孫軍艷　陳澤飛　陳智瑞　李曉朋

摘 要：針對不確定環(huán)境下的閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題，在需求不確定及設(shè)施中斷風險的條件下，基于魯棒對等優(yōu)化方法建立了一種以閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)總成本最小為目標的魯棒優(yōu)化模型，以解決供應鏈網(wǎng)絡(luò)中的不確定性問題，并提出了Prim-DMGA。首先基于Prim算法得到高質(zhì)量的初始種群，其次讓路徑規(guī)劃方案和設(shè)施選址方案在兩層自適應GA的不斷反饋中達到最優(yōu)。實驗結(jié)果表明，Prim-DMGA得到的目標函數(shù)值優(yōu)于單層Prim-MGA與傳統(tǒng)GA，且在求解大規(guī)模算例時，求解結(jié)果優(yōu)于CPLEX軟件。研究結(jié)論表明，Prim-DMGA能以較少的計算時間獲得質(zhì)量更優(yōu)的解，魯棒優(yōu)化模型可以有效減少不確定因素帶來的不利影響，提高閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)的魯棒性能。

關(guān)鍵詞：閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)； 需求不確定； 設(shè)施中斷風險； 魯棒優(yōu)化； Prim-DMGA算法

中圖分類號：TP302 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695（2023）10-016-2984-09

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.02.0087

Robust optimization of closed-loop supply chain network based on Prim-DMGA algorithm

Sun Junyan， Chen Zefei， Chen Zhirui， Li Xiaopeng

（School of Mechanical & Electrical Engineering， Shaanxi University of Science & Technology， Xian 710021， China）

Abstract：This paper proposed a robust peer-to-peer optimization method in the context of uncertain environments to address the uncertainty in closed-loop supply chain networks while considering demand uncertainty and facility disruption risk. This paper formulated a robust optimization model to minimize the total cost of the closed-loop supply chain network. Additionally， this paper proposed a Prim-DMGA that firstly identified high-quality initial solutions using the Prim algorithm and then optimized the routing and facility selection solutions in a two-layer adaptive GA feedback loop. The experimental results demonstrate that the Prim-DMGA generates better objective function values than the single-layer Prim-MGA and traditional GA with less computational time. Further， the results obtained from the algorithm are superior to those obtained by using the CPLEX software in solving large-scale scenarios. It concludes that the proposed robust optimization model effectively reduces the adverse effects caused by uncertainty and improves the robustness of closed-loop supply chain networks. Moreover， the Prim-DMGA generates better solutions with less computational time.

Key words：closed-loop supply chain network; demand uncertainty; facilities disruption risk; robust optimization; Prim-DMGA

0 引言

近年來，隨著全球化進程的不斷推進，企業(yè)面臨的競爭越來越激烈，不僅要面臨復雜多變的市場競爭環(huán)境和社會環(huán)境，還要面臨無法預知的不確定風險與挑戰(zhàn)。因此，研究不確定環(huán)境下的閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)的魯棒性能，對于提高供應鏈應對不確定風險的能力、降低運作成本、增強環(huán)境友好性具有一定的理論和實際意義。

國內(nèi)外學者對于不確定環(huán)境下的閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)的研究方向多集中在成本、價格、需求等運營過程中參數(shù)不確定方面。Azizi等人［1］考慮需求及利潤的不確定性，針對逆向物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題建立了兩階段隨機規(guī)劃模型。Goodarzian等人［2］考慮設(shè)計參數(shù)中設(shè)施建設(shè)、運輸、庫存持有成本的不確定性，針對藥品供應鏈網(wǎng)絡(luò)問題建立了雙目標混合整數(shù)模糊規(guī)劃模型。Yu等人［3］考慮了客戶需求、退貨率和退貨品質(zhì)量的不確定因素，針對選址問題建立了模糊隨機多目標優(yōu)化模型。Pudasaini［4］基于需求不確定的供應鏈網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題，以運輸成本及產(chǎn)品損失成本最小，為目標建立了多目標兩階段隨機規(guī)劃模型。You等人［5］在考慮需求和運費不確定的情況下，建立以總成本最小為目標的兩階段隨機規(guī)劃模型。Peidro等人［6］采用三角模糊數(shù)描述需求、成本和供應的不確定性，建立以采購、庫存、運輸成本最小為目標的混合整數(shù)模糊規(guī)劃模型。以上研究在考慮供應鏈網(wǎng)絡(luò)中的不確定因素上，只考慮運營過程中參數(shù)的不確定，而忽略了突發(fā)事件的不確定性對供應鏈網(wǎng)絡(luò)的影響。

部分學者在考慮供應鏈網(wǎng)絡(luò)運營過程中參數(shù)不確定時，同時考慮了供應鏈網(wǎng)絡(luò)中突發(fā)事件的不確定性因素。Tolooie等人［7］考慮了客戶需求不確定與設(shè)施中斷的影響，建立了兩階段隨機混合整數(shù)規(guī)劃模型。Vali-Siar等人［8］針對設(shè)施中斷風險和成本不確定性的供應鏈網(wǎng)絡(luò)問題，利用模糊隨機規(guī)劃方法建立了多目標的模糊隨機混合規(guī)劃模型。Yin等人［9］采用情景法描述不確定需求與中斷情景，設(shè)計了總成本最小的兩階段隨機優(yōu)化模型。王振等人［10］針對閉環(huán)物流網(wǎng)絡(luò)中需求和回收品質(zhì)量不確定問題以及供應中斷的影響，建立了總成本最小的模糊機會約束模型。狄衛(wèi)民等人［11］考慮兩級設(shè)施中斷與需求不確定的情況，建立總成本最小化的隨機規(guī)劃模型。以上學者在考慮供應鏈網(wǎng)絡(luò)中的不確定因素上，同時考慮了運營過程中參數(shù)的不確定和突發(fā)事件的不確定性對供應鏈網(wǎng)絡(luò)的影響，但是他們在供應鏈優(yōu)化問題中，采用隨機規(guī)劃、模糊規(guī)劃方法來解決供應鏈網(wǎng)絡(luò)中的不確定性問題，仍具有一定的局限性。

