趙 倩(北京市海淀區(qū)萬(wàn)泉小學(xué) 100089)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》指出了要“培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”。數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力和推理意識(shí),特別是對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō),推理意識(shí)的培養(yǎng)至關(guān)重要。推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感悟。學(xué)生通過(guò)運(yùn)用推理意識(shí)來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題,即通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的思考和探究,依據(jù)已經(jīng)掌握的知識(shí)推導(dǎo)得出新的結(jié)論。研究表明,推理意識(shí)并非與生俱來(lái),而是在后天系統(tǒng)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練中逐漸養(yǎng)成的一種能力,因此,發(fā)展推理意識(shí)必須注重培養(yǎng)過(guò)程性。

運(yùn)算律是通過(guò)對(duì)等式進(jìn)行觀察、比較和分析而概括出來(lái)的運(yùn)算規(guī)律。在系統(tǒng)學(xué)習(xí)運(yùn)算律之前,學(xué)生在以往的知識(shí)學(xué)習(xí)中已經(jīng)有了初步的了解。在運(yùn)算律的教學(xué)中,教師組織教學(xué)活動(dòng)時(shí)應(yīng)思考和關(guān)注兩個(gè)問(wèn)題。首先是幫助學(xué)生借助已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),通過(guò)圖形、文字和符號(hào)語(yǔ)言描述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律;其次是在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程中幫助學(xué)生發(fā)展抽象能力和推理意識(shí)。

一、關(guān)注學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn), 重構(gòu)單元框架

建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,是學(xué)生不斷積累和運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程。安布羅斯等人關(guān)于學(xué)習(xí)科學(xué)的研究成果表明:當(dāng)學(xué)生把當(dāng)前的學(xué)習(xí)與自己已有的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)時(shí),他的學(xué)習(xí)效果將更好。教師應(yīng)有目的地激活學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),幫助他們?cè)谛屡f知識(shí)之間形成牢固的聯(lián)系。因此,數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)重視學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)。

結(jié)合北師大版四年級(jí)數(shù)學(xué)教材(以下簡(jiǎn)稱“教材”)中的運(yùn)算律教學(xué)單元,五個(gè)運(yùn)算律的學(xué)習(xí)內(nèi)容呈現(xiàn)形式基本相同,包括觀察算式、仿寫算式、解釋規(guī)律、表述規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律,這五個(gè)運(yùn)算律都是在直接出示算式后讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在教學(xué)實(shí)踐中,教師可對(duì)教材進(jìn)行進(jìn)一步開發(fā),關(guān)注學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識(shí)。此外,數(shù)學(xué)知識(shí)本身具有內(nèi)在結(jié)構(gòu),學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也是遵循一定的規(guī)律建構(gòu)而來(lái)。因此,在實(shí)際教學(xué)中,教師可更多關(guān)注學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)重構(gòu)學(xué)習(xí)單元,使其更加符合學(xué)生的認(rèn)知,如圖1所示。

圖1 重構(gòu)后的運(yùn)算律單元框架

重構(gòu)后的單元設(shè)計(jì)更關(guān)注學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的價(jià)值。在學(xué)習(xí)運(yùn)算律單元前,教材中有關(guān)運(yùn)算的內(nèi)容之中已多次滲透了簡(jiǎn)便計(jì)算的方法,雖未提及運(yùn)算律,但學(xué)生已對(duì)運(yùn)算律有了初步體驗(yàn)。在運(yùn)算律這一單元,學(xué)生開始系統(tǒng)學(xué)習(xí)運(yùn)算律,并運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單問(wèn)題,也能為后續(xù)小數(shù)、分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算打下基礎(chǔ)?；诖?重構(gòu)后的單元中設(shè)置了一節(jié)運(yùn)算律的引領(lǐng)課,在有效喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上幫助他們建立運(yùn)算律的整體觀。首先,帶領(lǐng)學(xué)生整理整數(shù)加法、乘法的問(wèn)題情境,在解決問(wèn)題過(guò)程中關(guān)注解決方法,繼而從算式特點(diǎn)出發(fā),通過(guò)觀察、比較等方法,發(fā)現(xiàn)算式中數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)等存在的不同特征,幫助學(xué)生從整體感知運(yùn)算律。接下來(lái),再分別對(duì)每個(gè)運(yùn)算律進(jìn)行深入研究。學(xué)生先觀察,然后仿寫,再解釋并表述運(yùn)算律的意義,逐漸在運(yùn)用運(yùn)算律解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)過(guò)程中積累合情推理的經(jīng)驗(yàn)。根據(jù)小學(xué)生的年齡和心理特點(diǎn),上述教學(xué)設(shè)計(jì)更能夠吸引學(xué)生,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的研究興趣,提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率,發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。

