廣東佛山南海中學(xué)(528211) 陳曉琳 譚瓊珍 周鴻高

2023 年高考新課標I 卷第20 題是一道數(shù)列解答題,這是近年來首次把數(shù)列題放置后三題的位置,體現(xiàn)了數(shù)列解答題難度加大的趨勢.

然而,細觀此題,該題主要考查等差數(shù)列的定義、通項公式與前n項和公式,只是一道常規(guī)題;而且沒有涉及等差數(shù)列的推斷,從思維程度上看,處于中檔題位置. 確實,2023 年高考數(shù)學(xué)試題嚴格落實《中國高考評價體系》中“一核”“四層”“四翼”的考查要求,合理控制試題難度; 在“反套路、反刷題、反死記硬背”上進行命題示范,科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué),是新高考命題的風(fēng)向標,值得廣大一線教師深入鉆研、深刻領(lǐng)會.

1. 試題評析

高考真題(2023 年高考新課標I 卷第20 題)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d >1. 令記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項和.

(1)若3a2= 3a1+a3,S3+T3= 21,求{an}的通項公式;

(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99-T99=99,求d.

本題涉及考點主要有:等差數(shù)列的定義、性質(zhì),通項公式的形式及其應(yīng)用,前n項和公式的性質(zhì)及其應(yīng)用. 主要考查運算求解能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)換化歸能力,蘊含函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般、分類討論等思想方法.

本題是基礎(chǔ)性與綜合性的有機結(jié)合體.《中國高考評價體系》指出基礎(chǔ)性包括學(xué)科內(nèi)容的基本性、通用性及情境的典型性. 綜合性要求以多項相互關(guān)系的活動組成的復(fù)雜情境作為載體,能夠反映學(xué)科知識、能力內(nèi)部的整合及其綜合運用. 本題的基礎(chǔ)性體現(xiàn)在考查等差數(shù)列的定義、通項公式與前n項和公式,這些是數(shù)列中的基本概念和基本公式. 本題的綜合性體現(xiàn)在條件中bn與an的相互關(guān)聯(lián),如何通過bn的信息轉(zhuǎn)化為an的基本量運算,在問題解決過程中需要用到函數(shù)與方程的思想,轉(zhuǎn)化與分類討論思想,需要有較強推理論證能力和運算求解能力,對學(xué)生的思維品質(zhì)和核心素養(yǎng)要求較高.

本題也體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)在“反套路,反機械刷題”上所下的功夫,突出強調(diào)對基礎(chǔ)知識和基本概念的深入理解和靈活運用,注重考查學(xué)科知識的綜合應(yīng)用能力. 學(xué)生在平時的復(fù)習(xí)中可能做到更多的數(shù)列題型是簡單的基本量運算,由遞推關(guān)系求通項公式,由Sn與an的關(guān)系求通項公式,各種數(shù)列求和方法等. 而本題的創(chuàng)新點是給了兩個有關(guān)聯(lián)的等差數(shù)列,這樣使題目看似很基礎(chǔ)但實際綜合性很強. 這是真正考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本概念的深入理解和靈活運用的能力,真正檢驗學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是否融會貫通和真懂會用,達到高考為國家為高校選拔人才的目的.

2. 解法探究

2.1 第(1)問解法探究

第(1)問比較常規(guī),利用等差數(shù)列基本性質(zhì)與基本公式就可求解. 主要是把兩個條件轉(zhuǎn)化為用等差數(shù)列{an}的基本量a1,d表示,特別是第二個條件中的T3,要利用bn與an的關(guān)系進行代入,再利用函數(shù)與方程的思想,建立方程組求出a1與d的值. 在解題過程中,難點在于消元以及在消元后解出分式方程考生的主要問題在于解方程過程出錯,或者在回答d的取值時沒有寫出依據(jù)d >1 對根進行取舍,解題過程不夠嚴謹;可能也有考生在回答通項公式時寫成{an}= 3n或者3n的形式,這是對數(shù)列和對數(shù)列通項的符號表示不理解造成的. 解答過程如下:

解析(1) 因為3a2= 3a1+a3, 所以3d=a1+ 2d,解得a1=d, 所以S3= 3a2= 3(a1+d) = 6d, 又T3=即2d2-7d+3 = 0,解得d= 3 或(因為d >1,舍去),所以an=a1+(n-1)·d=3n.

2.2 第(2)問解法探究

解答第(2) 問關(guān)鍵是對{bn}為等差數(shù)列的翻譯, 以及S99-T99=99 的處理.

