李 佳，邱 偉，鄒劭芬

（1．湖南大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410082；2．國防科技大學(xué) 氣象海洋學(xué)院，湖南 長沙 410073）

0 引言

水下鐵磁性目標(biāo)在地磁場中會引起磁異常，通過磁傳感器陣列接收水下目標(biāo)的磁異常信號并進(jìn)行處理，可解算出目標(biāo)的位置和磁矩信息[1]，是水下目標(biāo)探測的重要手段，在軍事和民用領(lǐng)域都具有廣泛應(yīng)用。

國內(nèi)外學(xué)者對鐵磁性目標(biāo)的位置、姿態(tài)及磁性參數(shù)求解的算法研究較多。張堅等[2]利用正交基函數(shù)（OBF）算法結(jié)合BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在船舶磁場信號檢測中取得了較好的效果，能夠很好地對噪聲進(jìn)行過濾并突出磁異常信號的特征；楊勇等[3]利用OBF算法大幅地提高了目標(biāo)磁信號的信噪比，能夠有效地檢測出磁異常，從而易于檢測磁性目標(biāo)；WANG等[4]研究了三軸磁傳感器接收到的磁異常信號的特征，提出一種正交能量比（OER）算法，通過單個磁傳感器實現(xiàn)磁矩方向估計。ALIMI 等[5]提出了一種基于2 階段LM 算法的鐵磁性目標(biāo)檢測與跟蹤算法，適用于對2～4 個三軸磁強計陣列附近移動的鐵磁性物體的定位和磁矩估計；WANG 等[6]針對便捷式瞬變電磁系統(tǒng)提出了一種利用磁梯度張量和高斯-牛頓法的地下目標(biāo)快速定位的新算法。在這些方法中，高斯-牛頓法是一種常用的磁性目標(biāo)反演定位數(shù)值迭代算法，但其只適用于小殘量問題，在低信噪比的情況下容易失效且嚴(yán)重依賴于初始值的選擇。LM 算法是對高斯-牛頓法的改進(jìn)，在低信噪比條件下也能達(dá)到一定的精度，但若初始值選取不當(dāng)，也會導(dǎo)致目標(biāo)的定位精度降低甚至算法失效。針對高斯-牛頓法和LM 算法嚴(yán)重依賴于初始值的問題，GE等[7]利用粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）對初始值不敏感的特性獲得粗略解，然后利用高斯-牛頓法得到更精確的解，開發(fā)了一種基于粒子群優(yōu)化和高斯-牛頓方法相結(jié)合的混合算法（PSO-GN）；孫文[8]利用粒子群算法的全局收斂性尋找初始值，并將初始值代入LM 算法進(jìn)行精確求解，提出一種基于PSO 算法與LM 算法的混合優(yōu)化算法（PSO-LM），用于解決磁性目標(biāo)定位問題。但粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致收斂精度低或不易收斂，而且參數(shù)選擇不當(dāng)可能會增加運行時間、降低算法效率。

磁傳感器接收的磁感應(yīng)強度是目標(biāo)的位置和磁矩的函數(shù)。由于未知參數(shù)多，在測量中存在的噪聲干擾因素導(dǎo)致傳感器測量值與真實值有誤差，鐵磁性目標(biāo)的位置和磁矩事先未知，選取的初始值也可能遠(yuǎn)離目標(biāo)的真實位置，這些因素使得傳統(tǒng)高斯-牛頓法、LM 算法和智能優(yōu)化算法都不能得到令人滿意的定位精度和效率。所以，尋找一種對初始值敏感度較弱且能滿足實時性要求的算法，仍然是一項富有挑戰(zhàn)性的工作。本文將鐵磁性目標(biāo)產(chǎn)生的磁異常等效為磁偶極子，通過引入信賴域搜索技術(shù)對LM 算法進(jìn)行改進(jìn)，并基于改進(jìn)LM 算法提出了一種改進(jìn)LM-GN 算法估計目標(biāo)參數(shù)。該算法克服了高斯-牛頓法和LM 算法嚴(yán)重依賴于初始值的缺點，在初始值離真實值較遠(yuǎn)的情況下，也能實現(xiàn)較準(zhǔn)確的定位效果，降低了解對初始值的依賴性，提高了收斂速度，能夠滿足實時性需求，具有一定的實際工程應(yīng)用價值。

