方 顥,蔡炯炯,瞿 曉,董桂麗,屠凱莉

(浙江科技學(xué)院 自動化與電氣工程學(xué)院,浙江 杭州 310023)

0 引 言

渦旋機的原理和結(jié)構(gòu)是1905年由法國工程師CREUX L[1]正式提出,并且在20世紀(jì)80年代得以發(fā)展起來的一種新型容積式壓縮機。它的核心部件為動渦盤和靜渦盤。

渦旋機的動渦盤和靜渦盤的型線組成相同,兩者相位旋轉(zhuǎn)180°安裝,形成若干封閉的月牙形工作腔,通過各個工作腔的容積變化來完成氣體的壓縮工作。

渦旋式壓縮機普遍采用間隙密封技術(shù)。這種技術(shù)可以增加渦旋壓縮機的可靠性。但是其間隙過大,會產(chǎn)生不必要的泄漏;間隙過小,又會使零件不能正常配合運轉(zhuǎn),阻礙渦旋壓縮機往高壓力和大容量的方向發(fā)展[2-4]。

為了解決渦旋機工作過程中的泄漏問題,近年來,國內(nèi)外許多學(xué)者提出了渦旋機的泄漏模型以及密封方案。

RONG C等人[5]建立了渦旋機的切向泄漏模型和徑向泄漏模型,研究了不同間隙下的泄露損失以及壓縮效率的變化規(guī)律。查海濱等人[6]針對實際的渦旋壓縮機原型,拓?fù)涑隽藥缀文Ｐ?并運用一種復(fù)合的網(wǎng)格構(gòu)建方法,建立了計算流體力學(xué)(computational fluid dynamics,CFD)模型,對其氣體泄漏進行了建模。王建吉等人[7]對渦旋齒3種密封結(jié)構(gòu)(齒頂光滑間隙密封、齒頂迷宮密封以及齒頂組合密封)進行了研究和對比,最后提出了一種新型徑向組合密封結(jié)構(gòu)。李海生等人[8]對渦旋齒頂?shù)木鬯姆蚁┟芊鈼l做了有限元分析,為渦旋壓縮機密封條的設(shè)計提供了新方法。葉劍等人[9]針對壓縮機的切向泄漏問題,提出了一種切向密封結(jié)構(gòu),以此來減少壓縮機泄漏,該結(jié)構(gòu)還改善了壓縮機增壓過程性能。

上述針對渦旋機密封的研究方案都是從結(jié)構(gòu)和材料上入手,屬于被動密封方案。動靜渦盤之間的機械耦合較為緊密,計算和建模較為復(fù)雜,而且學(xué)者們對于密封過程中動靜渦盤所產(chǎn)生的接觸力的研究也較少。

針對上述研究的不足之處,顏禧龍等人[10]提出了一種用于渦旋壓縮機側(cè)面密封的主動控制方法,并分別建立了冷態(tài)和熱態(tài)下動渦盤平動軌跡的數(shù)據(jù)庫。渦旋機根據(jù)數(shù)據(jù)庫里的軌跡點進行運動,減少了動渦盤平動過程中的接觸力。史策等人[11]針對渦旋壓縮機工作過程中接觸力可能過大的問題,提出了一種永磁隨變機構(gòu),當(dāng)渦旋壓縮機的接觸力過大時,該機構(gòu)可以對其進行柔性抵抗,從而減少接觸力。

上述研究雖然有效減少了渦旋機工作過程中的接觸力,但從力的控制角度上來說屬于開環(huán)控制,其沒有進行力的反饋,得到的控制效果不夠直觀。

物體之間既要發(fā)生接觸,同時為了順從環(huán)境的約束,還要精確地控制物體之間的接觸力,避免過大的沖擊力對物體造成損害。柔順控制可以實現(xiàn)對力的有效控制目的。柔順控制可分為兩種,即主動柔順控制和被動柔順控制。

物體間可以通過安裝具有柔順控制功能的裝置(如彈簧、氣缸、阻尼器等)來被動調(diào)節(jié)接觸力,稱為被動柔順控制[12],該方法需要增加額外的被動柔順裝置,且不具備控制能力,適用范圍受到限制。主動柔順控制是根據(jù)力的反饋信息,采取一定策略對物體間的作用力進行主動控制。與被動型的控制相比,主動控制省略了部分機械裝置,降低了耦合度;但少了這些約束后,對其控制器的設(shè)計要求變高了。

