張瑞甫，張璐琦，潘 超，陳清軍

(1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)減災(zāi)全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 結(jié)構(gòu)防災(zāi)減災(zāi)工程系，上海 200092；3.煙臺(tái)大學(xué) 土木工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264005)

20世紀(jì)70年代，日本學(xué)者Kawamata[1]提出了一種液體質(zhì)量泵，該裝置產(chǎn)生的慣性力與腔體內(nèi)流體兩端的相對(duì)加速度成正比，這種裝置成為了現(xiàn)代慣容器的萌芽。隨后，學(xué)者對(duì)包含慣容元件、剛度元件和阻尼元件等在內(nèi)的慣容系統(tǒng)展開了研究[2]，說明了慣容系統(tǒng)從慣性、剛度、阻尼等方面對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性進(jìn)行靈活調(diào)整的可能性[3]。與經(jīng)典質(zhì)量元件的虛擬慣性力不同，慣容元件在慣性和非慣性參考系中，均是一種真實(shí)慣性力元件[4]。目前，國內(nèi)已實(shí)現(xiàn)了慣容系統(tǒng)的實(shí)際工程應(yīng)用[5]，使用調(diào)諧質(zhì)量慣容系統(tǒng)和隔振支座的混合控制系統(tǒng)，有效控制了動(dòng)力設(shè)備向建筑結(jié)構(gòu)的傳遞力。

既有的研究已經(jīng)證明了慣容具有控制位移[6-7]、加速度[8]等響應(yīng)的能力[8-10]，但在進(jìn)行慣容減震結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，現(xiàn)有方法主要針對(duì)特定單一指標(biāo)展開[11]。然而，對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)的抗震安全性和正常使用功能等需求而言，需要考慮多重指標(biāo)對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響。已有的多性能指標(biāo)設(shè)計(jì)方法主要從經(jīng)驗(yàn)假設(shè)出發(fā)[8]，或借助優(yōu)化算法進(jìn)行迭代[12]來確定參數(shù)。

因此，本文針對(duì)慣容減震結(jié)構(gòu)，提出一種基于非線性黏滯阻尼元件的慣容減震結(jié)構(gòu)多指標(biāo)控制策略。在設(shè)計(jì)時(shí)首先確定慣容減震結(jié)構(gòu)的位移與加速度響應(yīng)等性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。之后，基于靶向控制原理，選擇目標(biāo)受控模態(tài)，通過閉合解析公式求解慣容系統(tǒng)參數(shù)和優(yōu)化布置位置。最后，通過一個(gè)算例對(duì)本文提出的控制設(shè)計(jì)方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 復(fù)合靶向控制原理

1.1 力學(xué)模型

慣容元件[13]是一種相對(duì)加速度相關(guān)的力學(xué)控制元件，可以產(chǎn)生比自身質(zhì)量高數(shù)千倍的表觀質(zhì)量，具有顯著的質(zhì)量增效特性[14]，其產(chǎn)生的慣性力與其相對(duì)加速度成正比[13]，如式（1）所示：

式中，F(xiàn)in為慣容元件的出力，min為慣容元件的表觀質(zhì)量，u¨1、u¨2為慣容元件兩端的加速度。

慣容系統(tǒng)[15]是包含慣容元件的控制系統(tǒng)，具有表觀質(zhì)量增效[16]、阻尼耗能增效[17]和靶向控制[18]特性，能夠減小輸入進(jìn)主結(jié)構(gòu)的能量。在阻尼系數(shù)相同的情況下，慣容系統(tǒng)能夠放大其內(nèi)部阻尼元件的變形，提升其耗能效率，具有耗能增效的優(yōu)勢[17]。在前期研究[18]中發(fā)現(xiàn)，利用慣容系統(tǒng)的優(yōu)勢能夠?qū)崿F(xiàn)建筑結(jié)構(gòu)特定目標(biāo)模態(tài)響應(yīng)的精準(zhǔn)控制，其在復(fù)合靶向控制方面是一種有潛力的手段。

慣容元件如圖1所示，慣容系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 慣容系統(tǒng)Fig.2 Inerter system

1.2 靶向模態(tài)設(shè)計(jì)方法

Zhang等[18]提出控制主自由度，即控制原結(jié)構(gòu)以特定的振型振動(dòng)的第i階模態(tài)響應(yīng)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)靶向模態(tài)響應(yīng)的控制；采用性能指標(biāo)量化慣容系統(tǒng)減震效果，根據(jù)需求確定慣容系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)。對(duì)于結(jié)構(gòu)的第i階模態(tài)，所安裝的慣容系統(tǒng)關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)慣質(zhì)比 μi、剛度比 κi及名義阻尼比 ξi分別定義為：