二、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析, 建構(gòu)知識(shí)框架

學(xué)習(xí)理解并運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題,形成知識(shí)框架是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要方式。小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)就是要幫助學(xué)生逐漸構(gòu)建出知識(shí)框架,并支持學(xué)生在合情推理中逐漸豐富。

1.基于對(duì)情境的對(duì)比分析建構(gòu)知識(shí)框架

史寧中等人認(rèn)為“任何運(yùn)算都是在講故事”。在學(xué)生的思維世界里,與生活情境相結(jié)合的具體實(shí)例是他們理解抽象的數(shù)學(xué)概念生動(dòng)且有效的載體。有關(guān)學(xué)習(xí)科學(xué)研究成果表明,基于深層的、有意義的特征,建立起豐富的內(nèi)部關(guān)聯(lián)的知識(shí)組織,能有效地支持學(xué)生的學(xué)習(xí)和學(xué)業(yè)表現(xiàn)。因此,教師應(yīng)在學(xué)生探索規(guī)律的過(guò)程中幫助他們建立運(yùn)算律的知識(shí)體系,在探究的過(guò)程中有效發(fā)展推理意識(shí)。

與生活情境相結(jié)合的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂大多以情境教學(xué)法展開。研究表明,基于情境教學(xué)法的數(shù)學(xué)課堂能夠在一定程度上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使他們能更主動(dòng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)探究來(lái)解決情境問(wèn)題,并通過(guò)對(duì)比和分析不同情境的特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)推理,逐漸建構(gòu)并豐富知識(shí)框架。因此,遴選適合小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容的事物或故事來(lái)創(chuàng)建教學(xué)情境,是發(fā)展小學(xué)生推理意識(shí)的重要教學(xué)準(zhǔn)備工作。

以運(yùn)算律單元引領(lǐng)課為例。學(xué)生首先選擇自己最感興趣的一個(gè)情境或從整體進(jìn)行觀察,利用整理的學(xué)習(xí)資料,從不同角度對(duì)問(wèn)題情境對(duì)比分析引發(fā)新的思考。在多個(gè)情境問(wèn)題的解決過(guò)程中,學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題情境及解決方法的相似之處。經(jīng)過(guò)小組交流,推薦最值得研究的發(fā)現(xiàn)。再進(jìn)行全班交流,在尋找聯(lián)系的過(guò)程中,感受問(wèn)題情境對(duì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律所起到的積極作用。通過(guò)解讀小組的發(fā)現(xiàn),整理歸類,尋找聯(lián)系初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律,在對(duì)問(wèn)題情境觀察、比較、分析的過(guò)程中學(xué)生的推理意識(shí)得到了自然發(fā)展。

2.基于對(duì)算式的對(duì)比分析建構(gòu)知識(shí)框架

發(fā)現(xiàn)規(guī)律是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組織形式,尤其是通過(guò)對(duì)算式的對(duì)比分析逐漸發(fā)現(xiàn)規(guī)律,能夠更好地幫助學(xué)生構(gòu)建并豐富知識(shí)框架,進(jìn)而提升其推理意識(shí)。

仍以運(yùn)算律單元引領(lǐng)課為例。學(xué)生通過(guò)對(duì)情境的分析,從不同情境中抽象出算式,通過(guò)對(duì)算式對(duì)比分析,推導(dǎo)出與此算式具有相同特征的其他算式。

在交流過(guò)程中逐步深入思考產(chǎn)生沖突:加法和乘法能否放在一起研究? 學(xué)生再對(duì)加法和乘法算式進(jìn)行對(duì)比,從乘法意義解讀中發(fā)現(xiàn)“乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算”,理解乘法和加法之間的本質(zhì)聯(lián)系,并找出兩類算式之間的相同點(diǎn),即兩個(gè)乘數(shù)或加數(shù)交換位置后積或和不變。