1 磁定位模型分析

當(dāng)磁傳感器與磁性目標(biāo)的距離大于3 倍以上磁性目標(biāo)幾何尺寸時，可以將該磁性目標(biāo)看作磁偶極子[9]，見圖1。

圖1 磁偶極子模型Fig.1 A magnetic dipole model

如圖 1所示，設(shè)磁性目標(biāo)的中心坐標(biāo)為Q(x0,y0,z0)，其磁矩矢量為m，磁傳感器的坐標(biāo)為P(x,y,z)，磁性目標(biāo)的中心點到傳感器的矢徑為r，其距離為r。由磁偶極子模型可知，P處磁感應(yīng)強度B的表達(dá)式[10]為

式中，μ0為真空中的磁導(dǎo)率，大小為4π ×10-7H/m。

將式（1）在空間直角坐標(biāo)系下展開得到式（2），式中(Bx,By,Bz)和(mx,my,mz)分別代表了磁感應(yīng)強度矢量和磁矩矢量在各坐標(biāo)軸上的投影分量。

使得式（3）成立的目標(biāo)位置和磁矩值，即為需要的磁性目標(biāo)參數(shù)的最優(yōu)估計值。

2 非線性最小二乘問題的經(jīng)典優(yōu)化求解方法

迭代法是解決非線性最小二乘問題的一種有效的方法，其主要思想是先給定所求方程的一個初始解，然后依據(jù)迭代公式設(shè)定的步長不斷對初始值進(jìn)行修正，直到滿足迭代要求為止[11]。經(jīng)典的優(yōu)化方法包括高斯-牛頓法、LM 算法等。

2.1 高斯-牛頓法

牛頓法迭代公式為

其中

由于S(x)中的殘量函數(shù)Fi(x)的Hessian 矩陣?2Fi(x)計算量較大，如果忽略這一項，便得到求解非線性最小二乘問題的高斯-牛頓迭代公式：

2.2 LM 算法

式中λk＞0。由最優(yōu)性條件知dk滿足

求得

從而得到求解非線性最小二乘問題的LM 算法迭代公式：

2.3 改進(jìn)LM 算法

為了驗證當(dāng)前迭代步的有效性，引入取舍指標(biāo)：

式中，rk定義了目標(biāo)函數(shù)的實際減小量與預(yù)測減小量之比，反映了目標(biāo)函數(shù)與近似函數(shù)的近似程度。

當(dāng)取舍指標(biāo)rk大于設(shè)定的（非負(fù)）閾值時，說明近似函數(shù)與目標(biāo)函數(shù)的近似程度好，接受當(dāng)前迭代步dk；否則，不接受該迭代步。利用rk來調(diào)節(jié)參數(shù)μk，若rk小于設(shè)定的（非負(fù)）閾值，則增大μk；若rk大于設(shè)定的（非負(fù)）閾值，則減小μk；否則，μk不變。

3 改進(jìn)LM-GN 算法

改進(jìn)LM 算法由于使用了信賴域搜索技術(shù)使得它比傳統(tǒng)高斯-牛頓法和LM 算法的收斂范圍更廣[14]，降低了算法對初始值的依賴程度，但卻減慢了收斂速度。因此，本文基于改進(jìn)LM 算法提出了一種混合算法，稱為改進(jìn)LM-GN 算法，該混合算法利用改進(jìn)LM 算法不嚴(yán)重依賴于初始值的性能和高斯-牛頓法收斂速度快的優(yōu)點，提高磁性目標(biāo)參數(shù)估計的精度和效率。

算法流程圖如圖2所示。

圖2 改進(jìn)LM-GN 算法流程圖Fig.2 A flow chart of improved LM-GN algorithm

改進(jìn)LM-GN 算法通過設(shè)置一個非負(fù)閾值κ，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值大于這一閾值時，說明迭代點離真值較遠(yuǎn)，此時使用對初始值依賴程度較低的改進(jìn)LM算法進(jìn)行迭代；當(dāng)?shù)揭欢ǔ潭?，即目?biāo)函數(shù)值小于或等于這一閾值時，說明該迭代點已經(jīng)在空間最優(yōu)解的附近，此時使用收斂速度較快的高斯-牛頓法繼續(xù)進(jìn)行迭代計算，最終得到最佳的磁性目標(biāo)定位結(jié)果。算法3.1（改進(jìn)LM-GN 算法）具體步驟如下。

Step 1 給定變量初值x0，迭代步數(shù)k=1，常數(shù)m，0＜p0＜p1＜p2＜1，c1,c2＞1以及收斂精度ε、閾值κ，設(shè)置μ0滿足μ0＞m；