魯棒優(yōu)化的核心思想是求得所有參數(shù)在最壞情形下的最優(yōu)解，用集合的形式對不確定參數(shù)進行描述，不增加問題求解的復雜性。Bertsimas等人［12］針對不確定環(huán)境下的閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題，在2004年提出了一種新的魯棒優(yōu)化方法，即每個不確定參數(shù)只需簡單用一個具體區(qū)間來表示，且可以通過最小最大方法來保證解的可行性，該方法被廣泛應用于不確定問題的優(yōu)化研究中。于冬梅等人［13］采用文獻［12］的魯棒優(yōu)化方法，建立以最小設(shè)施選址及運輸成本為目標的魯棒優(yōu)化模型，并采用蝙蝠算法求解。Gholizadeh等人［14］以網(wǎng)絡(luò)總利潤最大為優(yōu)化目標，構(gòu)建需求不確定的情景魯棒優(yōu)化模型，結(jié)果表明該模型可以有效地應對需求和供應不確定性對網(wǎng)絡(luò)的影響。Attia［15］采用情景法描述石油市場需求及價格的不確定性，建立石油供應鏈網(wǎng)絡(luò)魯棒優(yōu)化模型，結(jié)果表明，與確定性、隨機規(guī)劃以及基于風險的建模方法相比，魯棒優(yōu)化模型能源消耗率較高、成本較低。邱若臻等人［16］建立以供應鏈績效最大為目標的魯棒優(yōu)化模型，數(shù)值仿真驗證模型在需求和成本的擾動下仍表現(xiàn)出良好的魯棒性。董海等人［17］采用多面體魯棒優(yōu)化方法設(shè)計多目標魯棒優(yōu)化模型，其結(jié)果表明，多面體魯棒優(yōu)化模型能有效降低不確定因素帶來的不利影響。

不確定供應鏈網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題需要考慮的變量及約束條件較多，已被證明為NP-hard問題。目前該領(lǐng)域的最新研究多采用智能算法來求解此類問題。尉遲群麗等人［18］采用改進的禁忌搜索算法求解構(gòu)建的集成優(yōu)化模型，結(jié)果表明，改進的禁忌搜索算法在可接受的時間內(nèi)得到的解質(zhì)量更高。Abbassi等人［19］提出一種可變鄰域搜索啟發(fā)法改進多目標粒子群算法，可以在較短的時間內(nèi)得出最優(yōu)的設(shè)施布局及路徑規(guī)劃方案。Liao等人［20］分別采用遺傳模擬退火算法、遺傳算法、模擬退火算法求解，算例表明混合算法展現(xiàn)了更好的求解效果。Tirkolaee等人［21］設(shè)計一種多目標灰狼算法來求解多目標優(yōu)化模型，結(jié)果表明多目標灰狼算法解的質(zhì)量優(yōu)于非支配排序遺傳算法2%。Li等人［22］利用差分進化算法改進NSGA-Ⅱ變異算子，增加種群多樣性與全局搜索性，實驗表明改進算法提高了個體分布的均勻性。遺傳算法（genetic algorithms，GA）是通過數(shù)學仿真模擬生物遺傳學中自然進化的過程來尋找問題最優(yōu)解的方法，被廣泛用于求解供應鏈網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題中。但傳統(tǒng)GA普遍采用隨機結(jié)構(gòu)進行初始化種群選擇，導致了選擇種群極有可能不符合約束條件，從而降低種群質(zhì)量與收斂速度。因此可將遺傳算法與其他算法或理念相結(jié)合，以提高該算法的種群質(zhì)量與收斂速度。

通過對上述文獻的梳理發(fā)現(xiàn)，在不確定因素的考慮上，同時考慮運營過程中參數(shù)的不確定和突發(fā)事件不確定性的文獻較少，且大多數(shù)學者只考慮宏觀選址問題，微觀層面的路徑規(guī)劃、流量分配等問題很少考慮；并且在模型求解方面，多數(shù)學者采用的傳統(tǒng)啟發(fā)式算法存在效率較低的問題。面對越來越復雜的市場環(huán)境，消費終端需求面臨著極大的不確定性，本文將考慮閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)消費終端需求量與退貨量的不確定性與設(shè)施中斷的影響，對閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)施選址、路徑規(guī)劃、物流量分配等問題進行集成優(yōu)化研究。利用文獻［12］的魯棒優(yōu)化方法處理不確定性因素，構(gòu)建供應鏈網(wǎng)絡(luò)總成本最小的魯棒優(yōu)化模型，針對傳統(tǒng)遺傳算法在選擇種群過程中極有可能降低種群質(zhì)量，使得算法陷入局部最優(yōu)且過早收斂的情況，設(shè)計了Prim-DMGA求解模型，以提升供應鏈網(wǎng)絡(luò)應對風險的能力，實現(xiàn)供應鏈網(wǎng)絡(luò)降本增效，魯棒性、經(jīng)濟效益的綜合提升。