首先,對{bn}為等差數(shù)列的翻譯有如下幾種方法:

這種解法體現(xiàn)了由一般到特殊的思想方法,是比較常規(guī)的思路.

這種解法是基于等差數(shù)列定義的一般性思路,需要有很明確的目標和較強的運算處理能力.

要使bn+1-bn為常數(shù),則解得a1=d或a1=2d.

這種解法也是基于等差數(shù)列定義的一般性思路,但是需要有超級強大的運算處理能力,以及對等差數(shù)列定義有本質(zhì)上的理解和對式子結(jié)構(gòu)的清晰認識.

這種解法是由等差數(shù)列的通項公式的一次函數(shù)特征分析得到的,可以避免復(fù)雜的運算過程,從而是最快的解法.

這種解法其實也是由等差數(shù)列的通項公式的一次函數(shù)特征推理得到,運算量也比較少,解題過程應(yīng)用了恒成立問題的解決思想方法.

縱觀以上幾種方法,都需要綜合所學(xué)多種知識求解,可以取前三項,特殊探路,體現(xiàn)特殊到一般的解題思路;可以常規(guī)運算化簡,這樣涉及相關(guān)字母符號較多,需要強大的運算求解能力;也可以從函數(shù)視角看待等差數(shù)列通項,利用一次函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,這樣解答比較簡單,但需要具備較強的數(shù)學(xué)思維能力.

其次,對S99-T99=99 的處理有如下幾種方法:

這種解法是在得到了an與bn的通項公式之后直接代入等差數(shù)列前n項和公式中進行計算,是非常自然的一種想法,屬于常規(guī)做法.

這種解法是根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式和等差中項的性質(zhì)把S99-T99= 99 轉(zhuǎn)化為a50的值,這樣做使得運算量減少,是比較快的解法.

這種解法構(gòu)造新的等差數(shù)列{an-bn},并利用等差數(shù)列前n項和公式和等差中項性質(zhì),既簡化了后面的運算過程,也減少分類討論的次數(shù),體現(xiàn)較強的數(shù)學(xué)思維能力.

通過解法探究,可以說明這是一道結(jié)構(gòu)簡潔、解法常規(guī)、價值深刻的經(jīng)典好題. 對比往年,它沒有用Sn與an關(guān)系來包裝,也沒有用累加疊乘、構(gòu)造等方法求通項,更不需要用裂項相消或錯位相減這些方法求和, 體現(xiàn)了“淡化技巧”的特點. 它重點考查了等差數(shù)列的基本概念、基本公式、基本性質(zhì)、基本運算,卻呈現(xiàn)出“無價值,不入題;無思維,不命題;無情境,不成題”的典型特征,體現(xiàn)出“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的“四翼”考查要求. 考生做答此題,需要對等差數(shù)列通項和求和表達式的結(jié)構(gòu)非常熟悉,需要分類討論和邏輯推理,需要有面對含多字母式子變形化簡不畏懼不慌亂的心理素質(zhì),又有克服困難的決心、信心和能力.

3. 備考探索

2023 年高考新課標I 卷數(shù)列解答題,是一道出乎意料又在情理之中的試題,出乎意料表現(xiàn)在試題放置在后三題的位置,而沒有考查遞推數(shù)列和復(fù)雜數(shù)列的求和,沒有考查與不等式的交匯;情理之中體現(xiàn)在此題落實了《中國高考評價體系》中“一核”“四層”“四翼”的考查要求. 高考評價體系明確了高考的核心功能、考查內(nèi)容和考查要求,是新時代高考命題、評價與改革的理論基礎(chǔ)和實踐指南,是用于指導(dǎo)全國及各省高考內(nèi)容改革和命題工作的核心文件,高考備考理應(yīng)深入研讀高考評價體系,用高考評價體系指導(dǎo)高考備考. 然而現(xiàn)狀是很多老師備考過程總是慣性前行,按以往經(jīng)驗對高考數(shù)學(xué)內(nèi)容進行難中易等級劃分,集中精力花在自認為容易的專題上;高考備考過程對各專題按題型劃分,進行大量的刷題訓(xùn)練,抱著總有一種題型會考到的想法,做了大量的無用功. 這其中有對高考試題是否真正落實高考評價體系持懷疑的考量,也有對高考試題如何落實和體現(xiàn)高考評價體系的茫然. 是以,高考試題的風(fēng)格變化,才是廣大一線教師高考備考的風(fēng)向標. 令人欣喜的是,近幾年的高考試題確實呈現(xiàn)出新的風(fēng)格、新的特征,值得老師們結(jié)合高考試題進行備考探索.

