fā)，激發(fā)頻率分別為1、2、5、10 和20 Hz，測試結果如圖8所示。由圖8可知：不同頻率的激發(fā)波對于剪切波速測試的效果有非常明顯的影響；當所用激發(fā)頻率較低時，激發(fā)波波長小于剪切波傳播距離，接收波形難以發(fā)生明顯變化，幾乎無法獲取任何有效的信息；當激發(fā)頻率增大、激發(fā)波波長大于剪切波傳播距離時，可從接收波形圖中獲得有效的信息。當激發(fā)頻率為5～10 kHz 時，可以得到清晰有效的接收波形圖，據此可對剪切波速進行計算。接收波頻率并不隨激發(fā)波頻率變化而成倍變化。

干密度較大的粗粒土填料接收波形圖清晰度更高，而干密度較小的試樣接收波形噪聲較多，這主要是由于壓實系數(shù)較高的試樣密實性更好，剪切波更接近于在均勻連續(xù)各向同性的理想介質中傳播，減少了雜波的干擾及能量的損耗。

3.3 粗粒土干密度預測模型

為驗證所提出的粗粒土剪切波速-干密度理論方程適用性，通過文獻調研[26-33]，列出常規(guī)粗粒土的宏細觀物理力學參數(shù)，并以此對理論公式中參數(shù)賦值。表3所示為文獻[26-33]中粗粒土參數(shù)取值統(tǒng)計。參考文獻[26-33]，并結合本文材料的相關性質，理論方程中的計算參數(shù)如表4所示。

表3 文獻[26-33]中粗粒土參數(shù)取值統(tǒng)計Table 3 Parameter value statistics of coarse-grained soil in Refs.[26-33]

表4 理論公式參數(shù)取值Table 4 Theoretical formula parameter value

將選取的材料參數(shù)代入式(20)，可得如下剪切波速-密度方程：

將所得粗粒土剪切波速與密度關系式繪制曲線，結果如圖9所示，并與相應工況試驗測試結果對比。從圖9可見：理論公式可以較好地預測測試結果。在實際工程中，求出所用材料的M，其后在工程現(xiàn)場可通過測量壓實填料的剪切波速來計算土體密度。

圖9 理論與實測剪切波速對比圖Fig.9 Comparison of theoretical and measured shear wave velocities

4 結論

1)通過彈性動力學與顆粒細觀接觸理論，基于粗粒土細觀特性(包括顆粒的剛度、配位數(shù)、孔隙率、密度)，推導粗粒土剪切波速-壓實密度的理論計算方程。在計算方程中，顆粒的泊松比對剪切波速的影響不大，而顆粒彈性模量對剪切波速的影響較大。

2)通過周期邊界理論，采用Comsol 數(shù)值軟件來模擬無限空間土體中傳播的剪切波，根據數(shù)值模型中頻率與波矢之間的頻散關系得到波速，數(shù)值結果與理論計算結果變化趨勢相同，且相對誤差均在8%以內。

3)剪切波速隨壓實密度增加而增加。5～10 kHz是合適的激發(fā)頻率范圍，在此頻率范圍內，不論何種激發(fā)波，接收波形均為正弦波，但方波激發(fā)具有更廣泛的適用性。

4)試驗結果驗證了剪切波速-壓實密度方程的適用性。在實際工程應用中，求出所用粗粒土填料的M，可通過粗粒土填料的剪切波速來快速計算其壓實密度。