1 模型建立

1.1 問題描述

本文將研究由多個候選制造中心、多個候選配送中心、若干客戶需求點組成的閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，如圖1所示。其供應鏈網(wǎng)絡(luò)運行如下：首先，產(chǎn)品由制造中心運至多個配送中心，再由配送中心運往各客戶需求點；當客戶提出退換貨需求時，不滿意的產(chǎn)品被退回并交由配送中心進行檢查處理，再將需要返回制造中心的部分產(chǎn)品運至制造中心進行維修或再加工。其中，客戶點的需求量與退貨量處于不確定性的狀態(tài)，且考慮制造中心的設(shè)施中斷風險。

1.2 模型假設(shè)

a）客戶需求為單一品種的產(chǎn)品。

b）候選制造中心、配送中心位置已知，且擁有足夠的運輸能力。

c）制造中心發(fā)生中斷的概率不確定且相互獨立，中斷發(fā)生后制造中心剩余一定的生產(chǎn)能力，配送中心不存在中斷風險。

d）客戶位置已知，每個客戶僅由一個配送中心為其服務；在為客戶需求點提供正向配送服務的同時兼顧逆向收集退換貨產(chǎn)品的服務。

e）退換貨產(chǎn)品無質(zhì)量缺陷，配送中心檢查再包裝后可重新進行銷售。

1.3 符號說明

1） 集合說明

I為候選制造中心集合，i∈I；J為候選配送中心集合，j∈J；K為需求點集合，k∈K；S為制造中心設(shè)施中斷情景集合，s∈S。

2）參數(shù)定義

Fi為制造中心i的建設(shè)成本；MFi為制造中心i每單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本；TCij為制造中心i到配送中心j的單位產(chǎn)品運輸成本；αi為制造中心i的狀態(tài)參數(shù)，制造中心i非中斷狀態(tài)工作為1，否則為0；pi為制造中心i發(fā)生設(shè)施中斷的概率；bi為制造中心i中斷發(fā)生后剩余產(chǎn)能補給能力的比例；Cmaxi為制造中心i的產(chǎn)能上限；disij為制造中心i到配送中心j的距離；disjk為配送中心j到客戶需求點k的距離；Fj為配送中心j的建設(shè)成本；NFj為配送中心j每單位產(chǎn)品正向處理成本；VFj為配送中心j每單位產(chǎn)品的回收處理成本；TCjk為配送中心j到需求點k的單位運輸成本；Cmaxj為配送中心j的產(chǎn)品處理能力上限；Cmaxjv為配送中心j的回收處理能力上限；dk為客戶需求點k實際的市場需求量；ek為客戶需求點k實際的退貨產(chǎn)品數(shù)量。

3）決策變量

Vsij為情景s下制造中心i向配送中心j供應的產(chǎn)品數(shù)量;Vjk為配送中心j給客戶k配送的產(chǎn)品數(shù)量;Zjk為配送中心j回收客戶k的產(chǎn)品數(shù)量。

1.4 基本模型構(gòu)建

以供應鏈網(wǎng)絡(luò)總成本最小為目標，包括設(shè)施建設(shè)的固定成本、產(chǎn)品制造成本、產(chǎn)品正向處理成本和回收處理成本及產(chǎn)品運輸成本。因此，目標函數(shù)可以表示為

式（2）中，第一項表示制造中心i固定建設(shè)成本；第二項表示配送中心j建設(shè)固定成本。式（3）表示情景s下制造中心i的產(chǎn)品制造成本。式（4）第一項表示配送中心j對產(chǎn)品的正向處理成本，包括產(chǎn)品的分撥、裝箱成本；第二項表示配送中心j對產(chǎn)品的回收處理成本。式（5）中，第一項為制造中心i到配送中心j正向物流的運輸成本，第二項為配送中心j到需求點k正向物流的產(chǎn)品運輸成本，第三項表示需求點k到配送中心j逆向物流的產(chǎn)品運輸成本。

式（6）代表只有選擇建設(shè)的制造中心才向配送中心提供服務，式（7）代表只有選擇建設(shè)的配送中心才向客戶需求點提供服務；式（8）～（11）為網(wǎng)絡(luò)物流平衡約束，式（8）代表制造中心供給配送中心的產(chǎn)品數(shù)量等于配送中心供給客戶點的產(chǎn)品數(shù)量；式（9）（10）代表市場需求量與退貨量全部被滿足；式（11）代表配送中心回收客戶點的產(chǎn)品數(shù)量都是其供給數(shù)量的一部分；式（12）～（14）為設(shè)施能力約束；式（12）代表制造中心供應產(chǎn)品數(shù)量不超過其生產(chǎn)能力上限；式（13）代表配送中心供應產(chǎn)品數(shù)量不超過其最大容量；式（14）代表配送中心回收產(chǎn)品數(shù)量不超過其最大服務能力；式（15）～（17）為車輛路徑規(guī)劃約束；式（15）（16）代表每個客戶僅由一個配送中心為其服務；式（17）代表每個配送中心僅服務分配給該設(shè)施的客戶；式（18）～（25）為決策變量約束。

2 不確定參數(shù)處理

2.1 不確定需求量與退貨量處理

對于式（9）（10）中需求量dk、退貨量ek，采用Box不確定集描述。假設(shè)每個客戶需求點的需求量與退貨量取值于有界的對稱區(qū)間集合，定義dk∈［dk－dk^，dk+dk^］；ek∈［ek－ek^，ek+ek^］。其中，dk為需求量dk的名義值，dk^為需求量dk的變化范圍，ek為退貨量ek的名義值，ek^為退貨量ek的變化范圍。帶有不確定參數(shù)的式（9）（10）可以進一步描述為

