黎一鍇 朱 銘 席 儒 王東方? 楊子明 吳 坤,2)

*(北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院,北京 100081)

? (北京理工大學(xué)重慶創(chuàng)新中心,重慶 401120)

** (中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所高溫氣體動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

?? (昆明理工大學(xué)云南省內(nèi)燃機(jī)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,昆明 650500)

引言

豎直振動(dòng)板上的附著液滴動(dòng)力學(xué)廣泛出現(xiàn)在工業(yè)和科學(xué)領(lǐng)域,如蒸發(fā)結(jié)晶、超聲霧化、風(fēng)力渦輪機(jī)葉片除冰和內(nèi)燃機(jī)二次霧化等[1-6].當(dāng)振動(dòng)幅度超過(guò)一定閾值時(shí),首先在液滴表面觀察到對(duì)稱的規(guī)則圖案[7].隨著振幅的進(jìn)一步增加,表面波變形加劇,這會(huì)產(chǎn)生尖銳的液線,并從液體射流的表面產(chǎn)生二次液滴[8].

研究具有不同物理性質(zhì)的液體、不同接觸壁面條件和不同振動(dòng)模式下的液滴的表面變形是液體動(dòng)力學(xué)的一個(gè)焦點(diǎn).James 等[9]觀察到液滴出現(xiàn)軸對(duì)稱駐波(緯向波)、靜止然后緩慢旋轉(zhuǎn)的方位角波(經(jīng)向波)、隨時(shí)間變化的彈坑和液線,以及在逐漸增加的激勵(lì)振幅下的微小二次液滴的快速噴濺過(guò)程.Chang 等[10]將水滴放置在水平壁面,并通過(guò)施加一系列頻率的外部激勵(lì)來(lái)觀察水滴的共振行為.液滴的表面形態(tài)分為3 種模式: 緯向模式、經(jīng)向模式和鑲嵌模式.通過(guò)引入球諧函數(shù),根據(jù)液滴表面的幾何形態(tài)圖案對(duì)應(yīng)識(shí)別每一個(gè)模態(tài).Singla 等[11]將水銀放置在球形玻璃上,并采用不同的振幅和頻率對(duì)其施加垂直擾動(dòng),同時(shí)用高速攝像機(jī)記錄水銀液滴的振動(dòng).實(shí)驗(yàn)觀察到,水銀液滴受到垂直擾動(dòng)時(shí)液滴的振動(dòng)頻率會(huì)達(dá)到擾動(dòng)頻率的一半,不同的振動(dòng)液滴的頻率對(duì)應(yīng)于不同的表面模態(tài).王凱宇等[12]研究發(fā)現(xiàn)超疏水表面上液滴的體積對(duì)共振振幅、模式區(qū)間、共振頻率等振動(dòng)特性影響較大.Noblin 等[13]研究了有重力條件下聚苯乙烯振動(dòng)基板上液滴的振動(dòng)特性.通過(guò)調(diào)整頻率和振幅,觀察到液滴的兩種軸對(duì)稱振蕩的狀態(tài),一種為接觸線保持固定,主要出現(xiàn)在低振幅條件下,另一種接觸線處于振蕩狀態(tài),主要出現(xiàn)在臨界振幅之上.Shao 等[14]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了圓柱形容器中機(jī)械振動(dòng)激發(fā)下的空氣水界面表面波,研究表明界面與容器接觸角對(duì)界面表面波波形有著很大的影響.

在垂直振動(dòng)的液層表面上觸發(fā)周期性表面波的機(jī)制通常歸因于Faraday 不穩(wěn)定性,這是Faraday[15]在研究垂直振動(dòng)作用下液層表面的響應(yīng)時(shí)提出的,他觀察到,表面駐波以驅(qū)動(dòng)頻率一半的頻率振蕩.Kumar 等[16]將液體黏性納入了考慮范疇,修正了Mathieu 方程并給出了黏性液體表面不穩(wěn)定性參考表,并且與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[17]吻合良好.Bronfort 等[18]研究了系統(tǒng)在垂直搖晃下氣泡-液體界面的Faraday波,研究表明存在一個(gè)明確的加速度閾值,超過(guò)閾值氣泡-液體界面出現(xiàn)次諧波.Chen[19]采用二維數(shù)值模擬研究了不同模式下Faraday 波的非線性動(dòng)力學(xué)特性.Li 等[20]通過(guò)三維模擬研究了Faraday 不穩(wěn)定下液層表面液線形成及其隨后斷裂相關(guān)的基本非線性動(dòng)力學(xué).Dinesh 等[21]指出,在機(jī)械和靜電引起的Faraday 不穩(wěn)定性情況下,利用無(wú)黏理論都可以預(yù)測(cè)黏性流體共振時(shí)的模態(tài)響應(yīng).在接觸線遲滯現(xiàn)象對(duì)Faraday 不穩(wěn)定性的研究中,Yuan 等[22]發(fā)現(xiàn)遲滯會(huì)使固有頻率增大,并通過(guò)計(jì)算得到了接觸角范圍與接觸線位置之間的線性關(guān)系.Bestehorn 等[23]用相場(chǎng)方法對(duì)Faraday 不穩(wěn)定性進(jìn)行了研究,進(jìn)一步分析得到不同流體黏度下的非線性解.Dong 等[24]研究了扁平液滴的上表面在垂直激勵(lì)下由表面參數(shù)不穩(wěn)定性引起的星形振蕩,并推導(dǎo)了一個(gè)結(jié)合平面Faraday波模態(tài)和液滴方位振蕩模態(tài)的三維振蕩模型.

在徑向周期正弦外加激勵(lì)作用下,球形液滴表面也會(huì)出現(xiàn)Faraday 不穩(wěn)定性.Adou 等[17]在受徑向激勵(lì)的球形Faraday 不穩(wěn)定性分析中,通過(guò)將Floquet方法[25]應(yīng)用于球坐標(biāo)系,解決了線性穩(wěn)定性問(wèn)題.姚慕偉等[26]基于線性小擾動(dòng)理論研究了受徑向振蕩體積力的黏彈性液滴表面波的不穩(wěn)定性.康寧[27]基于二維軸對(duì)稱數(shù)值仿真模型,并結(jié)合水平集與流體體積耦合算法(CLSVOF 方法)[28],對(duì)液滴在 Faraday不穩(wěn)定性主導(dǎo)下的二次霧化過(guò)程及霧化機(jī)理做了深入研究.