式中，min,i、kd,i及cd,i分別為調(diào)諧到結(jié)構(gòu)第i階模態(tài)的慣容系統(tǒng)的表觀質(zhì)量、剛度及阻尼系數(shù)，分別為第i階模態(tài)的廣義質(zhì)量和廣義剛度。假設(shè)定點(diǎn)理論設(shè)計(jì)得到的慣容減震單自由度結(jié)構(gòu)位移傳遞函數(shù)峰值與安裝黏滯阻尼器的單自由度結(jié)構(gòu)位移傳遞函數(shù)峰值一致，可以得到相同位移傳遞函數(shù)峰值下的慣質(zhì)比ui與等效阻尼比 ζeq之間的關(guān)系：

確定慣質(zhì)比ui后，再通過定點(diǎn)理論得到慣容系統(tǒng)其他設(shè)計(jì)參數(shù)，即剛度比 κi和名義阻尼比 ξi，即：

由式（2）～式（5）確定所需的慣容系統(tǒng)實(shí)際參數(shù)min,i、kd,i和cd,i后，對(duì)其安裝方案進(jìn)行設(shè)計(jì)。考慮到慣容系統(tǒng)出力與結(jié)構(gòu)安裝樓層處的相對(duì)變形有關(guān)，將調(diào)諧到結(jié)構(gòu)第i階模態(tài)的慣容系統(tǒng)參數(shù)，按照第i階振型 ?i的各層間振型差值 Δ?i進(jìn)行分配，即：

式中： λi,n為分配系數(shù)；分別為分配到第i階模態(tài)第n層的慣容系統(tǒng)表觀質(zhì)量、阻尼系數(shù)和剛度；各層間的振型差值 Δ?i,n=?i,n-?i,n-1，其中i為階數(shù)，n為樓層， ?i,n為第i階振型向量的第n層對(duì)應(yīng)元素。由此得到復(fù)合靶向設(shè)計(jì)下的各層慣容系統(tǒng)參數(shù)和安裝方案。

1.3 多指標(biāo)減震控制效應(yīng)

采用慣容減震技術(shù)，能實(shí)現(xiàn)加速度和位移響應(yīng)的多項(xiàng)性能指標(biāo)復(fù)合靶向控制。在進(jìn)行地震作用下的結(jié)構(gòu)位移和加速度驗(yàn)算時(shí)，慣性減震系統(tǒng)可以精準(zhǔn)全面地控制結(jié)構(gòu)的多個(gè)關(guān)鍵性能指標(biāo)，達(dá)到低成本滿足多項(xiàng)關(guān)鍵性能指標(biāo)而不影響其他性能的目的。

利用調(diào)諧慣容減震系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)建筑結(jié)構(gòu)模態(tài)響應(yīng)的靶向控制，這種對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的精準(zhǔn)調(diào)諧不僅體現(xiàn)在位移相關(guān)指標(biāo)上，對(duì)于絕對(duì)加速度響應(yīng)的控制也同樣適用。慣容減震系統(tǒng)的位移與加速度雙控效果如圖3所示。由圖3可見，對(duì)于原結(jié)構(gòu)、阻尼比為0.1的消能減震結(jié)構(gòu)和靶向控制設(shè)計(jì)下等效阻尼比 ζeq=0.1的慣容減震結(jié)構(gòu)，在頻比為1附近的共振頻段中，慣容減震結(jié)構(gòu)的位移和絕對(duì)加速度響應(yīng)的峰值同時(shí)降低。

圖3 慣容減震系統(tǒng)的位移與加速度雙控效果Fig.3 Acceleration-displacement dual control of the inerter-based system

所采用的性能指標(biāo)為結(jié)構(gòu)位移角限值 θc和樓面水平絕對(duì)加速度限值aabs,c，以此對(duì)慣容系統(tǒng)的減震性能進(jìn)行評(píng)估，使結(jié)構(gòu)各層響應(yīng)滿足：

式中： θn為第n層層間位移角；aabs,n為第n層絕對(duì)加速度；n=1,2,···,N。

1.4 復(fù)合靶向控制設(shè)計(jì)流程

利用慣容系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)位移與加速度為主的多性能指標(biāo)，獲得基于復(fù)合靶向模態(tài)控制的慣容減震結(jié)構(gòu)位移和加速度雙控設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)流程如圖4所示。具體步驟為：