其中：m為發(fā)生中斷的制造中心。

3 Prim-DMGA設(shè)計

3.1 Prim-DMGA設(shè)計框架

遺傳算法是通過數(shù)學仿真模擬生物遺傳學中自然進化的過程來尋找問題最優(yōu)解的方法，是最為經(jīng)典的一類智能優(yōu)化算法。傳統(tǒng)GA普遍采用隨機結(jié)構(gòu)進行初始化種群選擇，這導致了選擇種群極有可能不符合約束條件，從而降低種群質(zhì)量與收斂速度。同時在進化過程中，在復雜的約束條件下，傳統(tǒng)的交叉或變異方法可能會破壞掉優(yōu)秀個體的基因結(jié)構(gòu)，或是導致種群多樣性丟失，使得算法陷入局部最優(yōu)，過早收斂。

Prim算法運用了貪婪算法的思想，通過逐步擴大最小生成樹中包含的節(jié)點數(shù)，尋找圖中的頂點集合U和其補集頂點U-V之間權(quán)值最小的邊，構(gòu)建出邊權(quán)值最小的一棵生成樹。Prim算法只與圖的頂點有關(guān)，與邊數(shù)無關(guān)。

在供應鏈網(wǎng)絡(luò)中，將制造中心、配送中心、客戶點看成有向圖G（V，E），V表示節(jié)點值，V=I∪J∪K，I、J、K分別表示制造中心、配送中心、客戶點集合，E表示路徑集，E={（i，j）|i，j∈V，i≠j}。制造中心、配送中心及客戶點在有向圖G上一一對應，則其中必然有一最小生成樹能使供應鏈網(wǎng)絡(luò)成本最低?；谶@種思想，本文設(shè)計了Prim-DMGA，該算法在傳統(tǒng)GA上引入Prim算法，改良了傳統(tǒng)GA種群質(zhì)量較低、種群收斂速度較慢的問題。

集設(shè)施選址、關(guān)系分配及路徑規(guī)劃決策的閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題屬于混合整數(shù)規(guī)劃問題，在求解時難度較大?；谶@種情況，本文設(shè)計的Prim-DMGA算法結(jié)構(gòu)分為內(nèi)外兩層：外層采用Prim算法與自適應GA相結(jié)合的方式（Prim-MGA）得到選址及設(shè)施關(guān)系分配結(jié)果，內(nèi)層自適應遺傳算法（MGA）根據(jù)外層Prim-MGA得到的選址及設(shè)施規(guī)劃方案進行路徑單獨編碼優(yōu)化。目標函數(shù)在內(nèi)外層算法的不斷反饋中得到最優(yōu)解，達到降低搜索空間的同時不破壞模型整體性的目的。

算法的具體設(shè)計步驟如下：

a）隨機產(chǎn)生設(shè)施選址與關(guān)系分配方案的初始化種群C0，種群大小為N1，計算種群內(nèi)個體的適應度。

b）改善初始種群，基于Prim算法得到更新后的種群Ci，i=1，2，3，…，N1，令迭代次數(shù)t=0。

c）內(nèi)層MGA優(yōu)化配送路徑。將Ci所對應的選址及關(guān)系分配方案獨立編碼作為輸入?yún)?shù)傳遞給內(nèi)層MGA，令Ci=Cn產(chǎn)生內(nèi)層初始種群Cn（n=1，2，3，…，N2），種群大小為N2，令內(nèi)層MGA的迭代次數(shù)g=0。

d）計算Cn適應度值f2，選擇、自適應交叉遺傳產(chǎn)生子種群Cn+1，判斷是否符合停止條件g≥Gmax2，若是，停止運算，轉(zhuǎn)向步驟f）；否則，令g=g+1，繼續(xù)步驟d）。

e）判斷Ci中所有配送中心是否都完成內(nèi)層路徑優(yōu)化，若是，繼續(xù)步驟f），否則，返回步驟c）。

f）計算Cn+1中個體適應度值f1，自適應遺傳操作產(chǎn)生新子代，判斷是否符合停止條件t≥Gmax1。如滿足則停止運算，轉(zhuǎn)向步驟g）；否則，令t=t+1，繼續(xù)步驟f）。

g）輸出最優(yōu)規(guī)劃方案。

Prim-DMGA的具體流程如圖2所示。

3.2 外層Prim-MGA設(shè)計

1）編碼及種群初始化

外層算法得到選址及設(shè)施關(guān)系分配結(jié)果，根據(jù)模型特點，采用0-1編碼和實數(shù)編碼兩種方式對染色體進行編碼，生成規(guī)模為N1的初始種群C0。每條染色體由4個基因段構(gòu)成，基因段1、2為0-1編碼，基因位代表設(shè)施編號，基因值為二進制串（0或1），表示制造中心、配送中心是否被選擇。基因段3、4采用實數(shù)編碼，基因位代表設(shè)施編號，第j個基因位表示制造中心i給配送中心j供應產(chǎn)品的量及配送中心j分配給需求點k產(chǎn)品的數(shù)量，具體編碼方式如圖3所示。