現(xiàn)有的研究主要集中在Faraday 不穩(wěn)定性引起的徑向力作用下液滴的界面不穩(wěn)定性[9].當(dāng)液滴受到垂直加速度時(shí),表面也會(huì)出現(xiàn)次諧波.很少有研究探討豎直力產(chǎn)生的次諧波與Faraday 不穩(wěn)定性之間的關(guān)系.以前的許多研究工作都致力于研究液體層而不是液滴的不穩(wěn)定性.關(guān)于Faraday 不穩(wěn)定性下球形液滴的表面波與豎直激勵(lì)下的表面波之間的聯(lián)系的文獻(xiàn)很少.此外,現(xiàn)有的模擬研究主要通過(guò)二維軸對(duì)稱數(shù)值模型研究液滴失穩(wěn)產(chǎn)生的表面波的物理特性.然而,當(dāng)發(fā)生非軸對(duì)稱經(jīng)向表面波時(shí),二維軸對(duì)稱數(shù)值模型不適用.因此,有必要通過(guò)三維數(shù)值模型進(jìn)一步研究不同工況下液滴表面波的物理特性和機(jī)理.

本工作采用液滴振蕩實(shí)驗(yàn)結(jié)合三維數(shù)值仿真,研究了振動(dòng)平板上液滴的振蕩特性,主要討論了表面經(jīng)向波和緯向波的演變過(guò)程.并將豎直作用力下的表面失穩(wěn)特性與徑向作用力下由Faraday 不穩(wěn)定性引起的表面失穩(wěn)進(jìn)行了比較,闡明了液滴在豎直加速度下發(fā)生經(jīng)向失穩(wěn)機(jī)理.豐富了液滴表面失穩(wěn)形式的理論研究.

1 研究手段

1.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1 所示,通過(guò)該裝置可以獨(dú)立控制振動(dòng)平板的激勵(lì)振幅和頻率.液滴發(fā)生器是一個(gè)尾端連接步進(jìn)電機(jī)的注射器,注射器出口靠近平板.開啟步進(jìn)電機(jī)可產(chǎn)生一定體積的液體(本文選用去離子水)使其聚集在平板中心位置,液滴直徑為7.5 ±0.02 mm.相關(guān)液滴物理特性如表1 所示,實(shí)驗(yàn)中測(cè)量得到的液滴在鋁基板上的靜態(tài)接觸角均值為87°.

表1 水滴在室溫、標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的物理特性Table 1 Physical properties of water at atmospheric temperature and pressure

圖1 液滴振動(dòng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.1 Schematic diagram of the experimental setup

UTG9005C 型函數(shù)信號(hào)發(fā)生器串聯(lián)SA-PA010型功率放大器,用于產(chǎn)生一定振幅和頻率的正弦電壓信號(hào).鋁平板通過(guò)M5 螺紋連接到JZ-002 型激振器的頂端,并以與激勵(lì)電壓信號(hào)相同的頻率在豎直方向上振動(dòng).Ds1054 示波器清晰地顯示出頻率和電壓.1200 W 的鏑燈為實(shí)驗(yàn)光源,均光片放置在觀測(cè)液滴與光源中間使光線均勻分布.實(shí)驗(yàn)中使用PhantomV7.3 高速相機(jī),使用焦距為180 mm 的Tamron 微距鏡頭.拍攝幀率為11 000 fps,曝光時(shí)間為88 μs,拍攝視窗為512×512 像素.

圖2 顯示了在不同頻率下,平板振幅和激勵(lì)電壓之間的線性相關(guān)性.因此,可以通過(guò)分別控制驅(qū)動(dòng)頻率和平板振幅來(lái)觀察液滴在不同激勵(lì)參數(shù)下的形態(tài)變化和表面波特性.實(shí)驗(yàn)條件根據(jù)表2 和表3設(shè)置.

表2 實(shí)驗(yàn)工況: 激勵(lì)振幅的影響 (300 Hz)Table 2 Experimental condition: influence of forcing amplitude(300 Hz)

表3 實(shí)驗(yàn)工況: 激勵(lì)頻率的影響Table 3 Experimental condition: influence of forcing frequency

圖2 不同頻率下的激勵(lì)振幅與激勵(lì)電壓的關(guān)系Fig.2 The relationship between forcing amplitude and excitation voltage of the plate under different frequencies

1.2 數(shù)值模型

在豎直振動(dòng)激勵(lì)下液滴動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)值模擬中,將做出以下假設(shè): 流體視為不可壓縮,氣體和液體彼此不混溶.表面張力和慣性力被視為體積力源項(xiàng)[29],并添加到Navier-Stokes 方程中.假設(shè)液滴的初始狀態(tài)是半球形的.因此,具體的控制方程為

式中,u=(u,v,w) 為流體速度矢量(其中,速度分量v為平板振動(dòng)方向),p為壓力,ρ 為流體密度,μ 為流體動(dòng)力黏度,混合物中的密度和黏度作為各相的體積分?jǐn)?shù)的函數(shù)來(lái)計(jì)算

式中,下標(biāo)l 和g 分別代表液相和氣相,c為基于流體體積(VOF)法的流體體積函數(shù)c(x,t),描述網(wǎng)格單元中某一種流體所占的體積

Fs為表面張力項(xiàng),在Gerris 中采用改進(jìn)優(yōu)化后的CSF 近似方法計(jì)算表面張力,該方法最早由Duan等[30]提出,可以表示為

式中,σ 為表面張力系數(shù),κ 為曲率,δs為界面的狄拉克函數(shù),n為界面的法向量,為平滑處理后的體積率函數(shù).A為慣性加速度,其表達(dá)式為

式中,Δ 為位移振幅,Ω 為角頻率,即 Ω=2πf,f為驅(qū)動(dòng)頻率,j為豎直方向(y軸正方向)的單位矢量.