圖4 復(fù)合靶向模態(tài)控制的慣容設(shè)計(jì)流程圖Fig.4 Flowchart for the compound targeted design of inerter-based systems

1）提出結(jié)構(gòu)位移和加速度為主的多性能目標(biāo)，確定其量化指標(biāo)和對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)原則。

2）對(duì)主結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力特性分析，選擇需要目標(biāo)模態(tài)；分析目標(biāo)模態(tài)振型 ?i中相對(duì)變形最大的樓層，作為慣容系統(tǒng)的安裝位置。

3）選擇等效阻尼比 ζeq，根據(jù)式（3）～（5）確定慣容系統(tǒng)的歸一化設(shè)計(jì)參數(shù) ξi、 μi和 κi，根據(jù)式（2）得到慣容系統(tǒng)實(shí)際參數(shù)。

4）綜合設(shè)計(jì)結(jié)果，根據(jù)式（7）分配慣容參數(shù)，得到各層慣容系統(tǒng)參數(shù)與布置位置。

5）確定非線性黏滯阻尼元件的阻尼指數(shù)和阻尼系數(shù)，以及各元件噸位等，選擇適合實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的慣容系統(tǒng)規(guī)格與參數(shù)。

6）驗(yàn)證結(jié)構(gòu)位移、加速度指標(biāo)，若不滿足，則重新確定目標(biāo)模態(tài)和等效阻尼比 ζeq，重復(fù)步驟1）～5）。

根據(jù)上述過程，可以獲得基于復(fù)合靶向模態(tài)控制為導(dǎo)向的慣容減震結(jié)構(gòu)位移與加速度雙控設(shè)計(jì)。

2 算 例

某項(xiàng)目為7層框架結(jié)構(gòu)，其固有阻尼比為0.05，基本設(shè)防烈度為8度，抗震設(shè)防類別為丙類，場地土為Ⅱ類，設(shè)計(jì)地震分組為第2組（特征周期Tg=0.4 s）。對(duì)結(jié)構(gòu)的一個(gè)方向進(jìn)行分析，該方向基本信息見表1，表2為模態(tài)分析結(jié)果。

表1 結(jié)構(gòu)基本信息Tab.1 Detailed information of the original structure

表2 結(jié)構(gòu)模態(tài)分析結(jié)果Tab.2 Modal analysis results of the original structure

2.1 參數(shù)及安裝位置

考慮控制對(duì)于結(jié)構(gòu)實(shí)際響應(yīng)貢獻(xiàn)較大的第1階模態(tài)響應(yīng)，通過模態(tài)分解將原結(jié)構(gòu)等效為解耦的主自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)頻率為結(jié)構(gòu)頻率 ωi，系統(tǒng)的特定變形形狀為各階振型 ?i。選擇第1階模態(tài)振型中的相對(duì)變形最大的樓層作為主自由度qi，由此建立具有調(diào)諧減震需求的等效單自由度體系，用于結(jié)構(gòu)的復(fù)合靶向模態(tài)響應(yīng)控制。

根據(jù)設(shè)防烈度下結(jié)構(gòu)位移、加速度性能目標(biāo)，即層間位移角 θn和樓面水平絕對(duì)加速度aabs，確定等效阻尼比 ζeq，滿足式（8）所示性能指標(biāo)；由式（3）～（5），在已知等效阻尼比 ζeq的情況下，計(jì)算慣容系統(tǒng)的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù) μi、 κi和 ξi，相應(yīng)的無量綱標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計(jì)參數(shù)見表3。計(jì)算慣容系統(tǒng)的實(shí)際參數(shù)min,i、kd,i及cd,i，通過式（7）分配各層參數(shù)，確定慣容系統(tǒng)的規(guī)格參數(shù)，其中選擇慣容元件表觀質(zhì)量為200 t；同時(shí)，考慮在實(shí)際使用中采用非線性黏滯阻尼元件，根據(jù)耗能相等原則，使選用的非線性黏滯阻尼慣容系統(tǒng)與理論設(shè)計(jì)的線性黏滯阻尼慣容系統(tǒng)在同一條人工波下耗散結(jié)構(gòu)的能量相同，由此確定選用的非線性黏滯阻尼指數(shù)為0.3，系數(shù)為20 kN/(m/s)0.3。最終的慣容減震結(jié)構(gòu)實(shí)際規(guī)格參數(shù)見表4，慣容系統(tǒng)安裝與布置示意圖如圖5所示。