2）Prim算法改善初始種群設(shè)計

a）C0中每一個個體對應的配送中心、客戶點形成的連通圖為NG=（V1，e1），V1=J∪K，e1={（j，k）|j，k∈V1，j≠k}，從J中隨機選擇一個點j作為頂點，放入生成樹節(jié)點集U1中，選擇邊權(quán)值最小的節(jié)點k加入到最小生成樹節(jié)點集U1，從V1中刪去j、k。循環(huán)該過程，直至所有的客戶點k被分配給配送中心j。

b）判斷配送中心運輸至客戶點的產(chǎn)品數(shù)量以及回收的產(chǎn)品數(shù)量是否滿足需求，即式（9）與（10），若是，得到由配送中心、需求點組成的N個最小生成樹，最小生成樹集UN={U1，…，UN}，否則，重復步驟a）。

c）記由制造中心、配送中心、客戶點形成的連通圖NT=（V2，e2），V2=I∪UN，e2={（i，j）|i，j∈V2，i≠j}，從UN隨機選擇一個生成樹放入節(jié)點集合S1，選擇與這個頂點邊權(quán)值最小的節(jié)點i加入S1，從V2中刪去i、UN，直至所有的制造中心i分配給UN。

d）判斷制造中心運輸至配送中心產(chǎn)品數(shù)量是否滿足約束，即式（8）。若是，得到由制造中心、配送中心、需求點組成的N個最小生成樹SN={S1，…，SN}，否則重復步驟c）。

3）遺傳操作

a）適應度計算。在外層算法中，設(shè)適應度函數(shù)為總目標函數(shù)的倒數(shù)，方案總成本越小個體適應度越高，計算公式為

b）選擇算子。采用輪盤賭法，每個個體被選中的概率與適應度成正比，適應度越高，被選中的概率越大，設(shè)pi為第i個個體被選中的概率，則

c）自適應交叉、變異操作。假設(shè)種群中有N個個體，每個個體有M位基因，用一個N×M的矩陣表示該種群，計算第m列元素的標準差dm，表示第m列基因在該種群中的差異度：

其中：f′是適應度值較大的交叉?zhèn)€體的適應度值;f是適應度值較大的變異個體的適應度值;fave是種群平均適應度值。pc1>pc2，pm1>pm2 ，當個體適應度較小或種群相異度較小時，交叉變異概率較大，增加種群多樣性，避免陷入局部最優(yōu)或過早收斂。

d）終止條件。按照以上步驟循環(huán)操作，當達到最大遺傳代數(shù)Gmax2時終止算法，得到選址及服務關(guān)系分配方案。

3.3 內(nèi)層MGA設(shè)計

1）編碼

內(nèi)層算法進行路徑優(yōu)化，采用自然數(shù)編碼。按外層方案中配送中心對應的客戶點總數(shù)生成m位基因，對配送中心和客戶點依次進行編碼：1，2，3，4，5，…，m。假設(shè)有5個配送中心，編號依次為1～5，10個需求點編號為6，7，8，…，15。一條完整個體編碼形式為3→12→15→3，則表示為從配送中心3出發(fā)，依次經(jīng)過了需求點12和15，最后返回配送中心3。具體編碼方式如圖4所示。令種群大小為N2，迭代次數(shù)g=0。

2）適應度計算

內(nèi)層算法中，設(shè)適應度函數(shù)f2為配送中心至需求點的運輸成本的倒數(shù)，即方案運輸成本越小，個體適應度越高。計算公式為

3）遺傳操作

采用輪盤賭法，每個個體被選為父代的概率與其適應度成正比；采用自適應交叉變異算子。

4）終止條件

按照以上步驟循環(huán)操作，當達到最大遺傳代數(shù)Gmax2時終止算法，得到最優(yōu)路徑方案。

4 算例分析

為了驗證不確定環(huán)境下的魯棒優(yōu)化模型和Prim-DMGA的有效性，以某企業(yè)自營家電品牌為案例背景，進行算例分析。

4.1 算例描述

某企業(yè)自營家電品牌根據(jù)品牌發(fā)展戰(zhàn)略，欲拓展新的消費市場，企業(yè)篩選出三套算例進行分析：a）算例1篩選出3個制造中心，6個配送中心作為候選設(shè)施節(jié)點，12個客戶點（即客戶群）；b）算例2篩選出6個制造中心，12個配送中心作為候選設(shè)施節(jié)點，20個客戶點（即客戶群）；c）算例3篩選出20個制造中心，36個配送中心作為候選設(shè)施節(jié)點，96個客戶點（即客戶群）；各候選設(shè)施點位置及客戶點位置已知，不同制造中心的建設(shè)成本、生產(chǎn)能力、生產(chǎn)成本、與配送中心的單位運輸成本及中斷概率是不同的。供應鏈網(wǎng)絡(luò)參數(shù)值設(shè)置如表1、2所示。

4.2 算法有效性分析

求解模型運行在16 GB內(nèi)存、IntelCoreTMI7-8550u CPU 1.80 GHz處理器的Windows上，將表1、2中的參數(shù)代入模型，對三套算例進行了四種測試。首先使用 CPLEX 軟件去求解模型，由于CPLEX收斂速度較慢，所以對CPLEX設(shè)置了最大運行時間，按照算例規(guī)模，分別設(shè)置為1 200 s、1 800 s和2 400 s，以便更快求出問題解。其次采用MATLAB R2021b編程計算，在相同軟硬件環(huán)境下，將傳統(tǒng)GA、外層Prim-MGA（即不對路徑進行單獨編碼優(yōu)化）及Prim-DMGA各運行20次進行對比實驗。