特征參量的定義如下: 特征長(zhǎng)度L等于液滴直徑D,特征時(shí)間t=1/f,特征速度u=Df,特征密度ρ=ρL,特征動(dòng)力黏度 μ=μL,特征壓力p=ρLD2f2,對(duì)控制方程式(1)和式(2)進(jìn)行無(wú)量綱化,無(wú)量鋼化后的控制方程如下

圖3(a)為豎直作用力下的物理模型示意圖.在一個(gè)正方體的計(jì)算域中,液滴位于底部中心位置處,正方體計(jì)算域邊長(zhǎng)L=2D.坐標(biāo)系原點(diǎn)與液滴中心位置重合.

圖3 垂直慣性力和徑向慣性力作用物理模型Fig.3 Physical model with vertical inertia force and radial inertia force

底部的邊界條件設(shè)置為滑移邊界,實(shí)驗(yàn)中測(cè)量工況內(nèi)所得動(dòng)態(tài)接觸角范圍約81°～128° (300 Hz,振幅小于100 μm),為了便于計(jì)算,模型中設(shè)置接觸角恒定為90°.因?yàn)樵诒容^高頻率的激勵(lì)下,波長(zhǎng)較小,接觸線處滑移距離很小,對(duì)于液體內(nèi)部影響可以忽略不計(jì).且在仿真工作中只選取了施加激勵(lì)的前有限個(gè)周期的時(shí)間段,液體半徑變化不大.

針對(duì)控制方程式(10)與式(11),采用時(shí)間交錯(cuò)法可獲得時(shí)間上的二階精度離散方程組,通過(guò)使用時(shí)間分割投影方法和多重網(wǎng)格泊松方程求解器求解方程[31].數(shù)值模擬中使用了可變時(shí)間步長(zhǎng),受Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)數(shù)0.3 的約束,以確保計(jì)算的穩(wěn)定性.仿真工況的參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表4,工況S-A 和S-B對(duì)應(yīng)于振動(dòng)頻率300 Hz,振幅分別為40 μm 和80 μm.由于液滴的慣性加速度遠(yuǎn)大于重力加速度,因此模擬中不包括重力的影響.

表4 仿真工況設(shè)置Table 4 Simulation operating condition parameters

另外,本文還探究了液滴徑向加速度下失穩(wěn)機(jī)制,圖3(b)是徑向加速度下液滴計(jì)算域示意圖,相比于前文中的數(shù)值模型,此模型僅僅將豎直加速度改變?yōu)閺较蚣铀俣?其他計(jì)算條件均保持一致,并且工況仍為工況S-B,此時(shí)加速度形式為

式中,i,j,k分別為直角坐標(biāo)系下x,y,z方向的單位矢量,α,θ 分別為徑向加速度與i,j的夾角.

1.3 數(shù)值驗(yàn)證

本文采用Gerris 仿真軟件[32]進(jìn)行計(jì)算,用于求解具有兩相界面流的不可壓縮Navier-Stokes 方程.Gerris 在三維模擬中使用八叉樹形式的自適應(yīng)規(guī)則將域離散為不同級(jí)別的計(jì)算網(wǎng)格.本文數(shù)值模擬的關(guān)鍵是捕捉液滴氣液兩相界面在不同工況下的變形,因此需要細(xì)化兩相界面的網(wǎng)格.在本文中,(Minlevel,Midlevel,Maxlevel)的組合用于指定數(shù)值模擬中的網(wǎng)格細(xì)化級(jí)別,即每個(gè)部分細(xì)分為2Minlevel,2Midlevel或 2Maxlevel個(gè)單元.流體介質(zhì)分為液體、氣體和氣-液界面3 部分,其中氣-液兩相界面要求最高的網(wǎng)格分辨率,設(shè)置為Maxlevel;液體和氣體介質(zhì)分別用Midlevel 和Minlevel 表示.本文使用自定義函數(shù)來(lái)指定基于流體體積函數(shù)c及其梯度的細(xì)化級(jí)別.這確保了以可承受的計(jì)算成本準(zhǔn)確地解決兩相界面.采用3 種網(wǎng)格離散標(biāo)準(zhǔn)(4,5,6),(4,6,7)和(4,6,8)進(jìn)行網(wǎng)格無(wú)關(guān)性研究.圖4 為實(shí)驗(yàn)中液滴頂點(diǎn)從平衡位置到最高位置的位移與對(duì)應(yīng)工況S-A 下采用不同網(wǎng)格離散標(biāo)準(zhǔn)的仿真結(jié)果對(duì)比圖.考慮到實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致性以及仿真計(jì)算時(shí)間成本,因此采用網(wǎng)格離散標(biāo)準(zhǔn)(4,6,7)作為本文的網(wǎng)格自適應(yīng)標(biāo)準(zhǔn).

圖4 液滴頂端位移的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison between computational results of the droplet vertex with the experiment measurement

圖5 顯示了與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比,液滴界面表面波形態(tài)的時(shí)間演變.在液滴宏觀表面波形態(tài)特征方面,模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果基本一致.這表明所建立的三維模擬模型和網(wǎng)格自適應(yīng)準(zhǔn)則在再現(xiàn)外部振動(dòng)下液滴界面的演變方面是準(zhǔn)確的.

圖5 實(shí)驗(yàn)(工況E-A)和仿真(工況S-A)表面波形態(tài)的比較Fig.5 Comparison of surface wave morphology of experiment (case E-A) and simulation (case S-A)

2 結(jié)果和分析

2.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1.1 不同激勵(lì)振幅下液滴界面的失穩(wěn)特性

為研究不同激勵(lì)振幅下液滴在振動(dòng)平板上的振蕩特性,實(shí)驗(yàn)中選取3 組典型的工況進(jìn)行對(duì)比.實(shí)驗(yàn)中驅(qū)動(dòng)頻率保持為300 Hz,激勵(lì)振幅按照表2 中選取.圖6(a)～圖6(c)分別為E-A～E-C 實(shí)驗(yàn)工況下的液滴的表面波形態(tài).