Step 3 計算f(xk)，若f(xk)＞κ，則轉(zhuǎn)Step 4，否則，轉(zhuǎn)Step 8；

Step 5 按式（10）計算rk，并根據(jù)rk選擇是否接受dk：

Step 6 調(diào)整參數(shù)μk：

Step 7 令k=k+1，轉(zhuǎn)到Step 2；

Step 9 令xk+1=xk+dk，k=k+1，轉(zhuǎn)Step 2。

式中：p0為迭代步取舍指標(biāo)；p1為增大阻尼因子時rk取值的上限閾值；p2為減小阻尼因子時rk取值的下限閾值。為了防止序列接近解時步長過大，令m為參數(shù)μk的下限閾值。

4 仿真實驗分析

本節(jié)通過仿真實驗比較改進(jìn)LM-GN 算法、改進(jìn)LM 算法、LM 算法和高斯-牛頓法的磁性目標(biāo)參數(shù)估計性能。實驗中磁傳感器測量陣列和目標(biāo)的空間分布如圖3所示。

圖3 磁傳感器陣列與目標(biāo)空間分布示意圖Fig.3 Magnetic sensor array and schematic diagram of spatial distribution of a target

圖4 標(biāo)準(zhǔn)差為0.1 nT 的0 均值高斯白噪聲條件下各參數(shù)迭代情況Fig.4 Iteration of each parameter under condition of zero-mean Gaussian white noise with a standard deviation of 0.1 nT

假設(shè)磁性目標(biāo)的實際參數(shù)為(x0,y0,z0,mx0,my0,mz0)，通過優(yōu)化算法估計得到的結(jié)果為(x,y,z,mx,my,mz)，定義定位誤差為

定義磁矩誤差為

目標(biāo)參數(shù)的真值設(shè)為[10 10 10 800 700 800]T，在無噪聲、標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.01 nT和0.1 nT的0 均值高斯白噪聲的情況下，為了分析高斯-牛頓法和LM 算法對初始值的依賴程度，根據(jù)參數(shù)初值離真值的距離選取3 組不同的參數(shù)初值分別為[8 8 8 500 500 500]T、[1 1 1 500 500 500 ]T和[0 0 1 800 700 800 ]T進(jìn)行仿真實驗。高斯-牛頓法、LM 算法、改進(jìn)LM 算法和改進(jìn)LM-GN算法的參數(shù)估計結(jié)果分別如表1、表2 和表3所示。

表1 無噪聲條件下初始值選取對4 種算法計算結(jié)果的影響Table 1 Influence of initial value selection on results of 4 algorithms without noise

表2 標(biāo)準(zhǔn)差為0.01 nT的0 均值高斯白噪聲條件下初始值選取對4 種算法計算結(jié)果的影響Table 2 Influence of initial value selection on results of 4 algorithms under condition of zero-mean Gaussian white noise with a standard deviation of 0.01 nT

表3 標(biāo)準(zhǔn)差為0.1 nT 的0 均值高斯白噪聲條件下初始值選取對4 種算法計算結(jié)果的影響Table 3 Influence of initial value selection on results of 4 algorithms under condition of zero-mean Gaussian white noise with a standard deviation of 0.1 nT

下面仍考慮無噪聲、標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.01 nT和0.1 nT的0 均值高斯白噪聲的情況，為評估不同算法對初始值的依賴程度，在解空間內(nèi)隨機給定初始值的情況下，分別進(jìn)行1 000 次的Monte Carlo 實驗，并將定位誤差是否超過1 m 作為定位失敗或成功的評判指標(biāo)。得到4 種算法的定位正確率如表4所示。本文選取解空間為x∈[0,20]，y∈[0,20]，z∈[0,20]，mx∈[0,1 000]，my∈[0,1 000]，my∈[0,1 000]。

由表4 結(jié)果可以看出：在隨機給定初始值的情況下，高斯-牛頓法和LM 算法的定位正確率都很低，特別是高斯-牛頓法，即使在無噪聲的情況下，定位正確率僅有25.4%，LM 算法也只達(dá)到了63.1%，說明這2 種算法嚴(yán)重依賴于初始值的選取。而改進(jìn)LM-GN 算法和改進(jìn)LM 算法的定位正確率相當(dāng)，且高于高斯-牛頓法和LM 算法。即使在噪聲較大時，定位正確率也幾乎能達(dá)到100%。這說明引入信賴域搜索技術(shù)使得算法具有全局收斂性，降低了算法對初始值的依賴程度。隨著噪聲的不斷增大，4 種算法的定位正確率都在逐漸減小，這是因為求解非線性最小二乘問題時代入的Bx1,By1,Bz1,…,BxN,ByN,BzN是帶有噪聲的實際測量的磁感應(yīng)強度三分量值，因此求解式（3）所得結(jié)果仍不可避免地要受到噪聲的影響。