首先使用算例1規(guī)模進行測試，最終CPLEX的求解結(jié)果與算法運算結(jié)果如表3所示，迭代圖如圖5所示。

由表3可知，計算算例1方案時，CPLEX軟件求解的最優(yōu)目標函數(shù)值最小，傳統(tǒng)GA求得的最優(yōu)目標函數(shù)值最大， Prim-DMGA求得的最優(yōu)函數(shù)值解的質(zhì)量優(yōu)于外層Prim-MGA；且Prim-DMGA運行20次得到的平均目標函數(shù)值解的質(zhì)量較外層Prim-MGA求得的平均目標函數(shù)值提升2.88%，較傳統(tǒng)GA提升5.85%。雖然CPLEX軟件求解時間過長，但是求解結(jié)果較Prim-DMGA解的質(zhì)量提升1.69%。在算法運行時間方面，因為CPLEX軟件求解規(guī)模越大，收斂速度越慢，所以設(shè)置最大運行時間為1 200 s，而由于初始解質(zhì)量較高，Prim-DMGA與外層Prim-MGA搜索效率均較高，運行時間明顯優(yōu)于傳統(tǒng)GA。相對地，與外層Prim-MGA相比，Prim-DMGA的運行時間較長，但卻獲得了質(zhì)量更高的解。

由圖5可知，CPLEX求解器求解在第80代左右獲得最優(yōu)化解，GA在第63代左右獲得最優(yōu)解，Prim-MGA在35代左右獲得最優(yōu)解，Prim-DMGA在42代左右收斂。

其次使用算例2規(guī)模進行測試，最終CPLEX的求解結(jié)果與算法運算結(jié)果如表4所示，迭代圖如圖6所示。

由表4可知，當算例規(guī)模變大，即算例2規(guī)模經(jīng)過1 800 s的計算，CPLEX軟件求解的最優(yōu)目標函數(shù)值解的質(zhì)量優(yōu)于傳統(tǒng)GA，弱于外層Prim-MGA與Prim-DMGA，其中Prim-DMGA得到的最優(yōu)值最小，且Prim-DMGA運行20次得到的平均目標函數(shù)值解的質(zhì)量較外層Prim-MGA求得的平均目標函數(shù)值提升2.91%，較傳統(tǒng)GA提升5.89%。Prim-DMGA求得的最優(yōu)目標函數(shù)值較CPLEX軟件提升2.84%。同樣地，Prim-DMGA與外層Prim-MGA搜索效率均較高，運行時間明顯優(yōu)于傳統(tǒng)GA。

由圖6可知，CPLEX求解器求解在第79代左右獲得最優(yōu)化解，GA在第62代左右獲得最優(yōu)解，Prim-MGA在35代左右獲得最優(yōu)解，Prim-DMGA收在40代左右收斂，Prim-DMGA能以較少的迭代次數(shù)獲得質(zhì)量更優(yōu)的解。

最后使用算例3的規(guī)模進行測試，最終CPLEX的求解結(jié)果與算法運算結(jié)果如表5所示，迭代圖如圖7所示。

由表5可知，計算算例3方案時，由于計算規(guī)模過大，CPLEX軟件求解的最優(yōu)目標函數(shù)值最大，其次為傳統(tǒng)GA， Prim-DMGA求得的最優(yōu)函數(shù)值小于外層Prim-MGA，且Prim-DMGA運行20次得到的平均目標函數(shù)值解的質(zhì)量較外層Prim-MGA求得的平均目標函數(shù)值提升2.53%，較傳統(tǒng)GA提升6.01%。Prim-DMGA求得的最優(yōu)目標函數(shù)值解的質(zhì)量較CPLEX軟件提升7.49%。在算法運行時間方面，因為CPLEX軟件求解規(guī)模越大，收斂速度越慢，所以設(shè)置最大運行時間為2 400 s，Prim-DMGA與外層Prim-MGA搜索效率均較高，運行時間明顯優(yōu)于傳統(tǒng)GA。

由圖7可知，CPLEX求解器求解在第80代左右獲得最優(yōu)化解，GA在第65代左右獲得最優(yōu)解，Prim-MGA在35代左右獲得最優(yōu)解，Prim-DMGA在41代左右收斂，Prim-DMGA能以較少的迭代次數(shù)獲得質(zhì)量更優(yōu)的解。

由此可知，CPLEX軟件在求解小規(guī)模算例更有優(yōu)勢，但是運行時間過長、收斂速度過慢。隨著算例規(guī)模的增加，Prim-DMGA表現(xiàn)出更好的優(yōu)勢，且運行時間少于CPLEX求解器與傳統(tǒng)GA。

4.3 結(jié)果分析

結(jié)果分析選取算例2的方案，基于Prim-DMGA，計算出算例2規(guī)模的供應鏈最佳網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃和流量分配方案，如圖8～11所示。圖形中的數(shù)字代表被選入供應鏈網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點編號，線條代表節(jié)點之間建立產(chǎn)品供應關(guān)系或回收關(guān)系，線條上的數(shù)字代表節(jié)點之間分配的產(chǎn)品流量。

由圖8、9可知，Γdk=0，Γek=0時，即確定型網(wǎng)絡(luò)模型時，閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)選擇建設(shè)制造中心數(shù)量為5，編號分別為1，3，4，5，6；配送中心數(shù)量為5，分別為1，3，7，10，12。例如由制造中心1向配送中心1供應6 522件產(chǎn)品，由配送中心1為客戶點3，13，11，4依次提供服務。