圖6 不同激勵(lì)振幅下表面波形態(tài)的時(shí)間演化Fig.6 Time evolution of surface wave morphology under different forcing amplitudes

圖6(a)為激勵(lì)振幅為40 μm 下液滴的表面形態(tài).定義液滴的頂端在其最高點(diǎn)時(shí)為初始時(shí)刻,記錄表面波形態(tài)在一個(gè)驅(qū)動(dòng)周期T(T=3.33 ms)中發(fā)生的變化.液滴的表面波主要表現(xiàn)為軸對(duì)稱的緯向表面波.t=0 時(shí),除了頂端表面波外,液滴還存在3 條軸向?qū)ΨQ的緯向表面波.之后,液滴頂端開始下降,表面波的波峰和波谷在0.25T處返回到平衡位置.0.5T時(shí),液滴的頂端處于其最低位置,表面形成4 個(gè)緯向表面波.然后,液滴在0.75T時(shí)返回平衡界面.在1T時(shí),液滴頂端將再次返回最高點(diǎn),形成頂端表面波加上3 個(gè)軸對(duì)稱緯向表面波的形式.因此,可以將表面波變化周期確定為1T.

圖6(b)中,激勵(lì)振幅增加到160 μm.出現(xiàn)了顯著的經(jīng)向表面波,這意味著軸對(duì)稱的表面波被經(jīng)向不穩(wěn)定性打破.以經(jīng)向表面波最明顯時(shí),即處于波峰位置時(shí)作為起始時(shí)刻,很容易識(shí)別出經(jīng)向表面波的產(chǎn)生源于和板的接觸線.0 ＜t＜0.5T時(shí),經(jīng)向表面波從波峰逐漸回落到平衡位置,而在緯向表面波的作用下,經(jīng)向表面波將逐漸向上移動(dòng)直至消失.t=1T時(shí),在液滴的底部再次產(chǎn)生清晰的經(jīng)向表面波.然而,此時(shí)的經(jīng)向表面波的位置是在t=0 的波谷位置.比較t=2T時(shí)液滴經(jīng)向表面波的位置,可以發(fā)現(xiàn)液滴經(jīng)向波的周期為 2T.t=0.5T和t=1.5T處的液滴頂端位置表明,在經(jīng)向波出現(xiàn)后,緯向波仍然存在,并保持1T的周期.

進(jìn)一步增加振幅到200 μm,從圖6(c)可以看出,在更大的慣性力作用下,液滴經(jīng)向和緯向的表面波振幅顯著增大.兩種表面波之間也存在相互干涉,使得液滴表面由經(jīng)向和緯向表面波組成胞格狀的駐波.此時(shí),液滴的緯向和經(jīng)向表面波的形狀演變將趨于混亂,但基于0T和2T處液滴形狀的相似性,推測(cè)表面波演變周期仍然是2T.

2.1.2 不同驅(qū)動(dòng)頻率下液滴界面的失穩(wěn)特性

在本節(jié),改變驅(qū)動(dòng)頻率,并適當(dāng)調(diào)節(jié)激勵(lì)電壓使得振動(dòng)平板的位移振幅保持相對(duì)一致,以研究不同驅(qū)動(dòng)頻率下液滴所產(chǎn)生的表面波特性.實(shí)驗(yàn)工況的參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表3.

圖7(a)～圖7(e)對(duì)應(yīng)不同驅(qū)動(dòng)頻率下液滴的表面波形態(tài)圖.其中圖7(a)～圖7(d)以液滴頂端位于最高點(diǎn)作為初始參考對(duì)象,分別給出5 個(gè)不同位置,即最高位置、平衡位置、最低位置、平衡位置和最高位置作為參考位置.從圖中可以看出,不同頻率下液滴的緯向表面波周期與對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)周期一致.液滴此時(shí)的表面波始終為簡(jiǎn)諧波.另外,不同頻率下液滴產(chǎn)生的表面波也有區(qū)別.高驅(qū)動(dòng)頻率下液滴表面波模態(tài)數(shù)明顯增多,這與Pang 等[33]的實(shí)驗(yàn)規(guī)律一致.圖8 為不同驅(qū)動(dòng)頻率下對(duì)應(yīng)的液滴緯向表面波的波長(zhǎng),波長(zhǎng)定義為沿球面經(jīng)向所有波長(zhǎng)的平均值.從圖中可以看出,隨著頻率的增加,緯向表面波的波長(zhǎng)首先快速降低,當(dāng)頻率大于400 Hz 時(shí),波長(zhǎng)降低的速率減緩.當(dāng)頻率較大時(shí),如圖7(e)所示,此時(shí)液滴表面產(chǎn)生2 倍于驅(qū)動(dòng)周期的經(jīng)向表面波,在Pang等[33]關(guān)于圓形和星形振蕩之間相互轉(zhuǎn)換的臨界振幅研究中也觀察到了類似現(xiàn)象.這可以解釋為高頻率下為了保持振幅一致而增加的電壓促使液滴發(fā)生了經(jīng)向失穩(wěn),液滴此時(shí)的經(jīng)向波為亞簡(jiǎn)諧波.

圖7 不同驅(qū)動(dòng)頻率下表面波形態(tài)的時(shí)間演化Fig.7 Time evolution of surface wave morphology under different forcing frequencies

圖8 液滴緯向表面波平均波長(zhǎng)隨頻率的變化Fig.8 Variation of the average wavelength of droplet latitudinal surface waves with frequency

根據(jù)以上分析,通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段在宏觀層面上觀測(cè)到在激振作用下產(chǎn)生的經(jīng)向波和緯向波,并探索了不同激振頻率和激勵(lì)振幅對(duì)兩種波形的影響.具體來(lái)講,不同激勵(lì)振幅下液滴存在著不同的界面失穩(wěn)特性.在低振幅下,液滴界面主要發(fā)生緯向失穩(wěn)從而產(chǎn)生具有軸對(duì)稱性質(zhì)的緯向表面波,而緯向表面波的周期等于驅(qū)動(dòng)周期1T.在高振幅下,液滴界面不僅存在緯向表面波,還會(huì)發(fā)生經(jīng)向失穩(wěn)產(chǎn)生經(jīng)向表面波,經(jīng)向表面波周期為驅(qū)動(dòng)周期的兩倍,即為2T.而當(dāng)激勵(lì)振幅足夠大時(shí),表面波的形狀演變將趨向于混沌,但演變周期仍然是2T.頻率的變化也會(huì)引起振動(dòng)模式的轉(zhuǎn)變,頻率增加,表面波模態(tài)數(shù)增加,相應(yīng)波長(zhǎng)減小.同振幅下,頻率繼續(xù)增加,波形會(huì)發(fā)生從只存在緯向波模式向緯向波疊加經(jīng)向波模式的轉(zhuǎn)變.然而僅僅通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段不能說(shuō)明表面波演化的微觀內(nèi)在機(jī)理.

