董 強(qiáng)

(西安市第八十五中學(xué),陜西 西安 710061)

筆者在給高二學(xué)生的復(fù)習(xí)試題中有一道有關(guān)橢圓中證明直線斜率為定值的問題[1],通過課堂和學(xué)生的互動探究,發(fā)現(xiàn)這是一道蘊(yùn)含橢圓本質(zhì)屬性的試題,可以進(jìn)行推廣.試題解答過程中所呈現(xiàn)的解析思路和具體方法對圓錐曲線問題有著積極的意義,體現(xiàn)了思考圓錐曲線問題的一般規(guī)律和基本方向.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),M,N是橢圓上位于直線l兩側(cè)的動點(diǎn),若∠MAB=∠NAB,求證:直線MN的斜率為定值.

2 解法探究

2.1 第(1)問解析

又a2=b2+c2,所以a2=4,b2=3.

2.2 第(2)問解析

思路1利用兩點(diǎn)間的斜率公式.

因?yàn)椤螹AB=∠NAB,所以kAM+kAN=0.

思路2韋達(dá)定理.

解法2(斜截式)設(shè)lMN:y=kx+m,代入3x2+4y2-12=0,得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.

因?yàn)椤螹AB=∠NAB,所以kAM+kAN=0.

①

將x1+x2與x1·x2代入①式,整理,得

(2k-1)(2k+2m-3)=0.

評析解法1采用了點(diǎn)差法,運(yùn)算較為簡單,解法2考慮到探求直線MN的斜率,直奔主題,采用了直接設(shè)直線MN斜截式方程的方法,思路清晰,但最后整理化簡過程技巧性強(qiáng),方程組的思想和韋達(dá)定理的應(yīng)用是解法2的主體.結(jié)論中的定值是1/2,而橢圓的離心率也是1/2,這是一種巧合還是有一般性的規(guī)律?為此,師生共同編撰并探究了下面一道試題.

3 變式探究

證明設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線lMN:y=kx+m,代入16x2+25y2-400=0,得

(16+25k2)x2+50kmx+25(m2-16)=0.

又△=2500k2m2-100(16+25k2)(m2-16),

由△>0,得m2<25k2+16.

由韋達(dá)定理,得

因?yàn)椤螹AB=∠NAB,

所以kAM+kAN=0.

又y1=kx1+m,y2=kx2+m,

=0.

②

將x1+x2與x1·x2代入②式,整理,得

75k2+25(m-5)k+3(16-5m)=0.

即(5k-3)(15k+5m-16)=0恒成立.

評析本題也可以采用點(diǎn)差法進(jìn)行求解,讀者可以自行驗(yàn)證,此處直線的斜率依然等于橢圓的離心率.將該變式探究和前面試題進(jìn)行比較可得,直線MN的斜率總為定值,而且這個(gè)定值等于橢圓的離心率[2],可見該結(jié)論應(yīng)該具有一般性,可以進(jìn)行推廣.

4 結(jié)論推廣

證明設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線lMN:y=kx+m,代入b2x2+a2y2-a2b2=0,得

(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0.

又△=4a4k2m2-4a2(b2+a2k2)(m2-b2),

由△>0,得m2

由韋達(dá)定理,得

因?yàn)椤螹AB=∠NAB,所以kAM+kAN=0.

又因?yàn)閥1=kx1+m,y2=kx2+m,

整理,得

③

將x1+x2與x1·x2代入③式,并化簡得

a2ck2+a2(m-a)k+c(b2-am)=0.

所以(ak-c)(ack+am-b2)=0恒成立.