主動柔順控制在航空葉片、汽車零部件等大型工件的磨削拋光加工等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。趙源等人[13]在螺旋槳的磨削任務(wù)中,使用非線性比例-微分(propor-tional differential,PD)控制器進行了接觸力仿真和實驗,分析了約束條件下阻抗參數(shù)的調(diào)節(jié)和環(huán)境剛度的變化對接觸力控制精度的影響。KIGUCHI K等人[14]針對未知環(huán)境的拋光任務(wù),設(shè)計了基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的力位混合控制器,采用仿真的方式對該控制器的有效性進行了評估。BUCHLI J等人[15]針對復(fù)雜的環(huán)境加工任務(wù),采用了基于強化學(xué)習(xí)的變阻抗控制,結(jié)果表明,可變阻抗控制的功率可應(yīng)用于各種各樣的機器人系統(tǒng)和實際場合。NAZMARA G等人[16]設(shè)計了基于梯度下降法的模糊控制器,用來調(diào)整阻抗控制器的參數(shù),其可用于有障礙環(huán)境下的軌跡規(guī)劃。

動渦盤與靜渦盤保持接觸是渦旋機進行正常工作的必要條件,否則會導(dǎo)致氣體泄漏,影響渦旋機的工作效率;但同時,渦盤間接觸壓力過大會導(dǎo)致過摩擦現(xiàn)象發(fā)生,影響渦旋機的使用壽命。因此,把渦盤間的接觸力控制在合理的范圍內(nèi)非常重要。

目前,學(xué)者們對于渦旋機側(cè)面接觸力的主動控制研究相對較少。除了在工件的打磨、拋光、去毛刺等領(lǐng)域以外,只要涉及物體之間需要發(fā)生接觸的場合,且產(chǎn)生的接觸力需要控制或者需要平穩(wěn)過渡的場合,就可以采用主動柔順控制。

因此,針對渦旋機的工作環(huán)境,筆者提出一種基于法向-切向坐標(biāo)系下的主動柔順控制方法,以對動渦盤和靜渦盤之間的接觸力進行控制。

1 動渦盤工作空間與接觸力

直驅(qū)式渦旋機平臺的工作部件示意圖如圖1所示(通過平面電機來控制動渦盤的位置)。

圖1 渦旋機的工作部件示意圖

由圖1(b)可知:平面電機線圈分為2組,一組為X方向,另一組為Y方向,其均固定在平臺上。X方向線圈和Y方向線圈通電后,其產(chǎn)生的磁力與永磁體自身的磁力相互作用,從而對永磁體產(chǎn)生X方向和Y方向的推力。

由于永磁體與動渦盤相互固定,所以永磁體運動的同時會帶動動渦盤運動,從而改變動渦盤的位置。當(dāng)動渦盤與靜渦盤發(fā)生接觸時,控制器會根據(jù)力的反饋信號對動渦盤的位置進行調(diào)整,通過改變動渦盤的位置來改變接觸力大小。

動渦盤的平動軌跡為圓形,其當(dāng)前位置與平動軌跡原點的距離稱為平動半徑,記作r,如果動渦盤與靜渦盤側(cè)面剛好接觸,此時的平動半徑稱為額定平動半徑,記作r0。

當(dāng)r≤r0時,動渦盤和靜渦盤之間不會產(chǎn)生接觸力;當(dāng)r>r0時,靜渦盤由于受到動渦盤的擠壓而變形,從而給予動渦盤一個反作用力。

反作用力矢量可分解成法向和切向2個分量,如圖2所示。

圖2 動渦盤的受力示意圖

圖2的左半部分中,靜渦盤的形變量為r-r0,一般接觸模型用彈簧模型來表示[17-18],因此,平動半徑與法向接觸力fcn、切向接觸力fct的大小的關(guān)系如下式所示:

(1)

(2)