2.2 仿真結(jié)果

為了探明表面波演化的內(nèi)在機(jī)理,通過(guò)仿真的手段對(duì)液體內(nèi)部速度流場(chǎng)和壓力波動(dòng)進(jìn)行研究.

2.2.1 豎直慣性力作用下的緯向失穩(wěn)特性

圖9 是液滴在 工況S-A 下緯向表面波的生成及發(fā)展過(guò)程.在初始時(shí)刻,液滴處于靜止?fàn)顟B(tài).然后,在慣性力的作用下液滴整體向正向(y軸正方向)移動(dòng),因此在表面張力的作用下液滴底部向內(nèi)收縮.當(dāng)t=0.25T時(shí)慣性力反向,但是液滴在慣性的作用下仍然有正向移動(dòng)的趨勢(shì),因此液滴底部繼續(xù)向內(nèi)收縮.當(dāng)t=0.55T時(shí),液滴底部停止收縮,底部處于波谷位置,底部附近形成完整表面波的一半.隨后液滴在慣性力的作用下開始加速向y軸負(fù)向移動(dòng),底層液滴受到上方液層的擠壓將會(huì)抵抗表面張力逐漸向外擴(kuò)張.t=1T時(shí),液滴底部擴(kuò)張到最大,形成波峰.此時(shí),底部波峰和向上傳播的波谷形成一組完整的表面波.隨后液滴又將開始向正向移動(dòng)并重復(fù)這樣的過(guò)程.當(dāng)表面波接近液滴頂端時(shí)(t=2T),液滴頂端到液滴底部已經(jīng)形成了兩組表面波.液滴底部首先產(chǎn)生表面波,且波的傳播方向是朝向液滴頂端的.

圖9 液滴緯向表面波演化仿真結(jié)果(工況S-A)Fig.9 Simulation results of droplet latitudinal surface wave generation process (case S-A)

由這個(gè)過(guò)程可以得知,液滴在豎直慣性加速度下立即產(chǎn)生緯向方向的失穩(wěn).本文在其他工況下皆出現(xiàn)此現(xiàn)象,Vukasinovic 等[34]在靈敏度更高的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中也觀察到了同樣的現(xiàn)象,他們將此現(xiàn)象歸結(jié)于單自由度系統(tǒng)在小強(qiáng)迫振幅下的行為,這也驗(yàn)證了本文仿真模型的正確性.

圖10 是工況S-A 下液滴緯向表面波在一個(gè)穩(wěn)定周期內(nèi)隨時(shí)間的演化過(guò)程.本文定義與頂端表面波相鄰的表面波為次級(jí)表面波.以液滴頂端表面波處于波峰位置時(shí)作為周期的起始點(diǎn),此時(shí)次級(jí)表面波處于波谷狀態(tài).根據(jù)圖10 可知,液滴緯向表面波演化周期與所施加慣性力的周期一致,這意味著液滴緯向表面波的頻率等于驅(qū)動(dòng)頻率,即此時(shí)液滴緯向表面波是簡(jiǎn)諧波.除此之外,發(fā)現(xiàn)液滴頂端位移與慣性力相位相差1/4 個(gè)周期.

圖10 穩(wěn)定循環(huán)周期液滴頂端位移和慣性力隨時(shí)間的演變(工況S-A)Fig.10 Evolution of droplet vertex displacement and inertial force with time during the stabilization cycle (case S-A)

為了進(jìn)一步研究液滴緯向表面波變化規(guī)律的內(nèi)在機(jī)理,圖11 給出了液滴緯向表面波各關(guān)鍵時(shí)刻下液滴xoy截面的壓強(qiáng)場(chǎng)及速度場(chǎng)圖,其中黑色粗曲線為液滴的表面輪廓線,黑色小箭頭為速度矢量,壓強(qiáng)為相對(duì)壓強(qiáng).液滴頂端處于波峰狀態(tài)的時(shí)刻被選擇為循環(huán)的開始.右側(cè)視圖給出了三維狀態(tài)下液滴表面的壓強(qiáng)場(chǎng)分布.液滴的波峰和波谷下方的液體區(qū)域分別是高壓區(qū)域和低壓區(qū)域.從整體來(lái)看,液滴表面各位置波峰和波谷是周期性交替變化的,而對(duì)應(yīng)的高壓區(qū)和低壓區(qū)也會(huì)相應(yīng)地周期性地交替變化.圖12 為t=0 時(shí)刻液滴表面從頂端到底端的壓強(qiáng)分布示意圖.液滴頂端高壓區(qū)的壓力最高,大約為124 Pa.而頂端之外的高壓區(qū)的壓強(qiáng)大小相似,都低于頂端高壓區(qū)的壓強(qiáng).

圖11 工況S-A 在xoy 截面上不同時(shí)刻的液滴壓力場(chǎng)和速度矢量場(chǎng)Fig.11 Droplet pressure field and velocity vector field at different moments for case S-A in the xoy cross section

圖12 液滴在x 方向壓力分布(工況S-A,t=0)Fig.12 Pressure distribution from top to bottom surface of droplet(case S-A,t=0)

0 ＜t＜0.25T時(shí),液滴頂端表面波由波峰位置向平衡位置移動(dòng).而此時(shí)液滴頂點(diǎn)處的表面張力也是向下的,所以表面張力對(duì)液滴頂端表面波做正功.而根據(jù)圖10 可知,此時(shí)慣性力方向也是向下的,因此慣性力對(duì)頂端表面波也做正功,這將進(jìn)一步增大頂端表面波下方液體區(qū)域的動(dòng)能,加速頂端表面波向平衡位置偏移.頂端液體區(qū)域向下流動(dòng)時(shí)會(huì)逐漸流向次級(jí)表面波的低壓區(qū),原本低壓區(qū)處的壓力逐漸升高,而表面波也從波谷位置向平衡位置處移動(dòng).其余位置處的表面波也將發(fā)生類似的流動(dòng)及能量轉(zhuǎn)化.由圖11(b)可知,當(dāng)t=0.25T時(shí),液滴各表面波處于平衡位置.圖11(b)圖片右側(cè)是左側(cè)頂端部分的放大圖,紅色箭頭為液體流動(dòng)方向,綠色箭頭為慣性力的方向.由圖可知,此時(shí)液滴頂端下方流體仍具備較高的動(dòng)能往次級(jí)表面波位置處流動(dòng).