由圖10、11可知，Γdk=20，Γek=20時，選擇建設(shè)的制造中心編號分別為1，2，3，4，5，6；選擇建設(shè)配送中心編號分別為1，4，7，11，12，選擇建設(shè)制造中心的數(shù)量比確定性網(wǎng)絡(luò)增加了一個；選擇建設(shè)配送中心數(shù)量與確定性網(wǎng)絡(luò)相同，但布局方案不同，關(guān)系分配及路徑規(guī)劃方面也發(fā)生了變化，例如由制造中心2，3向配送中心7總共供應7 986件產(chǎn)品，由配送中心7為客戶點10，8，14，9依次提供服務。

情景1為制造中心正常供應情況。情景2為一個制造中心發(fā)生設(shè)施中斷的情景，設(shè)施節(jié)點間關(guān)系分配結(jié)構(gòu)不變，節(jié)點間物流量發(fā)生一定變化。情景3中制造中心3、5發(fā)生設(shè)施中斷，設(shè)施節(jié)點間關(guān)系分配及物流量均發(fā)生一定變化，此時選擇制造中心2、4為配送中心7分別補充供應產(chǎn)品數(shù)量887、955件，制造中心6為配送中心12補充供應1 957件。情景4中制造中心2、3、5發(fā)生中斷，選擇制造中心1為配送中心4補充供應969件產(chǎn)品。選擇制造中心4、6為配送中心7補充供應2266、887件產(chǎn)品。選擇制造中心4、6為配送中心12補充供應805、1152件。

由圖12可知，在相同的不確定程度下，不同的中斷情景，設(shè)施選址雖然一致，但關(guān)系分配、節(jié)點間產(chǎn)品流量決策有明顯的差異。當中斷的制造中心數(shù)量增加時，通過其他制造中心補充供應數(shù)量增加，決策者可采取不同的運作方案保證網(wǎng)絡(luò)有效運行，減少設(shè)施中斷對供應鏈網(wǎng)絡(luò)造成的影響。

4.4 靈敏度分析

4.4.1 不確定參數(shù)靈敏度分析

為探究不確定程度對網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案的影響，基于算例2的結(jié)果分析，令需求量不確定程度控制參數(shù)Γdk=0、4、8、12、16、20，退貨量不確定程度控制參數(shù)Γek=0為第一組實驗；Γdk=0，Γek=0、4、8、12、16、20為第二組實驗。基于算例2方案，采用Prim-DMGA求解模型，令γ=Γdk/K，β=Γek/K，分別代表需求量及退貨量的不確定程度，得到不同不確定程度下網(wǎng)絡(luò)設(shè)施選址方案如表6、7所示，網(wǎng)絡(luò)總成本隨不確定程度變化趨勢如圖13和14所示。

由表6可知，當退貨量不確定程度不變，需求量不確定程度γ增加時，對制造中心I、配送中心J的數(shù)量和布局均有一定影響。當γ<0.6時，建設(shè)制造中心數(shù)量為5；當γ≥0.6時，建設(shè)制造中心的數(shù)量增加到6；當γ∈［0，1］時，配送中心的數(shù)量均為5，但布局發(fā)生一定變化。例如，γ=0.4與γ=0.2相比，制造中心選址均為1，2，3，5，6，配送中心選址均為1，4，7，10，12。當γ=0.6時，制造中心的數(shù)量增加，制造中心選址為1，2，3，4，5，6，配送中心選址沒有變化。

由表7可知，當需求量不確定程度不變，退貨量不確定程度β增加時，對配送中心的布局有一定影響，對設(shè)施選址數(shù)量影響不大。例如β=1與β=0相比，制造中心數(shù)量均為5，編號為1，3，4，5，6，配送中心的數(shù)量均為5，但布局方案發(fā)生變化，當β=1時配送中心變?yōu)?，4，7，11，12。

由圖13可知，網(wǎng)絡(luò)總成本隨γ的增加而增加。當γ=0.6時，網(wǎng)絡(luò)總成本增幅較為明顯，網(wǎng)絡(luò)總成本增幅為10.16%。這是因為，此時網(wǎng)絡(luò)通過增加設(shè)施選址數(shù)量來滿足由于制造中心中斷所造成的供給短缺，設(shè)施選址成本增加。當γ持續(xù)增加時，網(wǎng)絡(luò)總成本增幅放緩，此時網(wǎng)絡(luò)通過增加生產(chǎn)、運輸成本維持系統(tǒng)魯棒性能。

由圖14可知，網(wǎng)絡(luò)總成本隨β的增加而增加，但網(wǎng)絡(luò)總成本增幅較小。當β=1時，網(wǎng)絡(luò)總成本增幅0.52%，這是因為當退貨量不確定程度增加時，網(wǎng)絡(luò)僅通過增加回收處理成本和運輸成本維持系統(tǒng)魯棒性能。由此可以得出結(jié)論，需求量不確定程度對網(wǎng)絡(luò)總成本的影響較大。

為探究模型魯棒性、約束違反概率以及經(jīng)濟成本之間的關(guān)系，記P為約束式（9）和（10）的違反概率，GAP為總成本增量比，表達式如（57）和（58）所示。

其中：Frob為由魯棒優(yōu)化模型確定的供應鏈網(wǎng)絡(luò)的成本值;FSC為確定模型（Γdk=0，Γek=0）的網(wǎng)絡(luò)總成本。令Γdk、Γek分別等于0、4、8、12、16、20，共產(chǎn)生36種不確定程度控制參數(shù)組合，不同不確定程度下約束違反概率、網(wǎng)絡(luò)總成本及總成本增量比，如表8所示。