表3 慣容系統(tǒng)無量綱標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.3 Dimensionless normalized key parameters of designed inerter-based systems

表4 實(shí)際慣容系統(tǒng)的規(guī)格參數(shù)Tab.4 Specification of the actual inerter system

圖5 慣容系統(tǒng)安裝與布置示意圖Fig.5 Schematic diagram installation and arrangement of the inerter system

慣容系統(tǒng)中各個(gè)元件的滯回曲線如圖6所示。由圖6可以看出，非線性黏滯阻尼元件滯回環(huán)飽滿，具有較強(qiáng)的耗能能力。

圖6 慣容系統(tǒng)滯回曲線Fig.6 Hysteretic curve of inerter-based system

2.2 復(fù)合靶向控制效果

以復(fù)合靶向模態(tài)控制為導(dǎo)向的慣容系統(tǒng)為目標(biāo)，研究其對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)響應(yīng)控制效果和結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響，結(jié)果見表5。由表5可知，對(duì)比無控結(jié)構(gòu)和慣容減震結(jié)構(gòu)的周期，調(diào)諧后的周期與無控結(jié)構(gòu)相近，大致分布在無控結(jié)構(gòu)原本周期的附近。說明無控結(jié)構(gòu)的模態(tài)可與安裝的調(diào)諧慣容系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)。

表5 無控結(jié)構(gòu)和慣容減震結(jié)構(gòu)的周期Tab.5 Comparative periods of the original and controlled structures

對(duì)結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)響應(yīng)峰值進(jìn)行控制，頂層位移響應(yīng)功率譜密度如圖7所示。圖7中，縱軸表示白噪聲激勵(lì)下主結(jié)構(gòu)底層位移響應(yīng)的功率譜密度。由圖7可知，除了特定受控模態(tài)對(duì)應(yīng)的幅值降低外，曲線其余部分幾乎完全重合，說明復(fù)合靶向控制設(shè)計(jì)下的慣容系統(tǒng)可以降低特定目標(biāo)模態(tài)的響應(yīng)，并且對(duì)其余無關(guān)模態(tài)的周期和響應(yīng)幾乎不產(chǎn)生影響。

圖7 頂層位移響應(yīng)功率譜密度Fig.7 Power spectral densities of the displacement responses of the top story

綜上所述，采用靶向設(shè)計(jì)的慣容減震結(jié)構(gòu)能夠在不改變結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的情況下，精確控制特定模態(tài)響應(yīng)。此外，整個(gè)設(shè)計(jì)過程包括建立簡單的主自由度系統(tǒng)和求解閉合解析設(shè)計(jì)公式，避免了大量的迭代優(yōu)化計(jì)算，顯著提高了慣容減震結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)效率。

2.3 位移和加速度雙控效果

采用時(shí)程分析驗(yàn)證慣容系統(tǒng)的多指標(biāo)減震效果，選取兩組人工模擬加速度時(shí)程曲線和5組實(shí)際強(qiáng)震記錄加速度時(shí)程曲線，地震波信息見表6，其中，NW1～NW5為天然波，AW1和AW2為人工波。7條波的歸一化加速度反應(yīng)譜、平均譜及設(shè)計(jì)反應(yīng)譜如圖8所示。

表6 地震波信息Tab.6 Information of seismic waves

圖8 歸一化地震波加速度反應(yīng)譜與設(shè)計(jì)反應(yīng)譜Fig.8 Normalized acceleration response spectrum and the design response spectrum

分別計(jì)算在多遇地震、設(shè)防地震和罕遇地震下無控結(jié)構(gòu)和慣容減震結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，其層間位移角、最大水平加速度及層間剪力如圖9、10及11所示。由圖9可見：對(duì)比地震作用下無控結(jié)構(gòu)和慣容減震結(jié)構(gòu)的層間位移角，慣容系統(tǒng)對(duì)于位移響應(yīng)具有良好的減震效果；在設(shè)防地震和罕遇地震下，無控結(jié)構(gòu)位移角超過限值[19]，慣容系統(tǒng)提高了結(jié)構(gòu)性能，滿足了位移角指標(biāo)。