當(dāng) 0.25T＜t＜0.5T時(shí),慣性力向下并且逐漸減小,因此慣性力仍然對(duì)頂端表面波做正功,表面張力對(duì)頂端表面波做負(fù)功.由于剛開始表面張力小于慣性力,因此一開始合力仍然對(duì)頂端表面波做正功,這將使得其壓力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能.頂端下方流體向周圍流動(dòng),使得次級(jí)表面波由平衡位置向波峰位置移動(dòng),此時(shí)表面張力和慣性力都對(duì)其做負(fù)功,這將增加對(duì)應(yīng)區(qū)域的壓力勢(shì)能,逐漸形成高壓區(qū).由于頂端表面波向波谷位置偏移時(shí),液滴界面曲率將逐漸增大,表面張力也會(huì)相應(yīng)增大,當(dāng)表面張力大于慣性力時(shí),液滴頂端表面波下行的速度將會(huì)降低.當(dāng)t=0.5T時(shí),在表面張力和慣性力的共同作用下,液滴頂端表面波行至波谷位置,由于下方流體區(qū)域的流動(dòng),其能量逐漸傳遞給次級(jí)表面波區(qū)域,所以形成頂端低壓區(qū),而次級(jí)表面波接受能量,壓力勢(shì)能增加,逐漸形成高壓區(qū).此高壓區(qū)的壓強(qiáng)大約為55 Pa.圖13 為液滴頂端及次級(jí)表面波下壓強(qiáng)隨時(shí)間的變化規(guī)律.其中,液滴頂端及次級(jí)表面波壓強(qiáng)取點(diǎn)位置相距半個(gè)表面波長(zhǎng).圖11(c)右側(cè)視圖為三維狀態(tài)下液滴表面的壓強(qiáng)場(chǎng)分布,這與t=0 時(shí)正好相反.進(jìn)一步說(shuō)明液滴緯向表面波處于穩(wěn)定周期性變化時(shí),其壓強(qiáng)場(chǎng)也有類似于表面波的駐波特性.

圖13 頂端表面波和次級(jí)表面波作用下壓力隨時(shí)間的變化(工況S-A)Fig.13 The variation of pressure with time under the top surface wave and secondary surface wave (case S-A)

當(dāng) 0.5T＜t＜0.75T時(shí),液滴頂端表面波由波谷位置向平衡位置恢復(fù),此時(shí)慣性力方向由負(fù)向轉(zhuǎn)為正向,因此此時(shí)表面張力做正功,慣性力也做正功,液滴頂端表面波動(dòng)能逐漸增加.當(dāng)t=0.75T時(shí),圖11(d)右側(cè)圖片為液滴頂端部分的放大圖.高壓點(diǎn)出現(xiàn)在液滴的頂部.對(duì)速度矢量場(chǎng)的分析表明,高壓點(diǎn)的出現(xiàn)是由于流體在圓周方向上的碰撞以及動(dòng)能轉(zhuǎn)化為壓力勢(shì)能.

在整個(gè)周期的最后一部分,即 0.75T＜t＜1T時(shí),液滴頂端表面波由平衡位置向波峰方向移動(dòng),此時(shí)慣性力方向?yàn)檎?做正功,表面張力做負(fù)功.隨著液滴頂端的曲率逐漸增大,表面張力也在迅速增大,而慣性力在逐漸減小.當(dāng)表面張力超過(guò)慣性力時(shí),液滴頂端的移動(dòng)將被減速.并且由于表面張力始終做負(fù)功,導(dǎo)致頂端表面波動(dòng)能逐漸轉(zhuǎn)化為壓力勢(shì)能,因此液滴頂端的高壓區(qū)逐漸形成.當(dāng)t=1T時(shí),液滴整體形態(tài)、壓強(qiáng)場(chǎng)和速度矢量場(chǎng)逐漸回到周期起始的狀態(tài).表明緯向波周期是1T,這與實(shí)驗(yàn)相對(duì)應(yīng).

分析可知液滴形成軸對(duì)稱的周期性緯向表面波機(jī)理: 液滴表面張力和慣性力的共同作用下,通過(guò)液滴表面波完成不斷低能量轉(zhuǎn)化和傳遞,逐漸形成頻率與驅(qū)動(dòng)頻率一致的周期性表面波.

2.2.2 豎直慣性力作用下的經(jīng)向失穩(wěn)特性

根據(jù)以上分析,液滴在慣性力和表面張力的共同作用下發(fā)生緯向失穩(wěn)并形成穩(wěn)定的緯向表面波.當(dāng)激勵(lì)增大致使慣性力和表面張力無(wú)法再通過(guò)緯向波進(jìn)行能量的轉(zhuǎn)化、傳遞而達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí),就會(huì)產(chǎn)生經(jīng)向表面波.本節(jié)仿真工況為S-B.

在圖14 中,頂視圖用于更好地呈現(xiàn)液滴的經(jīng)向表面波.t=0 時(shí)液滴處于靜止?fàn)顟B(tài),隨著慣性力的作用,液滴發(fā)生緯向失穩(wěn)而產(chǎn)生緯向表面波,緯向波發(fā)展到 1 5.25T時(shí)基本保持穩(wěn)定且只有緯向波存在,波形保持駐波特性.而當(dāng)t=19.05T時(shí),液滴周向出現(xiàn)了經(jīng)向表面波,如圖紅色箭頭所示,此時(shí)經(jīng)向表面波的振幅較小.經(jīng)向表面波的出現(xiàn)意味著液滴發(fā)生了經(jīng)向失穩(wěn),但同時(shí)注意到經(jīng)向表面波在液滴底部位置較明顯,靠近液滴頂部位置仍然為較為平滑的緯向表面波.當(dāng)t=21.35T時(shí),液滴的經(jīng)向表面波振幅增加,此時(shí)緯向表面波和經(jīng)向表面波共存.對(duì)比工況S-A 和工況S-B,說(shuō)明 ΔD數(shù)的增大會(huì)增加液滴經(jīng)向失穩(wěn)的趨勢(shì).此外,施加激勵(lì)后的較長(zhǎng)時(shí)間后才會(huì)發(fā)生經(jīng)向不穩(wěn)定性.