由表8可知，無論是γ或β的增加，都會使約束違反概率降低，也會使網(wǎng)絡(luò)總成本增加。即當網(wǎng)絡(luò)不確定程度較高時，決策者作出了更加保守的決策，使得網(wǎng)絡(luò)的約束違反概率降低，網(wǎng)絡(luò)魯棒性增強，但決策結(jié)果可能過于保守導致網(wǎng)絡(luò)總成本增加過大。

在這樣的情況下，決策者可以根據(jù)表8中不同不確定程度組合對其約束違反概率與總成本進行權(quán)衡后作出決策，或是根據(jù)期望總成本和期望約束違反概率設(shè)置不確定程度得到網(wǎng)絡(luò)最佳規(guī)劃方案。例如當決策者希望約束違反概率小于5%時，即γ≥0.6或β≥0.6時，可將模型中不確定程度控制參數(shù)組合中Γdk、Γek設(shè)置為12、16、20得到約束違反概率小于5%的最佳閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案。

綜上，在實際應用中，決策者可以根據(jù)不確定環(huán)境的實際情況，靈活調(diào)整不確定程度控制參數(shù)，尋找經(jīng)濟成本與魯棒性相協(xié)調(diào)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟性與魯棒性的綜合提升。

4.4.2 設(shè)施中斷不確定參數(shù)靈敏度分析

為探究不同不確定程度的需求量與設(shè)施中斷對網(wǎng)絡(luò)造成的影響，基于算例2方案的結(jié)果分析，在不確定程度控制參數(shù)Γdk=Γek=0，4，8，12，16，20，即γ=β=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1時，分析各中斷情景發(fā)生對網(wǎng)絡(luò)總成本的影響，結(jié)果如圖15所示。

由圖15可知，當γ=β≤0.4時，不同的中斷情景對網(wǎng)絡(luò)的總成本影響不大。當γ=β>0.4時，從情景2到3，即設(shè)施中斷數(shù)量從1個增加到2個時，網(wǎng)絡(luò)總成本增加。其中，γ=β=0.6時增加了3.74%，γ=β=0.8時增加了3.96%，γ=β=1時增加了4.15%。因此，決策者可將設(shè)施中斷的比例控制在40%以內(nèi)，保證網(wǎng)絡(luò)運營成本在可控的范圍之內(nèi)。

由此可見，需求不確定與設(shè)施中斷的疊加影響下，網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案有著較大的差異，決策者可以根據(jù)對需求不確定與設(shè)施中斷的風險偏好設(shè)置最優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案，選擇產(chǎn)能充足的制造中心加入供應鏈網(wǎng)絡(luò)以滿足市場需求，對未來可能發(fā)生的設(shè)施中斷風險時，決策者可采取不同的運作方案保證網(wǎng)絡(luò)有效運行。

5 結(jié)束語

本文針對需求量、退貨量的不確定性以及設(shè)施中斷的影響，構(gòu)建了以供應鏈網(wǎng)絡(luò)總成本最小為目標的魯棒優(yōu)化模型；并設(shè)計了Prim-DMGA，得到不同不確定程度控制參數(shù)和不同設(shè)施中斷情景下的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案。結(jié)果表明：

a）Prim-DMGA得到的目標函數(shù)值優(yōu)于單層Prim-MGA與傳統(tǒng)GA，且在求解大規(guī)模算例時，求解結(jié)果優(yōu)于CPLEX軟件。證明了該算法在求解閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題時具有一定的優(yōu)越性。

b）在需求量、退貨量不確定與設(shè)施中斷風險的疊加影響下，不確定程度控制參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)設(shè)施選址、流量分配及路徑規(guī)劃均有一定影響，其中不確定的需求量對設(shè)施選址的數(shù)量影響明顯。

c）魯棒優(yōu)化模型可以有效減少不確定因素帶來的不利影響，決策者可以通過實際需求設(shè)置合理的不確定程度控制參數(shù)，權(quán)衡閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)濟性與魯棒性，得到最佳閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃方案。

綜上所述，本文設(shè)計的Prim-DMGA能以較少的計算時間獲得質(zhì)量更優(yōu)的解，魯棒優(yōu)化模型可以有效減少不確定因素帶來的不利影響，提高閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)的魯棒性能。今后的研究工作擬從以下三方面展開：a）響應國家低碳政策，考慮閉環(huán)供應鏈網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟效應和環(huán)境效應建立雙目標魯棒優(yōu)化模型；b）在考慮市場需求量及退貨量的不確定性時，同時考慮運輸成本、回收成本、物流信息的不確定性對供應鏈網(wǎng)絡(luò)的影響；c）考慮制造中心中斷情況時，配送中心及運輸過程中面臨的中斷風險，研究多級設(shè)施中斷對供應鏈網(wǎng)絡(luò)的影響。

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收稿日期：2023-02-16；修回日期：2023-04-20

基金項目：陜西省科技廳項目（2023YBGY408）；陜西省社會科學基金資助項目（2020R043）；西安市科技局項目（21RKYJ0023）;陜西省重點研發(fā)計劃項目（2023-YBGY-408）；西安市科技計劃項目（23RKYJ0026）

作者簡介：孫軍艷（1978-），女，陜西大荔人，副教授，碩導，博士，主要研究方向為物流信息、供應鏈管理；陳澤飛（1999-），男（通信作者），山西運城人，碩士研究生，主要研究方向為供應鏈管理（1173243421@qq.com）；陳智瑞（1997-），女，陜西漢中人，碩士，主要研究方向為供應鏈管理；李曉朋（1999-），男，河北邢臺人，碩士研究生，主要研究方向為車間調(diào)度.