三、鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)反思, 促進(jìn)理解遷移

學(xué)生推理意識(shí)的培養(yǎng)側(cè)重四個(gè)方面:一是要能夠從具體情境中發(fā)現(xiàn)、識(shí)別需要觀察的數(shù)學(xué)對(duì)象,同時(shí)能夠遴選關(guān)鍵數(shù)學(xué)信息,并進(jìn)行初步比較;二是能夠?qū)?shù)學(xué)信息進(jìn)行文字、圖形、符號(hào)等多維表征,并對(duì)信息進(jìn)行分析整合;三是能夠把所有信息進(jìn)行有效關(guān)聯(lián),進(jìn)行知識(shí)遷移,提出合理猜想;四是能夠?qū)Σ孪脒M(jìn)行驗(yàn)證并對(duì)已有信息展開重建,提出新的結(jié)論,并能夠有理有據(jù)表達(dá)。

以運(yùn)算律單元引領(lǐng)課的總結(jié)環(huán)節(jié)為例。學(xué)生在探索運(yùn)算律的過(guò)程中,能夠結(jié)合情境解讀學(xué)習(xí)方法,主動(dòng)地運(yùn)用情境和數(shù)量關(guān)系賦予運(yùn)算律實(shí)際意義,進(jìn)而推導(dǎo)出具有相同特征的規(guī)律。

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)連貫性強(qiáng),各部分知識(shí)組成了一個(gè)縱橫交錯(cuò)、緊密聯(lián)系的知識(shí)網(wǎng)。

每一個(gè)新知識(shí)都是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)展的,要善于運(yùn)用類比推理和比較差異的思想方法進(jìn)行新舊知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化,達(dá)到觸類旁通、方法遷移的目的。已有研究均表明,建立知識(shí)間的聯(lián)系,在深刻理解基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)才是穩(wěn)固有效的。因此,在運(yùn)算律單元引領(lǐng)課的總結(jié)環(huán)節(jié),教師要引導(dǎo)學(xué)生梳理出探索規(guī)律的方法:觀察、比較、聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)。學(xué)生及時(shí)對(duì)自己在探究過(guò)程中獲得的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)和提煉,使原本模糊、直覺(jué)的經(jīng)驗(yàn)上升為清晰、理性的數(shù)學(xué)思想方法。

四、設(shè)計(jì)學(xué)生實(shí)踐作業(yè), 啟發(fā)學(xué)生說(shuō)理

蘇霍姆林斯基認(rèn)為,在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需求,就是希望自己是個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者,而在兒童的精神世界這種需求更為強(qiáng)烈。因此,數(shù)學(xué)課程中應(yīng)讓學(xué)生感受和體會(huì)到這種研究和發(fā)現(xiàn)的快樂(lè),作業(yè)的設(shè)計(jì)也要能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和成就感。學(xué)生都是極富個(gè)性的生命體,他們對(duì)教材的理解和詮釋極其富有獨(dú)特性和創(chuàng)造性。因此,在作業(yè)設(shè)計(jì)過(guò)程中,可以充分展現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

運(yùn)算律單元的作業(yè)設(shè)計(jì)要能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。一是要促進(jìn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算律知識(shí)的掌握,同時(shí)進(jìn)一步熟悉課堂中所學(xué)探索規(guī)律的方法,發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。二是要有助于提高學(xué)生應(yīng)用課堂所學(xué)的運(yùn)算律的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。三是要有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力,以及樂(lè)學(xué)善學(xué)、勤于反思的品質(zhì)。同時(shí),運(yùn)算律單元的作業(yè)要有助于學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)和生活的積極情感。在學(xué)完乘法和加法的交換律后,教師可布置三個(gè)作業(yè),第一個(gè)重在基礎(chǔ)的落實(shí),如用你喜歡的方式(寫一寫,畫一畫)表示加法交換律和乘法交換律;第二個(gè)重在拓展遷移,如用課上學(xué)習(xí)的推理方法驗(yàn)證減法和除法也滿足交換律嗎? 第三個(gè)兼顧學(xué)科整合,如生活中有沒(méi)有一個(gè)詞語(yǔ),交換字的位置但詞語(yǔ)仍然成立? 請(qǐng)舉例說(shuō)明。

啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行說(shuō)理是培養(yǎng)推理意識(shí)的一種方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中,教師應(yīng)通過(guò)各種教學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行說(shuō)理,鼓勵(lì)他們表達(dá)不同的想法,并幫助他們理解“理”的內(nèi)涵,體會(huì)“理”的應(yīng)用場(chǎng)景,逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理,并通過(guò)說(shuō)理闡述演繹與歸納的過(guò)程。