圖14 液滴的表面波演化(工況S-B)Fig.14 Surface wave evolution of liquid droplets (case S-B)

當(dāng)t=23.35T時(shí),液滴經(jīng)向波振幅最大,并且存在波峰和波谷.在下一時(shí)刻,處于波峰的表面波和處于波谷位置的表面波都將向平衡位置移動(dòng).因此,當(dāng)t=23.85T時(shí),液滴經(jīng)向表面波處于平衡位置.而當(dāng)t=24.35T時(shí),原先處于波峰位置的表面波變成波谷,而原先波谷位置的表面波變成了波峰.隨后當(dāng)t=24.85T時(shí)液滴又回到經(jīng)向平衡位置,而當(dāng)t=25.35T時(shí)完成完整的液滴經(jīng)向表面波的演化周期.液滴經(jīng)向表面波演化周期大約為2T,即液滴經(jīng)向表面波的頻率為驅(qū)動(dòng)頻率的一半,這與實(shí)驗(yàn)結(jié)論也相對(duì)應(yīng).經(jīng)向表面波的次諧波相應(yīng)表明,液滴在經(jīng)向方向上的界面不穩(wěn)定性是一種類似于Faraday 波的參數(shù)驅(qū)動(dòng)不穩(wěn)定性.同時(shí)觀察液滴頂部緯向表面波可以發(fā)現(xiàn),此時(shí)液滴緯向表面波的周期仍然接近 1T,即緯向表面波仍然為簡(jiǎn)諧波.

圖15 是t=23.35T時(shí)刻的液滴形態(tài)及其表面處壓強(qiáng)分布圖.可以看出,處于波峰位置處的經(jīng)向表面波處產(chǎn)生了壓力集中形成經(jīng)向高壓區(qū),且同一條經(jīng)波壓強(qiáng)從底部到頂部逐漸減小.由經(jīng)向波形態(tài)和壓強(qiáng)分布推斷,促使液滴經(jīng)向失穩(wěn)形成經(jīng)向表面波的能量集中在液滴底部,并且越往頂部逐漸降低.

圖15 經(jīng)向波波形和表面壓力分布(工況S-B,t=23.35T)Fig.15 Longitudinal wave form and surface pressure distribution(case S-B,t=23.35T)

由上文分析可得液滴底部的狀態(tài)在液滴界面演化過(guò)程中具有重要的意義.圖16 是經(jīng)向波半個(gè)周期內(nèi)不同時(shí)刻下液滴底面的壓強(qiáng)場(chǎng)和速度矢量場(chǎng)圖.壓強(qiáng)變化周期為1T.當(dāng)t=23.35T時(shí),液滴底部中心壓強(qiáng)最高,并向四周逐漸降低.從速度矢量圖中可以得知,液滴靠近底部的界面發(fā)生徑向運(yùn)動(dòng),接觸線向內(nèi)收縮,這將進(jìn)一步增大底部中心壓強(qiáng).

圖16 液滴底部的壓力場(chǎng)和速度矢量場(chǎng)的輪廓(工況S-B,y=0)Fig.16 Contour of the pressure field and velocity vector field at the bottom of the droplet (case S-B,y=0)

當(dāng) 2 3.35T＜t＜23.75T時(shí),液滴底部中心高壓強(qiáng)將推動(dòng)液體反向運(yùn)動(dòng).波谷處因曲率更大而擁有更高的壓力勢(shì)能,因此當(dāng)接觸線向外移動(dòng)時(shí)壓力勢(shì)能轉(zhuǎn)化成動(dòng)能產(chǎn)生更高的速度.當(dāng)t=23.75T時(shí),底部液體流向遠(yuǎn)端導(dǎo)致遠(yuǎn)端壓強(qiáng)高于內(nèi)部,且之前的波谷處壓強(qiáng)高于兩側(cè).當(dāng) 2 3.75T＜t＜24.35T時(shí),之前處于波峰的表面波變成了波谷,波谷變成了波峰,而液滴底面中心處壓強(qiáng)完成了周期性的變化,而在下個(gè)壓強(qiáng)周期完成時(shí),經(jīng)向表面波完成完整的周期.

綜上分析,豎直激勵(lì)振幅較大時(shí),首先立即出現(xiàn)緯向不穩(wěn)定性波,施加激勵(lì)后的較長(zhǎng)時(shí)間后才會(huì)發(fā)生經(jīng)向不穩(wěn)定性.并且經(jīng)向表面波的頻率為驅(qū)動(dòng)頻率的一半,即次諧波效應(yīng).因此猜測(cè)豎直激勵(lì)下液滴在經(jīng)向方向上的界面不穩(wěn)定性是一種類似于Faraday波的參數(shù)驅(qū)動(dòng)不穩(wěn)定性.

2.2.3 徑向慣性力作用下的經(jīng)向失穩(wěn)特性

由以前的研究可知[15],Faraday 波具有次諧波效應(yīng).為了探明豎直慣性力下的經(jīng)向波和由Faraday不穩(wěn)定產(chǎn)生的表面波之間的聯(lián)系,對(duì)液滴施加垂直于表面,也就是徑向方向的激勵(lì).這一工作通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段較難實(shí)現(xiàn),所以用建立的徑向加速度模型進(jìn)行仿真研究,工況為S-B.