設(shè)目標(biāo)參數(shù)的真值仍為[10 10 10 800 700 800]T，算法參數(shù)選取同上，由于高斯-牛頓法與LM 算法對初始值敏感，為了能夠比較這4 種算法的收斂速度，需要一個合理的初始值，不妨假設(shè)初始值選為[3 3 3 200 200 200 ]T，在噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.1 nT的條件下，高斯-牛頓法、LM 算法、改進(jìn)LM 算法和改進(jìn)LM-GN 算法同時運行一次得到的各參數(shù)值的迭代情況如圖 4所示，得到目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到同樣終止條件所需迭代次數(shù)如表5所示。

表5 標(biāo)準(zhǔn)差為0.1 nT 的0 均值高斯白噪聲條件下達(dá)到相同終止條件不同算法的迭代步數(shù)Table 5 Number of iteration steps of different algorithms that reach the same termination condition under condition of zero-mean Gaussian white noise with a standard deviation of 0.1 nT

由圖 4 可知，改進(jìn)LM-GN 算法在迭代初期與改進(jìn)LM 算法迭代相似，但在迭代一定步數(shù)之后與改進(jìn)LM 算法有明顯的不同，改進(jìn)LM-GN 算法各參數(shù)收斂到目標(biāo)值的速度更快，運行時達(dá)到相同的終止條件所需要的迭代步數(shù)明顯更少。這是因為改進(jìn)LM-GN 算法中設(shè)置的判斷閾值起了作用，在目標(biāo)函數(shù)值較大時，即迭代點離真值較遠(yuǎn)，使用的是改進(jìn)LM 算法，在一定程度上減弱了解對初始值的依賴性，直至目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到判斷閾值，此時迭代點在收斂解的附近，使用高斯-牛頓法加快了算法的收斂速度。改進(jìn)LM 算法和LM 算法迭代步中求逆部分增加了λkI項，使得計算得到的步長更小，因此，在避免矩陣奇異的同時卻降低了收斂速度。綜上所述，由改進(jìn)LM-GN 算法得到的搜索方向更接近于目標(biāo)下降的方向，迭代步數(shù)更少，收斂速度更快。

如表5所示，在噪聲為0.1 nT時，改進(jìn)LM-GN算法和高斯-牛頓法只需要10 步，而改進(jìn)LM 算法需16 步，LM 算法需要48 步才能達(dá)到相同精度。綜上所述，改進(jìn)LM-GN 算法在一定程度上比改進(jìn)LM 算法具有更快的收斂速度，達(dá)到相同的終止條件所需的迭代步數(shù)更少，算法降低解對初始值依賴程度的同時，又加快了收斂速度。

接下來，仿真實驗仍在上述參數(shù)設(shè)置下，在無噪聲條件下，這4 種算法迭代得到的解與真值相同?？紤]不同噪聲標(biāo)準(zhǔn)差條件下4 種算法達(dá)到充分迭代的終止條件下運行100 次，定位誤差和磁矩誤差計算結(jié)果如表6 和表7所示，運行1 次所需時間如表8所示。

表6 標(biāo)準(zhǔn)差為0.01 nT 的0 均值高斯白噪聲條件下定位誤差和磁矩誤差Table 6 Positioning error and magnetic moment error under condition of zero-mean Gaussian white noise with a standard deviation of 0.01 nT

表7 標(biāo)準(zhǔn)差為0.1 nT 的0 均值高斯白噪聲條件下定位誤差和磁矩誤差Table 7 Positioning error and magnetic moment error under condition of zero-mean Gaussian white noise with a standard deviation of 0.1 nT

表8 不同噪聲標(biāo)準(zhǔn)差條件下4 種算法運行1 次所需時間Table 8 Running time of 4 algorithms under different noise standard deviation conditions

由表6 和表7 可知，在初始值選取合適的情況下，4 種算法的迭代解達(dá)到了相似的精度，說明這4 種優(yōu)化算法在良好初始值的條件下都能夠解決磁性目標(biāo)的定位問題。隨著噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的不斷增大，算法得到的解精度逐漸降低，可見噪聲對磁性目標(biāo)參數(shù)估計結(jié)果影響較大。