式中:k0為渦盤的剛度系數(shù);μ為摩擦系數(shù)。

切向接觸力fct可看作是動渦盤平動過程中所受的摩擦力。筆者將其與fcn簡化成線性關(guān)系。

由于法向接觸力與平動半徑的關(guān)系明確,所以需要對動渦盤所受的法向接觸力進行控制。

2 柔順控制模型

2.1 經(jīng)典柔順控制方法

在單自由度運動中,物體之間的接觸力與位置的關(guān)系如圖2右半部分所示。其中,x為物體當(dāng)前位置;x0為臨界接觸位置。

與式(1)、式(2)類似,x,x0,fc之間的關(guān)系如下式所示:

fc=k0(x-x0)

(3)

經(jīng)典柔順控制的框圖如圖3所示。

圖3 柔順控制的基本框圖

假設(shè)此時物體處于過接觸狀態(tài),由圖3可以推導(dǎo)出fc與fd,xd,x0的關(guān)系,如下式所示:

(4)

式中:M為期望的慣性系數(shù);B為期望的阻尼系數(shù);k為期望的剛度系數(shù);一般把GM(s)看作一個低通濾波器。

若fd為常量,在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,fc最終會收斂至fcss。fcss的計算方法如下:

(5)

式(5)中,假設(shè)位置控制器能實現(xiàn)位置的零誤差跟蹤,則GM(0)=1。

由式(5)可知,k的取值會影響接觸力的最終收斂值。為了更好地分析M和B的取值對系統(tǒng)的影響,筆者將式(4)中的Z(s)按照標(biāo)準(zhǔn)二階傳遞函數(shù)的形式表達(dá)如下:

(6)

ωn越大,系統(tǒng)的收斂速度越快,但ωn過大會使系統(tǒng)不穩(wěn)定;ξ過大會引起輸出的超調(diào)量增大,同時使系統(tǒng)的收斂速度變慢,減小ξ可以使超調(diào)量減小,但過小的ξ同樣會使系統(tǒng)的收斂速度變慢。

2.2 基于法向-切向坐標(biāo)下的柔順控制方法

筆者將動渦盤的二自由度平面運動分解成2個獨立的單自由度運動,并分別使用經(jīng)典柔順控制方法,再把動渦盤的當(dāng)前位置和臨界接觸位置等變量分別投影到XY坐標(biāo)軸上,如圖4所示。

圖4 XY坐標(biāo)下柔順控制示意圖

在動渦盤繞圓周進行平動過程中,接觸力矢量在x軸上的投影分量大小不僅與動渦盤位置的x值有關(guān),還與動渦盤位置的y值有關(guān);接觸力矢量在y軸上的投影分量大小不僅與動渦盤位置的y值有關(guān),還與動渦盤位置的x值有關(guān)。因此,接觸力矢量在2個軸的分量大小之間存在耦合。

動渦盤平動過程中,圖4中的傳遞函數(shù)G(s)的表達(dá)式是一直在變化的,直接用于計算接觸力非常困難,因此,需要選擇合適的坐標(biāo)變換來簡化計算[19]。

筆者把XY坐標(biāo)系變換到法向-切向坐標(biāo)系下,這個坐標(biāo)系以下簡稱n-t坐標(biāo)系。它們之間的變換關(guān)系如下式所示:

(7)

式(7)中,θ可以通過下式來表示(x和y為動渦盤在XY坐標(biāo)系下的位置):

θ=atan2(y,x)

(8)

2個坐標(biāo)系的位置關(guān)系如圖5所示(p為動渦盤所在的位置,2個坐標(biāo)系的原點與平動軌跡的圓心重合)。

圖5 坐標(biāo)系的位置關(guān)系示意圖

動渦盤在XY坐標(biāo)系下的坐標(biāo)記為(sx,sy),由平動軌跡的圓心指向坐標(biāo)點(sx,sy)可看作是動渦盤的位移矢量。這個位移矢量在n-t坐標(biāo)系下的坐標(biāo)記作(sn,st)。

(sn,st)和(sx,sy)的關(guān)系如下式所示:

(9)

式(9)中sn的值代表的是坐標(biāo)原點到動渦盤的距離,也就是動渦盤的實際平動半徑r,所以有sn=r。由式(8)可知st=0恒成立,所以在n-t坐標(biāo)下只需要考慮sn的值即可。