3.1 用“課程標準”指導(dǎo)教學(xué)與備考

《高中數(shù)學(xué)課程標準》關(guān)于“數(shù)列”的表述, 有如下幾點:(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),是數(shù)學(xué)重要的研究對象,是研究其他類型函數(shù)的基本工具,在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用. 本單元的學(xué)習(xí),可以幫助學(xué)生通過對日常生活中實際問題的分析,了解數(shù)列的概念;(2)探索并掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的變化規(guī)律,建立通項公式和前n項和公式;(3)能運用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡單的實際問題和數(shù)學(xué)問題,感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實意義與應(yīng)用;(4)了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù),等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系,感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異,體會數(shù)學(xué)的整體性. 對照上面考題,考題與上述表述幾乎完全契合.

比較“課程標準”與“高考評價體系”,“高考評價體系”是一份指導(dǎo)性文件,理論性很強;而“課程標準”對學(xué)科在高中所學(xué)內(nèi)容進行了規(guī)定, 并明確了學(xué)習(xí)要求. 比較“課程標準”與“高中數(shù)學(xué)教材”,“高中數(shù)學(xué)教材”版本眾多,雖說內(nèi)容都按“課程標準”編寫,但有些細節(jié)上的不同;“課程標準”全國單一份,是編寫教材的依據(jù). 所以,無論是在學(xué)習(xí)新課階段還是在高考備考階段,都應(yīng)用“課程標準”指導(dǎo)工作.

3.2 扎實抓好“四基”,發(fā)展“四能”

“四基”是指數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗. 在高三的一輪復(fù)習(xí)中應(yīng)該要切實抓好“四基”,要摒棄幫學(xué)生“過”一下知識點, 然后讓學(xué)生大量做題鞏固的做法. 學(xué)生沒有真正理解所學(xué)基礎(chǔ)知識,沒有掌握基本技能和基本思想,做再多的題也是徒勞,這只會增加學(xué)生負擔(dān),降低學(xué)習(xí)效率. 如上述考題,考生如果按課標要求掌握相關(guān)知識方法,并不需要練太多的題,也沒必要;反之,學(xué)習(xí)再多的技巧秘訣,也無用武之地. 教師應(yīng)該利用一輪復(fù)習(xí)的機會幫助學(xué)生深刻理解基礎(chǔ)知識,訓(xùn)練好基本技能,掌握好基本思想,積累好基本活動經(jīng)驗,必要時螺旋上升地安排教學(xué)內(nèi)容,讓重要的數(shù)學(xué)知識和思想方法得到反復(fù)理解的機會. 只有扎實抓好“四基”才能保證數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)質(zhì)量,進一步發(fā)展“四能”(發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力、創(chuàng)新能力、實踐能力).

3.3 讓學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法,就是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識中,經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果,它是對數(shù)學(xué)事實與數(shù)學(xué)理論(概念、定理、公式、法則等)的本質(zhì)認識.數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的重要途徑. 一般高中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想和方法可分為三大類:第一類:數(shù)學(xué)思想方法,主要包括函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、轉(zhuǎn)換與化歸的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想、算法的思想. 第二類:數(shù)學(xué)思維方法,主要包括分析法、綜合法、歸納法、演繹法、觀察法、實驗法、特殊方法等. 第三類:數(shù)學(xué)方法,主要指應(yīng)用面比較窄的具體方法,如配方法、換元法、消元法、待定系數(shù)法等具體的解題方法.

考生掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法才能在解題中快速地尋找解題的途徑,順利解決問題. 比如上述考題,如果考生能用一般到特殊的思想方法來思考問題就能找到解決問題的突破口,能用函數(shù)與方程的思想方法來處理問題就能得到解決問題的快捷方法.

3.4 提升數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力

隨著新課程的改革,中國高考評價體系的落實,新高考的命題轉(zhuǎn)向發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的問題,考查不但體現(xiàn)基礎(chǔ)性,也體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性. 綜合性要求學(xué)生能在復(fù)雜問題情境中能夠觸類旁通、舉一反三,甚至融會貫通. 應(yīng)用性要求學(xué)生能夠主動靈活地將所學(xué)知識遷移到社會生活實踐問題中. 創(chuàng)新性要求學(xué)生具有發(fā)散思維、逆向思維、批判性思維等思維品質(zhì),在新穎或陌生的情境中主動思考,發(fā)現(xiàn)新問題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論. 這可以從上面對今年數(shù)列考題的試題評析與解法探究中得到佐證. 提高學(xué)生的思維水平的同時也意味著對教師提出更高的要求,教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生掌握抽象數(shù)學(xué)對象、發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的方法,以實現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.