圖9 層間位移角Fig.9 Inter-story drift angle

由圖10可見，安裝慣容系統(tǒng)后，結(jié)構(gòu)的最大水平加速度可以滿足設(shè)防地震下0.25g和罕遇地震下0.45g的限值，減小了結(jié)構(gòu)絕對(duì)加速度響應(yīng)，基本能保證建筑內(nèi)非結(jié)構(gòu)構(gòu)件和設(shè)備的正常使用。由圖11可見，安裝慣容系統(tǒng)同樣能夠抑制層間剪力響應(yīng)。

圖10 最大水平加速度Fig.10 Maximum lateral acceleration

2.4 消能減震結(jié)構(gòu)的比較

對(duì)慣容減震結(jié)構(gòu)和安裝黏滯阻尼器的消能減震結(jié)構(gòu)的多指標(biāo)控制進(jìn)行對(duì)比分析，定義層間位移角減震比 γθ和絕對(duì)加速度減震比 γaabs為：

式中， θ0、aabs,0分別為無控結(jié)構(gòu)位移角、 樓面水平加速度。表7、8分別為輸入AW1波的設(shè)防地震作用下結(jié)構(gòu)層間位移角、樓面水平加速度的減震效果對(duì)比，其中，消能減震與慣容減震結(jié)構(gòu)具有相同的黏滯阻尼。由表7、8可知：兩種控制裝置均具有一定的減震效果，慣容減震效果優(yōu)于傳統(tǒng)的黏滯阻尼器，在層間位移角較大的結(jié)構(gòu)底部，安裝黏滯阻尼器的消能減震結(jié)構(gòu)層間位移角減震比約為20%；而慣容系統(tǒng)可進(jìn)一步降低響應(yīng)，層間位移角減震比超過40%。對(duì)于樓面水平加速度，黏滯阻尼器控制作用有限，部分樓層的絕對(duì)加速度峰值超過無控結(jié)構(gòu)，而慣容系統(tǒng)對(duì)于加速度指標(biāo)同樣具有較好的控制效果。頂層時(shí)程響應(yīng)曲線如圖12所示。由圖12可見，頂層位移、絕對(duì)加速度時(shí)程響應(yīng)結(jié)果驗(yàn)證了慣容減震的優(yōu)越性，可實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)位移和加速度關(guān)鍵性能指標(biāo)的高效復(fù)合控制。

表8 樓面水平加速度減震效果對(duì)比Tab.8 Vibration mitigation effect comparison of horizontal absolute acceleration

圖12 頂層時(shí)程響應(yīng)曲線Fig.12 Time history responses of the top floor

圖13為安裝在底層中慣容系統(tǒng)的黏滯阻尼元件滯回曲線。由圖13可以看出，和具有相同的阻尼系數(shù)和阻尼指數(shù)的單一黏滯阻尼器滯回曲線對(duì)比，慣容系統(tǒng)中的阻尼元件變形明顯大于單一的黏滯阻尼器變形，相應(yīng)的阻尼力也明顯提升。因此，慣容系統(tǒng)中的非線性黏滯阻尼元件比單一阻尼器耗散的能量更多，具有顯著的耗能增效效果。

圖13 慣容系統(tǒng)中的阻尼元件與單一阻尼器的滯回曲線Fig.13 Hysteretic curves of damping element in merter system and a single damper

3 結(jié) 論

本文提出了一種結(jié)合非線性黏滯阻尼元件的慣容減震結(jié)構(gòu)多目標(biāo)性能控制策略。該方法充分考慮了慣容器相對(duì)加速度相關(guān)的慣性調(diào)節(jié)機(jī)制，利用慣容系統(tǒng)降低結(jié)構(gòu)位移和加速度相關(guān)的多項(xiàng)性能指標(biāo)，包括層間位移角、樓面水平加速度等。主要結(jié)論如下：

1）提出的慣容系統(tǒng)多指標(biāo)設(shè)計(jì)方法能夠同時(shí)降低位移角、樓面水平加速度、層間剪力等地震響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)位移和加速度雙控下的復(fù)合靶向減震效果，滿足建筑安全性和正常使用功能要求。

2）慣容系統(tǒng)所采用的非線性黏滯阻尼元件滯回環(huán)飽滿、耗能充分，安裝方案考慮了各元件的實(shí)際規(guī)格與參數(shù)，對(duì)于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)具有參考性和適用性。

3）慣容系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了多個(gè)性能指標(biāo)的低阻尼和高耗能控制，具有顯著的耗能增效作用，可解決傳統(tǒng)黏滯阻尼器對(duì)加速度指標(biāo)減震效果不足的問題。