由于動渦盤與靜渦盤剛好發(fā)生接觸的所有位置點的集合為一個圓,所以在n-t坐標(biāo)系下,這些位置點的值全部相等。把它們統(tǒng)一記作sn0,且有sn0=r0。

由式(1)可知,位移矢量sn與所受法向接觸力的關(guān)系如下:

(10)

n-t坐標(biāo)系下的柔順控制框圖如圖6所示。

圖6 坐標(biāo)變換后的柔順控制框圖

圖6與圖3的不同之處在于:圖3中的變量以XY作為參考坐標(biāo)系,而圖6中的變量以n-t作為參考坐標(biāo)系;除此之外,由于傳感器的反饋信號是以XY作為參考,因此,筆者需要將這些反饋信號變換到n-t坐標(biāo)系下進行處理。

3 總體控制方法

筆者以n-t坐標(biāo)系為基準(zhǔn),描述動渦盤的運動控制方法,以及在該坐標(biāo)系下的柔順控制方法。

3.1 運動變量之間的關(guān)系

在設(shè)計控制器之前,筆者需要知道n-t坐標(biāo)下質(zhì)點的位移、速度、推力等變量之間的關(guān)系。

在n-t坐標(biāo)系下,動渦盤平動過程中的速度矢量同樣可分解成法向和切向2個分量。其中,速度矢量的法向分量vn>0,意味著平動半徑增大,反之減小;速度矢量的切向分量vt>0,意味著平動是按逆時針方向進行的,反之平動按順時針方向進行。

在XY坐標(biāo)系下,速度矢量的分量vx、vy與n-t坐標(biāo)系中的分量vn、vt的關(guān)系如下:

(11)

動渦盤所受的推力由平面電機所產(chǎn)生,推力大小與電機的q軸電流大小有關(guān)?？刂芚向的q軸電流記作iqx,控制Y向的q軸電流記作iqy。筆者把q軸電流看作一個矢量,電流的合成矢量在XY坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(iqx,iqy),若將該矢量投影到n-t坐標(biāo)系中,其坐標(biāo)可表示為(iqn,iqt),iqx、iqy與iqn、iqt的關(guān)系,即:

(12)

接觸力矢量在XY坐標(biāo)下的分量fcx、fcy和n-t坐標(biāo)下的分量fcn、fct的關(guān)系如下:

(13)

忽略外部阻力的情況下,動渦盤只受電機所產(chǎn)生的推力以及與靜渦盤接觸后的接觸力影響,所以動渦盤的速度與力的關(guān)系如下:

(14)

式中:kf為電機的推力系數(shù);m為動渦盤的質(zhì)量,兩者均為常量。

式(14)兩邊同時乘以坐標(biāo)變換矩陣的表達(dá)式如下:

(15)

(16)

對式(11)求導(dǎo)后,聯(lián)立式(11)、式(12)可知,n-t坐標(biāo)下質(zhì)點的位移、速度、推力等變量之間的關(guān)系如下:

(17)

根據(jù)上述的變量定義,使用類似方法可推導(dǎo)出位移矢量的法向分量sn和速度矢量的法向分量vn的關(guān)系如下:

(18)

3.2 控制器的設(shè)計

假設(shè)此時sn>sn0,由式(10)、式(17)、式(18)可知系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系,由此筆者設(shè)計出對應(yīng)的控制器,如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)的控制示意圖

圖7中的虛線部分均表示被控對象。由于電流的響應(yīng)速度比機械運動的響應(yīng)速度快得多,筆者認(rèn)為電流控制器的增益恒為1,所以省略對電流控制器的描述。

筆者將圖6、圖7合并,得到系統(tǒng)的總控制圖如圖8所示。

圖8 系統(tǒng)的總體控制示意圖

圖8中,由于力傳感器的值經(jīng)過坐標(biāo)變換后得到的法向接觸力為負(fù),因此,筆者需要把這個值乘以-1,然后才能反饋給控制系統(tǒng)。

4 仿真試驗

4.1 模型的搭建

筆者使用MATLAB/Simulink搭建了渦旋機的運動控制系統(tǒng)模型(其中包含了平面電機的電流與推力的關(guān)系模型);根據(jù)式(1)、式(2)搭建了渦盤的接觸力模型;根據(jù)圖8搭建了控制器模型。