圖17 是工況S-B 徑向加速度下由Faraday 不穩(wěn)定性主導(dǎo)的液滴界面失穩(wěn)時(shí)表面波演化狀態(tài),此時(shí)液滴直接發(fā)生經(jīng)向失穩(wěn)產(chǎn)生經(jīng)向表面波而不會(huì)產(chǎn)生緯向表面波,經(jīng)向表面波具有次諧波的特性,周期為2T.此時(shí)液滴界面失穩(wěn)而產(chǎn)生的表面波與豎直加速度下有著密切的聯(lián)系.由于加速度垂直于液滴界面,因此液滴底部界面將完全處于徑向運(yùn)動(dòng)狀態(tài),在慣性加速度作用下發(fā)生失穩(wěn)形成經(jīng)向表面波.

圖17 徑向加速度下Faraday 不穩(wěn)定性引起的液滴界面不穩(wěn)定性(工況S-B)Fig.17 Droplet interface instability dominated by Faraday instability under radial acceleration (case S-B)

在仿真結(jié)果中,波長(zhǎng)被定義為液滴上所有表面波的平均波長(zhǎng).根據(jù)線性理論,Faraday 表面波的波長(zhǎng)可以近似計(jì)算為 Λ=2πr0/l,式中,l為模態(tài)數(shù),r0為液滴半徑.從圖17 中可以看出,液滴模態(tài)數(shù)為8,可得波長(zhǎng)直徑比約為0.418.表5 是工況S-B 不同加速度形式下液滴經(jīng)向表面波物理特征值.

表5 不同加速度形式下經(jīng)向波的物理特征值Table 5 Physical characteristic values of longitudinal surface waves in different acceleration forms

因此,在同一工況下,豎直加速度下液滴經(jīng)向表面波的波長(zhǎng)直徑比與經(jīng)向加速度下及線性理論結(jié)果下的波長(zhǎng)直徑比幾乎一致,這進(jìn)一步說(shuō)明液滴在豎直加速度下的經(jīng)向失穩(wěn)是由Faraday 不穩(wěn)定性主導(dǎo)的.而其振幅直徑比的差異可以歸因于在同一 ΔD下,一部分豎直慣性力用于維持液滴發(fā)生緯向失穩(wěn).

結(jié)合章節(jié)2.2.2 及2.2.3 的分析.豎直激勵(lì)下液滴界面發(fā)生經(jīng)向失穩(wěn)的機(jī)制可以歸結(jié)為: 豎直慣性力通過(guò)液滴的幾何特征使液滴底部徑向運(yùn)動(dòng),這種徑向運(yùn)動(dòng)會(huì)在接觸線處產(chǎn)生水平方向的徑向力,其方向垂直于接觸線處的液面,從而產(chǎn)生Faraday 不穩(wěn)定性.當(dāng)慣性力較大超過(guò)臨界條件時(shí),一部分徑向力用于維持緯向失穩(wěn)產(chǎn)生緯向表面波,另一部分將促進(jìn)形成新的失穩(wěn)特征,即液滴的經(jīng)向失穩(wěn),并且經(jīng)向表面波的頻率為驅(qū)動(dòng)頻率的一半.

3 結(jié)論

本文基于平板上液滴振蕩實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)合三維數(shù)值仿真模型研究了豎直振動(dòng)平板上液滴的表面波的演化特性,得到主要結(jié)論如下.

(1) 基于平板上液滴振蕩實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),分別研究了液滴界面在不同激勵(lì)電壓和不同激勵(lì)頻率下液滴失穩(wěn)特性.發(fā)現(xiàn)在激勵(lì)電壓較小,即慣性力較小時(shí),液滴表面發(fā)生緯向失穩(wěn)并且形成軸對(duì)稱的緯向表面波,并且緯向表面波的頻率等于驅(qū)動(dòng)頻率.增大激勵(lì)電壓液滴緯向表面波振幅增加.繼續(xù)增加激勵(lì)電壓到一定程度時(shí),液滴表面會(huì)發(fā)生經(jīng)向失穩(wěn)并產(chǎn)生經(jīng)向表面波,經(jīng)向表面波頻率為驅(qū)動(dòng)頻率的一半.當(dāng)激勵(lì)電壓足夠高,即慣性力足夠大時(shí),液滴緯向表面波和經(jīng)向表面波會(huì)相互干涉,此時(shí)液滴表面形狀演化趨于混沌.頻率的變化也會(huì)引起振動(dòng)模式的轉(zhuǎn)變,頻率增加,表面波模態(tài)數(shù)增加,相應(yīng)波長(zhǎng)減小.同振幅下,頻率繼續(xù)增加,波形會(huì)發(fā)生從只存在緯向波模式向緯向波疊加經(jīng)向波模式的轉(zhuǎn)變.

(2) 建立了滴液受迫振動(dòng)的三維數(shù)值仿真模型,對(duì)低 ΔD下液滴仿真結(jié)果中的物理場(chǎng)及液滴頂點(diǎn)位移與慣性力相位關(guān)系的研究,闡明了液滴形成軸對(duì)稱的周期性緯向表面波機(jī)理: 液滴表面張力和慣性力的共同作用下,通過(guò)液滴表面波完成不斷低能量轉(zhuǎn)化和傳遞,逐漸形成頻率與驅(qū)動(dòng)頻率一致的周期性表面波.并且表面張力趨向于穩(wěn)定液滴,慣性力趨向于促進(jìn)液滴失穩(wěn).

(3) 在高 ΔD下,通過(guò)對(duì)液滴經(jīng)向表面波形態(tài)及液滴內(nèi)部物理場(chǎng)進(jìn)行分析,并且結(jié)合Faraday 理論與同工況徑向加速度下由Faraday 不穩(wěn)地性主導(dǎo)的液滴界面失穩(wěn)產(chǎn)生的表面波物理特征進(jìn)行對(duì)比,闡明液滴在豎直加速度下發(fā)生經(jīng)向失穩(wěn)機(jī)理: 由于液滴的幾何特征使得液滴接觸線處產(chǎn)生徑向力,徑向力法向地作用于液滴底部界面.當(dāng)增加慣性力達(dá)到臨界條件時(shí),隨之增加的周期性徑向力使得液滴底部界面發(fā)生變形,并由Faraday 不穩(wěn)定性主導(dǎo),最終形成Faraday 波即經(jīng)向表面波,并且其頻率為驅(qū)動(dòng)頻率的一半.