在初始值選取合適的情況下，由表8 可知，高斯-牛頓法收斂速度最快，改進(jìn)LM 算法和LM 算法由于步長的減小導(dǎo)致收斂速度變慢，由圖 4 可知改進(jìn)LM 算法比LM 算法迭代步數(shù)少，但表8 卻顯示其收斂速度慢于LM 算法，這是因為改進(jìn)LM算法中需要計算rk和更新μk，從而導(dǎo)致計算時間比LM 算法多了約0.14%。改進(jìn)LM-GN 算法所需時間多于高斯-牛頓法，但相對于LM 算法和改進(jìn)LM 算法，其收斂速度明顯加快，表明改進(jìn)LM-GN算法在降低解對初始值依賴程度的同時也具有較快的收斂速度。

為了分析改進(jìn)LM-GN 算法對運動目標(biāo)的定位性能，假設(shè)目標(biāo)z軸坐標(biāo)不變，設(shè)為10 m，磁矩分量不變，設(shè)為（800,700,800），目標(biāo)由初始位置（- 8,- 8）分別在x、y方向上均以1 m/s 的速度做勻速直線運動，直到終點位置（15,15）處停止?？紤]標(biāo)準(zhǔn)差為0.1 nT的0 均值高斯白噪聲，在解空間內(nèi)隨機生成初始值的情況下，進(jìn)行1 000 次Monte-Carlo實驗，計算磁性目標(biāo)運動到每個點處的定位正確率，結(jié)果如圖5所示。

圖5 磁性目標(biāo)運動到每個點處的定位正確率Fig.5 Positioning accuracy rate of a magnetic target moving to each point

由圖5 可知，改進(jìn)LM-GN 算法在x,y∈[-3,13]的空間范圍內(nèi)都能達(dá)到較高的正確率，說明該算法降低了解對初始值的依賴程度，而在其他空間范圍內(nèi)的迭代成功率不夠高，主要是由目標(biāo)距離磁傳感器較遠(yuǎn)使得信噪比降低導(dǎo)致的。

為了全面評價所提算法的定位性能，進(jìn)一步將其與PSO-LM[8]算法和PSO-GN[7]算法進(jìn)行性能比較，其中PSO 算法的種群規(guī)模設(shè)置為30，迭代次數(shù)設(shè)置為10。目標(biāo)參數(shù)的真值仍為[10 10 10 800 700 800 ]T，表9 為在噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.1 nT的條件下，3 種算法在定位誤差、磁矩誤差和運行時間方面的比較結(jié)果。

表9 改進(jìn)LM-GN 與PSO-LM 算法的比較Table 9 Comparison between improved LM-GN and PSO-LM algorithms

從表9 可以看出，改進(jìn)LM-GN 算法在定位誤差和磁矩誤差方面能達(dá)到與PSO-LM 算法和PSO-GN算法相似的精度，但在運行時間上明顯少于這2 種算法，表明了本文方法在運行效率方面的優(yōu)勢。

5 結(jié)束語

本文基于運用信賴域技術(shù)修正的LM 算法提出了一種改進(jìn)LM-GN 算法解決磁性目標(biāo)定位問題。針對高斯-牛頓法和LM 算法在求解非線性最小二乘問題時嚴(yán)重依賴初始值的缺點，通過引入信賴域搜索技術(shù)，得到了改進(jìn)LM 算法，并根據(jù)改進(jìn)LM 算法收斂速度下降這一不足，將改進(jìn)LM 算法與高斯-牛頓法結(jié)合，提出了一種改進(jìn)LM-GN 算法。仿真結(jié)果表明：在初始值隨機選取的情況下，若初始值接近真實值，則高斯-牛頓法和LM 算法都能夠收斂到全局最優(yōu)解；但若選取的初始值遠(yuǎn)離真實值，則2 種方法均迭代失敗。而本文提出的改進(jìn)LM-GN 算法不僅克服了傳統(tǒng)方法嚴(yán)重依賴初始值的缺點，在一定的解空間中能夠有效地估計出目標(biāo)的位置和磁矩，降低了對初始值的依賴程度，且計算速度快，迭代步數(shù)少，能夠滿足實時性需求。下一步工作將開展外場試驗，并用實測數(shù)據(jù)驗證本文方法的有效性。