接觸力模型的參數(shù)包括:接觸剛度ko和摩擦系數(shù)μ。它們的具體數(shù)值如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

4.2 仿真結(jié)果

為了驗證接觸力的可控性,仿真前1 s,筆者令期望的法向接觸力為10 N;1 s后令期望的法向接觸力突變到5 N,接觸力矢量在法向-切向坐標(biāo)系下的分量值恒為負(fù),直接從傳感器獲取到的是接觸力矢量分別在X軸和Y軸上的投影值。因此,筆者需要把傳感器上獲得的值進行坐標(biāo)變換來得到法向接觸力的值。

實際法向接觸力的值如圖9所示。

圖9 期望值變化時的法向接觸力曲線

由圖9可知:當(dāng)期望值為10 N時,實際法向接觸力會在一段時間后收斂,收斂值約為9.84 N,相對穩(wěn)態(tài)誤差為1.63%;當(dāng)期望值改變至5 N時,實際法向接觸力在0.3 s左右收斂,最終穩(wěn)定在4.92 N左右,相對穩(wěn)態(tài)誤差為1.54%,其誤差都在2%以內(nèi)。

為了驗證式(6)中的參數(shù)變化時分析結(jié)果的正確性,在保持k和ωn不變的情況下,筆者取不同的ξ的值,做出對應(yīng)的力響應(yīng)曲線;保持k和ξ不變,取不同的ωn的值,做出對應(yīng)的力響應(yīng)曲線,結(jié)果如圖10所示。

圖10 不同阻抗參數(shù)下的法向接觸力曲線

由圖10(a)可知:ξ越小,超調(diào)量越大。

圖10(b)中,以輸出衰減到誤差帶內(nèi)且以后不再超出誤差帶所用的時間來衡量系統(tǒng)的響應(yīng)速度,可以得知當(dāng)ωn越大時,系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快。

可以看出:圖10中的輸出響應(yīng)與式(6)中阻抗控制器參數(shù)對接觸力的響應(yīng)的理論分析結(jié)果是一致的。

圖9和圖10是動渦盤的運動速率在100 mm/s情況下的法向接觸力曲線。為了驗證動渦盤平動速率突然變化時的法向接觸力是否仍然可控,筆者對其進行仿真。仿真前1 s,令vt=100;1 s后,令vt=200,期望的法向接觸力恒為10 N。動渦盤的實際平動速率與此時的法向接觸力如圖11所示。

圖11 動渦盤速率突然變化時的曲線

由圖11可知:當(dāng)動渦盤的平動速率突然變化時,法向接觸力雖然在同一時刻出現(xiàn)了小幅度波動,但在0.2 s之后仍然能向期望值收斂。

5 結(jié)束語

針對渦旋機工作過程中動渦盤和靜渦盤之間接觸力控制困難的問題,筆者提出了一種基于法向-切向坐標(biāo)系下的主動柔順控制方法,并設(shè)計出了一套在法向-切向坐標(biāo)系下動渦盤運動系統(tǒng)的控制方案;最后使用MATLAB/Simulink,對動渦盤平動過程中所受接觸力進行了仿真驗證。

研究結(jié)論如下:

1)動渦盤平動過程中,其與靜渦盤的法向接觸力能收斂至期望值,且誤差在2%以內(nèi),驗證了主動柔順控制方法的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性;

2)當(dāng)期望值改變后,法向接觸力能在0.3 s左右收斂至新的期望值,說明實際值對期望值的跟蹤性能較好,驗證了控制方法的快速性;

3)通過調(diào)整阻抗控制器的參數(shù),控制系統(tǒng)可以對接觸力響應(yīng)中的超調(diào)量以及收斂時間等進行改善;

4)當(dāng)動渦盤的平動速率突然變化時,法向接觸力能在0.2 s左右回到穩(wěn)定狀態(tài),說明控制系統(tǒng)具有一定的抗干擾能力,驗證了控制方法有較強的魯棒性。

在后續(xù)的研究中,筆者擬根據(jù)渦旋機的實際工況,如接觸力的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間以及受到干擾時系統(tǒng)的回復(fù)時間等因素,設(shè)立具體的評價指標(biāo),對阻抗控制器參數(shù)做進一步的優(yōu)化。